精品解析： 上海市闵行区莘松中学2025-2026学年上学期七年级数学期中考试 卷

2025学年第一学期期中考试七年级数学试卷 （考试时间：90分钟 满分：100分） 注意： 1．本试卷含三个大题，共27题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题2分，共12分，每题只有一个正确选项） 1. 如果单项式与（m、n是常数）的和仍是单项式，那么的值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了已知同类项求字母系数，两个单项式的和仍是单项式，说明它们是同类项，因此相同字母的指数相等，据此求出、的值，即可得答案． 【详解】解：∵单项式与的和是单项式， ∴两个单项式是同类项， ∴，， 解得 ，， ∴ ． 故选A 2. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，包括合并同类项、指数运算、幂的乘方和分配律等基本规则．根据相关运算法则计算即可． 【详解】解：A：，计算正确； B：，计算错误； C：，计算错误； D：，计算错误． 故选：A． 3. 已知关于x的整式与的乘积中不含有x的一次项，那么t的值是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查多项式的乘法运算，准确计算多项式的乘积是解题的关键． 通过展开两个整式的乘积，合并同类项后，令一次项的系数为零，解方程即可求出 的值． 【详解】∵ ， 又∵ 乘积中不含有的一次项， ∴ 一次项系数 ， 解得， ∴ 的值为， 故选：C． 4. 下列从左到右的等式变形中，因式分解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是因式分解的定义，利用因式分解的定义进行判定是解题的关键，需要注意的是等式变形需要符合恒等变形．利用因式分解的定义：将多项式转化为整式乘积的形式，进行判定即可． 【详解】解：A．，并非将多项式转化为整式乘积的形式，不符合题意； B．，是多项式乘以多项式，并非将多项式转化为整式乘积的形式，不符合题意； C．，符合因式分解的定义，符合题意； D．，并非将多项式转化为整式乘积的形式，不符合题意． 故选：C． 5. 若多项式能直接用完全平方公式进行因式分解，则“”所代表的单项式不可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查完全平方式分解因式，根据完全平方式的特点，首平方，尾平方，首尾的2倍在中间，进行判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，无法用完全平方公式进行因式分解，符合题意； 故选D． 6. 文化情境·数学文化现代的数学符号体系，不仅使得数学语言变得简洁明了，还能更好地帮助人们总结出便于运算的各种运算法则，简明地揭示数量之间的相互关系．我国在1905年清朝学堂的课本中还用“”来表示相当于的代数式，观察其中的规律，化简“”，后得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了整式加减运算的应用，明确题意，得到准确得到规律是解题的关键． 根据题意可得代表减法，代表加法，甲、乙、丙、丁分别对应小写英文字母、、、，二表示平方，然后汉字表达式中分子和分母刚好与代数式中的分子分母互换，据此可得答案． 【详解】解：根据题意得：“”来表示相当于的代数式， ， 故选：A． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，共24分） 7. 一个圆柱体的高为5，底面半径为2，如果它的高不变，底面半径增加a，那么它的体积增加______（用含有a的代数式表示，取3）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列代数式、圆柱体的体积公式以及完全平方公式的应用， 根据圆柱体体积公式，先计算原始体积和新体积，再求体积增加量． 【详解】圆柱体的体积公式为，其中 ，， 原始半径，原始体积， 新半径，新体积 ， 展开，则， 体积增加量为． 故答案为：． 8. 已知整式，其中字母y的最高次数的项是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多项式的项、次数的概念，熟练掌握相关概念是解题的关键． 需要确定整式中字母的指数最大的项，通过计算各项中的指数并比较即可． 【详解】整式 的各项中的指数分别为： 中的指数为2； 中的指数为3； 中的指数为1； 中的指数为5； 比较各指数，最高为5，因此字母的最高次数的项是． 故答案为：． 9. 把整式按字母x的升幂排列是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式，正确理解升幂排列的含义是解题的关键．按字母x的升幂排列，即根据 x的指数从小到大的顺序排列各项． 【详解】解：按x的指数从小到大排列为： ． 故答案为： ． 10. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了单项式的乘法运算，需分别计算系数和同底数幂的乘法． 根据单项式乘单项式及同底数幂相乘的运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 11. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查幂的混合运算及平方差公式，利用平方差公式，幂的乘方即同底数幂的乘法运算法则计算，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法法则，正确运用同底数幂的除法法则是解答本题的关键． 根据同底数幂的除法法则，系数相除，同底数幂相除时指数相减． 【详解】 = = = = = ． 故答案为：． 13. 因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，观察表达式，先提取公因式，再利用十字相乘法进行分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 14. 两名学生将一个二次三项式因式分解，一名学生看错了一次项系数，因式分解的结果为；另一名学生看错了常数项，因式分解的结果为，那么这个二次三项式正确的因式分解结果是_______． 【答案】 【解析】 【分析】该题考查了整式乘法和因式分解，根据第一个学生的分解结果，常数项正确，得出，根据第二个学生的分解结果，一次项系数正确，得出，从而得到正确的二次三项式，再因式分解． 【详解】解：设正确的二次三项式为． 由第一个学生因式分解的结果，由于看错了一次项系数，但常数项正确，故，． 由第二个学生因式分解的结果 ，由于看错了常数项，但一次项系数正确，故，． 因此正确的二次三项式为， 故． 故答案为：． 15. 已知，那么的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】该题考查了完全平方公式，通过将原方程分组并配成完全平方形式，得到两个非负式之和等于零，从而求出和的值，再计算． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴，， 解得：，． 因此． 故答案为：． 16. 如果，那么代数式的值是_______． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，将原式进行正确的变形是解题的关键． 由已知条件得到，将代数式利用平方差公式分解为 ，然后代入 ，化简计算即可． 【详解】由 ，得 ， 原式， 代入，得 ． 故答案为：25． 17. 某玩具厂生产配件，需要分别从棱长为a的正方体木块中，挖去一个棱长为的小正方体木块，得到甲、乙、丙三种型号的玩具配件（如图所示），将甲、乙、丙这三种配件的表面积分别记为，那么这三者的大小关系是______（请用“<”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方体的表面积，整式加减的应用，能表示出所求几何体的表面积是解题的关键．；由正方体的表面积得，分别进行整式加减运算后，进行比较大小，即可求解； 【详解】解：由题意得， ， ， ， ， 故答案为：． 18. 用4张长为宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则之间存在的数量关系是__________． 【答案】a=2b 【解析】 【分析】如下图，先求出空白部分的面积，然后求出阴影部分的面积，利用，可得出a、b之间的关系． 【详解】如下图 则空白部分的面积+ 化简得： ∵ ∴ 化简得：=0 ∴a=2b 故答案为：a=2b． 【点睛】本题考查完全平方公式的计算与化简，解题关键是先求出和的面积． 三、解答题（本大题共9题，19~24题每题6分，25题8分，26~27题每题10分，共64分） 19. 计算：（结果用幂的形式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方、幂的乘方和同底数幂的乘法，先将转化为，再根据积的乘方、幂的乘方和同底数幂的乘法法则进行计算． 【详解】解： ． 20. 利用乘法公式简便运算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查利用平方差公式进行简便计算，将原式转化为两个数的和与差的乘积，从而简化运算． 【详解】解： ． 21. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了乘法公式，牢记公式是解题的关键．根据平方差公式和完全平方公式进行计算即可． 【详解】解： ． 22. 因式分解：． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知整体法与十字相乘法的应用． 把当做一个整体利用十字相乘法因式分解，再分解到不能分为止． 【详解】解： ． 23. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，6 【解析】 【分析】原式利用平方差公式，完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 24. 阅读下列材料：计算：． 解：原式 ． 运用上述方法计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 依据材料将算式变形为，然后根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】解： ． 25. 乐乐在学习了因式分解之后，尝试对多项式进行因式分解 解：原式 第一步 第二步 ． 第三步 ①提公因式法； ②公式法； ③十字相乘法． （1）乐乐从第一步到第二步因式分解运用的方法是______法，第二步到第三步因式分解运用的方法是______法（从右框中分别选择一种方法填入序号）； （2）请你按照上述方法分解因式：． 【答案】（1）②，① （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的方法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据平方差公式和提取公因式的概念填空即可． （2）先将多项式分组，再在组内利用完全平方公式和提公因式法分解，最后再整体提公因式即可求解； 【小问1详解】 解：乐乐从第一步到第二步因式分解运用的方法是平方差公式， 第二步到第三步因式分解运用的方法是提公因式法． 故答案为：②，①． 【小问2详解】 解： ． 26. 综合与实践 问题情境 劳动基地的蔬菜都成熟了，学校计划将蔬菜送给敬老院的老人，现有长为a厘米，宽为b厘米，高为c厘米的箱子若干，将蔬菜装满每个盒子后需利用打包带进行打包． 方案设计 如图，小红和小明各设计了一种打包方式（接头处的长度不计，本题所有问题只考虑打包带的长度，不考虑其他影响因素）． 问题解决 （1）用含a，b，c的式子表示这两种打包方式所用的打包带的长度：小红的方案中所用打包带的长度为________厘米；小明的方案中所用打包带的长度为________厘米． （2）当厘米，厘米，厘米时，小红和小明设计的这两种打包方式所用的打包带的长度分别是多少？ （3）当时，比较小红和小明设计的方案中，哪种所用的打包带的长度更短． 【答案】（1）； （2）小红和小明设计的这两种打包方式所用的打包带的长度分别是440厘米，460厘米 （3）小红所用的打包带的长度更短 【解析】 【分析】本题考查了列代数式、求代数式的值、整式的加减的应用． （1）根据题意列出代数式即可； （2）求出当厘米，厘米，厘米时，两种打包方式用的打包带，比较即可得解； （3）求出的值，判断即可得解． 【小问1详解】 解：由题意可得：小红的方案中所用打包带的长度为厘米； 小明的方案中所用打包带的长度为厘米； 【小问2详解】 解：当厘米，厘米，厘米时， 小红的方案中所用打包带的长度为：厘米 小明的方案中所用打包带的长度为：厘米 答：小红和小明设计的这两种打包方式所用的打包带的长度分别是440厘米，460厘米； 【小问3详解】 解：小红所用的打包带的长度更短． ， ∵ ， ∴ ∴ ∴小红用的打包带的长度更短． 27. 阅读材料，回答问题． 材料一：因为，，所以． 材料二：求的值． 解：设① 则② 用②-①得， 所以，即，所以． 这种方法我们称为“错位相减法”． （1）填空：（_______），（_______）． （2）“棋盘摆米”是一个著名的数学故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏．阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒……按这个方法放满整个棋盘就行”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了． ①国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放_______粒米．（用幂表示） ②设国王输给阿基米德的总米粒数为S，求S． 【答案】（1）9；7 （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索，弄清材料中的求解方法是解题的关键． （1）根据材料一给出的方法进行求解即可； （2）①根据题意先确定出前几个格中每个格放的米粒数，从中发现规律即可得答案；②先列出式子，再根据材料二的方法进行求解即可． 【小问1详解】 解：， ； 故答案为：9；7 【小问2详解】 解：①第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒……， 按这个方法第n格放， ∴在第64格中应放粒米； 故答案为： ②解：根据题意得：①， 则②， 用得，， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期期中考试七年级数学试卷 （考试时间：90分钟 满分：100分） 注意： 1．本试卷含三个大题，共27题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题2分，共12分，每题只有一个正确选项） 1. 如果单项式与（m、n是常数）的和仍是单项式，那么的值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5 2. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知关于x的整式与的乘积中不含有x的一次项，那么t的值是（ ） A. 3 B. C. D. 4. 下列从左到右的等式变形中，因式分解是（ ） A. B. C. D. 5. 若多项式能直接用完全平方公式进行因式分解，则“”所代表的单项式不可以是（ ） A. B. C. D. 6. 文化情境·数学文化现代的数学符号体系，不仅使得数学语言变得简洁明了，还能更好地帮助人们总结出便于运算的各种运算法则，简明地揭示数量之间的相互关系．我国在1905年清朝学堂的课本中还用“”来表示相当于的代数式，观察其中的规律，化简“”，后得（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12题，每题2分，共24分） 7. 一个圆柱体的高为5，底面半径为2，如果它的高不变，底面半径增加a，那么它的体积增加______（用含有a的代数式表示，取3）． 8. 已知整式，其中字母y的最高次数的项是_______． 9. 把整式按字母x的升幂排列是_______． 10. 计算：_______． 11. 计算：_______． 12. 计算：_______． 13. 因式分解：_______． 14. 两名学生将一个二次三项式因式分解，一名学生看错了一次项系数，因式分解的结果为；另一名学生看错了常数项，因式分解的结果为，那么这个二次三项式正确的因式分解结果是_______． 15. 已知，那么的值是_______． 16. 如果，那么代数式的值是_______． 17. 某玩具厂生产配件，需要分别从棱长为a的正方体木块中，挖去一个棱长为的小正方体木块，得到甲、乙、丙三种型号的玩具配件（如图所示），将甲、乙、丙这三种配件的表面积分别记为，那么这三者的大小关系是______（请用“<”连接）． 18. 用4张长为宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则之间存在的数量关系是__________． 三、解答题（本大题共9题，19~24题每题6分，25题8分，26~27题每题10分，共64分） 19. 计算：（结果用幂的形式表示）． 20. 利用乘法公式简便运算： 21. 计算：． 22. 因式分解：． 23. 先化简，再求值：，其中，． 24. 阅读下列材料：计算：． 解：原式 ． 运用上述方法计算：． 25. 乐乐在学习了因式分解之后，尝试对多项式进行因式分解 解：原式 第一步 第二步 ． 第三步 ①提公因式法； ②公式法； ③十字相乘法． （1）乐乐从第一步到第二步因式分解运用的方法是______法，第二步到第三步因式分解运用的方法是______法（从右框中分别选择一种方法填入序号）； （2）请你按照上述方法分解因式：． 26. 综合与实践 问题情境 劳动基地的蔬菜都成熟了，学校计划将蔬菜送给敬老院的老人，现有长为a厘米，宽为b厘米，高为c厘米的箱子若干，将蔬菜装满每个盒子后需利用打包带进行打包． 方案设计 如图，小红和小明各设计了一种打包方式（接头处的长度不计，本题所有问题只考虑打包带的长度，不考虑其他影响因素）． 问题解决 （1）用含a，b，c的式子表示这两种打包方式所用的打包带的长度：小红的方案中所用打包带的长度为________厘米；小明的方案中所用打包带的长度为________厘米． （2）当厘米，厘米，厘米时，小红和小明设计的这两种打包方式所用的打包带的长度分别是多少？ （3）当时，比较小红和小明设计的方案中，哪种所用的打包带的长度更短． 27. 阅读材料，回答问题． 材料一：因为，，所以． 材料二：求的值． 解：设① 则② 用②-①得， 所以，即，所以． 这种方法我们称为“错位相减法”． （1）填空：（_______），（_______）． （2）“棋盘摆米”是一个著名的数学故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏．阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒……按这个方法放满整个棋盘就行”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了． ①国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放_______粒米．（用幂表示） ②设国王输给阿基米德的总米粒数为S，求S． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $