精品解析：山东济南市2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

2026年九年级期中学业质量检测 数学试题 第Ⅰ卷（选择题共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 如图是一个电风扇的旋钮开关，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，若，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 一个不透明的盒子中装有个除颜色不同外其他都相同的乒乓球，将其摇匀，从中随机摸出一个乒乓球并记录颜色，记录后放回．通过多次重复试验后发现摸到黄球的频率为，估计盒子中黄球的个数为（ ） A. 4 B. 6 C. 9 D. 12 4. 在平面直角坐标系中，将函数的图象向下平移3个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点为位似中心，在第一象限内将线段扩大为原来的2倍得到线段，则端点和的坐标分别为（ ）. A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 二次函数图象的顶点坐标是( ) A. B. C. D. 7. 小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（ ） A. B. C. D. 8. 已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，则二次函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点是内一点，过点分别作直线平行于的各边，所形成的三个阴影小三角形的面积，，分别是1，4和25，则的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线．有以下结论：①；②；③（为任意实数）；④，是抛物线上的两点，当时，；⑤若方程的两根为，，且，则．其中正确结论的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 第II卷（非选择题共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11. 已知，则的值为____． 12. 已知，相似比为，且的周长为，则的周长为____________． 13. 已知方程的两根是，，则抛物线与轴的两个交点间的距离为________． 14. 掷实心球是中学生体质健康监测中的项目，佳佳同学掷实心球时，实心球沿抛物线运行，其中是实心球离初始位置的水平距离，是实心球离地面的高度．若实心球抛出时离地面的高度为，则实心球掷出的水平距离为__________． 15. 如图是一张矩形纸片 ， ，点 是的中点，把该纸片沿折叠，点，的对应点分别为点，，的延长线经过点，与相交于点．若，则的长为________． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 已知，且，求的值． 17. 如图，点，分别在边，上，． （1）证明：； （2）若，，，求的长． 18. 已知二次函数，请回答下列问题． （1）观察四幅图，在平面直角坐标系中，函数对应的图象是图                        ；（填序号） （2）图象的对称轴是                        ，顶点坐标是                        ． 19. 如图，在平面直角坐标系中，点为原点，，，． （1）以原点为位似中心，相似比为2，将在位似中心的异侧进行放大得到，请在下图中作出（点，，分别为点，，的对应点）； （2）在内部一点的坐标为，经过位似变换后对应点的坐标为                        ； （3）计算的面积． 20. 济南有众多旅游景区，皆是华夏文明的璀璨坐标．正面分别印有“趵突泉”“大明湖”“千佛山”“灵岩寺”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀． （1）若从中随机抽取一张，抽到的卡片上的景区为“趵突泉”的概率是                        ； （2）若从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两次抽取的卡片正面恰好是同一景区的概率． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点，且与轴交于点，，与轴正半轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）求的面积． 22. 小欣和小明在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． （1）如图①所示，小欣采用镜面反射法，将镜子放在地面点处，此时小欣恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知小欣眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度； （2）如图②所示，小明利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使直角边与地面保持平行，并使斜边与旗杆顶点在同一直线上．已知，，目测点到地面的距离，到旗杆的水平距离，求旗杆的高度． 23. 2026年马年春晚上，四骏吉祥物惊艳亮相——骐骐、骥骥、驰驰、骋骋，每匹都承载着深厚的文化基因．某商场销售该系列吉祥物玩具，成本价为每件20元．经市场调研，销售量（件）与销售单价（元）满足关系：，设销售这种商品每天的利润为（元）．（利润=单件利润×销售量） （1）填空：单件利润=________元（用含的代数式表示），与之间的函数关系式为__________；（写出最简结果） （2）该商场要想通过销售这种商品每天获利1200元，又确保顾客得到实惠，应将销售单价定为多少元？ （3）当销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 24. 如图1，抛物线：与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为．且点的坐标为，的坐标为，点为抛物线上一点，且横坐标为． （1）求抛物线的解析式及点坐标； （2）连接，当时，求点坐标； （3）如图2，过点作轴交于点，以，为边作矩形，若边交轴于点，当四边形为正方形时，连接，将线段绕着点逆时针旋转得到，求点坐标． 25. 【问题发现】 （1）如图1，在正方形中，点E是对角线上一点，过点E作交于点F，连接． ①的值是                        ； ②线段与的数量关系是                        ； 【初步探究】 （2）在（1）的条件下，将等腰绕点A顺时针旋转（），分别写出：线段与的数量关系和直线与所夹锐角的度数，并说明理由； 【拓展迁移】 （3）如图3，正方形的边长为2，等腰中，，，将绕正方形的顶点旋转一周，当，，三点在同一直线上时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级期中学业质量检测 数学试题 第Ⅰ卷（选择题共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 如图是一个电风扇的旋钮开关，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据俯视图是从上面看到的图形解答即可． 【详解】解：从上面看，是一个圆，且中间有两条竖的实线， ∴俯视图如下： ∴D选项符合题意． 2. 如图，若，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由三角形内角和定理可得，再结合相似三角形的性质即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴． 3. 一个不透明的盒子中装有个除颜色不同外其他都相同的乒乓球，将其摇匀，从中随机摸出一个乒乓球并记录颜色，记录后放回．通过多次重复试验后发现摸到黄球的频率为，估计盒子中黄球的个数为（ ） A. 4 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】利用稳定频率估计摸到黄球的概率，结合总球数计算黄球个数． 【详解】解：∵多次重复试验后摸到黄球的频率为， ∴估计摸到黄球的概率为， ∵盒子中共有个乒乓球， ∴估计盒子中黄球的个数为． 4. 在平面直角坐标系中，将函数的图象向下平移3个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象的平移规律“上加下减”即可得答案． 【详解】解：∵ 函数图象向下平移3个单位长度 ∴ 所得抛物线对应的函数表达式为 即． 5. 如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点为位似中心，在第一象限内将线段扩大为原来的2倍得到线段，则端点和的坐标分别为（ ）. A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据线段与线段是以原点为位似中心的位似图形，位似比为，再根据点、点的坐标计算即可得点和的坐标. 【详解】解：如图， 根据题意得：线段与线段是以原点为位似中心的位似图形，位似比为， ∵，， ∴点和的坐标分别为，. 6. 二次函数图象的顶点坐标是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． ∴二次函数图象的顶点坐标为． 7. 小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据可得得到，再将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是， ∴， ∴，解得． 8. 已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，则二次函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，解决本题的关键是确定、的符号，进而判断二次函数的开口方向及对称轴位置，选择正确答案． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、二、四象限， ，， 二次函数图象的开口向下，二次函数的对称轴， 对称轴应在轴的右侧． 故选：C． 9. 如图，点是内一点，过点分别作直线平行于的各边，所形成的三个阴影小三角形的面积，，分别是1，4和25，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设三个小三角形的顶点分别为D、E、F、G、H、I，先由可判定；再根据的面积，可得这三个三角形的相似比；然后判定四边形与四边形均为平行四边形，利用平行四边形的性质得；设，用x表示出的长，进而得与的相似比，最后根据相似三角形的性质可得答案． 【详解】解：如图所示： 由题意可得：， ， ， （图中阴影部分）的面积分别是1，4和25， 它们的对应边的边长比为， ， 四边形与四边形均为平行四边形， ， 设， 则， ， ， ． 10. 如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线．有以下结论：①；②；③（为任意实数）；④，是抛物线上的两点，当时，；⑤若方程的两根为，，且，则．其中正确结论的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象判断的正负，可判断①；结合二次函数的性质可判断②③④；根据一元二次方程与二次函数相结合，可判断⑤． 【详解】解：根据二次函数的图象，可得， 对称轴为直线， ， ， ，故①正确； 二次函数的图象经过点， 根据二次函数的对称性质，图象经过点， 开口向上， 当时，随的增大而增大， 当时，，故②错误； 当时，， 二次函数对称轴为直线，函数开口向上， ，即，故③正确； ，是抛物线上的两点，且两点纵坐标相同， ，关于直线对称， ，即， 时所得的函数值与时所得的函数值相同，为，故④正确； 抛物线与轴的交点为点，点， 可设， 整理后， 则原方程的解为二次函数与直线的交点横坐标， 根据图象可得，故⑤错误． 第II卷（非选择题共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11. 已知，则的值为____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据，设，则，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∴． 故答案为：． 12. 已知，相似比为，且的周长为，则的周长为____________． 【答案】25 【解析】 【详解】解：∵，且相似比为 ， 又∵的周长为， ∴的周长为． 13. 已知方程的两根是，，则抛物线与轴的两个交点间的距离为________． 【答案】11 【解析】 【分析】抛物线与x轴交点的横坐标为对应一元二次方程的根，x轴上两点间的距离等于两点横坐标差的绝对值． 【详解】解：∵方程的两根是，， ∴抛物线与轴两个交点的横坐标分别为，， ∴两个交点间的距离为． 14. 掷实心球是中学生体质健康监测中的项目，佳佳同学掷实心球时，实心球沿抛物线运行，其中是实心球离初始位置的水平距离，是实心球离地面的高度．若实心球抛出时离地面的高度为，则实心球掷出的水平距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题得，代入，得出抛物线的解析式为，令，求解即可． 【详解】解：由题意，，得， 将代入， 得：， 解得：， ， 令，得， 解得：，， 为． 15. 如图是一张矩形纸片 ， ，点 是的中点，把该纸片沿折叠，点，的对应点分别为点，，的延长线经过点，与相交于点．若，则的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据矩形性质和平行线性质得出结合折叠性质得出，从而证得；设，，则；通过证明，利用相似三角形对应边成比例建立关系式，解出，最后在中利用勾股定理求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴, ， ∴， 又∵纸片沿折叠，由折叠的性质可得： ，，，， ∴，即． ∵点 是的中点，， ∴设，，， 则，， ∴， 在和中有， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴． 在中，有， ∴， 整理得， 解得（负值舍去）， ∵点 是的中点， ∴ ． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 已知，且，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】将比例式转化为a与b的数量关系，代入给定方程求解b的值.  【详解】解：由，得  将代入，得   解得 17. 如图，点，分别在边，上，． （1）证明：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵，且， ∴ （2） 【解析】 【分析】（1）根据两个内角相等的三角形相似，进行证明； （2）根据相似三角形对应边成比例求解． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴， ∴． 18. 已知二次函数，请回答下列问题． （1）观察四幅图，在平面直角坐标系中，函数对应的图象是图                        ；（填序号） （2）图象的对称轴是                        ，顶点坐标是                        ． 【答案】（1）③ （2）轴， 【解析】 【小问1详解】 解：∵的对称轴为轴，顶点坐标为； ∴函数对应的图象是图③； 【小问2详解】 解：图象的对称轴为轴，顶点坐标为. 19. 如图，在平面直角坐标系中，点为原点，，，． （1）以原点为位似中心，相似比为2，将在位似中心的异侧进行放大得到，请在下图中作出（点，，分别为点，，的对应点）； （2）在内部一点的坐标为，经过位似变换后对应点的坐标为                        ； （3）计算的面积． 【答案】（1）如图， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）位似中心在原点、相似比为2、异侧放大，各点横纵坐标同时乘后得到点、、的坐标，描点连线画图即可； （2）坐标变换规律为各点横纵坐标同时乘； （3）先用割补法算出面积，再用相似三角形的性质得到放大后三角形的面积． 【小问1详解】 解：位似中心在原点、相似比为2、异侧放大，，，， ，，，即，，， 图略； 【小问2详解】 解：在内部一点的坐标为， 经过位似变换后对应点的坐标为； 【小问3详解】 解：，相似比为2， ． 20. 济南有众多旅游景区，皆是华夏文明的璀璨坐标．正面分别印有“趵突泉”“大明湖”“千佛山”“灵岩寺”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀． （1）若从中随机抽取一张，抽到的卡片上的景区为“趵突泉”的概率是                        ； （2）若从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两次抽取的卡片正面恰好是同一景区的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）总共有4张等可能卡片，“趵突泉”占1张，直接用符合条件数量除以总数求概率； （2）用列表法得到一共有种等可能情况，从中找出两次相同的情况有4种，再计算概率． 【小问1详解】 解：一共4张卡片，“趵突泉”只有1张， 抽到的卡片上的景区为“趵突泉”的概率是； 【小问2详解】 解：设A：“趵突泉”，B：“大明湖”，C：“千佛山”，D：“灵岩寺”， 二 一 A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 共有种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面恰好是同一景区的有种， 两次抽取的卡片正面恰好是同一景区的概率为． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点，且与轴交于点，，与轴正半轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用已知点坐标求出抛物线解析式即可． （2）通过解析式求出三角形各顶点坐标，进而计算其面积即可． 【小问1详解】 将点代入抛物线， 可得：， 即， 得， 得， 所以抛物线的解析式为． 【小问2详解】 令，则， 得， 因式分解可得，则或， 解得，， ∴，，那么， 令，则， ∴，即， ∴． 22. 小欣和小明在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． （1）如图①所示，小欣采用镜面反射法，将镜子放在地面点处，此时小欣恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知小欣眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度； （2）如图②所示，小明利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使直角边与地面保持平行，并使斜边与旗杆顶点在同一直线上．已知，，目测点到地面的距离，到旗杆的水平距离，求旗杆的高度． 【答案】（1）旗杆的高度为 （2）旗杆的高度为10.1米 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，进而利用相似三角形的性质得出答案． （2）证明四边形为矩形，则，，进一步证明，则，即可求得，结合即可． 【小问1详解】 解：根据光的反射的性质，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 将，，，代入上式， 得， 解得, 故旗杆的高度为； 【小问2详解】 解：∵， ∴四边形为矩形， ∵目测点到地面的距离，到旗杆的水平距离， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴， 答：旗杆的高度为10.1米． 23. 2026年马年春晚上，四骏吉祥物惊艳亮相——骐骐、骥骥、驰驰、骋骋，每匹都承载着深厚的文化基因．某商场销售该系列吉祥物玩具，成本价为每件20元．经市场调研，销售量（件）与销售单价（元）满足关系：，设销售这种商品每天的利润为（元）．（利润=单件利润×销售量） （1）填空：单件利润=________元（用含的代数式表示），与之间的函数关系式为__________；（写出最简结果） （2）该商场要想通过销售这种商品每天获利1200元，又确保顾客得到实惠，应将销售单价定为多少元？ （3）当销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）；． （2）应将销售单价定为50元． （3）当销售单价定为55元时，每天获得的利润最大，最大利润是1225元 【解析】 【分析】（1）单件利润等于销售单价减去成本价，每天的利润等于单件利润乘以销售量，据此即可解答； （2）把代入（1）中的函数关系式，求解并结合确保顾客得到实惠解答即可； （3）根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：单件利润（元）， w与x之间的函数关系式为， 即． 【小问2详解】 解：当时， ， 解得，， ∵确保顾客得到实惠， ∴． 答：应将销售单价定为50元． 【小问3详解】 解：， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当时，w有最大值，最大值为1225． 答：当销售单价定为55元时，每天获得的利润最大，最大利润是1225元． 24. 如图1，抛物线：与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为．且点的坐标为，的坐标为，点为抛物线上一点，且横坐标为． （1）求抛物线的解析式及点坐标； （2）连接，当时，求点坐标； （3）如图2，过点作轴交于点，以，为边作矩形，若边交轴于点，当四边形为正方形时，连接，将线段绕着点逆时针旋转得到，求点坐标． 【答案】（1），坐标为； （2）点坐标为； （3）的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）延长交轴于，过作轴于，根据、的坐标可判断是等腰直角三角形，进而判断是等腰直角三角形，根据三线合一的性质求出，得出点的坐标，根据待定系数法求出直线解析式，然后联立方程组求解即可； （3）根据正方形的性质得出，则，分两种情况讨论：当时，解方程可求出，过作轴于，过作轴于，证明，得出，，即可求出的坐标；当时，同理求解即可. 【小问1详解】 解：∵经过，， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴点坐标为； 【小问2详解】 解：延长交轴于，过作轴于， 当时，， ∴， 又， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 联立方程组， 解得或（舍去）， ∴点坐标为； 【小问3详解】 解：根据题意，得， 则，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴或， 当时， 解得或（舍去）， ∴， 过作轴于，过作轴于， 则， ∵线段绕着点逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴的坐标为； 当时， 解得或（舍去）， ∴， 过作轴于，过作轴于， 同理可证， ∴，， ∴的坐标为； 综上，的坐标为或 25. 【问题发现】 （1）如图1，在正方形中，点E是对角线上一点，过点E作交于点F，连接． ①的值是                        ； ②线段与的数量关系是                        ； 【初步探究】 （2）在（1）的条件下，将等腰绕点A顺时针旋转（），分别写出：线段与的数量关系和直线与所夹锐角的度数，并说明理由； 【拓展迁移】 （3）如图3，正方形的边长为2，等腰中，，，将绕正方形的顶点旋转一周，当，，三点在同一直线上时，直接写出的长． 【答案】（1）①；② （2）解：，直线与所夹锐角的度数为，理由如下， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 即， 由（1）得，， ∴， ∴，即， ∴； ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴直线与所夹锐角的度数为 （3）或． 【解析】 【分析】（1）①根据正方形的性质得出角，然后利用锐角三角函数得出线段之间的比值；②同①得出线段之间的比值，然后证明三角形相似，利用相似三角形的性质求解； （2）利用正方形的性质得出线段之间的比值，然后证明即可得出结论，然后利用三角形内角和以及角的和差求角的度数； （3）根据题意，画出图形，分两种情况进行讨论，构造辅助线，利用正方形的性质以及等腰三角形的性质，得出条件证明三角形全等，得出相等的边和角，然后利用勾股定理求出相关线段的长度，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由①得， ∴， ∴， ∴， 即 ∴； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：①如图所示，过点作，交的延长线于点， ∴， ∴，即， 由勾股定理得， ∵四边形为正方形， ∴，， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，且为等腰直角三角形， ∴， ∴； ②如图所示，过点作于点，过点作交的延长线于点， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴四边形为矩形， 同①可得，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， 设，则， ∴， 解得， ∴， 由勾股定理得； 综上，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $