精品解析：山东省烟台经济技术开发区2025-2026学年上学期九年级期中考试数学试题

2025-2026学年度第一学期九年级（上）期中数学试卷 温馨提示： 1．答题前务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡规定的位置上． 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．在试卷上和答题卡指定区域答题，注意书写． 一、单选题（共30分，每小题3分） 1. 若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 2. 若用我们数学课本上采用的科学计算器计算，按键顺序正确的是（ ） A. B. C. D. 3. “儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明周末在龙潭公园草坪上放风筝，已知风筝拉线长100米且拉线与地面夹角为（如图所示，假设拉线是直的，小明身高忽略不计），则风筝离地面的高度可以表示为（ ） A. B. C. D. 4. 已知某抛物线上有三点，分别为，，，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，则，，由小到大的顺序排列的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，将折叠，使点A落在边上的点D处，为折痕．若，则为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将秋千绳索从与竖直方向夹角为α的位置释放到处时，两次位置的高度差．则秋千绳索的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若图象经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共18分，每小题3分） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为________． 12. 计算__________________ ． 13. 已知二次函数（为常数），当时，函数的最大值为，则的值为__________． 14. 二次函数（，a，b，c为常数）的图象如图，若关于的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______． 15. 如图，四边形为正方形，点E在边上，且，点F在边上，．若，则的值为____________． 16. 已知一次函数的图像与轴相交于点，以为边作等边，点在第一象限内，过点作轴的平行线与该一次函数的图像交于点，与轴交于点，以为边作等边（点在点的右边），以同样的方式依次作等边，等边，，则点的纵坐标为______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 计算：． 18. 如图，在中，，是边上的中线，． （1）求的长； （2）求的值． 19. 已知k是常数，抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点. (1)求k的值： (2)若点P在抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标. 20. 如图，某单向行驶隧道横截面上的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成．矩形的长是12米，宽是3米，隧道的最大高度为6米，现以O点为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系． （1）直接写出点M、点N及抛物线顶点P的坐标； （2）求出这条抛物线的函数解析式； （3）一大货运汽车装载某大型设备后高为5米，宽为4米，那么这辆货车能否安全通过？ 21. 如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝10米，AE＝21米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈） （1）求点B距水平地面AE的高度； （2）求广告牌CD的高度．（结果精确到0.1米） 22. 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格出售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱． （1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）（）之间的函数关系式． （2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式． （3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 23. 如图，某小区有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小红自小区北门A处出发，沿南偏西方向前往小区居民活动中心C处：小强自南门B处出发，沿正西方向行走到达D处，再沿北偏西；方向前往小区居民活动中心C处与小红汇合，两人所走的路程相同，求该小区北门A与南门B之间的距离．（结果保留整数，参考数据：，，） 24. 如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线，经过A，B两点，与x轴的另一个交点为C． （1）求抛物线的表达式； （2）若点P为抛物线上第一象限内一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线交于点E，设点P的横坐标为m，的长为l，请写出l关于m的表达式，当l取最大值时，求出点P的坐标； （3）若点P为抛物线上y轴右侧的一点，连接，是否存在点P使得，若存在，求出此时点P的横坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期九年级（上）期中数学试卷 温馨提示： 1．答题前务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡规定的位置上． 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．在试卷上和答题卡指定区域答题，注意书写． 一、单选题（共30分，每小题3分） 1. 若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了互余两角三角函数的关系，掌握锐角三角函数的转换方法：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．利用互余角的正余弦关系，得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 2. 若用我们数学课本上采用的科学计算器计算，按键顺序正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据计算器按键方法判断即可． 【详解】解：若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是 ． 故选：C． 【点睛】若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16'，按键顺序正确的是 3. “儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明周末在龙潭公园草坪上放风筝，已知风筝拉线长100米且拉线与地面夹角为（如图所示，假设拉线是直的，小明身高忽略不计），则风筝离地面的高度可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点A作AC⊥BC于C，根据正弦的定义解答即可． 【详解】解：如图，过点A作AC⊥BC于C， 在Rt△ABC中，sinB=， 则AC=AB•sinB=100sin65°（米）， 故选：A． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 4. 已知某抛物线上有三点，分别为，，，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，则，，由小到大的顺序排列的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．根据题意求得抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数对称性和增减性即可得出结论． 【详解】解：由题意可知，抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴关于直线的对称点为， ∵抛物线上有三点，分别为，，，且， ∴， 故选：A． 5. 如图，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据网格构造直角三角形，由勾股定理可求，再根据三角函数的意义可求出的值． 【详解】解：如图，取网格点D，连接， 由网格图，可得：，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理以及求一个角的正切值的知识，利用网格构造直角三角形是解决问题的关键． 6. 二次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质．求出抛物线的图象和轴的交点坐标和顶点坐标，再根据二次函数的性质判断即可． 【详解】解：， ∵， ∴开口向上， ∵对称轴为直线， ∴对称轴直线为原点的右边， 当时，， ∴抛物线与轴的交点在原点的上方， ∴抛物线的图象过第一、二、四象限，不过第三象限． 故选：C． 7. 函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，解题的关键是根据a，b与0的大小关系以及交点情况进行讨论． 根据二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧判断出a，b与0的大小关系，进而推出一次函数图像经过第一、三、四象限，再利用二次函数与一次函数交点情况即可作出判断． 【详解】解：由四个选项可知，二次函数开口均向上，对称轴在y轴右侧， ∴，， ∴一次函数图像应该经过第一、三、四象限， 当时，即，， 当时，即， 则二次函数与一次函数在x轴上有一交点，且为 A．一次函数图像经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意． B．一次函数图像经过第一、三、四象限，且有一交点在x轴上，故本选项符合题意． C．一次函数图像经过第一、三、四象限，但交点均不在x轴上，故本选项不符合题意． D．一次函数图像经过第二、三、四象限，故本选项不符合题意． 故选：B． 8. 如图，在中，，，将折叠，使点A落在边上的点D处，为折痕．若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意得是等腰直角三角形，则，设，则，由折叠性质得，，由勾股定理得，根据三角形外角性质得，进而得，在中，根据正切函数定义得，继而可得的值． 【详解】解：在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， ∴， 由折叠性质得：，， 在中，由勾股定理得：， ∵是的外角， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，锐角三角函数的定义，理解图形的翻折变换及其性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义是解决问题的关键． 9. 如图，将秋千绳索从与竖直方向夹角为α的位置释放到处时，两次位置的高度差．则秋千绳索的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．设，则，利用三角函数解即可． 【详解】解：由题意知， 设， ， 在中，， 解得：， 秋千绳索的长为， 故选：A． 10. 如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若图象经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象，分别得出a、b、c的符号，即可判断①；根据对称轴得出，再根据图象得出当时，，即可判断②；分别计算两点到对称轴的距离，再根据该抛物线开口向下，在抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，即可判断③；将方程移项可得，根据该方程无实数根，得出抛物线与直线没有交点，即可判断④． 【详解】解：①∵该抛物线开口向下， ∴， ∵该抛物线的对称轴在y轴左侧， ∴， ∵该抛物线于y轴交于正半轴， ∴， ∴， 故①正确，符合题意； ②∵， ∴该抛物线的对称轴为直线，则， 当时，， 把得：当时，， 由图可知：当时，， ∴， 故②不正确，不符合题意； ③∵该抛物线的对称轴为直线， ∴到对称轴的距离为，到对称轴的距离为， ∵该抛物线开口向下， ∴在抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴， 故③正确，符合题意； ④将方程移项可得， ∵无实数根， ∴抛物线与直线没有交点， ∵， ∴．故④正确 综上：正确的有：①③④，共三个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握根据二次函数图象判断各系数的方法，熟练掌握二次函数的图象和性质． 二、填空题（共18分，每小题3分） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查代数式有意义，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 12. 计算__________________ ． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，需熟记各特殊角的三角函数值，并正确计算绝对值和有理数运算． 【详解】解： ． 故答案为：0． 13. 已知二次函数（为常数），当时，函数的最大值为，则的值为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的增减性与二次函数的最值问题． 先判断出二次函数的图象开口向下，对称轴为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，然后分，和三种情况，分别根据二次函数的最值列式求解． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴若，即时，则当时，函数y取最大值，即， 解得：或（舍去）， 若，即，则当时，函数y取最大值0，不符合题意； 若，即时，则当时，函数y取最大值，即， 解得：（舍去）或， 综上，h的值为-1或， 故答案为：或． 14. 二次函数（，a，b，c为常数）的图象如图，若关于的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用图象法确定一元二次方程根的情况，把方程的解的情况，看成抛物线和直线的交点问题，根据方程有实数根，得到两个图象有交点，进行求解即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线的顶点坐标为， 当时，函数有最小值为：， ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴抛物线和直线有交点， ∴； 故答案为：． 15. 如图，四边形为正方形，点E在边上，且，点F在边上，．若，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，求角的正切，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 证明，设，则，根据相似三角形的性质求得，进而根据正切的定义，，即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形，． ， ， ， ∵，则， 设，则， ， 解得：或， ， ， ， 故答案为：． 16. 已知一次函数的图像与轴相交于点，以为边作等边，点在第一象限内，过点作轴的平行线与该一次函数的图像交于点，与轴交于点，以为边作等边（点在点的右边），以同样的方式依次作等边，等边，，则点的纵坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与几何图形，点的坐标规律探索，过点作于，过点作于，过点作于，可得，，，即得点的纵坐标为，据此解答即可求解，找到点的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，过点作于，过点作于， 把代入，得， ∴， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， 把代入，得， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， 把代入，得， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， ， ∵点的纵坐标为， 点的纵坐标为， 点的纵坐标为， ， ∴点的纵坐标为， ∴点的纵坐标为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 计算：． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质是解题的关键． 根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可 【详解】解：原式． 18. 如图，在中，，是边上的中线，． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1）14 （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高、中线的定义，勾股定理，解直角三角形，分别解与，得出，是解题的关键． （1）先由三角形的高的定义得出，再利用得出；在，根据勾股定理求出，然后根据即可求解． （2）先由三角形的中线的定义求出的值，则，然后在中根据正弦函数的定义即可求解． 【小问1详解】 解：在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴． 19. 已知k是常数，抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点. (1)求k的值： (2)若点P在抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标. 【答案】(1)k=-3；(2)点P的坐标为(2，－5)或(－2，－5). 【解析】 【分析】(1)根据抛物线的对称轴是y轴以及对称轴公式可得关于k的方程，解方程后再根据抛物线与x轴的交点个数即可确定答案； (2)由点P到y轴的距离即可确定出点P的横坐标，再根据抛物线的解析式即可求得点P的纵坐标即可得答案. 【详解】(1)∵抛物线y=x2+(k2+k－6)x+3k的对称轴是y轴， ∴， 即k2+k－6=0， 解得k=－3或k=2， 当k=2时，二次函数解析式为y=x2+6，它的图象与x轴无交点，不满足题意，舍去， 当k=－3时，二次函数解析式为y=x2－9，它的图象与x轴有两个交点，满足题意， ∴k=－3； (2)∵P到y轴的距离为2， ∴点P的横坐标为－2或2， 当x=2时，y=－5； 当x=－2时，y=－5， ∴点P的坐标为(2，－5)或(－2，－5). 【点睛】本题考查了抛物线的对称轴，抛物线与x轴的交点等知识，熟练掌握相关内容是解题的关键. 20. 如图，某单向行驶隧道横截面上的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成．矩形的长是12米，宽是3米，隧道的最大高度为6米，现以O点为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系． （1）直接写出点M、点N及抛物线顶点P的坐标； （2）求出这条抛物线的函数解析式； （3）一大货运汽车装载某大型设备后高为5米，宽为4米，那么这辆货车能否安全通过？ 【答案】（1）、、 （2） （3）能， 理由如下： 过隧道时，为了确保通过，货车应该沿着隧道的正中间运动， 根据（2）可知，抛物线的对称轴为， ∵车的宽度为4米， ∴货车最左侧边缘的点的横坐标为， 即当x=4时，， ∵， ∴货车能通过． 【解析】 【分析】（1）看图可得出M，N，P的坐标； （2）已知M，P的坐标，易求出这条抛物线的函数解析式； （3）将代入（2）中的函数式求y的值，再与5m进行比较即可求解． 【小问1详解】 根据矩形的长为12，宽为3，可得，， 根据抛物线的对称性可知P的横坐标为6， 结合隧道最大高度为6，即：； 故答案为：、、； 【小问2详解】 由顶点P设此函数解析式为：， 将点N代入中，得， ∴即抛物线解析式为：， 整理成一般式为：； 【小问3详解】 略 【点睛】点睛：本题考查了二次函数的应用：构建二次函数模型解决实际问题，利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 21. 如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝10米，AE＝21米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈） （1）求点B距水平地面AE的高度； （2）求广告牌CD的高度．（结果精确到0.1米） 【答案】（1）点B距水平地面AE的高度为5米；（2）广告牌CD的高度约为6.7米 【解析】 【分析】（1）过点B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分别为M、N，由坡度的含义可求得∠BAM=30゜，由含30度角的直角三角形的性质即可求得结果； （2）由辅助线作法及已知得四边形BMEN是矩形，可得NE=BM，BN=ME=MA+AE，在Rt△BMA中可求得AM的长，从而可得BN；再由∠CBN=45゜可得CN=BN，进而得CE的长；在Rt△DAE中由三角函数知识可求得DE，根据CD=CE−DE即可求得CD的长． 【详解】（1）如图，过点B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分别为M、N， 由题意可知，∠CBN＝45°，∠DAE＝53°，i＝1：，AB＝10米，AE＝21米． ∵i＝1：＝＝tan∠BAM， ∴∠BAM＝30°， ∴BM＝AB＝5（米）， 即点B距水平地面AE的高度为5米； （2）∵BM⊥AE，BN⊥CE，CE⊥AE， ∴四边形BMEN为矩形， ∴NE=BM=5米，BN=ME， 在Rt△ABM中，∠BAM＝30°， ∴AM＝（米）， ∴ME＝AM+AE＝（5+21）米=BN， ∵∠CBN＝45°， ∴CN＝BN＝（5+21）米， ∴CE＝CN+NE＝（5+26）米， 在Rt△ADE中，∠DAE＝53°，AE＝21米， ∴DE＝AE•tan53°≈21×＝28（米）， ∴CD＝CE﹣DE＝5+26﹣28＝5﹣2≈6.7（米）， 即广告牌CD的高度约为6.7米． 【点睛】 本题是解直角三角形的应用，考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，关键是理解坡度的含义，构造适当的辅助线便于在直角三角形中求得相关线段． 22. 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格出售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱． （1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）（）之间的函数关系式． （2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式． （3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2） （3）当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得最大利润1125元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数应用和二次函数的应用． （1）根据平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱，即可列出关系式； （2）根据销售利润平均每天销售量每箱利润，列出平均每天的销售利润w与销售价x之间的函数关系式； （3）根据二次函数的性质求最大利润． 【小问1详解】 解：由题意得：， 化简得：； 【小问2详解】 解：由题意得： ， 即该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式为； 【小问3详解】 解：， ∵， ∴抛物线开口向下， 对称轴为直线， ∵，w随x的增大而增大， ∴当时，w的最大值为1125元， ∴当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得1125元的最大利润． 23. 如图，某小区有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小红自小区北门A处出发，沿南偏西方向前往小区居民活动中心C处：小强自南门B处出发，沿正西方向行走到达D处，再沿北偏西；方向前往小区居民活动中心C处与小红汇合，两人所走的路程相同，求该小区北门A与南门B之间的距离．（结果保留整数，参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形：方位角的应用；过点C作于M，过D作于N，则可得四边形是矩形；设，则可表示出，利用两人所走的路程相同建立方程，求得x，即可求出小区北门A与南门B之间的距离． 【详解】解：过点C作于M，过D作于N， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，； 设，则； ∵， ∴，， ∴； ∵， ∴，， ∵两人所走的路程相同， ∴即， 解得：； ∵， ∴ 即小区北门A与南门B之间的距离为． 24. 如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线，经过A，B两点，与x轴的另一个交点为C． （1）求抛物线的表达式； （2）若点P为抛物线上第一象限内一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线交于点E，设点P的横坐标为m，的长为l，请写出l关于m的表达式，当l取最大值时，求出点P的坐标； （3）若点P为抛物线上y轴右侧的一点，连接，是否存在点P使得，若存在，求出此时点P的横坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）存在，，或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）根据题意得：，，从而得到，即可求解； （3）分两种情况讨论：若点P在x轴上方时，若点P在x轴下方时，即可求解． 【小问1详解】 解：直线，当时，． 当时，． ，， 将，代入得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：根据题意得：，， ∴， ， 开口向下，有最大值． 当时，l取最大值． 此时； 【小问3详解】 解：分两种情况讨论： ①若点P在x轴上方时，如图1， 根据题意得：，， ∴， ， ， 解得：，， ②若点P在x轴下方，如图2， ， 解得：，（舍） 的值为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $