精品解析：吉林省吉林市亚桥桃源路中学校等校2026-2027学年度九年级上学期期中考试数学试卷

九年级数学试卷 一、选择题：（每题3分，共18分） 1. 2026年是中国工农红军长征胜利90周年，下列四幅图案是同学们创作的纪念长征的主题徽标，其中图案部分为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义判断即可，中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与原图形重合，那么这个图形是中心对称图形． 【详解】解：A、红五星绕中心旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，不符合题意； B、三军会师徽绕中心旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，不符合题意； C、草鞋纹绕中心旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，不符合题意； D、双向行军徽绕中心旋转后能与原图形重合，是中心对称图形，符合题意． 2. 1849年，法国物理学家斐索用旋转齿轮法首次在地面上测出了光速．如图为某齿轮的示意图，齿轮边缘均匀分布着6个齿和6个齿隙．该齿轮绕其中心旋转一定角度后能与自身重合，则可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：， ∴该齿轮绕其中心每旋转后能与自身重合， ∴当为的整数倍时都满足题意， ∴只有C选项符合题意． 3. 某班班主任为在开学季让学生带着新的梦想、新的希望开启新的学期，组织学生互送贺卡一张互相鼓励，若全班共送出贺卡1722张，设该班有x人，根据题意可列方程（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键. 设该班有x人，则每人需送出张，根据全班共送出贺卡1722张，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设该班有x人，则每人需送出张， 依题意得：， 故选：A． 4. 如图，四边形是的内接四边形，E为延长线上一点．若，的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴, ∵， ， ， ． 5. 关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：由题意可得： ， 解得：且 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解本题的关键． 6. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论． 【详解】解：A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧， ∴a>0，b＜0， ∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，A错误； B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧， ∴a>0，b>0， ∴一次函数图象应该过第一、二、三象限，B正确； C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧， ∴a<0，b>0， ∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，C错误； D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a＜0，b＜0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，D错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据a、b的正负确定一次函数图象经过的象限是解题的关键． 二、填空题：（每题3分，共15分） 7. 点P（2a+1，4）与P'（1，3b﹣1）关于原点对称，则2a+b＝_____． 【答案】-3 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征，求出a、b，然后代入求值即可. 【详解】解：∵点P（2a+1，4）与P'（1，3b﹣1）关于原点对称， ∴2a+1＝﹣1，3b﹣1＝﹣4， 解得：2a＝﹣2，b＝﹣1， ∴2a+b＝﹣2﹣1＝﹣3， 故答案为﹣3． 【点睛】本题考查了关于原点对称点的坐标特点以及代数式求值，根据关于原点对称点的坐标特点求出a、b的值是解答本题的关键. 8. 在函数的图象上有三个点，，，函数值，，的大小关系为________． 【答案】 【解析】 【分析】结合反比例函数的图象分布与增减性，根据三个点的横坐标判断所在象限，即可比较函数值大小． 【详解】解：对于反比例函数，比例系数， ∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ∵点、的横坐标为负数， ∴这两个点位于第三象限，对应的函数值均为负数， ∵，且在第三象限内，随的增大而减小， ∴， ∵点的横坐标为正数， ∴该点位于第一象限，对应的函数值， 综上可得． 9. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接．当点，，在同一条直线上时，则旋转角的度数为______． 【答案】##80度 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可求，即可求解． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 10. 如图，点分别在反比例函数和的图象上，轴，点在轴上，若的面积为2，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，设交y轴于D，连接，根据题意可得轴，，根据反比例函数比例系数的几何意义可得，则可得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，设交y轴于D，连接， ∵轴， ∴轴，， ∵点分别在反比例函数和的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点A在第二象限， ∴， 故答案为：． 11. 如图所示，把一块∠A＝30°的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到的位置．若BC的长为15cm，求顶点A从开始到结束所经过的路径长___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件得到，，再根据旋转的性质得到，再根据弧长公式计算即可； 【详解】∵，，， ∴，， ∵直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到的位置， ∴， ∴顶点A从开始到结束所经过的路径长； 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了弧长的计算，旋转的性质，准确分析计算是解题的关键． 三、解答题：（每题6分，共18分） 12. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ，； 【小问2详解】 解： 或 ，． 13. 如图，是的直径，A，C在圆上，，求的度数． 【答案】 的度数为 【解析】 【分析】通过同弧所对圆周角相等的性质，将已知的转化为的内角，结合直径所对圆周角为直角的性质计算待求角度． 【详解】解：是的直径， ， ， ． 14. 一元二次方程的两根分别为，，利用根与系数的关系求的值． 【答案】 【解析】 【分析】由根与系数的关系得出 ，再对变形得，最后代入求值即可． 【详解】解：对于一元二次方程，由根与系数的关系可得： ， ∴． 四、解答题：（每题7分，共21分） 15. 如图，抛物线向右平移1个单位得到抛物线，回答下列问题： （1）抛物线的顶点坐标__________； （2）阴影部分的面积__________； （3）若再将抛物线绕原点旋转得到抛物线，求抛物线的解析式． 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的移动规律左加右减可直接得出抛物线的解析式，再根据的解析式求出顶点坐标即可； （2）根据平移的性质知，阴影部分的面积等于底高，列式计算即可； （3）先求出二次函数旋转后的开口方向和顶点坐标，从而得出抛物线的解析式． 【小问1详解】 解：解：∵抛物线向右平移1个单位得到的抛物线， ∴抛物线的解析式是，顶点坐标为． 故答案为：； 【小问2详解】 把阴影部分进行平移，可得到阴影部分的面积即为图中两个方格的面积； 故答案为：2； 【小问3详解】 由题意可得：抛物线的顶点与抛物线的顶点关于原成中心对称． 所以抛物线的顶点坐标为，于是可设抛物线的解析式为：． 由对称性或者抛物线开口大小不变方向改变得， 所以． 【点睛】此题考查了二次函数的图像与几何变化，用到的知识点是二次函数的图像和性质、顶点坐标，关键是掌握二次函数的移动规律和几何变换． 16. 如图所示的是一圆弧形拱门，其中路面，拱高，连接该拱门所在圆的圆心O和点A；测量得， （1）求该拱门所在圆的半径； （2）________． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理求出，设该拱门所在圆的半径为，在中，利用勾股定理列方程解答； （2）利用扇形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意可知， ， 设该拱门所在圆的半径为，则， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， 即该拱门所在圆的半径为； 【小问2详解】 解：， ． 17. 一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来3个月的利润情况如图所示，该图可以近似看作抛物线的一部分，请结合图像，解答以下问题： （1）求该抛物线对应的二次函数解析式； （2）该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）第7月的利润最大，最大利润是49万元 【解析】 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求函数解析式，利用顶点式求最值，解题的关键是熟练掌握待定系数法和顶点式． （1）利用待定系数法进行求解析式即可； （2）将函数解析式化成顶点式，然后进行求最值即可． 【小问1详解】 解：因图像过原点，则设函数解析式为， 将代入解析式，得 ， 解得， 故二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：， 当时，利润最大，最大利润为（万元）． 五、解答题：（每题8分，共16分） 18. 在春晚舞台上，来自杭州宇树科技的人形机器人，与真人舞蹈演员一同上演了“AI机器舞蹈”．这场大型全AI驱动的全自动集群人形机器人表演，背后是科技与传统文化的碰撞融合．它们的队形设计充满数学奥秘，表演中，舞台可近似为一个平面直角坐标系，如图，三个机器人A、B、C构成，其初始位置坐标分别为，，，另外三个机器人D、E、F的初始位置构成的与关于点成中心对称． （1）在图中画出； （2）为了完成队形变换，机器人A、B、C同时向右平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，请画出； （3）机器人归队后，队形继续进行变换，B绕点A逆时针旋转得到，请写出此时的坐标为________． 【答案】（1）如图，即为所求， （2）如图，即为所求， （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，绕点旋转即可得到； （2）根据题意，找到点A、B、C的对应点，顺次连接即可； （3）根据题意，将点B绕点A逆时针旋转得到，写出坐标即可． 【小问1详解】 解：与关于点成中心对称， 绕点旋转得到， 图形略； 【小问2详解】 解：，，， 由平移可得，，，， 图形略； 【小问3详解】 解：如图，把点B绕点A逆时针旋转得到， 由图可知，． 19. 在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 a 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 b … （1） ， ； （2）【探究】根据以上实验，构建出函数（），结合表格信息，探究函数（）的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数（）的图象； ②写出函数（）的一条性质 ． （3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为 ． 【答案】（1）2， （2） 解：①所作函数图象如下： ②函数（）的一条性质为：当时，y随x的增大而减小； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意易得电流与电阻R、之间关系为，然后根据表格可代入进行求解即可； （2）①根据题中所给表格可描点、连线作出函数图象即可；②根据函数图象可进行求解； （3）由题意可先画出（）的图象，然后根据函数图象可进行求解． 【小问1详解】 解：由题意得：，， ∴电流与电阻R、之间关系为， ∴当时，则，解得：，即； 当时，则，即； 故答案为2，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意可先画出（）的图象，如图所示： ∴由图象可知：当时，的解集为； 故答案为． 六、解答题：（20、21题10分，22题12分，共32分） 20. 如图，和都是等边三角形，直线交于点． （1）如图1，当三点在同一直线上时，线段与的数量关系为________，的度数为________． （2）如图2，当绕点顺时针旋转时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由；若成立，请就图2给予证明． （3）若，，当绕点顺时针旋转一周时，请直接写出长的取值范围． 【答案】（1）． （2）成立． 证明：∵与都是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 又， ∴, ∴，． ∵， ∴ ． ∵在中，， ∴，即（1）中的结论仍然成立． （3）． 【解析】 【分析】（1）由、、三点共线，把、都化为减去等边三角形的内角，再用证，借全等把与联系起来，并在中用内角和求； （2）旋转后与都等于加上同一个角，仍用证全等，再由全等给出的一对等角在中求； （3）把放进、的长都已确定，用三角形三边关系定出的范围，再说明旋转一周时两端都能取到． 【小问1详解】 解：∵、都是等边三角形， ∴． ∵、、三点在同一直线上， ∴，即． 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴ ． ∵， ∴． 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：∵是等边三角形，， ∴． ∵是等边三角形，， ∴． ∵在中，， ∴，即． 当点在线段上时，、、三点在同一直线上，此时； 当点在线段上时，、、三点在同一直线上，此时． ∵绕点顺时针旋转一周，点随旋转连续变化， ∴长的取值范围是． 21. 如图，是等腰直角三角形，，，点P沿折线A→B→C向终点C运动，在上的速度为每秒2个单位长度，在上的速度为每秒个单位长度．过点P作于点D，以为边向右侧作矩形，且．设点P的运动时间为t秒，矩形PDEF和重叠部分图形的面积为S． （1）当点F在上时，________． （2）时，的面积是________． （3）当时，长用含有t的式子表示为________． （4）当矩形和重叠部分的图形为四边形时，求S关于t的函数解析式，并写出t的取值范围． 【答案】（1）2 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据题意，易得，，，是等腰直角三角形，从而根据，列出方程，求解即可； （2）根据题意易得当时，点P在上，且，根据勾股定理，可求，从而，再根据等腰直角三角形和勾股定理，得，计算即可； （3）根据题意，易得，根据勾股定理得，计算即可求解； （4）根据t的取值范围分情况讨论，当时，S为矩形的面积；当时，与相交于点，，根据（3）和勾股定理，计算即可． 【小问1详解】 解：如图，当F在上时，点P在上， 由题可知，，则， ， ， 是等腰直角三角形，， ， 矩形， ，即是等腰直角三角形， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图， ，点P在上的速度为每秒2个单位长度， ，即时间为3秒时点P和点重合， 当时，点P在上的运动时间为秒， ， 在中，， ， 是等腰直角三角形，， ， ， 是等腰直角三角形， 在中，， ， ； 【小问3详解】 解：当时，点P在上运动， 点P运动到点的时间为3秒， ， 在中，， ； 【小问4详解】 解：如图①，当时， 由题可知，， ， ， ； 如图②，与相交于点，当时， 由（3）可知，， 是等腰直角三角形，， ， ， 是等腰直角三角形， 在中，， ， ， ，矩形， ， ， ， ， 综上所述：． 22. 已知某二次函数的图象的顶点坐标为，且图象经过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）若当时，该二次函数最大值与最小值的差是9，求t的值； （3）若关于x的方程（t为实数），在时无解，直接写出t的取值范围； （4）若当时，抛物线上的最高点与最低点的纵坐标之差是h，求h与t之间的关系式； （5）已知点，，若该函数图象与线段MN只有一个公共点，请直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 （4） （5）或 【解析】 【分析】（1）设该二次函数的解析式为，把点代入，求出a的值，即可求解； （2）根据题意得：该函数图象的对称轴为直线，函数图象开口向上，函数的最小值为，再结合当时，该二次函数最大值与最小值的差是9，可得，且当时，函数取得最大值，最大值为，即可求解； （3）结合（2）得：当时，，再由关于x的方程（t为实数），在时无解，可得的图象与直线没有交点，即可求解； （4）分三种情况讨论，即可求解； （5）根据题意，画出函数图象，利用数形结合思想解答即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象的顶点坐标为， ∴可设该二次函数的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴该二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：根据题意得：该函数图象的对称轴为直线，函数图象开口向上， ∵图象的顶点坐标为， ∴函数的最小值为， 当时，， ∴与时，该二次函数的函数值的差是， ∵当时，该二次函数最大值与最小值的差是9， ∴，且当时，函数取得最大值，最大值为， ∴， 解得：或0（舍去）， 即t的值为6； 【小问3详解】 解：当时，， 结合（2）得：当时，， ∵关于x的方程（t为实数），在时无解， ∴的图象与直线没有交点， ∴t的取值范围为或； 【小问4详解】 解：∵该函数图象的对称轴为直线， ∴与时的函数值相等，均为， 当时，y随x的增大而减小，则 当时，函数取得最大值，最大值为， 当时，函数取得最小值，最小值为， ∴； 当时，函数的最小值为，函数取得最大值为，则； 当时，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，则 当时，函数取得最大值，最大值为，函数的最小值为， ∴； 综上所述，h与t之间的关系式为； 【小问5详解】 解：当时，， 解得：， ∴该函数图象与x轴的交点坐标为， 如图， 当时，，即点在该函数图象上， 观察图象得：当时，该函数图象与线段只有一个公共点； 当时，轴，线段过抛物线的顶点，此时该函数图象与线段只有一个公共点； 综上所述，该函数图象与线段只有一个公共点时， m的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试卷 一、选择题：（每题3分，共18分） 1. 2026年是中国工农红军长征胜利90周年，下列四幅图案是同学们创作的纪念长征的主题徽标，其中图案部分为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 1849年，法国物理学家斐索用旋转齿轮法首次在地面上测出了光速．如图为某齿轮的示意图，齿轮边缘均匀分布着6个齿和6个齿隙．该齿轮绕其中心旋转一定角度后能与自身重合，则可以为（ ） A. B. C. D. 3. 某班班主任为在开学季让学生带着新的梦想、新的希望开启新的学期，组织学生互送贺卡一张互相鼓励，若全班共送出贺卡1722张，设该班有x人，根据题意可列方程（　　） A. B. C. D. 4. 如图，四边形是的内接四边形，E为延长线上一点．若，的度数（ ） A. B. C. D. 5. 关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 6. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（每题3分，共15分） 7. 点P（2a+1，4）与P'（1，3b﹣1）关于原点对称，则2a+b＝_____． 8. 在函数的图象上有三个点，，，函数值，，的大小关系为________． 9. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接．当点，，在同一条直线上时，则旋转角的度数为______． 10. 如图，点分别在反比例函数和的图象上，轴，点在轴上，若的面积为2，则的值为______． 11. 如图所示，把一块∠A＝30°的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到的位置．若BC的长为15cm，求顶点A从开始到结束所经过的路径长___________． 三、解答题：（每题6分，共18分） 12. 解方程： （1）； （2）． 13. 如图，是的直径，A，C在圆上，，求的度数． 14. 一元二次方程的两根分别为，，利用根与系数的关系求的值． 四、解答题：（每题7分，共21分） 15. 如图，抛物线向右平移1个单位得到抛物线，回答下列问题： （1）抛物线的顶点坐标__________； （2）阴影部分的面积__________； （3）若再将抛物线绕原点旋转得到抛物线，求抛物线的解析式． 16. 如图所示的是一圆弧形拱门，其中路面，拱高，连接该拱门所在圆的圆心O和点A；测量得， （1）求该拱门所在圆的半径； （2）________． 17. 一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来3个月的利润情况如图所示，该图可以近似看作抛物线的一部分，请结合图像，解答以下问题： （1）求该抛物线对应的二次函数解析式； （2）该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？ 五、解答题：（每题8分，共16分） 18. 在春晚舞台上，来自杭州宇树科技的人形机器人，与真人舞蹈演员一同上演了“AI机器舞蹈”．这场大型全AI驱动的全自动集群人形机器人表演，背后是科技与传统文化的碰撞融合．它们的队形设计充满数学奥秘，表演中，舞台可近似为一个平面直角坐标系，如图，三个机器人A、B、C构成，其初始位置坐标分别为，，，另外三个机器人D、E、F的初始位置构成的与关于点成中心对称． （1）在图中画出； （2）为了完成队形变换，机器人A、B、C同时向右平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，请画出； （3）机器人归队后，队形继续进行变换，B绕点A逆时针旋转得到，请写出此时的坐标为________． 19. 在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 a 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 b … （1） ， ； （2）【探究】根据以上实验，构建出函数（），结合表格信息，探究函数（）的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数（）的图象； ②写出函数（）的一条性质 ． （3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为 ． 六、解答题：（20、21题10分，22题12分，共32分） 20. 如图，和都是等边三角形，直线交于点． （1）如图1，当三点在同一直线上时，线段与的数量关系为________，的度数为________． （2）如图2，当绕点顺时针旋转时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由；若成立，请就图2给予证明． （3）若，，当绕点顺时针旋转一周时，请直接写出长的取值范围． 21. 如图，是等腰直角三角形，，，点P沿折线A→B→C向终点C运动，在上的速度为每秒2个单位长度，在上的速度为每秒个单位长度．过点P作于点D，以为边向右侧作矩形，且．设点P的运动时间为t秒，矩形PDEF和重叠部分图形的面积为S． （1）当点F在上时，________． （2）时，的面积是________． （3）当时，长用含有t的式子表示为________． （4）当矩形和重叠部分的图形为四边形时，求S关于t的函数解析式，并写出t的取值范围． 22. 已知某二次函数的图象的顶点坐标为，且图象经过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）若当时，该二次函数最大值与最小值的差是9，求t的值； （3）若关于x的方程（t为实数），在时无解，直接写出t的取值范围； （4）若当时，抛物线上的最高点与最低点的纵坐标之差是h，求h与t之间的关系式； （5）已知点，，若该函数图象与线段MN只有一个公共点，请直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $