精品解析：天津市西青区2026-2027学年九年级上学期期中考试数学试题

2026～2027学年度第一学期学校学业质量中期监测九年级数学试卷 本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分．第I卷为第1页至第3页，第II卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，请你务必将自己的姓名、考生号等相关信息填写在“答题卡”上．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回． 祝你考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各点在反比例函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 2. 将抛物线向右平移1个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 已知甲、乙两地相距s（单位：km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（单位：h）关于行驶速度v（单位：km/h）的函数图象是（　　） A. B. C. D. 4. 二次函数的最小值是（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程，配方后所得方程是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（　　） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 7. 下列抛物线中，对称轴是的是（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的方程有一个根是，则另一个根是（ ） A. B. C. D. 9. 若一元二次方程的两个实数根分别为，，则式子的值为（ ） A. B. C. D. 10. 下列函数的图象与轴只有一个交点的是（ ） A. B. C. D. 11. 在一名运动员的某次投篮中，篮球的运动路线是抛物线的一部分（如图），已知篮球运动的最大高度是．若篮球投入篮筐（篮筐距地面高度为），则运动员到篮筐正下方的距离的大小是（ ） A. B. C. D. 12. 一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面时，水面宽．突降暴雨后水面上升，此时水面宽为（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题 共84分） 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上． 2．本卷共13题，共84分． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 方程的解是_______． 14. 如图，点在反比例函数（）的图象上，轴于点，的面积为，则的值为_______． 15. 在对地面的压力一定的情况下，地面所受的压强（单位：）是受力面积（单位：）的反比例函数，则表格中字母的值是_______． 16. 两年前生产某种食品的成本是10000元，现在生产这种食品的成本是6400元，则生产这种食品成本的年平均下降率是_______．（结果写成的形式） 17. 已知在同一平面直角坐标系中，二次函数和反比例函数的图象如图所示，则式子_____（填“”或“”）． 18. 如图，抛物线的顶点坐标为．现有下列结论： ①；②； ③若关于的一元二次方程无实数根，则； ④若该抛物线经过点，，则． 其中所有正确结论的序号是_______． 三、解答题：本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 19. 解方程 （1）； （2）． 20. 为推广新能源汽车，某销售商推出免息分期付款的购车促销活动，客户交付首付款后，在36个月内结清余款即可．小张在活动期间购买了价格为18万元的汽车，首付款6万元．他计划用x个月结清余款，平均每月还款y万元． （1）填空：y与x的函数关系式是                                        ，y是x的                  函数； （2）如果小张打算24个月结清余款，那么他平均每月应还款多少万元？ （3）如果小张打算每月还款不超过0.4万元，那么他至少要多少个月才能结清余款？ 21. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）若该方程有两个不相等的实数根，求常数的取值范围； （2）若该方程两个实数根的和与这两个实数根的积相等，求常数的值． 22. 图中的曲线是反比例函数的图象的一支，根据图象，回答下列问题： （1）填空：图象的另一支位于第      象限，常数的取值范围是      ． （2）在这个函数图象的某一支上任取点和点， 如果，那么和有怎样的大小关系？用反比例函数的性质说明理由． （3）若一次函数与图中的曲线有一个交点是，求出这两个函数的解析式，并直接写出当时的取值范围． 23. 如图，将矩形绿地的面积进行扩充得到矩形，其中，，两边长增加部分分别是，． （1）若扩充后绿地面积为，求的值； （2）若扩充后绿地面积为，边长增加部分需满足不小于，扩充后矩形边长需满足不超过，求的取值范围以及扩充后绿地面积的最大值． 24. 某商品的进价为每件元，现在的售价为每件元，每星期可卖出件．市场调查反映，若售价每上涨元，则每星期要少卖出件． （1）填空：若每件商品售价上涨元，则每件商品的利润为      元，每星期可卖出      件，每星期售出该商品的利润是      元； （2）若每件商品涨价元，每星期售出商品的利润为元． ①求随变化的函数解析式，并直接写出的取值范围； ②如何定价能使每星期售出该商品的利润最大？最大利润是多少？ 25. 已知抛物线与轴交于点，（点在点左边），与轴交于点，其中． （1）若点坐标为，求的值； （2）若，求的值； （3）点在第一象限的抛物线上，若是以为底的等腰直角三角形，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年度第一学期学校学业质量中期监测九年级数学试卷 本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分．第I卷为第1页至第3页，第II卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，请你务必将自己的姓名、考生号等相关信息填写在“答题卡”上．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回． 祝你考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各点在反比例函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将各点横坐标代入解析式验证即可． 【详解】解：反比例函数解析式为， A选项：时分式无意义，不在图象上； B、D选项：当时，，与选项中纵坐标不符，不在图象上； C选项：当时，，满足解析式，在图象上． 2. 将抛物线向右平移1个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位，得； 再向下平移1个单位，得． 3. 已知甲、乙两地相距s（单位：km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（单位：h）关于行驶速度v（单位：km/h）的函数图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据实际意义，写出函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断． 【详解】解：根据题意有：v•t＝s， ∴， 故t与v之间的函数图象为反比例函数图象， 且根据实际意义v＞0、t＞0， ∴其图像在第一象限，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限． 4. 二次函数的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：二次函数的顶点坐标为， ∵， ∴抛物线开口向上，函数的最小值为． 5. 用配方法解方程，配方后所得方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：， 移项得， 配方得，即． 6. 如图，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（　　） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解题的关键；利用反比例函数的图象及正比例函数的图象分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：当时，反比例函数的图象位于一、三象限，正比例函数的图象位于一三象限，②正确； 当时，反比例函数的图象位于二、四象限，正比例函数的图象位于二四象限，④正确； 故选：C． 7. 下列抛物线中，对称轴是的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A选项抛物线对称轴为，不符合； B选项抛物线对称轴为，符合； C选项抛物线对称轴为，不符合； D选项抛物线对称轴为，不符合． 8. 若关于的方程有一个根是，则另一个根是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：设方程的另一个根为， 由根与系数的关系得，， 解得． 9. 若一元二次方程的两个实数根分别为，，则式子的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将待求分式通分，结合根与系数的关系代入计算． 【详解】解：由根与系数的关系，得，． ． 10. 下列函数的图象与轴只有一个交点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将函数图象与轴的交点问题转化为时方程的解的问题，结合反比例函数性质与一元二次方程根的判别式判断． 【详解】解：选项A，是反比例函数，图象与轴无交点； 选项B，二次函数中，，与轴无交点； 选项C，二次函数中，，与轴有两个交点； 选项D，二次函数中，，与轴只有一个交点． 11. 在一名运动员的某次投篮中，篮球的运动路线是抛物线的一部分（如图），已知篮球运动的最大高度是．若篮球投入篮筐（篮筐距地面高度为），则运动员到篮筐正下方的距离的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出篮球运动路线的抛物线的解析式，再令，代入函数解析式，进而即可求解 【详解】解：∵抛物线的对称轴是y轴，篮球运动的最大高度是， ∴， ∴解析式为：， 令，代入，则， 解得：或（舍去）， ∴ 12. 一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面时，水面宽．突降暴雨后水面上升，此时水面宽为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以拱桥的拱顶为原点，经过拱顶的水平直线为x轴，建立平面直角坐标系，求出拱桥所在抛物线的解析式，进而即可求解 【详解】解：以拱桥的拱顶为原点，经过拱顶的水平直线为x轴，建立平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为：（）， 把代入，得：，解得：， ∴抛物线的解析式为：， 当突降暴雨后水面上升，新的水面所在直线为， 把代入，得，解得：， ∴水面宽度为： 第II卷（非选择题 共84分） 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上． 2．本卷共13题，共84分． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 方程的解是_______． 【答案】 ， 【解析】 【详解】解：， ， ， ∴，． 14. 如图，点在反比例函数（）的图象上，轴于点，的面积为，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】点的坐标为，根据的面积为即可求出的值． 【详解】解：设点的坐标为， 则，， 的面积为， ， ， ． 15. 在对地面的压力一定的情况下，地面所受的压强（单位：）是受力面积（单位：）的反比例函数，则表格中字母的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义，利用已知的压强与受力面积的对应值求出定值比例系数，再代入对应压强值求解即可． 【详解】解：设压强关于受力面积的函数关系式为， 当时，， 代入得， 验证：当时，，，与值一致， 函数关系式为， 当时，对应，代入关系式得， 解得：． 16. 两年前生产某种食品的成本是10000元，现在生产这种食品的成本是6400元，则生产这种食品成本的年平均下降率是_______．（结果写成的形式） 【答案】 【解析】 【分析】设生产这种食品成本的年平均下降率为，根据平均下降率的等量关系建立一元二次方程求解，结合实际意义筛选符合条件的解． 【详解】解：设生产这种食品成本的年平均下降率为， 根据题意，得， 整理，得， 开平方，得， 当时，解得，符合成本下降的实际意义， 当时，解得，不符合题意，舍去， ∴生产这种食品成本的年平均下降率为． 17. 已知在同一平面直角坐标系中，二次函数和反比例函数的图象如图所示，则式子_____（填“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数图象所在的象限判断的正负，根据二次函数图象的开口方向判断的正负，根据对称轴的位置判断的正负，最后计算的符号． 【详解】解：反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 二次函数的图象开口向上， ， 二次函数图象的对称轴在轴右侧， ， ， ， ． 18. 如图，抛物线的顶点坐标为．现有下列结论： ①；②； ③若关于的一元二次方程无实数根，则； ④若该抛物线经过点，，则． 其中所有正确结论的序号是_______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据二次函数的图象可知二次函数的开口向下，则，与y轴的交点在正半轴，则有，当时，则，然后可得二次函数的对称轴为直线，进而根据二次函数的增减性可进行求解． 【详解】解：由图象可知：二次函数的开口向下，则，与y轴的交点在正半轴，则有， ∴，故①正确； ∵抛物线的顶点坐标为， ∴该二次函数的对称轴为直线，则有，开口向下，该函数有最大值，最大值为， 由图象可知：当时，则，故②正确； ∵若关于的一元二次方程无实数根，即二次函数与直线无交点， ∴二次函数的最大值，故③正确； ∵该抛物线经过点，，且， ∴根据开口向下，离对称轴越近，其对应的函数值也就越大可知：，故④错误； 综上所述：正确的有①②③． 三、解答题：本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 19. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）先提公因式，再解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： 整理，得， 提公因式，得， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解： 因式分解，得， ∴或， ∴，． 20. 为推广新能源汽车，某销售商推出免息分期付款的购车促销活动，客户交付首付款后，在36个月内结清余款即可．小张在活动期间购买了价格为18万元的汽车，首付款6万元．他计划用x个月结清余款，平均每月还款y万元． （1）填空：y与x的函数关系式是                                        ，y是x的                  函数； （2）如果小张打算24个月结清余款，那么他平均每月应还款多少万元？ （3）如果小张打算每月还款不超过0.4万元，那么他至少要多少个月才能结清余款？ 【答案】（1）（为正整数，且）；反比例 （2）0.5万元 （3）30个月 【解析】 【分析】（1）由余款总额为定值，推导与的函数关系式，判断函数类型． （2）将代入函数关系式，计算的值． （3）根据的上限列不等式，结合实际意义求解的最小值． 【小问1详解】 解：购车余款为（万元）． ∵平均每月还款额×还款月数=余款总额， ∴， 整理得（为正整数，且），是的反比例函数． 【小问2详解】 解：当时，． 答：他平均每月应还款0.5万元． 【小问3详解】 解：由题意得，即． ∵， ∴， 解得． 又∵，且为正整数， ∴的最小值为30． 答：他至少要30个月才能结清余款． 21. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）若该方程有两个不相等的实数根，求常数的取值范围； （2）若该方程两个实数根的和与这两个实数根的积相等，求常数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可； （2）由题意易得，设方程的两个根为，根据根与系数的关系可得：，然后可得，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 解得：； 【小问2详解】 解：∵方程有根， ∴由（1）中判别式的计算可知：，解得， 设方程的两个根为， ∴根据根与系数的关系可得：， 由题意得：， ∴， 解得：， ∵， ∴． 22. 图中的曲线是反比例函数的图象的一支，根据图象，回答下列问题： （1）填空：图象的另一支位于第      象限，常数的取值范围是      ． （2）在这个函数图象的某一支上任取点和点， 如果，那么和有怎样的大小关系？用反比例函数的性质说明理由． （3）若一次函数与图中的曲线有一个交点是，求出这两个函数的解析式，并直接写出当时的取值范围． 【答案】（1）二， （2），理由如下： ：反比例函数的图象在第二、四象限， 在每一个象限内，函数值随着的增加而增加， 点和点在同一支上，且， ． （3）或 【解析】 【分析】（1）由反比例函数一支在第四象限，可判断另一支所在象限，根据列不等式求范围； （2）根据，利用反比例函数的增减性，根据，直接比较同支上两点纵坐标的大小； （3）代入公共点求出两个函数解析式，联立求出交点，结合图象找出反比例函数值小于一次函数值对应的范围． 【小问1详解】 解：据图可知，图象的另一支位于第二象限， 图象位于第二、四象限，则， 解得． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：将代入， 可得， 解得， 则一次函数的解析式为， 将代入， 可得， 解得， 则反比例函数的解析式为， 联立一次函数与反比例函数， 可得， 解得或， 如图，一次函数与反比例函数的交点为，， 时，的取值范围为反比例函数低于一次函数部分的自变量范围， 故此时的取值范围为或． 23. 如图，将矩形绿地的面积进行扩充得到矩形，其中，，两边长增加部分分别是，． （1）若扩充后绿地面积为，求的值； （2）若扩充后绿地面积为，边长增加部分需满足不小于，扩充后矩形边长需满足不超过，求的取值范围以及扩充后绿地面积的最大值． 【答案】（1）x的值为10 （2）x的取值范围是，扩充后绿地面积的最大值为 【解析】 【分析】（1）先根据图形的边长关系，用含的代数式表示扩充后矩形的两条边长和，因为矩形面积等于相邻两边长的乘积，所以将、代入面积公式，结合已知的扩充后面积，建立关于的一元二次方程，求解方程并结合实际边长的非负性筛选出符合要求的值． （2）首先根据题目给出的两个约束条件，列出关于的不等式组，求解得到的取值范围；再将扩充后面积表示为关于的二次函数，结合二次函数的开口方向、对称轴与取值范围的位置关系，确定面积的最大值． 【小问1详解】 解： 已知，， ∴竖直边． 已知，， ∴水平边． 由题意得方程： ， 展开整理得： ， 因式分解得： ， 解得，． 由于长度不能为负，舍去， 因此． 【小问2详解】 解：∵不小于，即， ∴， 解得． ∵不超过：即， ∴， 解得． 的取值范围是． ∵， ∴这是开口向上的二次函数，对称轴为直线． ∴在对称轴右侧随的增大而增大， ∴当取最大值20时，取得最大值： ． 24. 某商品的进价为每件元，现在的售价为每件元，每星期可卖出件．市场调查反映，若售价每上涨元，则每星期要少卖出件． （1）填空：若每件商品售价上涨元，则每件商品的利润为      元，每星期可卖出      件，每星期售出该商品的利润是      元； （2）若每件商品涨价元，每星期售出商品的利润为元． ①求随变化的函数解析式，并直接写出的取值范围； ②如何定价能使每星期售出该商品的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）；； （2）定价为元时，每星期利润最大，最大利润为元 【解析】 【分析】（1）根据涨价金额，依次求出单件利润、销售量，再利用“总利润单件利润销售量”计算； （2）①根据涨价元表示出单件利润和销量，列出利润关于的函数关系式，结合销量不能为负确定自变量取值范围； ②由二次函数二次项系数判断开口方向，利用顶点公式求出利润最大时对应的涨价金额，进而得到定价和最大利润． 【小问1详解】 解：每件商品上涨元后： 单件利润：（元） 每星期销售量：（件） 每星期总利润：（元）； 【小问2详解】 解：① 若每件商品涨价元， 则单件商品利润为元， 每星期销售量为件， 列函数式：， 由实际意义得：， 解得， 综上所述，函数解析式为； ②， 抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值， 当时，最大， 此时商品定价：（元）， 最大利润：， 答：定价为元时，每星期利润最大，最大利润为元． 25. 已知抛物线与轴交于点，（点在点左边），与轴交于点，其中． （1）若点坐标为，求的值； （2）若，求的值； （3）点在第一象限的抛物线上，若是以为底的等腰直角三角形，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入抛物线解析式，直接求解； （2）先表示出的长度，再用勾股定理表示，根据列方程求解； （3）通过构造全等三角形得到点的坐标，代入抛物线解析式列方程求解． 【小问1详解】 解： 令， 则， 解得或， ，点在点左侧，  ，， 令，则，  ，  点坐标为，  ， 解得； 【小问2详解】 解：由题意得， 在中， 由勾股定理得 ， ，  ， 两边平方得， 整理得， 解得或， ，  ； 【小问3详解】 解： 是以为底的等腰直角三角形，  ，， 过点作轴于点， 则， ，  ， 又，  ， 在和中，    ， ，， 点在第一象限，  点在点右侧，点的横坐标为，纵坐标为，即， 点在抛物线上，  ， 整理得， 解得或， ，  ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $