精品解析：天津市西青区2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

2025～2026学年度第一学期中期学业质量检测 九年级数学试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，请你务必将自己的姓名、考生号等相关信息填写在“答题卡”上．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回． 祝你考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题共36分） 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据一元二次方程的定义（整式方程、只含一个未知数、未知数的最高次数为2）进行判断即可． 【详解】解：选项A：是一元一次方程，不符合题意； 选项B：，可化为，是整式方程，只含未知数x，且最高次数为2，是一元二次方程，符合题意； 选项C：，不是整式方程（分母含未知数），不是一元二次方程，不符合题意； 选项D：，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意． 故选B． 2. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】考查二次函数的性质及将解析式化为顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线． 已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标． 【详解】解：由，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为， 故选：B． 3. 若一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值为（ ） A. B. 5 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，满足，． 根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：∵方程 的两个实数根分别为，， ∴． 故选：C． 4. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了运用一元二次方程根的判别式判断方程解的情况的能力，解题的关键是能准确理解运用一元二次方程根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根． 逐一计算各选项中一元二次方程根的判别式进行判断、辨别，若，则方程没有实数根． 【详解】解： A、中，，故方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B、中，，故方程有两个不相等的实数根，不符合题意； C、中，，故方程没有实数根，符合题意； D、中，，故方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 故选：C． 5. 将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握抛物线在平面直角坐标系中平移的规律是解答此题的关键．根据平移规律“左加右减针对自变量，上加下减针对函数值”即可求解． 【详解】解：∵ 原抛物线为， 向右平移2个单位，得， 再向上平移3个单位，得， ∴新抛物线解析式为． 故选：D． 6. 一次聚会共有n个人参加，参加聚会的每两个人都握一次手，则所有人握手的总次数y与n满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，握手问题，正确列出二次函数表达式是解题的关键． 每个人与其他人握手次，但每次握手被计算两次，因此总次数为，即可解答． 【详解】解：∵ 每个人握手次， ∴ 初步计算总次数为， 但每次握手被两个人各计算一次， ∴ 实际握手次数， 即 ， 故选C． 7. 用配方法解方程，则方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先在方程的两边都加上8，再配方即可. 【详解】解：∵， ∴ ∴ 故选A 【点睛】本题考查的是利用配方法解一元二次方程，掌握“配方法的步骤”是解本题的关键. 8. 若一元二次方程有一个根是a，则式子的值是（） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，代数式求值，掌握整体代入思想是解题的关键． 利用方程根的定义，将代入方程得到等式，然后通过代数变换求值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， 即． 两边同乘以2得： ． ∴的值为4． 故选A． 9. 已知抛物线经过点，，则该抛物线的对称轴为（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的对称性，熟练掌握利用二次函数的对称性求解函数的对称轴是解题的关键． 根据A、B两点的纵坐标相同可知A、B两点关于对称轴对称，因此对称轴为两点中点的横坐标． 【详解】解：∵抛物线经过点，， ∴对称轴为直线． 故选：D． 10. 如图所示，某小区规划在一个长，宽的矩形场地上，修建同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．如果草坪部分的总面积为，设小路的宽为，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据平移的性质可得草坪的总面积相当于一个长为，宽为的矩形面积，据此根据矩形面积计算公式列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故选：A． 11. 某种商品每件的进价为30元，若以每件x元售出，可卖出件，下列说法中正确的是（） A. 这种商品的销售利润可表示为 B. 这种商品的销售利润随x的增大而增大 C. 每件商品售价定为40元或50元，销售这种商品可获得相同的利润 D. 若每件商品售价定为55元，则可获得最大利润 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程与二次函数的应用，掌握知识点是解题的关键． 利润为售价减进价后乘以销量，即利润．该二次函数开口向下，有最大值，通过求顶点或代入值验证选项即可． 【详解】解：∵这种商品的销售利润可表示为 ， ∴选项A错误， ∵这种商品的销售利润为 ，二次项系数为负， ∴函数开口向下，利润随x增大先增后减，选项B错误． 当0时，利润为； 当时，利润为； ∵， ∴选项C错误． ∵二次函数顶点横坐标， ∴当时，利润最大，选项D正确． 故选D． 12. 已知抛物线（a，b，c是常数，，）经过点，其对称轴是直线．有下列结论：①；②；③；④关于x的方程的两个根分别是，，且，则有．其中，正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，掌握知识点是解题的关键． 根据对称轴和点可得抛物线经过点，并推导出．结合可得，再逐项分析判断即可． 【详解】解：∵抛物线对称轴为， ∴即， ∵抛物线过点， ∴， 将代入，得 ， ∴． ∵， ∴，即，故③正确． ∵， ∴， ∵， ∴，由此①是错误的， ，故②错误． ∵抛物线（a，b，c是常数，，）经过点(2，0)，其对称轴是直线， ∴抛物线过点和，且，开口向下，顶点在处，．方程即， ∵在和时，，顶点， ∴方程有两个根，，且时，有，故④正确． ∴正确结论有③和④，共2个． 故选C． 第Ⅱ卷（非选择题共84分） 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上． 2．本卷共13题，共84分． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 一元二次方程的两根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，通过直接开平方法解一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 把一元二次方程化为一般形式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题关键是熟练运用整式运算和等式性质进行方程变形． 通过去括号和移项，将方程化为一般形式． 【详解】解：由原方程 ， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 故答案为：． 15. 若关于x一元二次方程的两个根是与，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、解一元一次方程，方程 化为标准形式后一次项系数为零，因此两根之和为零，可得关于的一元一次方程，解方程求出的值． 【详解】解：设方程的两根分别是、， 方程 可化为 ， ， 方程两根为 和 ， ， 整理得：， 解得：． 故答案为：． 16. 已知二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的概念以及二次函数图象与坐标轴交点情况得判别式的范围，解题的关键是掌握二次函数与x轴有交点得判别式大于等于零，且二次项系数不为零． 根据二次函数定义二次项系数不为0，与x轴有交点，分别求解不等式取公共部分即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴有交点， ∴， 解得：， 故答案为：． 17. 菱形一条对角线的长为6，另一条对角线的长是方程的一个根，则这个菱形的边长为______． 【答案】或5 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，菱形的性质，勾股定理，求出一元二次方程的解是解题的关键． 先解方程 ，可得到菱形的另一条对角线长．再根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用勾股定理求边长． 【详解】解：， ， 解得：或． ∴菱形的另一条对角线长为6或8， ∵菱形一条对角线的长为6， ∴菱形的边长或． 故答案为：或5． 18. 已知实数a，b满足，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查配方法的应用，非负数的性质．利用配方法把原式变形为，再利用因式分解得到或，据此解答即可． 【详解】解： ∴， ∴， ∴或， ∴或， 由于，， ∴不符合题意，舍去， ∴， 故答案为：2． 三、解答题：本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 19. 解方程． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 先将原方程化为一般式，再根据公式法解一元二次方程的步骤计算即可． 【详解】解： ， ， ， ， 方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得，． 20. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）若是该方程的一个根，求方程的另一个根； （2）若该方程有两个相等的实数根，求这个方程的两个根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）设方程的另一个根为，利用一元二次方程根和系数的关系解答即可求解； （）设方程的两个相等的实数根为，利用一元二次方程根和系数的关系解答即可求解； 本题考查了一元二次方程根和系数的关系，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：设方程的另一个根为， 由一元二次方程根和系数的关系得，， ∴， 即方程的另一个根为； 【小问2详解】 解：设方程的两个相等的实数根为， 由一元二次方程根和系数的关系得，， ∴， 即这个方程的两个根为． 21. 已知二次函数的解析式为． （1）写出该二次函数图象开口方向，并通过计算说出它的对称轴和顶点坐标； （2）直接写出当时，自变量x的取值范围． 【答案】（1）开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）把二次函数的解析式化为顶点式，然后问题可求解； （2）根据二次函数的开口方向和增减性可进行求解． 【小问1详解】 解：把二次函数配成顶点式得：， ∴，即开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线； 【小问2详解】 令时，则有， 解得：， 由（1）可知：开口向上，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∴当时，则x的取值范围是． 22. 李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2400元，4月份的盈利达到3456元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同． （1）求每月盈利的平均增长率； （2）按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到多少元？ 【答案】（1）20%；（2）4147．2元． 【解析】 【详解】试题分析：（1）设该商店的月平均增长率为x，根据等量关系：2月份盈利额×（1+增长率）2=4月份的盈利额列出方程求解即可． （2）5月份盈利=4月份盈利×增长率． 试题解析：（1）设该商店的每月盈利的平均增长率为x，根据题意得： 2400（1+x）2=3456， 解得：x1=20%，x2=-2．2（舍去）． （2）由（1）知，该商店每月盈利的平均增长率为20%，则5月份盈利为： 3456×（1+20%）=4147．2（元）． 答：（1）该商店的每月盈利的平均增长率为20%． （2）5月份盈利为4147．2元． 考点：一元二次方程的应用． 23. 如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度为），其他边利用篱笆围成一个矩形花圃，其中间有一道与平行的篱笆，设花圃的一边长为，面积为． （1）求S与x的函数解析式； （2）若要围成面积为的花圃，求的长是多少米？ （3）求所围成花圃的最大面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）表示出的长，利用矩形面积计算公式可列出对应的函数关系式，再求出x的取值范围即可； （2）根据（1）所求建立对应的方程求解即可； （3）利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由题意得，， 解得（舍去）或， 答：的长是； 【小问3详解】 解： ， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为48， 答：所围成的花圃的最大面积为． 24. 如图所示是一个音乐喷泉的示意图，在点O处竖直放置一根水管，在水管的顶端A处安装一个喷水头，喷出的水柱为抛物线（记为抛物线M，N），且形状相同，喷出的抛物线形水柱在与水管的水平距离为处达到最高，最大高度为，水柱落地处与水管的水平距离为，以水平地面为x轴，水管所在直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）求水管的高度； （2）若在第一象限竖直放置一盏高为景观射灯，且景观射灯的顶端E恰好碰到水柱． ①求景观射灯与水管的水平距离； ②现计划降低水管高度，使水柱落地处恰好在点F处，已知水管下降后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，则水管要降低多少米？ 【答案】（1） （2）①；②水管要降低 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）根据题意可得顶点N的坐标和点B的坐标，据此把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求出对应的函数关系式，并求出自变量的值为0时的函数值即可得到答案； （2）①根据题意可得点E的纵坐标为，根据（1）所求解析式求出点E的横坐标即可得到答案；②设降低后的解析式，利用待定系数法求出降低后的解析式即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，， 设经过A、N、B三点的抛物线解析式为， ∴， ∴， ∴经过A、N、B三点的抛物线解析式为， 当时，， ∴， ∴， 答：水管的高度为； 【小问2详解】 解：①在中，当时，， 解得或， ∴， ∴， ∴， 答：景观射灯与水管的水平距离为； ②设下降后的抛物线解析式为， ∵下降后的抛物线经过， ∴， ∴， ∵， ∴水管要降低， 答：水管要降低． 25. 已知抛物线（b为常数）与x轴相交于A，两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点C． （1）求b的值及点A，C的坐标； （2）抛物线上一点M在直线下方，其横坐标为m，过点M作轴，与线段相交于点N，过抛物线的顶点P作y轴的平行线，与线段相交于点Q，若，求m的值． 【答案】（1），， （2）或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与线段综合，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把代入可求出b的值，再分别令和，即可求解； （2）先求出点，再求出直线的解析式，可得点，从而得到，根据题意可得点，从而得到，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴相交于点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点， 当时，， ∴点； 【小问2详解】 解：如图， ∵， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，即点， ∴， ∵， ∴， ∵点M在直线下方，其横坐标为m，轴， ∴点， ∴， ∴， 解得：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第一学期中期学业质量检测 九年级数学试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，请你务必将自己的姓名、考生号等相关信息填写在“答题卡”上．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回． 祝你考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题共36分） 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 若一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值为（ ） A. B. 5 C. D. 1 4. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 一次聚会共有n个人参加，参加聚会的每两个人都握一次手，则所有人握手的总次数y与n满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 7. 用配方法解方程，则方程可变形（ ） A. B. C. D. 8. 若一元二次方程有一个根是a，则式子的值是（） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 9. 已知抛物线经过点，，则该抛物线的对称轴为（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 10. 如图所示，某小区规划在一个长，宽的矩形场地上，修建同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．如果草坪部分的总面积为，设小路的宽为，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 11. 某种商品每件的进价为30元，若以每件x元售出，可卖出件，下列说法中正确的是（） A. 这种商品的销售利润可表示为 B. 这种商品的销售利润随x的增大而增大 C. 每件商品售价定为40元或50元，销售这种商品可获得相同的利润 D. 若每件商品售价定为55元，则可获得最大利润 12. 已知抛物线（a，b，c是常数，，）经过点，其对称轴是直线．有下列结论：①；②；③；④关于x的方程的两个根分别是，，且，则有．其中，正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 第Ⅱ卷（非选择题共84分） 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上． 2．本卷共13题，共84分． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 一元二次方程的两根是______． 14. 把一元二次方程化为一般形式为______． 15. 若关于x的一元二次方程的两个根是与，则的值是______． 16. 已知二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是______． 17. 菱形一条对角线长为6，另一条对角线的长是方程的一个根，则这个菱形的边长为______． 18. 已知实数a，b满足，则的值为______． 三、解答题：本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 19. 解方程． 20. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）若是该方程一个根，求方程的另一个根； （2）若该方程有两个相等的实数根，求这个方程的两个根． 21. 已知二次函数的解析式为． （1）写出该二次函数图象的开口方向，并通过计算说出它的对称轴和顶点坐标； （2）直接写出当时，自变量x的取值范围． 22. 李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2400元，4月份的盈利达到3456元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同． （1）求每月盈利的平均增长率； （2）按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到多少元？ 23. 如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度为），其他边利用篱笆围成一个矩形花圃，其中间有一道与平行的篱笆，设花圃的一边长为，面积为． （1）求S与x的函数解析式； （2）若要围成面积为的花圃，求的长是多少米？ （3）求所围成的花圃的最大面积． 24. 如图所示是一个音乐喷泉的示意图，在点O处竖直放置一根水管，在水管的顶端A处安装一个喷水头，喷出的水柱为抛物线（记为抛物线M，N），且形状相同，喷出的抛物线形水柱在与水管的水平距离为处达到最高，最大高度为，水柱落地处与水管的水平距离为，以水平地面为x轴，水管所在直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）求水管的高度； （2）若在第一象限竖直放置一盏高为的景观射灯，且景观射灯的顶端E恰好碰到水柱． ①求景观射灯与水管水平距离； ②现计划降低水管高度，使水柱落地处恰好在点F处，已知水管下降后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，则水管要降低多少米？ 25. 已知抛物线（b为常数）与x轴相交于A，两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点C． （1）求b的值及点A，C的坐标； （2）抛物线上一点M在直线下方，其横坐标为m，过点M作轴，与线段相交于点N，过抛物线顶点P作y轴的平行线，与线段相交于点Q，若，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $