12.2(5) 因式分解的方法(1)——十字相乘法-【上海特训】2026-2027学年七年级上册数学（沪教版 五四制·新教材）

上海特训数学七年级上 12.2(5) 因式分解的方法(5)一十字相乘法 修正处 知识点归纳 1.如果关于x的二次三项式x2十px十g的常数项g能分解成两个因数a与b 的积，且一次项系数p又恰好等于a十b,那么x2+x十g就可以进行如下 的因式分解：x2+px十q=x2+(a十b)x十ab=(x十a)(x十b). 2.通过适当地分解系数，把二次三项式因式分解的方法叫作十字相乘法， 课时必刷 一、填空题 1.因式分解： (1)x2-5x+6= (2)x2-x-6= (3)x2-7x+6= (4)x2+5x-6= 2.因式分解： (1)b2-4ab-12a2= (2)(a-b)2-10(a-b)-24= 3.若关于x的二次三项式x2一x十6与x2一2x一g都含有因式x一3，则 P= ,9= 4.若关于x的二次三项式x2一ax十15在整数范围内可以因式分解，那么整数 a的值为 二、选择题 5.下列各式不能用十字相乘法因式分解的是 () A.x2-2x-3 B.x2-x+2 C.x2-x-2 D.x2-3x+2 6.下列因式分解正确的是 () A.x2y2-10xy+16=(xy+2)(xy+8) B.x2-6.x-16=(x-8)(x+2) C.x2+13xy-30y2=(x-10y)(x-3y) D.x2-5.xy+6y2=(x-2)(x-3) 三、简答题 7.因式分解： (1)x2、 3 (2)-a2-1 6 ·44 第12章因式分解 (3)(a-b)2-5c(a-b)+6c2; (4)x4-10x2y2+9y4; 修正处 (5)(x2+x)2-8(x2+x)+12; (6)(x-y)2+5(x-y)-50. 思维拓展 8.已知x2+xy一2y2=7,且x、y都是正整数，试求x、y的值. 9.阅读下列材料： a b 12 规定一种运算： =ad一bc.例如： =1×5-2×4=5-8=-3; c d 45 x 再如： =3x-2. 1 按照这种运算的规定，请解答下列问题： 3 x2-2x 8 (2)因式分解： -3 x2-2x-11 ·45·上海特训数学七年级上 10.边长：(3x+y)m;周长：(12x+4y)m. 11.(1)(x-3)2(5x+1)2(2x+3)2(2)b2=4ac (3)(x-a)(x-b)-x(b-x)+2 =x2-ax-bx+ab-bx+x2+2 =2x2-(a+2b)x+ab+2. 因为整式(x一a)(x-b)一x(b一x)+2是一个完全平方式，由(2)所得的规律可知，[一(a十2b)]2 =4×2(ab+2),所以a2+4ab+4b2=8ab+16,所以a2-4ab+4b2=(a-2b)2=16. 12.2(4)因式分解的方法(4) 1.1zxy(x-1Dz+1)(2)mn+3n-3)(3)2z-1D2(④a66-2a) (5)(x-y)2(x+y)2.303.14.95.B6.C7.D 8.(1)(a+b-2)2(2)(m-n)(x+2)2(3)(x+y)"(x-y)"(x2-y2-5)2 9.a4-4a3b+4a2b2 =a2(a2-4ab+4b2) =a2(a-2b)2. 当a=-1,6=2时，原式=(-102×(-1-2×2)°=4 10.x3y-2x2y2+xy =xy(x2-2xy十y2) =xy(x-y)2. 因为x-y=3,x2+y2=13, 所以(x2+y2)-(x一y)2=2xy=13-9=4, 所以xy=2. 所以原式=2×32=18. 11.a4-7a2+9 =a4-6a2-a2+9 =(a4-6a2+9)-a2 =(a2-3)2-a2 =(a2-3+a)(a2-3-a). 12.2(5)因式分解的方法(5)一十字相乘法 1.(1)(x-3)(x-2)(2)(x-3)(x+2)(3)(x-6)(x-1)(4)(x+6)(x-1) 2.(1)(b+2a)(b-6a)(2)(a-b-12)(a-b+2)3.534.±8、±165.B6.B .(x-)(x-1）②-(a-3)(a+2) (3)(a-b-2c)(a-b-3c) (4)(x+y)(x-y)(x+3y)(x-3y)(5)(x+2)(x-1)(x-2)(x+3)(6)(x-y-5)(x-y+10) 8.因为x2+xy-2y2=7, 所以(x十2y)(x-y)=7. 因为x、y都是正整数， 所以x十2y、x一y都是正整数， 两u+,支+成- y=-2 y=2. 9.(1)-5 x2-2x 8 (2) -3 x2-2x-11 ·10 参考答案 =(x2-2x)(x2-2x-11)-8X(-3) =(x2-2x)2-11(x2-2x)+24 =(x2-2x-3)(x2-2x-8) =(x-3)(x+1)(x-4)(x+2), 12.2(6)因式分解的方法(6) 1.(1)5(x-5)(x+4)(2)4(x2+1)(x+3)(x-3)(3)a2(x-11y)(x+6y)2.(1)(2x-1)(x-1) (2)(3a十1)(a-1)3.(x2+6.x-2)4.x+8y5.±19、±11、±96.C7.B 8.(1)3x(x-1)(x-2)(2)(ab+5)(5ab-2)(3)(4-5.x)(4x+5)(4)2(x+y+1)(x+y+2) (5)-4(3x+2y)(x+2y)(6)(x+xy+1-y)(x-xy-1-y) 9合+2w+ =2(x2+4xy+3y) 2(x+y)(x+3y) 10.因为(x2+y2)(x2+3+y2)-54=0, 所以(x2+y2)2+3(x2+y2)-54=0,即(x2+y2+9)(x2+y2-6)=0, 所以x2+y2+9=0或x2+y2-6=0. 因为x2+y2≥0，所以x2+y2=6. 11.因为k5-53+4k=k(k4-5k2+4)=k(k2-4)(k2-1)=(k-2)(k-1)k(k+1)(k+2),这个 结果是5个连续整数的积，这5个数中必有1个是5的倍数，必有1个是4的倍数，必有1个是3 的倍数，且偶数至少有2个，因此积中必有因数5×4×3×2=120.所以当k为正整数时，k5一 5k3十4一定能被120整除. 12.由题意，设x3+5x2+7x十a=(x+1)(x2+mx十n). 因为(x+1)(x2+mx十n)=x3+(m+1)x2+(m十n)x+n, m+1=5, m=4, 所以m十n=7,解得n=3, n=a, a=3. 所以x3+5x2+7x+3=(x十1)(x2+4x十3)=(x十1)2(x十3). 12.2(7)因式分解的方法(7)—分组分解 1.(1)(3am+3an)(2m+2m)(m+n)(3a+2)(2)(a2-b2)(2a+2b)(a+b)(a-b-2) (3)4a2(x2-2xy+y2)(2a+x-y)(2a-x+y)(4)9x2+12xy+4y29(3x+2y+3)(3x +2y-3)2.(a+b)(a-b)3.-94.1或75.B6.A7.A8.(1)(a-1)2(a+1) (2)(a-1)(b+1)(3)(a.x-ay+2)(ax-ay-2)(4)(x+y)2(x-y) 9.原式=2m(x-2y+2)(x-2y-2)=0.10.原式=(a+b+c)(a-b-c)(a+b-c)(a-b+c)=0. 11.因为a2+a-1=0,b+b-1=0, 所以两式相减，得a2十a-b2一b=0,即(a-b)(a+b+1)=0. 因为a≠b,所以a+b十1=0，即a十b=-1. 因为(a+b)2=a2+b2+2ab=1,又a2+b2=1-a+1-b=2-(a+b)=3, 所以ab=-1. ·11·