第22章 直角三角形 基础卷-【上海特训】2026-2027学年八年级上册数学（沪教版 五四制·新教材）

第22章 基础卷 时间：45分钟 满分：100分 装 题号 二 三 总分 得分 一、选择题（每题3分，共18分） 1.下列说法中不正确的是 A.直角三角形的两个锐角互余 B.两个锐角分别相等的两个直角三角形全等 C.直角边、斜边分别相等的两个直角三角形全等 D.角的内部到角的两边所在直线距离相等的点在角的平分线上 2.在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB,交AB于点D,交BC于点E,若∠EAC: 女 ∠EAB=5:2,则∠B的度数是 订 A.10° B.15 C.20° D.30° 3.下列能使两个直角三角形全等的条件是 ( A.一个锐角对应相等 B.两个锐角对应相等 C.一条边对应相等 D.两条直角边对应相等 4.下列各组线段中，不能构成直角三角形的是 A.5、12、13 B.2、3√5 C.4、7、5 D.1W2、√3 5.如图，乐乐利用刻度直尺（单位：cm)测量三角形纸片的 蠻 尺寸，点B、C分别对应刻度尺上的刻度2和8，D为BC 的中点，若∠BAC=90°，则AD的长为 ( B D/ A.2cm B.8 cm T中而 0 1234 56789 C.3 cm D.6 cm 线 6.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CM、CI分别是中线、角平分线.若∠B=50°，则∠MCI的 度数是 () A.40° B.20 C.10° D.5° 二、填空题（每题3分，共36分） 茶 7.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的平分线交BC于点D,且BC=8,BD=5,那么点D到 AB的距离等于 8.如果一个直角三角形的两条边的长分别为5、4，那么第三边的长等于 9.如果一个直角三角形有两条边长分别是3和4，那么它斜边上的中线长为 10.在Rt△ABC中，斜边AB上的中线和高分别为5cm、4cm,则△ABC的面积为 cm2. 11.在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BC=6,AC=8.若P是线段AB上的一动点，则线 段CP长度的最小值为 12.如图，∠C=∠D=90°，若利用直角三角形全等的判定定理证明△ABC≌△BAD,需添 加的条件是 ·(写出一种即可) D 第12题图 第13题图 第15题图 13.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=65°，点D为AC边上一点，连接BD,过点D作 DE⊥AB于点E,且CD=DE,则∠EBD的度数为 14.直角三角形的三边长之比为3：4：5，它的周长为48cm,则斜边上的中线为 cm. 15.如图，在△ABC中，AB=AC,AD是角平分线，且AD=8,BC=12,点E为AC的中点， 则DE的值为 16.如图，在△ABC中，AB=10cm,AC=6cm,BC=8cm,用尺规作图的方法在BC上确 定一点P,则PC的长为 B 3 cm I cm 1 cm G 第16题图 第17题图 第18题图 17.如图，长方体的底面是边长为1cm的正方形，高为3cm.如果用一根细线从点A开始经 过4个侧面缠绕一圈到达点B,则所用细线最短需 cm. 18.我国古代数学著作《九章算术》中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央， 出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何.”这道题的意思是说：有一个边长为10尺的 正方形水池，在池的正中央长着一根芦苇，芦苇露出水面1尺，若将芦苇拉到池边中点 处，芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'处（如图），则水深是尺. 三、解答题（第19~22题每题5分，第23、24题每题8分，第25题10分，共46分） 19.如图，在垂线MN上求作一点P,使点P到射线OA和OB的距离相等（要求用尺规作 图，保留作图痕迹，不必写作法和证明过程) M A 3 20.在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D,CF是∠ACB的平分线，交AD于E,交AB 于F.求证：∠AEF=∠AFE. 21.如图，已知AE平分∠FAC,EF⊥AF,∠AGE=90°，DE是BC的垂直平分线，求证： BF=CG. 22.如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5m,一名学 生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2，头顶离 感应器的距离AD为1.5m,求这名学生的身高CD. 23.如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD),经测量，在四边 形ABCD中，∠ACB=90°，AB=15m,BC=9m,AD=5m,DC=13m.小区为美化环 境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米80元，试问：铺满这块空地共需花费多少元？ C 24.如图，在△ABC中，∠ABC=90°.点D是BC延长线上的点，连接AD. . (1)若AC=13,AB=12,AD=15,求CD的长； A (2)若AC平分∠BAD,BC=9,CD=15,求AB的长. B D C 装 25.两个全等的直角三角形按如图1所示的方式摆放，连接AD,△ABC的三边长分别为a、 么c(a>6),四边形ACFD的面积可以表示为2a+6)(a十b)或2×b+,从而 可推导出a2十b2=c2. D 6 Q ■ a B(E)b B(F) 订 图1 图2 (1)将△DEF从图1的位置开始沿BC向左移动，直到点F与点B重合时停止（如图 2),此时AB与DE相交于点O,连接AD、AE,利用图2证明勾股定理； (2)在图2的基础上，若四边形AEBD的面积为200，AC=12,求BC的长. 线上海特训数学八年级上 (k一3)一3k=0,解得k=一1，此时方程为x2一4x十3=0，解得x1=1,x2=3,此时三角形 的三边长为1、1、3，这样的三角形不存在，∴.=一1不符合题意，应舍去；当底边长为1时， 则a、b均为腰长，∴x2+(k一3)x-3k=0有两个相等的实数根，.△=(k十3)2=0，解得 k=一3，此时方程为x2一6x十9=0，解得x1=x2=3,此时三角形的三边长为1、3、3，这样的 三角形存在.综上所述，k的值为-3.26.(1)由题意可知，x1十x2=9,x1x2=14.:2×7= 14,2+7=9,x1-x2=5.故答案为5.(2)关于x的方程x+4=2V5的两个解分 别为x1、x2,.x1十x2=2W6,x1x2=4,∴x7十x2=(x1+x2)2-2x1x2=(2√6)2-2X4= 16,(x。-x)P=x听+x2-2x1x,=16-2X4=8,x,-,=士2w2,2-4=x号- x1 x2 x1x2 -z十)Cx,-x)=±26X2区=士25.（3)由题意，x-26-3=3-1, T1T2 4 1-x ÷.x-1+(2k-3》+D=36-2,(x1-1D(x,-1）=(2k-3)(k+1),(x1-1)+(x, x-1 1)=3k-2,.x1-1=2k-3,x2一1=k+1,.x1+1=2k-1,x2+1=k+3.又.(x1+1) (x2+1)十3=0，∴.(2k-1)(k+3)十3=0，解得k=0或k=-2.5. 第22章基础卷 1.B2.C3.D4.C5.C6.D7.38.3或/419.2或2.510.2011.4.8 12.AC=BD(或BC=AD)13.32.5°14.1015.516.3cm17.518.1219.如图， M 点P即为所求。 20..∠BAC=90°，∴.∠ACF+∠AFE=90°. .AD⊥BC,.∠ADC=90°，.∠BCF+∠CED=90°.CF是∠ACB的平分线， ∴.∠ACF=∠BCF,∴∠AFE=∠CED.,∠AEF=∠CED,∴∠AEF=∠AFE.21.如 图，连接BE、CE. .AE平分∠FAC,EF⊥AF,∠AGE=90°，∴.EF= EG(角平分线的性质定理).DE是BC的垂直平分线，∴.BE=EC.在Rt△BEF和 Rt△CEG中，， _CE,R△BPRt△CEC直角三角形全等的抖定定理)，BD CG.22.如图，过点D作DE⊥AB于点E.则CD=BE,DE=BC=1.2m.在Rt△ADE中， AD=1.5m,由勾股定理，得AE=√AD2-DE2=√(1.5)2-(1.2)=0.9(m),∴.BE=AB ·20· 参考答案 -AE=2.5-0.9=1.6(m),.CD=BE=1.6m.答：这名学生的身高 CD为1.6m.23.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=15m,BC=9 m,.由勾股定理，得AC=√AB-BC=√15-92=12(m).在 D △ACD中，AD=5m,DC=13m,AC=12m,.AC2+AD2=12+52= 132=CD2,∠DAC=90°（勾股定理的逆定理），∴.S四边形ABCD=S△ABC十 SAac-7AC,BC+2AC·AD=号×12×9+2X12X5=8M(m, 2 ∴.铺满这块空地共需花费84×80=6720（元）.答：铺满这块空地共需花费6720元. 24.(1),在△ABC、△ABD中，∠ABC=∠ABD=90°，AC=13,AB=12,AD=15,.由勾 股定理，得BC=√AC2-AB2=√132-122=5，BD=√AD2-AB2=√152-122=9，∴.CD =BD-BC=9-5=4.(2)如图，过点C作CE⊥AD于点E..AC平分 A ∠BAD,CE⊥AD,∠ABC=90°，∴.BC=CE=9(角平分线的性质定理). ,在Rt△CDE中，CE=9,CD=l5,∴.由勾股定理，得DE=√CD2-CE= √152-92=12.在Rt△ABC和Rt△AEC中，. .BC=EC,:Rt△ABC≌ lAC=AC, D Rt△AEC(直角三角形全等的判定定理)，∴.AB=AE.,在Rt△ABD中， C AD=AE+DE=AB+12,BD=BC+CD=9+15=24,AB2+BD2=AD2,..AB2+242= (AB十12)2，解得AB=18.25.(1)由图1所示，AB⊥DE,则由平移的性质可得到图2中 ABLDE,SGo=S+Sam+Sn=号AC.CE+合DE·A0+DE.OB= 2AC.CE+DE (AO+BO)-AC CE+DEAB- (AC+BD)BC( 1 1 2ab-262 0脱=s+图=(2）2=8+ A0+2DE·0B=20号DE·AB=20,7=200,解得c=20或c=-20(合去). .BC=√WAB2-AC2=16. 第22章提高卷 1.B2.D3.C4.D5.C6.B7.10或2√78.9√59.15°10.5√211.25 12.18.6514.4515.516.3或517.12118.65【解 D B 析】如图，将容器侧面展开，作出点B关于EF的对称点B',过点B 作B'D⊥BB交AE的延长线于点D.根据题意可得，ED=B'C= BC=1cm,CE=B'D.连接AB',则AB的长即为最短距离.，圆柱 形容器的高为18cm,底面周长为12cm,∴.AE=18-7=11(cm),EC=B'D=6cm,∴.AD =AE+DE=12cm,.在Rt△AB'D中，由勾股定理，得AB'=√AD2+BD=√/122十6 ·21·