第22章直角三角形单元测试卷 2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

**基本信息** 第22章直角三角形单元测试卷，通过消防梯子、大风断树等生活情境及ICME会徽等数学文化素材，全面考查直角三角形核心知识，适配单元复习，体现几何直观与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|中线与高、全等判定、角平分线性质|动态问题（木棍滑动）与数学文化结合，考查空间观念| |填空题|6/18|角平分线性质、折叠问题、勾股定理|融入大风断树情境，检测抽象能力与几何直观| |解答题|8/72|全等证明、勾股定理应用（梯子、渔船追击）|多问设计（如消防梯子三问），体现推理能力与应用意识|

第22章直角三角形单元测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．直角三角形斜边上的高和中线分别是3和4，则它的面积是（    ） A．24 B．20 C．15 D．12 【答案】D 【详解】解：∵直角三角形斜边上的中线为4， ∴根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得斜边长为， ∵斜边上的高为3， ∴面积为． 2．如图，一根木棍斜靠在与地面（）垂直的墙（）上，设木棍中点为，若木棍端沿墙下滑，且端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点到点的距离（     ） A．始终不变 B．先变小再变大 C．先变大再变小 D．逐渐变小 【答案】A 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，， 连接， ∵，为的中点， ∴， 即在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化． 3．在中，，，，为上的两个动点，且，求的最小值为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】 作，使得，连接交于点，连接，通过全等三角形的判定与性质结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半可求出，的长，故，据此即可求解． 【详解】解：作，使得，连接交于点，连接，如图所示， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， 的最小值为10． 4．如图，，垂足为，，点在上，，，依据上述条件可以判定．这种判定三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据垂直定义和平行线性质得出，再由得出，最后结合利用定理即可判定． 【详解】解：， ， ， ， 和都是直角三角形， ， ，即， 在和中， ， ． 5．如图，平分是上一点，于点，是射线上的一个动点，若，则长的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】当时，有最小值，利用角平分线的性质可得，即可解答． 【详解】解：如图， 当时，有最小值， ∵平分，，， ∴， ∴长的最小值为3． 6．如图，在中，利用尺规作图作出了射线交于点P．根据作图痕迹，下列说法不一定正确的是（     ） A．是的平分线 B． C．点P到，的距离相等 D． 【答案】D 【分析】根据尺规作图痕迹判断为的平分线，利用角平分线的性质及三角形面积公式逐项判断． 【详解】解：由作图痕迹可知为的平分线， 故A选项说法一定正确，不合题意； 为的平分线， 点P到，的距离相等， 故C选项说法一定正确，不合题意； 设点P到，的距离为h， 则， 故B选项说法一定正确，不合题意； 根据现有条件不能得出， 故D选项说法不一定正确，符合题意． 7．如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 如图：过点作，垂足为点F，根据C是的中点可求的长度，再根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：如图：过点作，垂足为点F， ∵C是的中点，， ∴， ∵，，射线是的平分线， ． 故选：B． 8．如图，在中，，，．以点A为圆心，长为半径作弧交于点D，连接，则的长是（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，垂足为，根据等腰三角形三线合一可推出，再根据度求得，然后利用勾股定理求得，，最后由即可求得答案． 【详解】解：过点作，垂足为，如图，    根据作图可得， ， ， 在中，，， ， ， ， 由勾股定理可得：， ， ． 9．图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，图2由主题图案中相邻两个直角三角形组合而成．当时，的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 10．如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵大树上，大树高，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作于，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案． 【详解】解：过作于，如图所示： 由题意可知，， ， 根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为，由勾股定理可得， ∴它要飞回巢中所需的时间至少是． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．如图，已知是的角平分线，是的高，，，________． 【答案】 【分析】由直角三角形两个锐角互余得出，，得到，由角平分线的定义得出，最后由三角形内角和定理即可得出． 【详解】解：∵是的高，，， ∴，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 12．如图，在中，与的平分线交于点，过点作，分别交、于点、．若，则的周长是_______． 【答案】13 【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的应用，正确的进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．先根据角平分线的定义及平行线的性质证明和是等腰三角形，再由等腰三角形的性质得，则的周长，从而得出答案． 【详解】解：∵平分， ∵， 同理， ∴的周长． 故答案为：13． 13．如图，的平分线上有一点C，过点C作交于点D，点E在射线上，若，，则的最小值为_____ ． 【答案】 3 【分析】根据垂线段最短可知当时最小，利用角平分线的性质将的最小值转化为点到的距离，结合平行线的性质和等腰三角形的判定求出的长，最后在含角的直角三角形中求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点 ，当时，的长最小， 平分，，， ， 平分， ，， ， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ，即的最小值为3． 14．如图，在中，，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是__________． 【答案】 【分析】在上取一点，使得，连接，证明，将转化为，根据垂线段最短可知当、、三点共线且时，取得最小值，即点到的距离． 【详解】解：在上取一点，使得，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 根据垂线段最短可知，当点、、在同一条直线上且时，有最小值， 即的最小值为点到的距离， 过点作于点，则即为所求最小值， 在中，，， ， 在中，，，， ， 的最小值为． 15．如图，已知在长方形中，，，若把长方形沿折叠，使点落在点处，点落在点处，则_______． 【答案】 【分析】利用折叠的性质，设，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，， 设，则， 在中，， ， 解得：，即． 16．4月27日呼和浩特全域出现大风扬沙天气，瞬时最大阵风达到12级．如图，受大风影响，一棵树在离地面6米处断裂，树顶端落在离底部8米的地面上，大树底部与地面垂直，则树折断之前有_______米． 【答案】 16 【分析】根据题意构建直角三角形模型，利用勾股定理求出折断部分的长度，再加上未折断部分的高度即可得出结果． 【详解】解：设树折断部分的长度为米． 由题意可知，未折断部分、折断部分与地面构成直角三角形， 其中一条直角边长为米，另一条直角边长为米． 根据勾股定理，得． 所以树折断之前的高度为米． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．已知，如图，是的高，是的角平分线，、相交于点，且． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，求的度数； (3)求证：． 【答案】(1)解：是直角三角形，理由如下： ∵在中，是高， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； (2)； (3)证明：∵是的角平分线， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴． 【分析】根据题意可以求得，从而得到是直角三角形； 由直角三角形的性质可得，又是的角平分线，所以，最后通过三角形内角和定理即可求解； 根据是的角平分线，则，然后通过，三角形的外角性质即可得出结论成立． 【详解】（1）略； （2）解：在中，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在中， ； （3）略． 18．已知：如图，点、在的平分线上，，，，垂足分别是点、．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)略 (2)略 【分析】（1）利用即可证； （2）由（1）知平分，利用角平分线的性质定理可得． 【详解】（1）证明：点、在的平分线上， 平分， ． 在和中， ，，， ． （全等三角形对应角相等）． （2）证明：由（1）知，，即平分， 点在的平分线上， 又，， ． 19．如图，是的高，点是的中点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：，点是的中点， ， ， ， ， ， 是等边三角形； (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得垂直平分，得出，再求出，即可得证； （2）由等边三角形的性质可得，再由直角三角形的性质得出，再由点是的中点得到的长． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得是等边三角形， ，， ， ， ， ， ∵点是的中点， ． 20．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点和线段的端点均在小正方形的顶点上． (1)在方格纸中将向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后得到（点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点），请画出； (2)在（1）的条件下，在方格纸中画出以为直角边的等腰直角三角形（点在小正方形的顶点上）．连接，请直接写出线段的长． 【答案】(1)解：如图，即为所求； (2)解：如上图，三角形即为所求； 或 【分析】（1）根据平移规则，画出即可； （2）分两种情况，点向左平移5个单位，再向下平移1个单位，得到点，连接得到等腰直角三角形，连接，勾股定理求出的长，点向左平移5个单位，再向下平移1个单位，得到点，连接得到等腰直角三角形，连接，勾股定理求出的长 即可. 【详解】（1）略 （2）略 由勾股定理，得；. 21．如图，一个消防用梯子长为，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙角的距离为，求： (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)当梯子顶端下滑了到，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少？ (3)当梯子顶端下滑了多少后，梯子与水平方向成？ 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】利用勾股定理即可求解； 由题意得，，则，由勾股定理得，然后通过线段的和与差即可求解； 由题意得，，通过直角三角形性质可得，然后通过线段的和与差即可求解． 【详解】（1）解：这个梯子的顶端距地面的高度为， 答：梯子顶端距离地面的高度为米； （2）解：由题意得，， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴梯子的底端在水平方向滑动了； （3）解：由题意得，， ∵，， ∴， ∴， ∴当梯子顶端下滑了后，梯子与水平方向成． 22．如图，在中，，，点在线段的延长线上，与不重合，且．连接，过作于点，与交于点． (1)求证：； (2)连接，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的判定、等腰三角形的性质，关键是辅助线的作法； （1）利用同角的余角相等得到，进而可证； （2）利用等腰三角形的性质及角平分线的判定得到角的相等关系，进而在中论证即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵ ∴； （2）如图1，过点作，，垂足分别为，． 由（1）知， ∴，； ∴， ∴； ∵，， ∴平分， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ∵，， ∴， 即． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的判定、等腰三角形的性质，关键是辅助线的作法. 23．如图，某海警巡逻舰在A处巡航时，发现位于A处北偏东方向距离为海里的C处有一艘可疑渔船，该渔船正沿向C的正南方向逃窜，D点位于航线上，且恰在C的正南方．巡逻舰立即从A出发，沿正东方向的航线展开追击．已知港口B在A的正东方向，两地相距110海里，B，C两地直线距离为50海里．（参考数据：，，） (1)若巡逻舰恰好在D处追上可疑渔船，求的长度； (2)在（1）的条件下，若可疑渔船的逃窜速度为8海里/时，当可疑渔船行驶4小时时，求此时巡逻舰与可疑渔船的直线距离．（结果精确到十分位） 【答案】(1)40海里 (2)海里 【分析】（1）设海里，则海里，由勾股定理可得，则，解方程即可得到答案； （2）求出可疑渔船行驶4小时时的路程，以及到达点D的时间，进而求出巡逻舰的速度，从而求出巡逻舰的路程，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：设海里，则海里， 由题意得，， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得 ∴，即， 解得， ∴海里， ∴海里， 答：的长度为40海里； （2）解：∵可疑渔船的逃窜速度为8海里/时， ∴当可疑渔船行驶4小时时，行驶的路程为海里，且其到达点D的时间为小时， ∴巡逻舰的速度为海里/小时， 设可疑渔船行驶4小时时的位置在点E，巡逻舰的位置在点F， 在中，海里，海里， ∴海里， 答：此时巡逻舰与可疑渔船的直线距离约为海里． 24．图1是露营时用的天幕帐篷，搭天幕帐篷时，用天幕杆作为支撑，在点A处用绳子向地面固定，地面上的固定点为C，如图2所示，其中米，米，米（绳子始终处于紧绷状态，图中所有点都在同一平面内）． (1)通过计算判断此时是否与垂直； (2)由于风力增大，为了更稳固地固定帐篷，在点A处又增加一条绳子，与地面的固定点为点D（点D在的延长线上）．若米，求的长度． 【答案】(1)解：在中，，， ，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴； (2) 【分析】（1）根据勾股定理逆定理解答即可； （2）在中，根据勾股定理可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：在中，， 根据勾股定理得， ∴（米）， 即的长度为米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $第22章直角三角形单元测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1.直角三角形斜边上的高和中线分别是3和4，则它的面积是() A.24 B.20 C.15 D.12 2.如图，一根木棍斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，设木棍中点为P,若木棍 A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行.在此滑动过程中，点P到点O的距离() O BM A.始终不变 B.先变小再变大C.先变大再变小D.逐渐变小 3.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10,E,F为AB上的两个动点，且AE=BF,求 CE+CF的最小值为() A.6 B.8 C.10 D.12 4.如图，AB⊥CF,垂足为B,AB∥DE,点E在CF上，CE=FB,AC=DF,依据 上述条件可以判定△ABC≌aDEF.这种判定三角形全等的依据是() A.AAS B.ASA C.SSS D.HL 5.如图，OC平分∠AOB,P是OC上一点，PH⊥OB于点H,2是射线OA上的一个动 试卷第1页，共3页 点，若PH=3,则P吧长的最小值为() B H A.3 B.4 C.5 D.6 6.如图，在△ABC中，利用尺规作图作出了射线BP交AC于点P.根据作图痕迹，下列说 法不一定正确的是() BP是∠ABC S△ABP:S△CBP=AB:CB 的平分线 B. C.点P到AB,BC的距离相等 D.AP=PC 7.如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得AB=12cm,C恰好 是AB的中点.当CD⊥AB,且射线DB恰好是∠CDE的平分线时，此时点B到直线DE的 距离是() 图1 图2 A.4cm B.6cm C.8cm D.12cm 8.如图，在△1BC中，1B=5,4C=45.∠C=45 以点A为圆心， 1B长为半径作 弧交BC于点D,连接AD,则CD的长是() 试卷第2页，共3页 B A.4W2-4 B.1 c.57-6 D.2 9.图1是第七届国际数学教育大会(ICME)的会徽，图2由主题图案中相邻两个直角三 时，Oc AB=BC=1,A0=3 角形组合而成.当 的长为() B ICME7 图1 图2 V21 万 A.2 B.5 C.3 D.2 10.如图，有一只喜鹊在一棵2m高的小树AB上觅食，它的巢筑在与该树水平距离(BC )为l2m的一棵大树CM上，大树高CM=8m,喜鹊的巢位于树项下方lm的D处，当它 听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为2m/s,那么它要飞回巢中所需 的时间至少是() M 0 B A.6.5s B.6s C.5.5s D.5s 二、填空题（每题3分，共18分） 11.如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠ACE=20°，∠B=50°， ∠ADC= 试卷第3页，共3页 12.如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O,过点O作DE∥BC,分别交 C于点D、E.若B=84C=5. AB AC 则4ADE 周长是 E A 13.如图，∠AOB的平分线上有一点C,过点C作CD‖OA交OB于点D,点E在射线OA 上，若∠A0C=15°，OD=6,则CE的最小值为一· B D E 14.如图，在R△ABC中，∠ACB=90°，AC=10,∠ABC=60°，∠BAC的平分线AD交 BC于点D,E、F分别是AD和AC上的动点，则CE+EF的最小值是 B D 4 15.如图，己知在长方形ABCD中，AB=3,BC=5,若把长方形ABCD沿EF折叠，使 点C落在点A处，点D落在点G处，则CF= 试卷第4页，共3页 G E 16.4月27日呼和浩特全域出现大风扬沙天气，瞬时最大阵风达到12级.如图，受大风影 响，一棵树在离地面6米处断裂，树顶端落在离底部8米的地面上，大树底部与地面垂直， 则树折断之前有 米 三、解答题（每题9分，共72分） 17.已知，如图，CD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，AE、CD相交于点F,且 ∠ACD=∠B (I)试判断△ABC的形状，并说明理由； (2)若∠B=32°，求∠AEB的度数； (3)求证：∠CFE=∠CEF 18.己知：如图，点P、D在∠AOB的平分线上，OA=OB,PM⊥BD,PN⊥AD,垂 足分别是点M、N,求证： B M 1)∠BDO=∠ADO: (2)PM=PN 试卷第5页，共3页 19.如图，BD是△ABC的高，点D是AC的中点，过点D作AB的垂线交AB于点E,交 BC的延长线于点F,∠F=30. (I)求证：△ABC是等边三角形； (2)若AE=1,求AB的长 20.如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点和线段DE的端 点均在小正方形的顶点上 A B (I)在方格纸中将△ABC向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后得到△FGH (点A的对应点是点F,点B的对应点是点G,点C的对应点是点H),请画出△FGH; (2)在(I)的条件下，在方格纸中画出以DE为直角边的等腰直角三角形DEM(点M在小 正方形的顶点上)，连接HM,请直接写出线段HM的长. 21.如图，一个消防用梯子AB长为25m,顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C 的距离为7m,求： 25 D 7 (1)这个梯子的顶端A距地面有多高？ (2)当梯子顶端下滑了4m到E,那么梯子的底端B在水平方向滑动了多少m? (3)当梯子顶端下滑了多少m后，梯子与水平方向成30°？ 试卷第6页，共3页 22.如图，在△ABC中，AB=BC,∠ABC=90°，点D在线段AB的延长线上，D与B不 重合，且AD<2AB.连接CD,过A作AE⊥CD于点E,AE与BC交于点F. A F B D (I)求证：△ABF≌aCBD: (2)连接BE,判断∠CAE与∠CBE的数量关系，并说明理由， 0w5 23.如图，某海警巡逻舰在A处巡航时，发现位于A处北偏东方向距离为 海里的C 处有一艘可疑渔船，该渔船正沿CD向C的正南方向逃窜，D点位于航线AB上，且恰在C 的正南方.巡逻舰立即从A出发，沿正东方向的航线AB展开追击.已知港口B在A的正 V2=1.414 东方向，两地相距110海里，B,C两地直线距离为50海里.（参考数据： V5=1.732V5=2.236 北 ◆东 南 D B (I)若巡逻舰恰好在D处追上可疑渔船，求CD的长度： (2)在(1)的条件下，若可疑渔船的逃窜速度为8海里/时，当可疑渔船行驶4小时时，求 此时巡逻舰与可疑渔船的直线距离.（结果精确到十分位） 24.图1是露营时用的天幕帐篷，搭天幕帐篷时，用天幕杆AB作为支撑，在点A处用绳 12 9 子向地面固定，地面上的固定点为C,如图2所示，其中4B=5米，BC=亏米，AC=3 米（绳子始终处于紧绷状态，图中所有点都在同一平面内）， 试卷第7页，共3页 B C 图1 图2 (1)通过计算判断此时AB是否与BC垂直； (2)由于风力增大，为了更稳固地固定帐篷，在点A处又增加一条绳子，与地面的固定点为 点D(点D在BC的延长线上)，若AD=4米，求CD的长度. 试卷第8页，共3页