22.3(1) 勾股定理(1)-【上海特训】2026-2027学年八年级上册数学（沪教版 五四制·新教材）

上海特训数学八年级上 22.3勾股定理 22.3(1) 勾股定理(1) 修正处 知识点归纳 1.定理：在直角三角形中，斜边大于直角边 2.定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 3勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 课时必刷 一、选择题 1.如果直角三角形的两条直角边分别为5和12，那么这个三角形斜边上的中线长为() A.6 B.6.5 C.10 D.13 2.如图，在3×3的正方形网格中，A、B、C、D是格点，则下列线段长度中最长的是 A.AB B.AD C.AC D.AE 第2题图 第3题图 3.嘉嘉画了一个如图所示的四边形，若AB=2,BC=CD=1,连接AC,∠ABC=∠ACD =90°，则AD的长为 () A.√5 B.√6 C.√7 D.22 二、填空题 4.如图，三角形为直角三角形，字母A、B、C分别表示各个正方形的面积，如果B的值为 289,C的值为64，那么A的值为 B 5.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数 组：(3,4,5)，(5,12,13)，(7,24,25)，….即当勾为3时，股为4，弦为5，以此类推.分析上 面数组的排列规律，当勾为13时，股和弦的值分别为 ·68· 第22章直角三角形 三、简答题 修正处 6.等腰三角形的两条边长分别为4和6，求这个等腰三角形的面积. 7.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点 按要求画一个三角形，使三角形的三边长分别为3、2√2√5】 8.现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b,斜边长为c,将它们拼合 为下图的形状。 (1)添加如图辅助线，根据该图，可以用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，通过 面积相等，从而证明勾股定理.请你将下面的证明过程补充完整.整个组合图形的面 积表示，方法一：以c为边的正方形的面积十两个直角三角形的面积，即最后化简为 ;方法二：分别以a和b为边的两个小正方形的面积十两个直角三角形 的面积，即最后化简为 ;根据面积相等，直接得等式 ,化简 最后结果是 ,从而证明勾股定理. (2)当a=3,b=4时，求空白部分的面积. 思维拓展 9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,EF⊥ AC于点F,求证：AC2=2EF2. ·69·参考答案 CE⊥AC,AE⊥BD,.∠CAE+∠EAB=90°，∠ACE=90°，∠ABD+∠EAB=90°，.∠CAE I∠ACE=∠BAD, =∠ABD.在△ECA和△DAB中，：AC=BA, ∴.△ECA≌△DAB(ASA), ∠CAE=∠ABD, ∴SaAE=SaD=·AB·AD=×4X1=2.(2)如图，过点G作GMLBF,GNL 1 AE,垂足分别为点M、N.设AG与BD交于点H.,G为BC的中 点，AB=AC,∠BAC=90°，.AG⊥BC,AG=BG,又AE⊥BD,∴ D ∠AFH=∠BGH=90°.，∠AHF=∠BHG,∴.∠FAH=∠GBH. ∠ANG=∠BMG=90°， 在△ANG和△BMG中，，{∠NAG=∠MBG, ∴.△ANG≌ AG=BG, △BMG(AAS),∴.GN=GM.又.GM⊥BF,GN⊥AE,∴.FG平分∠BFE. 22.3勾股定理 22.3(1)勾股定理(1) 1.B2.C3.B4.2255.84、856.当底边长为4、腰长为6时，如图1，即BC=4,AB= AC=6,过点A作AD⊥BC,则BD=2,∴.AD=√AB2-BD2=√62-2=4V2,SAABC= 2BC·AD=号×4×4反-8V2;当底边长为6膜长为4时，如图2，同理可得AD VAB-BD=-可=7，Sc=BC·AD=号×6Xw7=3v.综上所述，这个 等腰三角形的面积为8√2或3√/7. D D 图1 图2 7.(答案不唯一)如图.△ABC即为所求作. B 8.(1)c2+aba2+b2+abc2+ab=a2+b2+abc2=a2十b2(2)空白部分的面积为c2 ·13· 上海特训数学八年级上 门V∴.68I=×8一+8=平面阳b=98=D宗90=9+2”=9D二90 ∴∠CAB=∠CBA.,EF⊥AC,∠C=90°，∴.EF∥BC,∴∠FEA=∠B,∴.∠CAB= ∠FEA,∴.AF=EF,.在Rt△AEF中，AE2=AF2+EF2=2EF2.AD平分∠BAC,∠C =90,DE⊥AB,∴DC=DE,在Rt△ACD和RIAAED中，：DC-DE,:R△ACD≌ AD=AD, Rt△AED(直角三角形全等的判定定理)，∴AC=AE,.AC2=2EF2. 22.3(2)勾股定理(2) 1.D2.C3.C4直角5.2v有cm6罗7.除了(8)之外，都是直角三角形，8.由 图可知AB2=32+42=25,BC2=22+42=20,AC2=12+22=5,∴.AB2=BC2+AC2, .∠ACB=90°.9.如图，连接AC.在Rt△ABC中，∠ABC= 90°，AB=20,BC=15,.AC=√AB2+BC=25.在△ADC中， CD=7,AD=24,.AD2十CD2=AC2,.∠D=90°.∴S阳边形AD= SAx+56m=号·AB,5C+号·AD.CD=号×20X15+号× 24×7=234.10.如图，延长AC至点E,使得CE=AC,连接 DE.:AC是中线，.BC=CD.在△ABC和△EDC中， AC=EC, B ∠ACB=∠ECD,∴.△ABC≌△EDC(SAS),.AB=DE=4. BC=DC, 在△ADE中，AE2=62=36,DE2=42=16,AD2=52,∴.AE2 +DE8=AD2,∴.∠E=90°，∴.CD=√CE2+DE2=√32+42=5， .BD=2CD=10.11.△ABC为等边三角形，∴.BA=BC.如 图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△BEA,连接EP.∴.BE =BP=4,AE=CP=5,∠PBE=60°，.△BPE为等边三角形， PE=BP=4,∠BPE=60°.在△AEP中，AE=5,AP=3,PE= 4,∴.AP2+PE2=32+4=52=AE2,∴.△AEP为直角三角形，且∠APE=90°，∠BPA =∠APE+∠BPE=90°+60°=150°. 22.3(3)勾股定理(3) 1.252.4.83.10或2W74.135.B6.D7.A8.在Rt△ABC中，BC=2×2.5= 5(cm),AC=12cm.由勾股定理，可知AC2+BC2=AB2,即有122十52=AB2,解得AB= 13,∴.h=18-13=5.9.,在△EDC中，∠EDC=90°，DC=3,DE=4,∴.由勾股定理，得 CE=√CD2+DE=√32+4=5..AE=1,.AC=AE+CE=1+5=6,∴AC2=36. BD=7,AB=8,∴.BC=BD+CD=7+3=10,..BC2=100,AB2=64,.AB2+AC2= BC,∠BAC=90,∴50=Sax-S6x=号·AB·AC-2·DE·DC=2×8 X6-号×4X3=18、101)设AE-xkm,则BE=(20-x)km在R△ADE和 ·14·