22.1(1) 直角三角形的性质-【上海特训】2026-2027学年八年级上册数学（沪教版 五四制·新教材）

上海特训数学八年级上 理，得(3k-3)x2+(6k+2)x+3k+1=0.若3k一3=0，即k=1,则8x十4=0，解得x= 一2经检验，x=一号是分式方程的根，符合题意；若3-3≠0，即及≠1时，则△=(6k十 2)2-4(3k-3)(3最+1)=0，解得0=-子，则(3骏-3)x2+(6k+2)x+3+1=0可化为 一4x2=0,解得x=0.经检验，x=0是分式方程的根，符合题意.综上所述，当k=1时，方程 的根为x=一2或当及=-号时，方程的根为x=0, 1 21.5(5)列方程解应用题(4) L,设乙的速度是xkm小，则甲的速度是(c十少km/A,根据题意，得方程-51-2整 理，得x2十x一30=0.解得x1=5,x2=一6，经检验，x1=5,x2=一6都是原方程的根，但负 值不符合实际意义，应舍去.故x=5,x十1=6.答：甲的速度是6km/h,乙的速度是 5km/h.2.设原计划每天栽x棵，则实际每天栽(x十2)棵.根据题意，得方程9696。= xx十2 4.整理，得x2十2x一48=0.解得x1=6,x2=一8.经检验，x1=6,x2=一8都是原方程的 根，但负值不符合实际意义，应舍去.故x=6.答：原计划每天栽6棵.3.设甲队单独完 成此项工程需x天，则乙队单独完成此项工程需(x一5)天根据题意，得方程十，。=1， 整理，得x2一17x十30=0.解得x1=15,x2=2.经检验，x1=15,x2=2都是原方程的根，由 x>0,x一5>0，可得x>5,所以x2=2不符合题意，应舍去.故x=15,x-5=10.答：甲 队单独完成此项工程需15天，乙队单独完成此项工程需10天.4.设骑车学生的骑行速度 是xkmh,根据题意，得方程02z10100整理，得元7x-120=0,解得z1=15,乙 =一8.经检验，x1=15,x2=一8都是原方程的根，但负值不符合实际意义，应舍去.故x= 15.答：骑车学生的骑行速度是15km/h.5.设原计划每天加固的长度为xm.根据题 意，得方程22402=2240整理，得x十20x-22400=0,解得x1=140,z2=160.经橙 验，由x1=140,x2=一160都是原方程的根，但负值不符合实际意义，应舍去.故x=140,x +20=160.224-160=64(m).答：每天加固的长度还要再增加64m.6.①设原计划每 天悠建下水管道的长度为1血根器题意，得方程-1十器=2，整理，得2.5江 3000 750.解得x=300.经检验，x=300是原方程的根.答：原计划每天修建下水管道的长度为 300m. ②设原计划每天修建下水管道的长度为xm,根据题意，得方程3000-300 xx+75=2. 整理，得x2十75x一112500=0.解得x1=300,x2=一375.经检验，x1=300,x2=一375都 是原方程的根，但负值不符合实际意义，应舍去.故x=300.答：原计划每天修建下水管道 的长度为300m. 第22章直角三角形 22.1直角三角形 21.1(1)直角三角形的性质 1.B2.B3.26°44.18°72°5.26.54°7.70°20°8.59..在△ABC中， ·10· 参考答案 ∠ACB=90°，CE是斜边AB上的中线，.CE=BE.BD=ED,CD⊥AB,∴.CE=BC, .△BCE是等边三角形，∴.∠B=60°..∠A十∠B=90°，∴.∠A=30°.10.(1)△ABC是 直角三角形.理由如下：∠A=∠2，∠1=∠B,∴.∠A十∠2十∠1十∠B=180°，∴.∠A十 ∠B=90°，.△ABC是直角三角形.(2)CD⊥AB.理由如下：：∠A十∠B=90°，∠A= ∠2，.∠2十∠B=90°，.∠CDB=90°，.CD LAB.11.AD=2BC.证明：如图，取AD的 中点M,连接BM..BD⊥AB,.∠ABD=90°.M是AD 的中点，∴.BM=AM=DM,∴.∠A=∠ABM,∠MBD= ∠MDB..∠A=20°，∴.∠ABM=20°，.∠MBD=∠MDB M =70°，∴.∠BMD=40°.，∠CBD=30°，.∠MBC=∠MBD+∠CBD=70°+30°=100， ∴.∠C=180°-∠MBC-∠BMD=180°-100°-40°=40°，.∠C=∠BMD,.BC=BM, ∴.BC=AM=DM,.AD=2BC. 22.1(2)直角三角形全等的判定 1.B2.D3.C4.(1)AAS(2)ASA(3)直角三角形全等的判定定理(4)SAS5.35 6.,D是BC的中点，∴.BD=CD.在Rt△BDE和Rt△CDF中，， BD=CD'Rt△BDE≌ Rt△CDF(直角三角形全等的判定定理)，∠B=∠C,AB=AC.,D是BC的中点，AD」 BC.7.在Rt△ADC和Rt△CEB中， ,AC=CB,:R△ADC≌Rt△CEB,∠DAC= AD=CE, ∠ECB.:∠DAC+∠DCA=90°，.∠ECB+∠DCA=90°，∴.∠ACB=90°.8.在Rt△BED和 RIABFD中，：BDBD:RIABEDS≌R△BFD(直角三角形全等的到定定理，∠EBD DE=DF, ∠FBD.,DG∥AB,∴.∠GDB=∠EBD,∴.∠GDB=∠FBD,.DG=BG.9.如图，已知BD、 CE分别是边AC和边AB上的高，BD=CE.求证：△ABC是等腰三角形.证明：在Rt△BCD和 RACBE中，：BD-CE,:RtABCDS≌RACBE(直角三角形全等的刻定定理，∠DCB= BC=CB, ∠EBC,∴.AC=AB,∴.△ABC是等腰三角形. 22.2角平分线 22.2(1)角平分线(1) ∠BDE=∠CDF, 1.D2.A3.C4.在△BED和△CFD中，，{∠BED=∠CFD=90°，∴.△BED≌△CFD BE=CF, (AAS),∴.DE=DF,又.BF⊥AC,CE⊥AB,∴.AD平分∠BAC.5..AD平分∠BAC,∠C= 90°，DE⊥AB,∴.CD=DE.又DE+BD=5cm,∴.BC=5cm.6.AD平分∠BAC,DE⊥AB, DF⊥AC,∴.DE=DF.:△ABD与△ADC的面积相等，∴.AB=AC.又，等腰三角形三线合一， ∴.AD⊥BC.7.OP平分∠MON,PA⊥OM,PB⊥ON,∴.AP=PB,∠AOP=∠BOP, ∴.∠OPA=∠OPB.又CE⊥PA,CF⊥PB,.CE=CF.8.BF⊥AC,CE⊥AB,AD是 (∠BED=∠CFD=90°， ∠BAC的平分线，∴.DE=DF.在△BDE和△CDF中，，{DE=DF, ∴.△BDE≌ ∠BDE=∠CDF, △CDF(ASA),∴.BD=CD.9.如图，过点E作EF⊥BC,垂足为点F.BE、CE分别是△ABC ·11·上海特训数学八年级上 第22章 ◆◆ 直角三角形 22.1直角三角形 22.1(1) 直角三角形的性质 修正处 知识点归纳 1.直角三角形的性质定理： (1)直角三角形的两个锐角互余， (2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 2.直角三角形的判定定理： 两个锐角互余的三角形是直角三角形. 课时必刷 一、选择题 1.下列说法中正确的有 () ①直角三角形的两个锐角相等； ②直角三角形一条边上的中线等于这条边的一半； ③直角三角形斜边上的中线把这个三角形分成面积相等的两部分； ④直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD是边AB上的中线，CE是边AB上的高， 下列判断中正确的有 () A E D ①∠B=∠1；②∠1=∠3；③∠2=∠3；④∠A+∠3=90°. A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ 二、填空题 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,E为BC的中点，若∠ACD=26°，DE= 2,则∠B的度数是 ,BC= D ·60· 第22章直角三角形 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A:∠B=1:4,则∠A的度数是 ,∠B的度数是 修正处 5.已知面积为6的直角三角形斜边上的高为3，则斜边上的中线长为 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,点E是AB的中点，∠DCE:∠B= 1：2,则∠A的度数是 D E 7.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A-∠B=50°，那么∠A的度数是 ,∠B的度数 是 8.如图，在△ABC中，高BE交AC于点E,若2∠A十∠C=90°，AE=6,△ABC的面积为 15,则BC的长为 三、解答题 9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC<AC,CD是斜边AB上的高线，CE是斜边AB上 的中线.若BD=ED,求证：∠A=30°. 10.如图，在△ABC中，D为AB上一点，∠A=∠2，∠1=∠B. (1)判断△ABC的形状，并说明理由； (2)判断CD是否与AB垂直，并说明理由. 思维拓展 11.如图，在△ABC中，BD⊥AB,交AC于点D,∠A=20°，∠CBD=30°，请思考：线段 AD与BC满足怎样的数量关系？并加以证明. ·61·