22.2(1) 角平分线(1)-【上海特训】2026-2027学年八年级上册数学（沪教版 五四制·新教材）

上海特训数学八年级上 22.2 角平分线 22.2(1) 角平分线(1) 修正处 知识点归纳 1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边所在直线的距离相等. 2.逆定理：在角的内部，到角的两边所在直线距离相等的点，均在这个角的平分线上 课时必刷 一、选择题 1.如图，在CD上求一点P,使它到OA、OB的距离相等，则点P是 ( A.线段CD的中点 B.OA与OB的中垂线的交点 C.OA与线段CD的中垂线的交点 D.直线CD与∠AOB的平分线的交点 p B 第1题图 第2题图 2.如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E,PE=3,则点P到AB的 距离是 () A.3 B.4 C.5 D.6 3.在△ABC中，AB=AC,∠ABC的平分线与AC交于点D,若∠BDC=75°，则∠A= () A.20° B.30° C.40° D.50° 二、解答题 4.如图，已知BF⊥AC,CE⊥AB,垂足分别为点F、E,BF与CE交于点D,且BE=CF. 求证：AD平分∠BAC. ·64· 第22章直角三角形 5.如图，已知：在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC,交BC于点D,DE⊥AB于点E, 修正处 且DE+BD=5cm,求BC的长. 6.如图，已知：在△ABC中，AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,且 △ABD与△ADC的面积相等.求证：AD⊥BC. 7.如图，已知：OP平分∠MON,PA⊥OM于点A,PB⊥ON于点B,点C为OP上一点， CE⊥PA于点E,CF⊥PB于点F.求证：CE=CF. 8.如图，已知：BF⊥AC于点F,CE⊥AB于点E,AD是∠BAC的平分线.求证：BD= CD. 思维拓展 9.如图，已知：BE、CE分别为△ABC的两个外角平分线，EP⊥AM于点P,EQ⊥AN于 点Q.求证：点E在∠NAM的平分线上. ·65·参考答案 ∠ACB=90°，CE是斜边AB上的中线，.CE=BE.BD=ED,CD⊥AB,∴.CE=BC, .△BCE是等边三角形，∴.∠B=60°..∠A十∠B=90°，∴.∠A=30°.10.(1)△ABC是 直角三角形.理由如下：∠A=∠2，∠1=∠B,∴.∠A十∠2十∠1十∠B=180°，∴.∠A十 ∠B=90°，.△ABC是直角三角形.(2)CD⊥AB.理由如下：：∠A十∠B=90°，∠A= ∠2，.∠2十∠B=90°，.∠CDB=90°，.CD LAB.11.AD=2BC.证明：如图，取AD的 中点M,连接BM..BD⊥AB,.∠ABD=90°.M是AD 的中点，∴.BM=AM=DM,∴.∠A=∠ABM,∠MBD= ∠MDB..∠A=20°，∴.∠ABM=20°，.∠MBD=∠MDB M =70°，∴.∠BMD=40°.，∠CBD=30°，.∠MBC=∠MBD+∠CBD=70°+30°=100， ∴.∠C=180°-∠MBC-∠BMD=180°-100°-40°=40°，.∠C=∠BMD,.BC=BM, ∴.BC=AM=DM,.AD=2BC. 22.1(2)直角三角形全等的判定 1.B2.D3.C4.(1)AAS(2)ASA(3)直角三角形全等的判定定理(4)SAS5.35 6.,D是BC的中点，∴.BD=CD.在Rt△BDE和Rt△CDF中，， BD=CD'Rt△BDE≌ Rt△CDF(直角三角形全等的判定定理)，∠B=∠C,AB=AC.,D是BC的中点，AD」 BC.7.在Rt△ADC和Rt△CEB中， ,AC=CB,:R△ADC≌Rt△CEB,∠DAC= AD=CE, ∠ECB.:∠DAC+∠DCA=90°，.∠ECB+∠DCA=90°，∴.∠ACB=90°.8.在Rt△BED和 RIABFD中，：BDBD:RIABEDS≌R△BFD(直角三角形全等的到定定理，∠EBD DE=DF, ∠FBD.,DG∥AB,∴.∠GDB=∠EBD,∴.∠GDB=∠FBD,.DG=BG.9.如图，已知BD、 CE分别是边AC和边AB上的高，BD=CE.求证：△ABC是等腰三角形.证明：在Rt△BCD和 RACBE中，：BD-CE,:RtABCDS≌RACBE(直角三角形全等的刻定定理，∠DCB= BC=CB, ∠EBC,∴.AC=AB,∴.△ABC是等腰三角形. 22.2角平分线 22.2(1)角平分线(1) ∠BDE=∠CDF, 1.D2.A3.C4.在△BED和△CFD中，，{∠BED=∠CFD=90°，∴.△BED≌△CFD BE=CF, (AAS),∴.DE=DF,又.BF⊥AC,CE⊥AB,∴.AD平分∠BAC.5..AD平分∠BAC,∠C= 90°，DE⊥AB,∴.CD=DE.又DE+BD=5cm,∴.BC=5cm.6.AD平分∠BAC,DE⊥AB, DF⊥AC,∴.DE=DF.:△ABD与△ADC的面积相等，∴.AB=AC.又，等腰三角形三线合一， ∴.AD⊥BC.7.OP平分∠MON,PA⊥OM,PB⊥ON,∴.AP=PB,∠AOP=∠BOP, ∴.∠OPA=∠OPB.又CE⊥PA,CF⊥PB,.CE=CF.8.BF⊥AC,CE⊥AB,AD是 (∠BED=∠CFD=90°， ∠BAC的平分线，∴.DE=DF.在△BDE和△CDF中，，{DE=DF, ∴.△BDE≌ ∠BDE=∠CDF, △CDF(ASA),∴.BD=CD.9.如图，过点E作EF⊥BC,垂足为点F.BE、CE分别是△ABC ·11· 上海特训数学八年级上 的两个外角平分线，EP⊥AM,EQ⊥AN,∴.EP=EF,EQ=EF,.EP=EQ.又EP⊥AM,EQ ⊥AN,.点E在∠NAM的平分线上. P M 22.2(2)角平分线(2) 1.D2.A3.B4.C5.如图，P1、P2、P3、P4即为加油站的位置，共有4个符合要求的位置. 6.(1).OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,.EC=ED,.∠ECD=∠EDC.∠ECO =∠EDO=90°，.∠OCD=∠ODC,∴.OC=OD.(2).EC=ED,OC=OD,.OE垂直 E 平分CD.7.如图，过点D作DF⊥BC,垂足为点F. ,BD平分 C ∠ABC,DELAB,∴DE=DF.:SAc=SAMm+SAm36=号·ABDE+号， BC·DF,.DE=2.4cm.8..AD平分∠BAC,DE⊥AB,∠ACB=90°，.DE=DC, ∴∠ECD=∠CED.又，∠FEC=∠DEC,∴∠FEC=∠ECD,.EF∥BC.9.如图，过点 8--0 C作CF⊥AB,交AB的延长线于点F. ,AC平分∠BAD,CE⊥ D D,CEAB,CE=CE,在R△ACF和R△AGE中，QGC,R△ACPe Rt△ACE(直角三角形全等的判定定理)，∴.AE=AF=AB十BF.在Rt△BCF和Rt△DCE中， 8S_CE,R△BCP②R△DCE(直角三角形全等的判定定理)，DE=BP,AD AE+DE=AB+BF+DE=AB+2DE,即12=7+2DE,∴DE-5.10.(I∠BAC=90, ·12·