22.1 直角三角形（内角互余和斜边中线性质）（题型专练）数学新教材沪教版五四制八年级上册

22.1 直角三角形（内角互余和斜边中线性质） A 基础达标题 题型一、直角三角形的两个锐角互余 1 题型二、锐角互余的三角形是直角三角形 5 B 能力提升题 题型一、含30度角的直角三角形 11 题型二、斜边的中线等于斜边的一半 16 C 拓展培优题 题型一、直角三角形的两个锐角互余 1．下列命题中，逆命题是假命题的是（　　） A．两直线平行，同旁内角互补； B．直角三角形的两个锐角互余； C．两个全等三角形的对应角相等； D．两内角相等的三角形是等腰三角形； 2．如图，在中，于点D，于点E，交于点F，且，那么下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 3．已知：如图，在中，，，若，则 ． 4．如图，在中，已知是的角平分线，点D是内一点，且，，，那么 °． 5．在中，为斜边上的中线，已知，则的周长= ． 6．在中，为钝角，，都是这个三角形的高，为的中点，若，则的度数为 ． 题型二、锐角互余的三角形是直角三角形 7．在中，的对边分别是，则下列条件中不能说明是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 8．在中，的对边分别是，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在等腰三角形中，，为边上的中线，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．如图中，在边上，在边上，，则的大小为 度． 11．已知的三个角分别是、、，下列选项中：①；②；③，④，⑤，不能判断是直角三角形的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 12．如图，在中，高交于点，若的面积为，则的长为 ． 13．如图，在中，是上一点，延长至点，使得，连接． (1)求证：； (2)若，求的面积． 题型一、含30度角的直角三角形 14．如图，在中，，．若，则的长为（   ） A． B．1 C．2 D．4 15．如图，中，，是高，，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 16．如图，在等边中，D是的中点，于点E，于点F．若．则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 17．如图，将沿方向平移得到，点的对应点分别为点与交于点G，若，，，则的长度为（    ） A．4 B． C． D．2 18．如图1是某地铁站入口的双翼闸门，当它的双翼展开时，如图2，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（    ） A．62 B．54 C．64 D．74 19．如图，在等边中，D是的中点，于点E，于点F，已知，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 20．如图，中，，D为的中点，于D．求证：． 21．在中，是的一半，比大，若，求的长（提示：结合直角三角形性质）． 题型二、斜边的中线等于斜边的一半 22．如图，在中，，是边上的中线，且，则的长是（   ） A． B．5 C． D．10 23．如图，在中，是斜边的中点，连接，，则的长为 ． 24．在直角三角形中，斜边及其中线之和等于，那么斜边长是 ． 25．如图，在中，，是中线，若，，于点，则的值是 ．    26．如图，在中，为钝角，，都是这个三角形的高，为的中点，．若，则的度数为 ． 27．如图，点D是的边上的中点，，是的高，连接，点H是的中点，试说明． 28．如图，在中，，点D是上的一点，且，点E是的中点，连结． (1)请说明； (2)吗？若成立请给出说明过程； 1．在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角是50°，等腰三角形的底角度数是 ． 3．如图， ，直线分别交、于点，，平分，于点，若，则 ．   4．如图，是的边上的高，平分，若，，则 5．如图，中，平分，P为延长线上一点，于E，已知，求的度数． 6．已知，点分别为线段上两点，连接交于点． (1)若，，如图所示， 度； (2)若平分，平分，如图所示，试说明此时与的数量关系； (3)在（）的条件下，若，试说明：． 7．如图1，点是线段上一点，， (1)求证：． (2)如图2，点是线段延长线上的一点，其他条件不变，我们能得到什么结论？并证明． 试卷第1页，共3页 1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 22.1 直角三角形（内角互余和斜边中线性质） A 基础达标题 题型一、直角三角形的两个锐角互余 1 题型二、锐角互余的三角形是直角三角形 5 B 能力提升题 题型一、含30度角的直角三角形 11 题型二、斜边的中线等于斜边的一半 16 C 拓展培优题 题型一、直角三角形的两个锐角互余 1．下列命题中，逆命题是假命题的是（　　） A．两直线平行，同旁内角互补； B．直角三角形的两个锐角互余； C．两个全等三角形的对应角相等； D．两内角相等的三角形是等腰三角形； 【答案】C 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理． 先写出原命题的逆命题后判断正误即可． 【详解】解：A、逆命题为同旁内角互补，两直线平行，正确，是真命题，故A不符合题意； B、逆命题为两个锐角互余的三角形是直角三角形，正确，是真命题，故B不符合题意； C、逆命题为对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，故C符合题意； D、逆命题为等腰三角形的两个内角相等，正确，是真命题，故D不符合题意； 故选：C． 2．如图，在中，于点D，于点E，交于点F，且，那么下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据直角三角形的性质可判断A，B选项，证明，可判断C，D选项． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴，故选项A正确； ， ， ，故选项B正确； 在和中， ， ∴， ∴，故选项D正确； ， 和不可能全等， ∴，故选项C错误； 故选：C． 3．已知：如图，在中，，，若，则 ． 【答案】/26度 【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ． 故答案为：． 4．如图，在中，已知是的角平分线，点D是内一点，且，，，那么 °． 【答案】58 【分析】本题考查三角形外角性质，等角的余角相等，解题的关键是掌握掌外角的性质． 【详解】解：延长交于点， 是的角平分线， ， ， ， 故答案为：． 5．在中，为斜边上的中线，已知，则的周长= ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，两锐角互余以及斜边上中线等于斜边的一半，角的直角三角形性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先由直角三角形锐角互余得到，则，再由斜边上中线得到，即可求解周长． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∵为斜边上的中线， ∴， ∴的周长为：， 故答案为：． 6．在中，为钝角，，都是这个三角形的高，为的中点，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半、等边对等角．根据直角三角形两个锐角互余求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，，根据等边对等角可得，，再根据三角形的外角的性质可得：． 【详解】解：，， ， ，，为的中点， ，， ，， 是的外角， ， 同理可得：， ， 故答案为：． 题型二、锐角互余的三角形是直角三角形 7．在中，的对边分别是，则下列条件中不能说明是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理逆定理、三角形内角和定理、三角形三边关系是解题的关键 根据勾股定理逆定理、三角形内角和定理、三角形三边关系分析各选项是否满足直角三角形的条件即可． 【详解】解：分析各选项如下： 选项A、∵展开得即符合勾股定理逆定理，故是直角三角形； 选项B、∵ ∴． 又∵三角形内角和为， ∴，故是直角三角形； 选项C、设, 则,不能构成三角形，故该选项符合题意； 选项D、设则． ∵， ∴，解得，则，故是直角三角形． 故选：C． 8．在中，的对边分别是，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，以及三角形内角和定理，判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断． 根据勾股定理逆定理即可判断A、D，根据三角形内角和定理即可判断B，C． 【详解】解：A、由设， ∴，而， ∴，故不是直角三角形，本选项符合题意； B、，得，故是直角三角形，本选项不符合题意； C、由设，由三角形内角和定理可得：， ∴， 解得：， ∴，故是直角三角形，本选项不符合题意； D、由得到，符合勾股定理逆定理，故是直角三角形，本选项不符合题意；． 故选A． 9．如图，在等腰三角形中，，为边上的中线，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识，理解等腰三角形底边上的高、底边的中线及顶角的平分线互相重合是解题的关键．首先根据三角形“三线合一”的性质得到，，然后根据直角三角形的两锐角互余得到答案即可． 【详解】解：∵，为边上的中线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 10．如图中，在边上，在边上，，则的大小为 度． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，等腰三角形的定义，角度的和差计算，掌握等边对角，直角三角形两锐角互余是解题的关键． 根据题意，设，则，可得，根据等边对等角可得，再由，即可求解． 【详解】解：设， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 11．已知的三个角分别是、、，下列选项中：①；②；③，④，⑤，不能判断是直角三角形的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和是和有两个角互余的三角形是直角三角形是解题的关键；根据直角三角形的判定，三角形的内角和定理逐项计算判定即可． 【详解】解；①，， ， ， 是直角三角形； ②，， ， 是直角三角形； ③，， ， 不是直角三角形； ④，， ， ， 不是直角三角； ⑤， 设，则， ， ， 解得：， ， 不是直角三角形； 综上所述，不能判断是直角三角形的有3个， 故选：． 12．如图，在中，高交于点，若的面积为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形证判定及性质，直角三角形的判定，三角形面积公式等，熟练掌握全等三角形证判定及性质是解题的关键．以为边，点为顶点作，延长与交于点，先通过角度等量代换证明，再依据全等三角形证明，进而利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，以为边，点为顶点作，延长与交于点， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴ ∵，， ∴（）， ∴． ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13．如图，在中，是上一点，延长至点，使得，连接． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）延长交于点，证明，得，由，，得，进而，即可得证； （2）根据，，得，从而，，进而利用面积公式即可得解． 【详解】（1）解：如图，延长交于点， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了邻补角的性质，全等三角形的判定及性质，垂线定义，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 题型一、含30度角的直角三角形 14．如图，在中，，．若，则的长为（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 故选B． 15．如图，中，，是高，，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理和含30度角的直角三角形的性质的应用，解题的关键是掌握：在直角三角形中，如果有一个角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．求出，根据含30度角的直角三角形的性质求出，，即可得出答案． 【详解】解：在中，，， ，， ， ， ， ， ， ∴，即 故选B． 16．如图，在等边中，D是的中点，于点E，于点F．若．则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，根据等边三角形的性质及中点的定义得到，，，根据直角三角形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：∵是等边三角形，D是的中点， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故选：C． 17．如图，将沿方向平移得到，点的对应点分别为点与交于点G，若，，，则的长度为（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟记平移的性质，含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．根据平移可得，得出，，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】∵将沿方向平移得到， ， ，， ， 故选：D． 18．如图1是某地铁站入口的双翼闸门，当它的双翼展开时，如图2，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（    ） A．62 B．54 C．64 D．74 【答案】A 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．过作于，过作于，则可和的长，依据端点与之间的距离为，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度． 【详解】解：如图所示，过作于，过作于， ， 则中，()， 同理可得，， 又点与之间的距离为， 通过闸机的物体的最大宽度为()， 故选：A． 19．如图，在等边中，D是的中点，于点E，于点F，已知，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形两锐角互余，含30度的角的直角三角形． 根据等边三角形的性质和直角三角形两锐角互余，得到，，进而得出，，即可求出的长． 【详解】解：等边中，D是的中点，， ，，， ， ， ，， 在中，， ， 在中，， ， 故选：C． 20．如图，中，，D为的中点，于D．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查线段垂直平分线的性质，等边对等角，直角三角形30度角的性质，连接，根据等边对等角得到；由线段中垂线的性质得到，即可得到，求出，根据直角三角形的性质得到． 【详解】证明：连接． ∵ ∴； ∵D为中点， ∴（中垂线性质） ∴； ∴ ∴． 21．在中，是的一半，比大，若，求的长（提示：结合直角三角形性质）． 【答案】10 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角直角三角形的性质，求出三角形各个内角的度数是解题的关键． 设，根据题意结合三角形内角和定理得到，求出，，再由角直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：设， 则由题意得，， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴． 题型二、斜边的中线等于斜边的一半 22．如图，在中，，是边上的中线，且，则的长是（   ） A． B．5 C． D．10 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的特征：斜边的中线等于斜边的一半，熟记相关结论即可求解． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴ 故选：D 23．如图，在中，是斜边的中点，连接，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，由此即可计算． 【详解】解：∵中，D是斜边的中点， ∴． 故答案为：3． 24．在直角三角形中，斜边及其中线之和等于，那么斜边长是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了直角三角形的性质，设斜边的长为，则斜边上的中线长度为，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解，熟练掌握直角三角形斜边上的中线为斜边的一半是解此题的关键． 【详解】解：设斜边的长为，则斜边上的中线长度为， ∵斜边及其中线之和等于， ∴， ∴， 即斜边长是， 故答案为：． 25．如图，在中，，是中线，若，，于点，则的值是 ．    【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线、直角三角形斜边中线定理，等腰三角形的性质以及平行的性质，解题的关键是通过取中点构造辅助线． 取的中点，连接，，利用直角三角形斜边中线定理等腰三角形的性质以及平行的性质求解角度． 【详解】取的中点，连接，，   ， ∵是中线，是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 26．如图，在中，为钝角，，都是这个三角形的高，为的中点，．若，则的度数为 ． 【答案】/110度 【分析】本题考查了三角形外角的性质，直角三角形斜边中线的性质． 利用三角形外角性质求出，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到，证得，，求出，利用四边形内角和求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴P为的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 27．如图，点D是的边上的中点，，是的高，连接，点H是的中点，试说明． 【答案】见解析 【分析】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质，由题意可得，由直角三角形的性质可得，再由等腰三角形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，是的高线， ． 又点D是边上的中点， ，，即． 点H是的中点， ． 28．如图，在中，，点D是上的一点，且，点E是的中点，连结． (1)请说明； (2)吗？若成立请给出说明过程； 【答案】(1)见解析 (2)成立，过程见解析 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等边对等角，三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线的性质是解题的关键． （1）由直角三角形斜边中线得到，则，由三角形外角可得，再结合已知条件即可证明； （2）由（1）可得，即，即可证明． 【详解】（1）解， ． 点E是的中点， ． ． ， ． ， ． （2）解：由（1）得， 又， ， ． 1．在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形的判定，解题的关键是熟练掌握直角三角形的判定方法． 根据各选项角的度数的关系求出角，逐项进行判断即可． 【详解】解：①∵， ∴， ∴为直角三角形， 故①正确，符合题意； ②∵， ∴， ∴为直角三角形， 故②正确，符合题意； ③∵， ∴，， ∴不是直角三角形， 故③错误，不符合题意； ④∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形， 故④正确，符合题意； ⑤∵， ∴， ∴不是直角三角形， 故⑤错误，不符合题意； 综上，符合题意的选项为①②④， 故选：C． 2．等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角是50°，等腰三角形的底角度数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理．要注意分类讨论，等腰三角形可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，然后根据三角形的内角和以及三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：若三角形为锐角三角形时，如图，，，为高，即， 此时， ∴， ∴； 若三角形为钝角三角形时，如图，，，为高，即， ∴， 此时， 综上，等腰三角形的底角的度数为或． 故答案为：或． 3．如图， ，直线分别交、于点，，平分，于点，若，则 ．   【答案】/60度 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，角平分线的定义，三角形内角和定理．熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 根据平行线的性质得出，根据对顶角相等求出，根据角平分线的定义得出，根据三角形内角和定理求出，即可求得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 4．如图，是的边上的高，平分，若，，则 【答案】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余． 由三角形的内角和定理可得，由角平分线的定义可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，减去即可得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 5．如图，中，平分，P为延长线上一点，于E，已知，求的度数． 【答案】21° 【分析】利用三角形内角和定理可求出，结合角平分线的定义可得出，利用三角形外角性质可求出，再利用直角三角形角性质可求出． 【详解】解：∵在中，， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∵于E， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理，三角形外角性质，角平分线的定义有关计算，对顶角性质，直角三角形两锐角性质，是解题的关键． 6．已知，点分别为线段上两点，连接交于点． (1)若，，如图所示， 度； (2)若平分，平分，如图所示，试说明此时与的数量关系； (3)在（）的条件下，若，试说明：． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)见解析 【分析】（）由余角性质可得，进而由即可求解； （）根据角平分线的定义和三角形内角和定理解答即可求解； （）作的平分线交于，可证，得到，同理，进而即可求证． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∴ ； （3）证明：作的平分线交于， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 同理可得，， ∴． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，余角性质，邻补角的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 7．如图1，点是线段上一点，， (1)求证：． (2)如图2，点是线段延长线上的一点，其他条件不变，我们能得到什么结论？并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握三角形全等的判定是解决此题的关键． （1）由可证，由全等三角形的性质可得，，从而得出； （2）先证，得出，，从而得出． 【详解】（1）证明：，，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； （2）解：；理由如下： ，，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 试卷第1页，共3页 1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $