21.2(4) 一元二次方程的求根公式-【上海特训】2026-2027学年八年级上册数学（沪教版 五四制·新教材）

上海特训数学八年级上 21.2(3) 一般的一元二次方程的解法 1.(吾2.（经）°号3（日）°4z-1)=1-m596-11.3848 9110.cB2a=1+-15a-45=35 4 (3)x1= 5 (4)x1=2W3,x2=-√3(5)y1=-3-√3，y2=1-√313.(1).关于x的 一元二次方程2+(2m十1Dx十(m2+1D=0有两个相等的实数根，(+20士)=0，即 (m士)=m+1,解得m=至(2)由1得原方程为+号+答=(+)广=0，解 得1=x:=-14.:x2+10x+7=x2+10x+25-18=(z+5)2-18,由(z+5)2≥0， 得(x+5)2-18≥-18，∴.代数式x2+10x+7的最小值是-18. 21.2(4)一元二次方程的求根公式 122.93.864-号或15D6B7.124(26+86 2+W6,x2=2-V6(2)x1=2+V10,x2=-2-V103)x=1+ _3 2 (4z,=6k,,=65)1=3+y厘，=3④6)x,=2B+6 ,x2= 4 4 2 2-√2-√6 2 9.设2x-5=y,则原方程化为y2十4y十3=0.由求根公式，得y= 4生√-4X1X3=4生2解得y=一3或y=一1当y=3时，即2x-5=一3，解得 2×1 x=1;当y=-1时，即2x-5=-1,解得x=2..原方程的根为x1=1,x2=2. 21.3一元二次方程的判别式 21.3(1)一元二次方程的判别式(1) 1.没有2.士63.5有两个不相等的实数根4.3有两个不相等的实数根5B 6.B7.(1)方程有两个不相等的实数根(2)方程有两个相等的实数根(3)方程没有实数 根(4)方程有两个相等的实数根(5)方程有两个不相等的实数根(6)方程没有实数根 8.3或79.该方程一定有实数根，理由如下：当k十1=0时，即=一1，则原方程为一4x 4=0,解得x=一1；当k+1≠0时，则△=(3k一1)2-4(k十1)(2k一2)=k2一6k十9=(k 3)2≥0，此时该方程有两个实数根.综上所述，该方程一定有实数根.10.△=[一2(a一b)]2 -4c2=4(a-b)2-4c2=4(a-b十c)(a-b-c).,a、b、c为三角形三边长，∴.a十c>b,a b<c,从而△<0，.方程没有实数根. 21.3(2)一元二次方程的判别式(2) 1.士252m≤1且m≠03m>-}4k<-号5A≤86.27.4-[-(2m ·6·上海特训数学八年级上 21.2(4) 一元二次方程的求根公式 修正处 知识点归纳 1.对一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时，它的实数根可以写成x= -b士一4ac的形式.这个式子叫作一元二次方程ax2+b证十c=0(a≠0)的求根公式. 2a 2.在求根公式中，如果公-4c=0,那么云=，=一名，即方程有两个相等的实数根（重根）。 3.在解一元二次方程时，把方程化成一般形式ax2+bx十c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那 么把a、b、c的值代入求根公式，就可以求得方程的实数根；如果b2一4ac<0,那么原方 程没有实数根，这种解一元二次方程的方法称为公式法 4.公式法适用所有的一元二次方程. 课时必刷 一、填空题 1.若x=2生V4-4X3X(D 2×3 是一元二次方程ax2+bx十c=0的根，则a十b一c的值为 2.方程x2+x-2=0中，b2-4ac的值为 3.方程3x2+2√3x=2中，b2-4ac的值为 4.若代数式4x2一2x一5与2x2+1的值互为相反数，则x的值为 二、选择题 5.以x= b±√W62+20 2 为根的一元二次方程可能是 A.x2-bx+10=0 B.x2-bx-10=0 C.x2+bx-5=0 D.x2-bx-5=0 6.方程x2+3.x=14的根是 A.x=3±V65 2 B.x=-3±65 2 C.x=3±v23 2 D.r=-3±23 2 三、简答题 7.求下列方程中的b2-4ac的值： (1)5x2-6=2x; (2)W2x2=√6x+25. ·40· 第21章一元二次方程 8.用公式法解下列方程： 修正处 (1)x2-4x-2=0; (2)x2+4x-6=0; (3)4x2+1=8x; (4)x2-7kx十6k=0(k是已知数)； (5)-2+x 2=x; (6)(x-1)2+√2(x-1)-1=0. 3 思维拓展 9.先阅读，再解题： 解方程：(x一1)2一5(x一1)十4=0. 解：设x一1=y,则原方程化为y2-5y十4=0. 由求根公式，得y=-（-5)±√5)-4X1×45士3 2×1 2 解得y=1或y=4. 当y=1时，即x-1=1,解得x=2; 当y=4时，即x-1=4,解得x=5. 所以，原方程的根为x1=2,x2=5. 上述解法称为“整体换元法”. 请利用“整体换元法”解方程：(2x-5)2-4(5一2x)十3=0. ·41·