与整式有关的整体思想及分段计费、方案选择问题专项训练2026-2027学年北师大版数学七年级上册

与整式有关的整体思想及分段计费、方案选择问题专项训练 类型1 整体思想的应用 类型2 分段计费问题 类型3 方案选择问题 类型1 整体思想的应用 1．已知，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 2．若代数式的值为4，则代数式的值为__________． 3．如果代数式的值是5，则代数式的值是_________． 4．“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：， ， ． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 5．用整体思想解题：为了简化问题，我们往往把一个式子看成一个数的整体．试按提示解答下面问题． (1)已知，，求当时的值． 提示：． (2)若代数式的值为8，求代数式的值． 提示：把变形为含有的形式． 6．“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．如表所示是老师安排的作业题． 代数式的值为7，求代数式的值． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为，所以．所以，所以代数式的值为5． 【方法运用】 (1)若代数式的值为15，求代数式的值； (2)当时，代数式的值为10，求当时，代数式的值． 7．教科书91页第15题是这样的：若，，求的值．小明是这样做的： 原式 ． 在这里，他把作为了一个整体，这体现了一个非常重要的数学思想：整体思想． 【方法运用】： (1)若代数式，求代数式的值； (2)当时，代数式的值为8．当时，求代数式的值； (3)若，，求代数式的值． 8．“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用很广泛．例如，我们把看成一个整体，则． (1)化简：________； (2)若，则________； (3)若 求 的值． 9．【阅读理解】我们知道：，类似的，若我们把看成一个整体，则有．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛． 【方法运用】 (1)把看成一个整体，则__________； (2)已知，求代数式的值； (3)当时，代数式的值是，则当时，求的值（结果用含的代数式表示）． 【拓展应用】 (4)将一块长方形纸片剪成如图所示的①、②、③、④4个正方形和⑤一个小长方形，设①号正方形的边长为，②号正方形的边长为，若图中⑤号小长方形的周长为20，试求③号正方形的周长． 10．阅读与思考：中学数学解题思路中有一种重要的思维方式是“整体思想”，它是从问题的整体性质出发，发现问题的整体结构特征，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关系，进行有目的，有意识的整体处理．比如整体代入，整体运算，整体处理，整体换元…，从而使问题化繁为简，化难为易．例如，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，解决下面的问题： 任务一： （1）已知，则； 任务二： （2）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，当，求的值． 任务三： （3）图1是根据幻方的相等关系设计出来的“幻圆”，即大圆、小圆、横线、竖线上的四个数字加起来的和均相等，图中给出了部分数字；图2是一扇窗户的形状（单位：m），其上部是半圆形，下部是相同的四个小长方形，图中实线部分均为窗户的装饰条，小长方形的长为a，宽为b，半圆形的半径也为a，请你直接写出由图1中的a与b的关系求出图2中装饰木条的总长度（π取3）． 11．【阅读感悟】有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”，爱动脑筋的汤同学解题过程如图： 原式 因为 原式． 汤同学把作为一个整体求解，整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法．请仿照上面的解题方法，完成下面的问题： 【简单应用】 （1）已知，则 ． （2）已知，则的值为 ； 【拓展提高】 （3）若，求代数式的值． 12．我们知道：，同理，若我们把看成一个整体，则有．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛．请运用“整体思想”解答下面的问题： (1)把看成一个整体，合并； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 13．有这样一道题“如果代数式的值为3，那么代数式的值是多少？”爱动脑筋的通甫同学这样来解：原式．我们把看成一个整体，把式子两边乘以2得． 整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【简单应用】 （1）已知，则______． （2）已知，，则_____． 【拓展提高】 （3）已知，，求代数式的值． 14．数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要，例如：已知，则代数式．请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，则=________； (2)若代数式的值为10，求代数式的值． 【拓展探索】 (3)把一个大正方形和四个相同的小正方形按图①、②两种方式摆放，已知，，请观察图形，求图②中的阴影部分面积． 类型2 分段计费问题 15．【实践与应用】学校举办诗歌颂祖国活动，需要定制一批奖品颁发给表现突出的同学，每份奖品包含纪念徽章与纪念品各一个，现有两家供应商可以提供纪念徽章设计、制作和纪念品制作业务，报价如下： 纪念徽章设计费 纪念徽章制作费 纪念品费用 甲供应商 300元 3元/个 18元/个 乙供应商 免设计费 6元/个 不超过100个时，20元/个； 超过100个时，超出部分18元/个． (1)若学校需要定制20份奖品，则选甲供应商需要支付__________元，选乙供应商需要支付_________元； (2)现学校需要定制份奖品． 若选择甲供应商，需要支付的费用为 元；（用含的代数式表示） 若选择乙供应商，需要支付的费用为 元；（用含的代数式表示） (3)如果学校需要定制150份奖品，请你通过计算说明选择哪家供应商比较省钱． 16．为鼓励居民节约用水，某市实行阶梯水价制度，居民用水阶梯水价标准如下： 阶梯 年用水量（每户） 综合水价（元/） 第一档 不超过的部分 第二档 超过但不超过的部分 第三档 超过的部分 (1)小明家2023年共用水，应支付水费________元（用含的式子表示）；若该年度小明家支付水费元，则________； (2)在（1）的条件下，小明家2024年和2025年共用水，其中2024年用水量为（，且为整数），求小明家2024年和2025年支付的总水费（用含的式子表示）． 17．某超市在“国庆—中秋”双节期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠方法 少于200元 不予优惠 200元元 全部九折优惠 超过500元 500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠 (1)王老师一次性购物300元，他实际付款多少元？ (2)若某位顾客在该超市一次性购物元，请根据的范围求他的实际付款为多少元？（用含的代数式表示） (3)如果王老师两次购买物品的价格（优惠前）合计为550元，第一次购买物品的价格为元（超过50元，少于200元）． ①求王老师这两次购物实际付款多少元？（用含的代数式表示） ②在中秋节当天，超市又推出了双节期间可合计一次性付款优惠，当元时，王老师两次购物合计一次性付款比分两次付款共节省了多少元？ 18．【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们到附近的某打车公司开展“打车计费”实践活动． 【实践发现】司机介绍说：“车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式：行车里程在及以内的，不收远途费，超过的，超出部分每千米收0.4元．”收费标准如下： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 元/ 元/ 元/ 【实践探究】老师说：“若乘客的行车里程为，行车时间为，则需付车费（元）．” 【问题解决】 (1)若小东的行车里程为，行车时间为，则需付车费_______元． (2)若小明的行车里程为，行车时间为，则需付车费多少元？（用含，的代数式表示，并化简） (3)若小王、小张的行车里程分别为与，且小王的行车时间比小张的行车时间多，谁付的车费更多？ 19．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控手段以达到节水的目的，下表是该市自来水收费价格的价目表（注：水费按月结算） 每月用水量 单价 不超过6立方米的部分 2元/立方米 超过6立方米但不超过10立方米的部分 4元/立方米 超过10立方米的部分 8元/立方米 (1)若某户居民2月份用水4立方米，则应缴纳水费 元． (2)若某户居民3月份用水a（）立方米，则该用户3月份应缴纳水费多少元（用含a的代数式表示，并化成最简形式）？ (3)若某户居民4、5月份共用水15立方米（5月份用水量多于4月份），设4月份用水x立方米，求该户居民4、5月份共缴纳水费多少元．（用含x的代数式表示，并化成最简形式） 20．某市的城乡居民医疗保险实行门诊费用分段累计报销制度，各级医院的报销比例如下表所示．为有效引导居民合理选择医院进行诊疗，该市推行分级诊疗政策：由一级医院转诊至更高级别的三级医院后，在三级医院产生的诊疗费用执行基准报销比例． 全年门诊累计费用 （单位：元） 本次诊费在三级 医院报销比例 本次诊费在一级 医院报销比例 本次诊费按基准 报销比例 不超过元的部分 不报销 不报销 不报销 超过元但不超过元的部分 超过元但不超过元的部分 超过100000元的部分 不报销 不报销 不报销 例如：莲先生本年度门诊累计费用为元，本次在三级医院新增诊费为元，则他本次实际支付诊费只需元；花女士本年度门诊累计费用为元，本次在一级医院新增诊费为元，则她本次实际支付诊费只需 元； 说明：①全年门诊累计费用指自然年度内在本市所有参保的医院门诊诊疗的总费用； ②相同疾病在不同级别医院产生的诊疗费用相同； ③医疗费用均会在诊疗当天按照上表的规定结算完毕． (1)王先生本年度第一次在参保医院门诊进行诊疗： ①若在三级医院诊疗产生元的费用，求王先生实际支付的诊疗费用； ②若在三级医院诊疗产生元（）的费用，用含的代数式表示王先生本次诊疗的实际费用（不必化简）； (2)本市某位患者本年度门诊累计费用已达到元（的范围是超过元但不超过元），目前因患病需到三级医院门诊就诊．预计本次诊疗费用为元，全年门诊累计费用不超过元，现有两种方案： 方案一：直接到三级医院就诊； 方案二：先到一级医院办理转诊（需支付挂号、检查等费用元，该费用计入全年门诊累计费用，并执行一级医院报销比例），然后转诊至三级医院就诊． 根据以上信息，用含和的式子分别表示两种方案的实际支付费用，并直接判断哪种方案实际支付的费用更少． 类型3 与整式有关的方案选择问题 21．某超市开展促销活动，小明一家去超市准备购买纸巾，根据以下素材，请你帮小明完成任务． 【素材1】 纸巾区域推出两种活动． 活动一：购物满100元减30元，满200元减60元，满300元减90元，……，上不封顶． 活动二：所有商品打8折． 注：两种活动不能同时参加． 【素材2】 A品牌纸巾：规格10包/箱，价格40元/箱 B品牌纸巾：规格10包/箱，价格60元/箱 【素材3】 小明家平时同时使用这两种纸巾，平均3天用1包A品牌纸巾，平均6天用1包B品牌纸巾；小明家A品牌纸巾还有1箱存货，B品牌纸巾存货未知． (1)任务1：请求出小明家半年（按180天计算）要消耗A品牌纸巾多少箱？消耗B品牌纸巾多少箱？ (2)任务2：按存半年（按180天计算）的量计算，小明认为还需要购买这两种纸巾，其中还需要购买B品牌纸巾箱．若选择活动二，则所需的总费用为_________元（用含的代数式表示）． (3)任务3：小明想家里B品牌纸巾没有存货，按存半年（按180天计算）的量计算买两种品牌的纸巾，请思考小明怎样参加活动更合算，并写出计算过程． 22．根据以下材料完成任务． 设计被子采购方案 每年“双12”某网上商城都会推出各种优惠活动进行促销．今年，某宾馆负责人张阿姨在“双12”到来之前准备在某网上商城三家店铺中选择一家购买原价均为1000元／条的被子若干条． 素材1 已知三家店铺在非活动期间，均按800元销售，“双12”活动期间在此基础上再分别给予优惠； 素材2 店铺：“双12”当天购买可以再享受8折优惠； 素材3 店铺：“双12”当天下单， ①每满800元可使用店铺优惠券50元； ②每满400元可使用商城“双12”购物津贴券50元； ③每单立减80元，但同一用户活动当天仅可享受1次立减优惠（即不可拆分订单重复享受）； （例：同一用户活动当天购买2条被子需支付元） 素材4 店铺：“双12”当天下单可享立减及满赠——所有订单都能享每条立减140元，当订单的实付数量达到10条及以上时，在立减的基础上还能再免费获赠1条同款商品． 问题解决 (1)任务1 付款方式1：若在店铺9条被子作一单购买，需支付______元； 付款方式2：若在店铺9条被子作一单购买，需支付______元； 付款方式3：若在店铺9条被子作一单购买，需支付______元； (2)任务2 对比方案：若张阿姨在“双12”当天下单，且实际购得条该款被子，请用含的代数式分别表示在这三家店铺购买的实际费用．（说明：张阿姨购得的条被子均作一单购买） (3)任务3 明确需求：已知张阿姨在“双12”当天需下单购得26条该款被子，且可分批次自主选择下单渠道． 最优方案设计：请结合各店铺优惠规则，请直接写出最省钱的方案，并写出该方案下的最终购买总金额 23．我校七年级举行了数学计算能力大赛，学校准备在网上订购一批钢笔和笔袋作为奖品．经查询钢笔每支售价为50元，笔袋每个售价为10元．现有，两家网店均提供包邮服务，并给出了各自的优惠策略．网店：买一支钢笔送一个笔袋；网店：钢笔和笔袋都按定价的付款．已知要购买钢笔60支，笔袋个． (1)若在网店购买，则需付款______元；若在网店购买，则需付款_____元；（用含的代数式表示） (2)当时， ①只能选择一家网店购买，则哪家更加合算？请通过计算说明； ②两家网店可以自由选择或组合，则怎样购买最合算？请通过计算说明． 24．按要求完成下列各题 (1)卡塔尔世界杯的一场比赛前的热身中，一名足球守门员在罚球区里练习折返跑，从球门线出发，向前记为正数，返回记为负数，他的记录如下（单位：米）：，，，，，，． ①上面给出的数据中有一对相反数是：______； ②守门员最后是否回到了球门线的位置？请计算说明； ③守门员全部练习结束后，共跑了多少米？ (2)某中学七年级（）班三位教师决定带领本班名学生利用假期去某地旅游，甲旅行社的收费标准为：教师全价，学生半价；而乙旅行社不管教师还是学生一律六五折优惠，这两家旅行社的全价都是元． ①用含的式子表示三位教师和位学生参加这两家旅行社所需的费用各是多少元？ ②如果时，请你计算选择哪一家旅行社较为合算？ 25．某校举办“诗歌颂祖国”活动，需要定制一批奖品颁发给表现突出的同学，每份奖品包含纪念徽章与纪念品各一个，现有两家供应商可以提供纪念徽章设计、制作和纪念品制作业务，报价如下： 纪念徽章设计费 纪念徽章制作费 纪念品费用 甲供应商 300元 3元/个 18元/个 乙供应商 免设计费 4.5元/个 不超过100个时，20元/个；超过100个时，则超出部分打八折 设需要定制x份奖品． (1)如果选择乙供应商，当x不超过100时，应付总费用为多少元？当x超过100时，应付总费用多少元？（用含x的式子表示，结果需化简） (2)如果需要定制50份奖品，请你通过计算说明选择哪家供应商比较省钱？ 26．某服装厂生产一种夹克和恤，夹克每件定价400元，恤每件定价200元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：①买一件夹克送一件恤；②夹克和恤都按定价的付款．现某客户要到该服装厂购买夹克30件，恤件（）． (1)若该客户按方案①购买，夹克需付款__________元，恤需付款__________元（用含的式子表示）；若该客户按方案②购买，夹克需付款_____元，恤需付款__________元（用含的式子表示）； (2)若，通过计算说明按方案①、方案②哪种方案购买较为合算？ (3)若两种优惠方案可同时使用，当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并说明理由． 27．山西因特殊的地理环境，孕育出了众多品质一流的特色杂粮，被誉为“小杂粮王国”.某地一家小型杂粮工厂生产荞麦面和红豆面两种产品，每天生产这两种产品共2000袋，两种产品的成本和售价如下表： 荞麦面 红豆面 成本/（元/袋） 50 22 售价/（元/袋） 55 29 设每天生产荞麦面袋． (1)用含的代数式表示每天的生产成本，并化简； (2)用含的代数式表示每天生产的两种产品全部售出后获得的利润，并化简； (3)根据该工厂的实际情况，现有两种生产方案： 方案一：每天生产荞麦面900袋，红豆面1100袋； 方案二：每天生产荞麦面1100袋，红豆面900袋． 若每天生产的这两种产品全部售出，请通过计算说明，按哪种方案生产，可使每天获得的利润较大． 28．甲、乙旅行社计划面向学校师生推出“革命圣地一日游”研学活动．为了让广大师生深入体验革命文化，传承革命精神，旅行社会带领大家实地参观革命圣地，近距离感受那段波澜壮阔的革命历史．已知这两家旅行社的收费标准如下： 旅行社 老师收费标准 学生收费标准 甲 全价 七折 乙 一律八折优惠 若某校有3位老师决定带领名学生去研学，有甲、乙两家旅行社可供选择，这两家旅行社全价都是每人200元． (1)3位老师和名学生在甲旅行社的总费用为______元，在乙旅行社的总费用为______元．（用含的代数式表示） (2)若3位老师带领150名学生去研学，则选择哪家旅行社更划算？ 29．某商场销售一种微波炉和电磁炉，微波炉每台定价750元，电磁炉每台定价200元，元旦期间商场决定开展促销活动，商场向客户提供了两种优惠方案． 方案一：买一台微波炉送一台电磁炉； 方案二：微波炉和电磁炉都按定价的付款； A公司欲购买微波炉20台，电磁炉x台 (1)若按方案一购买，顾客需付款多少元；若按方案二购买，顾客需付款多少元；（用含x的式子表示） (2)若，通过计算说明哪种购买方式更合算？ (3)当时，你能给出一种更省钱的购买方式吗？试写出你的购买方式，并计算需付款多少元？ 30．根据以下素材，探索完成任务． 如何选择商品购买方案？ 素材1 为进一步提高同学们的思想认识与觉悟，加强爱国主义教育，某校举办了“学党史，知党恩”知识竞赛活动，并决定购买书包40个，笔记本本用于表彰．已知书包定价30元/个，笔记本定价5元/本．商店甲、乙向学校提供了各自的优惠方案． 素材2 商店甲：买一个书包送一本笔记本； 素材3 商店乙：书包和笔记本都按定价的付款． 任务1 探究付款金额 请直接写出该校到商店甲、乙购买，分别需付款多少元；（用含的代数式表示） 任务2 探究购买方案 若时，试计算说明此时选择哪间商店购买较为合算？ 任务3 确定购买方案 若时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并把付款的金额算出来． 31．服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：①买一套西装送一条领带；②西装和领带都按定价的90%付款．现某客户要到该服装厂购买西装20套，领带条． (1)若该客户按方案①购买，需付款______元（用含的代数式表示，化为最简形式） 若该客户按方案②购买，需付款______元（用含的代数式表示，化为最简形式） (2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ (3)若可以同时使用两种优惠方案，则当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法．（注：使用方案一的商品不能再使用方案二，反之亦然．） 32．万象洞位于武都县城东12公里处的白龙江南岸杨庞村半山腰，因为洞中钟乳石遍布，琳琅多姿，宛如包罗万象的问苑仙官而得名，在甘肃旅游热的带动下，万象洞成为来陇游客的必选之地，万象洞成人门票价格为60元/人，学生门票价格为40元/人．国庆期间，某旅游公司开展促销活动，向游客提供两种优惠购票方案： ①买一张成人票送一张学生票； ②成人票和学生票都按正常价格的8折优惠． 现某旅行团有10个成人，个学生． (1)若该旅行团按方案①购票，则需付款______元；若该旅行团按方案②购票，则需付款______元；（用含的代数式表示） (2)当时，请通过计算说明此时按哪种方案购票较为合算． 33．国庆节期间，为了让外地游客感受大同美食的魅力，某大同特色美食店推出优惠大酬宾，有以下两种优惠方案： 方案一 可购买100元代金券，每张79元，每次消费时最多可使用3张，未满100元的部分不得使用代金券． 方案二 消费满300元打九折，不得同时使用代金券． 如某人消费120元，按照方案一使用代金券后，实际消费（元）．琪涵一家国庆假期去该美食店消费，且优惠前的总消费金额为元． (1)若按照方案一使用代金券，则琪涵一家实际消费________元；若按照方案二优惠，则琪涵一家实际消费________元．（用含x的代数式表示） (2)若琪涵一家优惠前的总消费金额为380元，则选择哪种方案更划算？ 34．某校体育科组准备在网上为学校订购一批某品牌羽毛球拍和羽毛球。查阅京东网，要在A、B店两家网店中作出选择．发现两家网店羽毛球拍都是定价一副20元，羽毛球都是定价每个3元．“双十一”期间，A、B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案． A网店：买一副球拍送1个羽毛球； B网店：羽毛球拍和羽毛球都按定价的付款． 已知要购买羽毛球拍50副，羽毛球x个： (1)用含x的代数式填空： ①若在A网店购买，需付款 元， ②若在B网店购买，需付款 元． (2)若时，在哪家网店购买较为合算？请通过计算说明理由． (3)当时，你能设计出一种最省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并计算出需付款多少元？ 35．某人去水果批发市场采购苹果，他看中了A、B两家苹果．这两家苹果品质一样，零售价都为8元/千克，批发价各不相同． A家规定：批发数量不超过1000千克，按零售价的92%优惠；批发数量超过1000千克且不超过2000千克，所有苹果按零售价的90%优惠；超过2000千克，所有苹果按零售价的85%优惠． B家的规定如下表： 数量范围（千克） 0-500 500以上-1500 1500以上-2500 2500以上 价格（元） 零售价的95% 零售价的90% 零售价的85% 零售价的75% 表格说明：批发价格分段计算，如某人批发苹果2100千克，则总费 ． (1)如果他批发700千克苹果，那么他A、B两家批发分别需要多少元？ (2)如果他批发x千克苹果（），请你分别用含x的代数式表示在A、B两家批发所需的费用． (3)现在他要批发1600千克苹果，选择在哪家批发更优惠呢？请说明理由 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【详解】解：∵， ∴， ∴． 2． 【分析】已知，将待求代数式整理为包含的形式，通过整体代入求值． 【详解】解：对代数式变形，可得， ∵， ∴代入计算得． 3．20 【详解】解：∵， ∴， ∴． 4．(1) (2) 【分析】（1）先求出，再把要求的代数式化成，然后整体代入解答即可； （2）先求出，再把要求的代数式化成，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）解： ， ， ． （2）解： ， ， ． 5．(1)0 (2)11 【分析】（1）按提示把和整体代入可得的表达式，然后再将代入计算即可； （2）由可得，然后按提示对代数式进行变形，最后整体代入计算即可； 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴当时，． （2）解：∵ ∴ ∴． 6．(1)21 (2) 【分析】本题考查了用整体代换法求代数式的值，熟练利用整体思想求解是解题的关键． （1）将化为，整体代入即可求解； （2）把代入得，整体代入即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得， ∴． ∴ ； （2）解：∵当时，代数式的值为10， ∴， ∴， 当时， ． 7．(1)14 (2)2 (3)14 【分析】（1）观察所求代数式，发现前两项可以提取公因数3，变形为，题目条件已知，不需要求出，把看成一个整体，代入即可求出结果； （2）把代入代数式，可以求出，当时，代入，得，变形为，把看成一个整体，代入即可求出结果； （3）观察代数式，对式子拆项重组为，刚好是题目给的两个已知整体相减，直接代入求值计算． 【详解】（1）解：因为， 所以 ； （2）解：当时， ，即， 当时，； （3）解：因为，， 所以 ． 8．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了合并同类项，代数式求值，利用整体思想求解是解题的关键． （1）把看成一个整体，利用合并同类项的法则求解即可； （2）把所求式子变形为，再把看成一个整体，利用合并同类项的法则化简，最后代入求值即可； （3）把所求式子变形为，再代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵ ∴ ． 9．(1) (2)36 (3) (4)20 【分析】（1）按照“整体思想”进行计算即可； （2）把用表示，然后整体代入即可； （3）由题意得，再把代入，最后整体代入 即可求解； （4）由题意可得③号正方形的边长，进而表示出④号正方形的边长，则可表示⑤号长方形的长与宽，根据⑤号长方形的周长为20，可求得的值，从而求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：当时，代数式的值是， 即， ∴； 当时，； （4）解：∵①号正方形的边长为，②号正方形的边长为， ∴③号正方形的边长为， ∴④号正方形的边长为， ∴⑤号长方形的长为，宽为， 由题意得， ∴， 则③号正方形的周长为． 10．（1）；（2）6；（3）15 【分析】本题考查了整式的加减、代数式求值，掌握整体代入思想是解题的关键． （1）变形已知，整体代入求值； （2）利用数轴确定代数式的正负，利用绝对值的性质去绝对值进行化简，再整体代入求值； （3）由图1得代数式的值，最后求出图2装饰木条的总长度，再整体代入求值． 【详解】解：（1）∵， ∴ ， 故答案为：． （2）根据数轴可得：， ∴ ， ∵ ∴原式 ． （3）由图1的小圆、横线上的四个数字加起来的和相等可得：， 整理得． 图2中装饰木条的总长度． 故答案为：15． 11．（1）2026；（2）7；（3）27 【分析】本题主要考查了整式的加减，解题的关键是对整式加减的变形和整体代入． （1）由已知条件易得，将原式变形后代入数值计算即可； （2）由已知条件易得，将原式去括号，合并同类项后并整理，然后代入已知数值计算即可； （3）将原式变形后代入已知数值计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴ ， 故答案为：2026； （2）∵， ∴， ∴ ， 故答案为：7； （3）∵， ∴ ． 12．(1) (2) (3) 【分析】本题考查合并同类项，代数式的恒等变形，代数式的加减代换，掌握整体思想是解题关键． （1）把看作一个整体，直接合并同类项的系数，得到简化结果； （2）将代数式变形为，再把整体代入求值； （3）把已知的、、看作整体，通过加减组合出和，再代入目标式计算． 【详解】（1）解： ． （2）解： ， ． （3）解： ，，， ， ， ． 13．（1）2；（2）；（3）27． 【分析】本题考查了整式的加减—化简求值，掌握整体代入的思想，把每一个整式进行适当的变形是解题的关键． （1）根据，把化为，整体代入计算； （2）根据，，把化为，整体代入计算； （3）根据，，把化成，整体代入计算． 【详解】解：（1）当时， ； 故答案为：2； （2）当，时， ； 故答案为：； （3）当，时， ． 14．(1)9 (2) (3) 【分析】（1）把直接代入求解即可； （2）整理所求代数式得，再把代入求解即可； （3）设大正方形的边长为y，小正方形的边长为x，则，，再结合，，可得，，可进一步求得，，最后代入求解即可． 【详解】（1）解：当时， ； （2）解：当时， ； （3）解：设大正方形的边长为y，小正方形的边长为x， ，， ， ， 解得， ， ， 解得， 图②中的阴影部分面积为． 15．(1)720，520； (2)，； (3)选择甲供应商比较省钱． 【分析】（1）根据题意分别计算出甲、乙供货商需付款额即可； （2）根据题意分别列出甲、乙供货商需付款的代数式即可； （3）当时，分别求代数式的值，然后比较大小，选择花钱少的即可． 【详解】（1）解：学校需要定制20份奖品，则选甲供应商需要支付：（元）， 选乙供应商需要支付：（元）． （2）解：当时： 选择甲需要支付费用：（元）； 选择乙需要支付费用：（元）． （3）解：由上可得，定制150份时： 选择甲需要支付费用：（元）， 选择乙需要支付费用：（元 ）， 因为，所以选择甲供应商更省钱． 16．(1)；； (2)当时，总水费为元； 当时，总水费为元． 【分析】（1）超过但不超过，根据前两档计费标准计算，当水费为元时，代入即可求解； （2）根据条件可判断年用水量超过，先计算年水费，再对分和两种情况分别计算年水费． 【详解】（1）解：； ， 解得； （2）解：， ， 故年的用水量超过， 年的水费为 当时，年的水费为元， 总水费为； 当时， 年的水费为， 总水费为； 故当时，小明家2024年和2025年支付的总水费为元； 当时，小明家2024年和2025年支付的总水费为元． 17．(1)270元 (2)当时，实际付款为元；当时，实际付款为元；当时，实际付款为元 (3)①元；②元 【分析】（1）先判断300元在200元元之间，所以全部享受九折优惠，代入即可求出； （2）将分三种情况讨论，即，和，然后根据题目中的优惠方式，分别用含有的式子表示出实际付款金额即可； （3）① 根据优惠前第一次购买物品的价格为元可知，第二次购买物品的价格为元，则 ，然后再根据两次的购买价格选择优惠方式进行计算求出实际付款金额并用含有的式子表示，最后两次相加即可；② 当元时，先代入① 中已求的代数式中求出分两次付款的付款金额，再根据购买价格合计为550元选择相应的优惠方式求出合计一次性付款的付款金额，最后两者相减即可． 【详解】（1）解： ， 实际付款金额为（元）， 王老师实际付款了270元； （2）解：由题意得，当时，实际付款为元； 当时，实际付款为元； 当时，实际付款为元； （3）解：①， 第一次实际付款金额为元， 两次购买物品的价格（优惠前）合计为550元， 第二次购买物品的价格（优惠前）为元，则， 第二次实际付款金额为元， 两次购物实际付款为元； ② 由① 得，分两次付款的付款金额用含有的式子表示为元， 当元时，分两次付款的付款金额为 （元）， ， 两次购物合计一次性付款的付款金额为（元）， 节省了（元）， 两次购物合计一次性付款比分两次付款共节省了元． 18．(1) (2)当时，需付车费元；当时，需付车费元 (3)两人付的车费一样多 【分析】（1）根据行车里程不超过，直接计算里程费加时长费即可得到结果； （2）分行车里程不超过和超过两种情况，根据计费规则列代数式并化简； （3）设出小王的行车时间，用含未知数的代数式分别表示出两人的车费，化简后比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解 ，不收远途费 总车费为 （元） （2）解 分两种情况讨论： 当时，不收远途费，需付车费为（元） 当时，超出的部分为 ，远途费为 元 总车费为： （元） 综上，当时，需付车费 元， 当时，需付车费 元. （3）解 设小王的行车时间为分钟，则小张的行车时间为 分钟 小王行车里程为 ， 小王应付车费为： （元） 小张行车里程为 ， 小张应付车费为： （元） 两人应付车费相等． 答：两人付的车费一样多． 19．(1)8 (2)元 (3)当时，共缴纳水费元；当时，共缴纳水费元；当时，共缴纳水费元 【详解】（1）解：某户居民2月份用水4立方米，则应缴纳水费元． （2）解：若某户居民3月份用水a（）立方米，则该用户3月份应缴纳水费（元）； （3）解：设4月份用水x立方米，则月份用水立方米， ∵5月份用水量多于4月份， ∴， 解得， 当时，，该户居民4、5月份共缴纳水费（元）； 当时，，该户居民4、5月份共缴纳水费（元）； 当时，，该户居民4、5月份共缴纳水费（元）． 20．(1)①王先生实际支付900元； ②解：当时，王先生本次诊疗的实际费用元； 当时，王先生本次诊疗的实际费用元； 当时，王先生本次诊疗的实际费用元； (2)方案一实际支付费用： 当时，为元； 当时，为元． 方案二实际支付费用： 当时，为元； 当时，为元． 判断：当时，方案一实际支付费用更少； 当时，两种方案实际支付费用相同； 当时，方案二实际支付费用更少． 【分析】（1）①先判断1300元属于500～3000元区间，按三级医院报销比例，计算自付费用； ②分情况列代数式即可； （2）分别推导两种方案的自付费用表达式，通过作差法分情况比较费用高低． 【详解】（1）①解：1300元属于超过元但不超过元的部分区间，三级医院报销比例为， 自付费用（元）， 答：王先生实际支付900元； ②略； （2）解：设方案一的实际支付费用为元，方案二的实际支付费用为元． 方案一：直接到三级医院就诊．已知累计费用为元（），本次诊疗费用为元，全年累计不超过100000元． ∵， ∴不超过500元的报销段已用完． 当，即时，本次费用全部落在超过500元但不超过3000元的分段，自付比例为， ∴． 当，即时，本次费用中元落在元分段，剩余元落在元分段，自付比例为， ∴． 方案二：先到一级医院办理转诊，再转诊至三级医院就诊． 第一步：支付转诊费用200元，该费用计入累计，执行一级医院报销比例． ∵， ∴， 即200元全部落在元分段，一级医院该段自付比例为， ∴转诊费用自付元， 此时累计费用变为元． 第二步：三级医院诊疗费用元，执行基准报销比例． 当，即时，元全部落在元分段，基准该段自付比例为， ∴三级医院自付费用为， 总费用． 当，即时，元中元落在元分段，剩余元落在元分段，基准该段自付比例为， ∴三级医院自付费用为， 总费用． 比较两种方案的费用： ①当时，． ∵， ∴． 当时，，即，方案一费用更少； 当时，，即，两种方案费用相同； 当时，，即，方案二费用更少． ②当时，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即，方案二费用更少． ③当时，． ∵，且， ∴， ∴， ∴，即，方案二费用更少． 综上所述，当时，方案一实际支付费用更少；当时，两种方案实际支付费用相同；当时，方案二实际支付费用更少． 21．(1) 消耗A品牌纸巾6箱，消耗B品牌纸巾3箱 (2) (3) 选择活动一更合算 计算过程： 需购买A品牌纸巾箱，B品牌纸巾3箱， 原价总金额为元， 活动一费用：元， 活动二费用：元， ， 选择活动一更合算． 【分析】（1）根据使用周期计算半年总消耗包数，再结合每箱包数换算为箱数； （2）先求出A品牌需购买的费用，结合B品牌费用得到原价总和，乘折扣得到活动二总费用； （3）先计算所需购买纸巾的原价总金额，分别计算两种活动的实际费用，比较后得出结论； 【详解】（1）解：半年消耗A品牌纸巾包数：（包）， 对应箱数：（箱）， 半年消耗B品牌纸巾包数：（包）， 对应箱数：（箱）， 答：小明家半年消耗A品牌纸巾6箱，消耗B品牌纸巾3箱； （2）解： A品牌有1箱存货，需购买箱数为箱，费用为元， B品牌购买箱，费用为元， 活动二打8折，总费用为元； （3）解：略 22．(1)；； (2)A店铺的费用为元；B店铺的费用为元；当（a为整数）时，C店铺的费用为元，当（a为整数）时，C店铺的费用为元； (3)最省钱的方案为在C店铺分两批购买，第一批购买10条，获得11条，第二批购买14条，获得15条，总金额为15840元 【分析】（1）根据题意分别列式得到三家店铺需要支付的费用； （2）根据题意可以用代数式表示出在三家店铺的购买费用，其中在C店铺的费用分当和两种情况求解； （3）根据（2）所求分别计算出A店铺和B店铺的费用，再计算出在C店铺购买，第一批10条，第二批14条的费用，比较即可得到答案． 【详解】（1）解：付款方式1：若在店铺9条被子作一单购买，需支付元； 付款方式2：若在店铺9条被子作一单购买，需支付 元； 付款方式3：若在店铺9条被子作一单购买，需支付元； （2）解：A店铺的费用为元， B店铺的费用为元， 根据题意可知，无法通过C店铺一单购买刚好购得10条被子，即， 当（a为整数）时，C店铺的费用为元， 当（a为整数）时，C店铺的费用为元； （3）解：当时，， ， ∴A店铺的费用为元，B店铺的费用为元， 在C店铺分两批购买，第一批购买10条，获得11条，第二批购买14条，获得15条，总费用为， ∵， ∴最省钱的方案为在C店铺分两批购买，第一批购买10条，获得11条，第二批购买14条，获得15条，总金额为15840元． 23．(1)； (2)解：①A网店更合算，理由： A网店：元； B网店：元． ∵， ∴A网店更合算； ②在A网店买60支钢笔（送60个笔袋），在B网店买个笔袋最合算，理由： 钢笔费用：元； 笔袋费用：元； 总费用：元． ∵， ∴在A网店买60支钢笔，在B网店买30个笔袋最合算． 【分析】（1）根据A，B两个网店的优惠方案所提供的数量关系直接列代数式化简即可； （2）①把代入两个代数式计算，即可得出结论；②先去A网店买60支钢笔，再去B网店买30个笔袋最合算． 【详解】（1）解：A网店：买60支钢笔送60个笔袋，需额外购买个笔袋， 钢笔费用：元； 笔袋费用：元； 总付款：元， B网店：钢笔和笔袋均按付款． 总费用： 元； （2）①略； ②略． 24．(1)①7与 ②守门员最后回到了球门线的位置； ， 故守门员最后回到了球门线的位置； ③守门员全部练习结束后，他共跑了60米； (2)①参加甲旅行社的总费用为元，参加乙旅行社的总费用为元； ②参加甲旅行社较为合算 【分析】（1）①根据相反数的定义即可得出结果；②将所有记录相加，结合题意判断即可得出结果；③求出所有记录的绝对值的和即可； （2）①根据两个旅行社的收费方式列出代数式即可；②分别求出两个旅行社所花的费用，比较即可得出结果． 【详解】（1）解：①，，，，，，中有一对相反数是：7与； ②略； ③ ． 答：守门员全部练习结束后，他共跑了60米． （2）解：①参加甲旅行社的总费用为：（元）； 参加乙旅行社的总费用为：（元）； 故参加甲旅行社的总费用为元，参加乙旅行社的总费用为元． ②解：当时，参加甲旅行社的总费用为：（元）， 参加乙旅行社的总费用为：（元）， 元（元）， 故参加甲旅行社较为合算． 25．(1)元；元 (2)选择乙供应商比较省钱 【分析】本题考查代数式的实际应用，关键是要读懂题意，弄清其中的数量关系． （1）分别计算纪念徽章制作费和纪念品费用，然后把两者费用相加，对于纪念品费用，按照和两种情况分别计算； （2）根据（1）的结论及题目给出方案，分别计算50份奖品时两家供应商的费用，然后通过比较选择便宜的一家即可． 【详解】（1）解：如果选择乙供应商，当时，应付总费用为：（元）． 当时，应付总费用为：（元）． （2）解：当需要定制50份奖品时， 如果选择甲供应商，应付总费用为（元）， 如果选择乙供应商，应付总费用为（元）， 因为，所以定制50份奖品时，选择乙供应商比较省钱． 26．(1)12000；；9600； (2)按方案①购买较为合算 (3)按方案①购买30件夹克，按方案②购买10件恤更省钱，理由见解析 【分析】（1）根据所给的优惠方案列式求解即可； （2）根据时，结合（1）所求求出两种方案需要的费用，比较即可得到答案； （3）求出按方案①购买30件夹克，按方案②购买10件恤时的费用，再与方案①和方案②比较即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，若该客户按方案①购买，夹克需付款元，恤需付款元； 若该客户按方案②购买，夹克需付款元，恤需付款元； （2）解：当时，， ， ∵， ∴按方案①购买较为合算， 答：按方案①购买较为合算； （3）解：按方案①购买30件夹克，按方案②购买10件恤更省钱，理由如下： 由（2）可知，按方案①购买需要14000元，按方案②购买需要16000元； 按方案①购买30件夹克，按方案②购买10件恤时，需要元， ∵， ∴按方案①购买30件夹克，按方案②购买10件恤更省钱． 27．(1)每天的生产成本为：元 (2)每天生产的两种产品全部售出后获得的利润为：元 (3)按方案一生产，可使每天获得的利润较大 【分析】题目主要考查列代数式，求代数式的值，理解题意是解题关键． （1）根据题意列出代数式求解即可； （2）根据题意列出代数式求解即可； （3）根据题意，代入计算比较即可． 【详解】（1）解：根据题意得：每天的生产成本：元； （2）每天生产的两种产品全部售出后获得的利润：元； （3）当时，（元）， 当时，（元）， 因为， 所以按方案一生产，可使每天获得的利润较大． 28．(1)，； (2)选择甲旅行社更划算 【分析】本题考查列代数式、代数式求值，理解题意，正确列出代数式是解答的关键． （1）根据表格中两家旅行社收费标准列代数式即可； （2）当时，分别求得两家旅行社的费用，然后比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意， 3位老师和名学生在甲旅行社的总费用为元， 在乙旅行社的总费用为元， 故答案为：，； （2）解：当时，在甲旅行社的总费用为（元）， 在乙旅行社的总费用为（元）， ∵， ∴选择甲旅行社更划算． 29．(1)方案一：元，方案二：元 (2)按方案二购买较为合算； (3)先按方案一购买20台微波炉，则可送20台电磁炉，再按方案二购买30台电磁炉；19800元 【分析】本题主要考查列代数式和求代数式的值的相关的题目，解题的关键是认真分析题目并正确的列出代数式． （1）根据题目提供的两种不同的付款方式列出代数式即可； （2）将代入求得的代数式中即可得到费用，然后比较即可得到选择哪种方案更合算； （3）根据题意考可以得到先按方案一购买20台微波炉，则可送20台电磁炉；再按方案二购买20台电磁炉． 【详解】（1）解：方案一：（元）； 方案二：（元）； （2）解：方案一：当时，原式（元）． 方案二：当时，原式（元）， ， 按方案二购买较为合算； （3）解：先按方案一购买20台微波炉，则可送20台电磁炉，再按方案二购买30台电磁炉． 此时需付款：（元）． 30．任务一：到商店甲购买，需付款元；到商店乙购买需付款元；任务二：当时，选择甲商家会更划算；任务三：方案为在甲店买40个书包，赠送40个笔记本，剩余60个笔记本则在乙店购买，所需费用为1470元 【分析】本题主要考查整式加减的应用，解题的关键是理解题意； 任务一：按照甲、乙商家给出的优惠方法可直接进行求解； 任务二：把分别代入任务一中的代数式，然后求解，进而问题可求解； 任务三：根据题意可分40个书包在甲商店买，另外60个笔记本在乙店购买即可得出最佳方案． 【详解】解：任务一：在商家甲中购买：（元）； 在商家乙中购买：（元）； 答：到商店甲购买，需付款元；到商店乙购买需付款元． 任务二：当时，则甲商家需付款（元）； 乙商家需付款（元）； 综上所述：当时，选择甲商家会更划算； 任务三：当时，我的购买方案为在甲店买40个书包，赠送40个笔记本，剩余60个笔记本则在乙店购买，所需费用为（元）． 31．(1)； (2)方案① (3)先按方案①购买20套西装，再按方案②购买10条领带 【分析】本题考查列代数式，代数式求值： （1）根据两种方案，列出代数式即可； （2）将代入两个代数式中，求值后比较大小即可； （3）根据两种方案分别进行购买即可． 【详解】（1）解：由题意，方案①：元 方案②：元 （2）当时 方案①：（元） 方案②：（元） ， 选择方案①购买较为合算． （3）方案③：先按方案①购买20套西装，再按方案②购买10条领带． 所需费用为（元） ， 选择方案③购买更省钱． 32．(1)； (2)按方案①购票较为合算 【分析】本题考查了代数式求值、列代数式，正确理解两种优惠购票方案是解题关键． （1）方案①：需付款10个成人和个学生的门票即可得；方案②：将10个成人和个学生的门票，乘以即可得； （2）将代入（1）中的结果，再比较大小即可得． 【详解】（1）解：若该旅行团按方案①购票，则需付款（元）， 若该旅行团按方案②购票，则需付款（元）， 故答案为：；． （2）解：当时， 方案①购票费用为（元）， 方案②购票费用为（元）， 因为， 所以此时按方案①购票较为合算． 33．(1)； (2)方案一 【分析】本题考查列代数式，有理混合运算的应用，一元一次方程的应用．解题关键是理解方案一中的计算方法． （1）根据方案列出代数式，化简得出即可， （2）代入（1）所得代数式求值比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：某次消费元， 按照方案一使用代金券后，实际花费为：元， 按照方案二进行优惠，实际花费为：元， 故答案为：，； （2）解：某次实际花费380元， 如果用方案一：（元， 如果用方案二：（元 因为，所以选择方案一更划算． 34．(1)； (2)在A网店购买较为合算 (3)在A网店购买50副球拍，送50个羽毛球，再在B网店购买50个羽毛球；需付款1135元 【分析】本题考查了列代数式并求值： （1）按照对应的方案的计算方法分别列出代数式即可； （2）把代入求得的代数式求得数值，进一步比较得出答案即可； （3）根据两种方案的优惠方式，可得出先A网店购买50副羽毛球拍，送50个羽毛球，另外50个羽毛球在B网店购买即可． 理解两种方案的优惠方案，得出运算的方法是解决问题的关键． 【详解】（1）解；A网店购买需付款元； B网店购买需付款元． 故答案为；； （2）解：当时， A网店购买需付款：（元）， B网店购买需付款：（元）， ， 在A网店购买较为合算； （3）解：先在A网店购买50副球拍，送50个羽毛球，花费：（元）， 再在B网店购买50个羽毛球，花费：（元）， （元）， 答：需付款1135元． 35．(1)A家5152元，B家5240元； (2)A家，B家； (3)选择A家更优惠． 【分析】（1）A家批发需要费用：质量单价；B家批发需要费用：单价单价；把相关数值代入求解即可； （2）A家批发需要费用：质量单价；B家批发需要费用：单价单价单价；据此即可求解； （3）把1600千克代入（2）即可比较哪家便宜． 【详解】（1）解：A家：(元)， B家：(元)； 答：A家5152元，B家5240元； （2）解：A家：， B家：； 答：A家，B家； （3）解：当时， A家：(元)， B家：(元)． ∵． 故选择A家更优惠． 【点睛】本题主要考查列代数式及代数式求值问题，得到在A、B两家批发需要费用的等量关系是解决本题的关键． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 与整式有关的整体思想及分段计费、方案选择问题专项训练 类型1 整体思想的应用 类型2 分段计费问题 类型3 方案选择问题 类型1 整体思想的应用 1．已知，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 2．若代数式的值为4，则代数式的值为__________． 3．如果代数式的值是5，则代数式的值是_________． 4．“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：， ， ． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 5．用整体思想解题：为了简化问题，我们往往把一个式子看成一个数的整体．试按提示解答下面问题． (1)已知，，求当时的值． 提示：． (2)若代数式的值为8，求代数式的值． 提示：把变形为含有的形式． 6．“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．如表所示是老师安排的作业题． 代数式的值为7，求代数式的值． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为，所以．所以，所以代数式的值为5． 【方法运用】 (1)若代数式的值为15，求代数式的值； (2)当时，代数式的值为10，求当时，代数式的值． 7．教科书91页第15题是这样的：若，，求的值．小明是这样做的： 原式 ． 在这里，他把作为了一个整体，这体现了一个非常重要的数学思想：整体思想． 【方法运用】： (1)若代数式，求代数式的值； (2)当时，代数式的值为8．当时，求代数式的值； (3)若，，求代数式的值． 8．“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用很广泛．例如，我们把看成一个整体，则． (1)化简：________； (2)若，则________； (3)若 求 的值． 9．【阅读理解】我们知道：，类似的，若我们把看成一个整体，则有．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛． 【方法运用】 (1)把看成一个整体，则__________； (2)已知，求代数式的值； (3)当时，代数式的值是，则当时，求的值（结果用含的代数式表示）． 【拓展应用】 (4)将一块长方形纸片剪成如图所示的①、②、③、④4个正方形和⑤一个小长方形，设①号正方形的边长为，②号正方形的边长为，若图中⑤号小长方形的周长为20，试求③号正方形的周长． 10．阅读与思考：中学数学解题思路中有一种重要的思维方式是“整体思想”，它是从问题的整体性质出发，发现问题的整体结构特征，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关系，进行有目的，有意识的整体处理．比如整体代入，整体运算，整体处理，整体换元…，从而使问题化繁为简，化难为易．例如，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，解决下面的问题： 任务一： （1）已知，则； 任务二： （2）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，当，求的值． 任务三： （3）图1是根据幻方的相等关系设计出来的“幻圆”，即大圆、小圆、横线、竖线上的四个数字加起来的和均相等，图中给出了部分数字；图2是一扇窗户的形状（单位：m），其上部是半圆形，下部是相同的四个小长方形，图中实线部分均为窗户的装饰条，小长方形的长为a，宽为b，半圆形的半径也为a，请你直接写出由图1中的a与b的关系求出图2中装饰木条的总长度（π取3）． 11．【阅读感悟】有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”，爱动脑筋的汤同学解题过程如图： 原式 因为 原式． 汤同学把作为一个整体求解，整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法．请仿照上面的解题方法，完成下面的问题： 【简单应用】 （1）已知，则 ． （2）已知，则的值为 ； 【拓展提高】 （3）若，求代数式的值． 12．我们知道：，同理，若我们把看成一个整体，则有．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛．请运用“整体思想”解答下面的问题： (1)把看成一个整体，合并； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 13．有这样一道题“如果代数式的值为3，那么代数式的值是多少？”爱动脑筋的通甫同学这样来解：原式．我们把看成一个整体，把式子两边乘以2得． 整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【简单应用】 （1）已知，则______． （2）已知，，则_____． 【拓展提高】 （3）已知，，求代数式的值． 14．数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要，例如：已知，则代数式．请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，则=________； (2)若代数式的值为10，求代数式的值． 【拓展探索】 (3)把一个大正方形和四个相同的小正方形按图①、②两种方式摆放，已知，，请观察图形，求图②中的阴影部分面积． 类型2 分段计费问题 15．【实践与应用】学校举办诗歌颂祖国活动，需要定制一批奖品颁发给表现突出的同学，每份奖品包含纪念徽章与纪念品各一个，现有两家供应商可以提供纪念徽章设计、制作和纪念品制作业务，报价如下： 纪念徽章设计费 纪念徽章制作费 纪念品费用 甲供应商 300元 3元/个 18元/个 乙供应商 免设计费 6元/个 不超过100个时，20元/个； 超过100个时，超出部分18元/个． (1)若学校需要定制20份奖品，则选甲供应商需要支付__________元，选乙供应商需要支付_________元； (2)现学校需要定制份奖品． 若选择甲供应商，需要支付的费用为 元；（用含的代数式表示） 若选择乙供应商，需要支付的费用为 元；（用含的代数式表示） (3)如果学校需要定制150份奖品，请你通过计算说明选择哪家供应商比较省钱． 16．为鼓励居民节约用水，某市实行阶梯水价制度，居民用水阶梯水价标准如下： 阶梯 年用水量（每户） 综合水价（元/） 第一档 不超过的部分 第二档 超过但不超过的部分 第三档 超过的部分 (1)小明家2023年共用水，应支付水费________元（用含的式子表示）；若该年度小明家支付水费元，则________； (2)在（1）的条件下，小明家2024年和2025年共用水，其中2024年用水量为（，且为整数），求小明家2024年和2025年支付的总水费（用含的式子表示）． 17．某超市在“国庆—中秋”双节期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠方法 少于200元 不予优惠 200元元 全部九折优惠 超过500元 500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠 (1)王老师一次性购物300元，他实际付款多少元？ (2)若某位顾客在该超市一次性购物元，请根据的范围求他的实际付款为多少元？（用含的代数式表示） (3)如果王老师两次购买物品的价格（优惠前）合计为550元，第一次购买物品的价格为元（超过50元，少于200元）． ①求王老师这两次购物实际付款多少元？（用含的代数式表示） ②在中秋节当天，超市又推出了双节期间可合计一次性付款优惠，当元时，王老师两次购物合计一次性付款比分两次付款共节省了多少元？ 18．【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们到附近的某打车公司开展“打车计费”实践活动． 【实践发现】司机介绍说：“车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式：行车里程在及以内的，不收远途费，超过的，超出部分每千米收0.4元．”收费标准如下： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 元/ 元/ 元/ 【实践探究】老师说：“若乘客的行车里程为，行车时间为，则需付车费（元）．” 【问题解决】 (1)若小东的行车里程为，行车时间为，则需付车费_______元． (2)若小明的行车里程为，行车时间为，则需付车费多少元？（用含，的代数式表示，并化简） (3)若小王、小张的行车里程分别为与，且小王的行车时间比小张的行车时间多，谁付的车费更多？ 19．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控手段以达到节水的目的，下表是该市自来水收费价格的价目表（注：水费按月结算） 每月用水量 单价 不超过6立方米的部分 2元/立方米 超过6立方米但不超过10立方米的部分 4元/立方米 超过10立方米的部分 8元/立方米 (1)若某户居民2月份用水4立方米，则应缴纳水费 元． (2)若某户居民3月份用水a（）立方米，则该用户3月份应缴纳水费多少元（用含a的代数式表示，并化成最简形式）？ (3)若某户居民4、5月份共用水15立方米（5月份用水量多于4月份），设4月份用水x立方米，求该户居民4、5月份共缴纳水费多少元．（用含x的代数式表示，并化成最简形式） 20．某市的城乡居民医疗保险实行门诊费用分段累计报销制度，各级医院的报销比例如下表所示．为有效引导居民合理选择医院进行诊疗，该市推行分级诊疗政策：由一级医院转诊至更高级别的三级医院后，在三级医院产生的诊疗费用执行基准报销比例． 全年门诊累计费用 （单位：元） 本次诊费在三级 医院报销比例 本次诊费在一级 医院报销比例 本次诊费按基准 报销比例 不超过元的部分 不报销 不报销 不报销 超过元但不超过元的部分 超过元但不超过元的部分 超过100000元的部分 不报销 不报销 不报销 例如：莲先生本年度门诊累计费用为元，本次在三级医院新增诊费为元，则他本次实际支付诊费只需元；花女士本年度门诊累计费用为元，本次在一级医院新增诊费为元，则她本次实际支付诊费只需 元； 说明：①全年门诊累计费用指自然年度内在本市所有参保的医院门诊诊疗的总费用； ②相同疾病在不同级别医院产生的诊疗费用相同； ③医疗费用均会在诊疗当天按照上表的规定结算完毕． (1)王先生本年度第一次在参保医院门诊进行诊疗： ①若在三级医院诊疗产生元的费用，求王先生实际支付的诊疗费用； ②若在三级医院诊疗产生元（）的费用，用含的代数式表示王先生本次诊疗的实际费用（不必化简）； (2)本市某位患者本年度门诊累计费用已达到元（的范围是超过元但不超过元），目前因患病需到三级医院门诊就诊．预计本次诊疗费用为元，全年门诊累计费用不超过元，现有两种方案： 方案一：直接到三级医院就诊； 方案二：先到一级医院办理转诊（需支付挂号、检查等费用元，该费用计入全年门诊累计费用，并执行一级医院报销比例），然后转诊至三级医院就诊． 根据以上信息，用含和的式子分别表示两种方案的实际支付费用，并直接判断哪种方案实际支付的费用更少． 类型3 与整式有关的方案选择问题 21．某超市开展促销活动，小明一家去超市准备购买纸巾，根据以下素材，请你帮小明完成任务． 【素材1】 纸巾区域推出两种活动． 活动一：购物满100元减30元，满200元减60元，满300元减90元，……，上不封顶． 活动二：所有商品打8折． 注：两种活动不能同时参加． 【素材2】 A品牌纸巾：规格10包/箱，价格40元/箱 B品牌纸巾：规格10包/箱，价格60元/箱 【素材3】 小明家平时同时使用这两种纸巾，平均3天用1包A品牌纸巾，平均6天用1包B品牌纸巾；小明家A品牌纸巾还有1箱存货，B品牌纸巾存货未知． (1)任务1：请求出小明家半年（按180天计算）要消耗A品牌纸巾多少箱？消耗B品牌纸巾多少箱？ (2)任务2：按存半年（按180天计算）的量计算，小明认为还需要购买这两种纸巾，其中还需要购买B品牌纸巾箱．若选择活动二，则所需的总费用为_________元（用含的代数式表示）． (3)任务3：小明想家里B品牌纸巾没有存货，按存半年（按180天计算）的量计算买两种品牌的纸巾，请思考小明怎样参加活动更合算，并写出计算过程． 22．根据以下材料完成任务． 设计被子采购方案 每年“双12”某网上商城都会推出各种优惠活动进行促销．今年，某宾馆负责人张阿姨在“双12”到来之前准备在某网上商城三家店铺中选择一家购买原价均为1000元／条的被子若干条． 素材1 已知三家店铺在非活动期间，均按800元销售，“双12”活动期间在此基础上再分别给予优惠； 素材2 店铺：“双12”当天购买可以再享受8折优惠； 素材3 店铺：“双12”当天下单， ①每满800元可使用店铺优惠券50元； ②每满400元可使用商城“双12”购物津贴券50元； ③每单立减80元，但同一用户活动当天仅可享受1次立减优惠（即不可拆分订单重复享受）； （例：同一用户活动当天购买2条被子需支付元） 素材4 店铺：“双12”当天下单可享立减及满赠——所有订单都能享每条立减140元，当订单的实付数量达到10条及以上时，在立减的基础上还能再免费获赠1条同款商品． 问题解决 (1)任务1 付款方式1：若在店铺9条被子作一单购买，需支付______元； 付款方式2：若在店铺9条被子作一单购买，需支付______元； 付款方式3：若在店铺9条被子作一单购买，需支付______元； (2)任务2 对比方案：若张阿姨在“双12”当天下单，且实际购得条该款被子，请用含的代数式分别表示在这三家店铺购买的实际费用．（说明：张阿姨购得的条被子均作一单购买） (3)任务3 明确需求：已知张阿姨在“双12”当天需下单购得26条该款被子，且可分批次自主选择下单渠道． 最优方案设计：请结合各店铺优惠规则，请直接写出最省钱的方案，并写出该方案下的最终购买总金额 23．我校七年级举行了数学计算能力大赛，学校准备在网上订购一批钢笔和笔袋作为奖品．经查询钢笔每支售价为50元，笔袋每个售价为10元．现有，两家网店均提供包邮服务，并给出了各自的优惠策略．网店：买一支钢笔送一个笔袋；网店：钢笔和笔袋都按定价的付款．已知要购买钢笔60支，笔袋个． (1)若在网店购买，则需付款______元；若在网店购买，则需付款_____元；（用含的代数式表示） (2)当时， ①只能选择一家网店购买，则哪家更加合算？请通过计算说明； ②两家网店可以自由选择或组合，则怎样购买最合算？请通过计算说明． 24．按要求完成下列各题 (1)卡塔尔世界杯的一场比赛前的热身中，一名足球守门员在罚球区里练习折返跑，从球门线出发，向前记为正数，返回记为负数，他的记录如下（单位：米）：，，，，，，． ①上面给出的数据中有一对相反数是：______； ②守门员最后是否回到了球门线的位置？请计算说明； ③守门员全部练习结束后，共跑了多少米？ (2)某中学七年级（）班三位教师决定带领本班名学生利用假期去某地旅游，甲旅行社的收费标准为：教师全价，学生半价；而乙旅行社不管教师还是学生一律六五折优惠，这两家旅行社的全价都是元． ①用含的式子表示三位教师和位学生参加这两家旅行社所需的费用各是多少元？ ②如果时，请你计算选择哪一家旅行社较为合算？ 25．某校举办“诗歌颂祖国”活动，需要定制一批奖品颁发给表现突出的同学，每份奖品包含纪念徽章与纪念品各一个，现有两家供应商可以提供纪念徽章设计、制作和纪念品制作业务，报价如下： 纪念徽章设计费 纪念徽章制作费 纪念品费用 甲供应商 300元 3元/个 18元/个 乙供应商 免设计费 4.5元/个 不超过100个时，20元/个；超过100个时，则超出部分打八折 设需要定制x份奖品． (1)如果选择乙供应商，当x不超过100时，应付总费用为多少元？当x超过100时，应付总费用多少元？（用含x的式子表示，结果需化简） (2)如果需要定制50份奖品，请你通过计算说明选择哪家供应商比较省钱？ 26．某服装厂生产一种夹克和恤，夹克每件定价400元，恤每件定价200元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：①买一件夹克送一件恤；②夹克和恤都按定价的付款．现某客户要到该服装厂购买夹克30件，恤件（）． (1)若该客户按方案①购买，夹克需付款__________元，恤需付款__________元（用含的式子表示）；若该客户按方案②购买，夹克需付款_____元，恤需付款__________元（用含的式子表示）； (2)若，通过计算说明按方案①、方案②哪种方案购买较为合算？ (3)若两种优惠方案可同时使用，当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并说明理由． 27．山西因特殊的地理环境，孕育出了众多品质一流的特色杂粮，被誉为“小杂粮王国”.某地一家小型杂粮工厂生产荞麦面和红豆面两种产品，每天生产这两种产品共2000袋，两种产品的成本和售价如下表： 荞麦面 红豆面 成本/（元/袋） 50 22 售价/（元/袋） 55 29 设每天生产荞麦面袋． (1)用含的代数式表示每天的生产成本，并化简； (2)用含的代数式表示每天生产的两种产品全部售出后获得的利润，并化简； (3)根据该工厂的实际情况，现有两种生产方案： 方案一：每天生产荞麦面900袋，红豆面1100袋； 方案二：每天生产荞麦面1100袋，红豆面900袋． 若每天生产的这两种产品全部售出，请通过计算说明，按哪种方案生产，可使每天获得的利润较大． 28．甲、乙旅行社计划面向学校师生推出“革命圣地一日游”研学活动．为了让广大师生深入体验革命文化，传承革命精神，旅行社会带领大家实地参观革命圣地，近距离感受那段波澜壮阔的革命历史．已知这两家旅行社的收费标准如下： 旅行社 老师收费标准 学生收费标准 甲 全价 七折 乙 一律八折优惠 若某校有3位老师决定带领名学生去研学，有甲、乙两家旅行社可供选择，这两家旅行社全价都是每人200元． (1)3位老师和名学生在甲旅行社的总费用为______元，在乙旅行社的总费用为______元．（用含的代数式表示） (2)若3位老师带领150名学生去研学，则选择哪家旅行社更划算？ 29．某商场销售一种微波炉和电磁炉，微波炉每台定价750元，电磁炉每台定价200元，元旦期间商场决定开展促销活动，商场向客户提供了两种优惠方案． 方案一：买一台微波炉送一台电磁炉； 方案二：微波炉和电磁炉都按定价的付款； A公司欲购买微波炉20台，电磁炉x台 (1)若按方案一购买，顾客需付款多少元；若按方案二购买，顾客需付款多少元；（用含x的式子表示） (2)若，通过计算说明哪种购买方式更合算？ (3)当时，你能给出一种更省钱的购买方式吗？试写出你的购买方式，并计算需付款多少元？ 30．根据以下素材，探索完成任务． 如何选择商品购买方案？ 素材1 为进一步提高同学们的思想认识与觉悟，加强爱国主义教育，某校举办了“学党史，知党恩”知识竞赛活动，并决定购买书包40个，笔记本本用于表彰．已知书包定价30元/个，笔记本定价5元/本．商店甲、乙向学校提供了各自的优惠方案． 素材2 商店甲：买一个书包送一本笔记本； 素材3 商店乙：书包和笔记本都按定价的付款． 任务1 探究付款金额 请直接写出该校到商店甲、乙购买，分别需付款多少元；（用含的代数式表示） 任务2 探究购买方案 若时，试计算说明此时选择哪间商店购买较为合算？ 任务3 确定购买方案 若时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并把付款的金额算出来． 31．服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：①买一套西装送一条领带；②西装和领带都按定价的90%付款．现某客户要到该服装厂购买西装20套，领带条． (1)若该客户按方案①购买，需付款______元（用含的代数式表示，化为最简形式） 若该客户按方案②购买，需付款______元（用含的代数式表示，化为最简形式） (2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ (3)若可以同时使用两种优惠方案，则当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法．（注：使用方案一的商品不能再使用方案二，反之亦然．） 32．万象洞位于武都县城东12公里处的白龙江南岸杨庞村半山腰，因为洞中钟乳石遍布，琳琅多姿，宛如包罗万象的问苑仙官而得名，在甘肃旅游热的带动下，万象洞成为来陇游客的必选之地，万象洞成人门票价格为60元/人，学生门票价格为40元/人．国庆期间，某旅游公司开展促销活动，向游客提供两种优惠购票方案： ①买一张成人票送一张学生票； ②成人票和学生票都按正常价格的8折优惠． 现某旅行团有10个成人，个学生． (1)若该旅行团按方案①购票，则需付款______元；若该旅行团按方案②购票，则需付款______元；（用含的代数式表示） (2)当时，请通过计算说明此时按哪种方案购票较为合算． 33．国庆节期间，为了让外地游客感受大同美食的魅力，某大同特色美食店推出优惠大酬宾，有以下两种优惠方案： 方案一 可购买100元代金券，每张79元，每次消费时最多可使用3张，未满100元的部分不得使用代金券． 方案二 消费满300元打九折，不得同时使用代金券． 如某人消费120元，按照方案一使用代金券后，实际消费（元）．琪涵一家国庆假期去该美食店消费，且优惠前的总消费金额为元． (1)若按照方案一使用代金券，则琪涵一家实际消费________元；若按照方案二优惠，则琪涵一家实际消费________元．（用含x的代数式表示） (2)若琪涵一家优惠前的总消费金额为380元，则选择哪种方案更划算？ 34．某校体育科组准备在网上为学校订购一批某品牌羽毛球拍和羽毛球。查阅京东网，要在A、B店两家网店中作出选择．发现两家网店羽毛球拍都是定价一副20元，羽毛球都是定价每个3元．“双十一”期间，A、B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案． A网店：买一副球拍送1个羽毛球； B网店：羽毛球拍和羽毛球都按定价的付款． 已知要购买羽毛球拍50副，羽毛球x个： (1)用含x的代数式填空： ①若在A网店购买，需付款 元， ②若在B网店购买，需付款 元． (2)若时，在哪家网店购买较为合算？请通过计算说明理由． (3)当时，你能设计出一种最省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并计算出需付款多少元？ 35．某人去水果批发市场采购苹果，他看中了A、B两家苹果．这两家苹果品质一样，零售价都为8元/千克，批发价各不相同． A家规定：批发数量不超过1000千克，按零售价的92%优惠；批发数量超过1000千克且不超过2000千克，所有苹果按零售价的90%优惠；超过2000千克，所有苹果按零售价的85%优惠． B家的规定如下表： 数量范围（千克） 0-500 500以上-1500 1500以上-2500 2500以上 价格（元） 零售价的95% 零售价的90% 零售价的85% 零售价的75% 表格说明：批发价格分段计算，如某人批发苹果2100千克，则总费 ． (1)如果他批发700千克苹果，那么他A、B两家批发分别需要多少元？ (2)如果他批发x千克苹果（），请你分别用含x的代数式表示在A、B两家批发所需的费用． (3)现在他要批发1600千克苹果，选择在哪家批发更优惠呢？请说明理由. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $