期中特色题复习——与有理数、整式有关的阅读与思考题专项训练2026-2027学年北师大版数学七年级上册

与有理数、整式有关的阅读与思考题 1．阅读与思考：认识绝对值 【阅读理解】如下图：两辆巡护车从长治市太行街中点同时出发，一辆向东行驶千米，另一辆向西行驶千米．规定向东为正方向，向西为负方向，则向东记作千米，向西记作千米．我们发现：它们的行驶方向不同，行驶的路程不同，离出发点的距离也不同，分别是千米和千米． 数轴上表示一个数的点到原点的距离，叫做这个数的绝对值，记作“”． 例如：，， 【思考提升】 (1)填空： ①________②________③________④________ 我们发现：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是去掉负号后的数；的绝对值是． 绝对值永远不会是_____________．（填“正数”“”“负数”） (2)长治市太行街道路巡护车从市政府（原点）出发巡查，向东为正方向，向西为负方向，当天行驶记录如下：，，，（单位：千米） ①请你先填写每次行驶路程的绝对值，再求出巡护车当天总共行驶了多少千米？ 次序 第一次 第二次 第三次 第四次 路程（千米） 绝对值 ②如果巡护车每行驶千米耗油升，当天巡护车耗油多少升？ ③道路巡护车巡查结束后，会停在什么位置？ 2．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习的部分内容，阅读下列材料，并完成相应任务． 关于“用拆项法计算”的研究报告 博学小组 研究对象：用拆项法计算的值． 研究思路：由于2025与2024相差1，2033与2034相差1，因而可以将问题改写成． 研究方法：先利用拆项法，再利用乘法分配律． 研究步骤：解：原式（依据1） （依据2） = ▲ ． 任务： (1)上述研究报告中的依据1是指________，依据2是指________． (2)研究报告中的“▲”处空缺的内容为________． (3)请用另外一种拆分方法计算． 3．阅读材料，并完成相应的任务． 定义新运算：，（其中，），若，则有理数a为b的“隔一数”． 例如：， 因为，所以有理数2为3的“隔一数” (1)下列各组数中，a为b的“隔一数”的是：______．（请将正确的序号填入横线处） ①，；②，． (2)计算． 4．张景院士指出：“代数的智慧在于‘代’，以字母代换数，能让我们突破算术的局限，洞悉数学的本质…‘代’的思想极具穿透力，它能架起已知与未知的桥梁，能在普遍规律与特殊案例间建立连接，能将繁杂的数量关系简化为清晰的代数表达式，还能让看似普通的数学现象衍生出多样的应用场景．”在整数的世界里，有许多如“对称数”“阶梯数”等具有独特结构的数，它们隐藏的规律，都可以通过字母表示数的代数方法逐一揭开．一个三位正整数，如果十位数字恰好等于百位数字与个位数字差的2倍，我们称这个三位正整数为“倍差数”．例如三位正整数543中，，所以543是倍差数；又如461中，，所以461也是倍差数． 任务： 已知一个三位数是“倍差数”． (1)若它的百位数字是9，个位数字是5，则这个数是______________； (2)若它的百位数字为b，个位数字为c，（，且b，c均为正整数），则十位数字为______________，这个数为______________（用含b，c的代数式表示）； (3)若（2）中的该倍差数满足，则它能被13整除，请写出推理过程． 5．阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用分配律解题我们知道，分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的时，我们可以逆用分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用分配律可得，这样计算就简便得多． 计算： (1)； (2)． 6．阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日     星期日 这周，老师布置了作业： 观察下列各式：；； 通过以上各式，请你写出这种新定义的运算： ． 在完成老师布置的作业之后，我对这个新定义的运算充满了好奇，继而思考：这个新定义的运算满足交换律吗？于是我展开以下探究： 若满足交换律，则有． …… 任务： (1)请你补全上述材料的空缺部分： ． (2)根据材料，计算与． (3)请你补全小宇日记中的探究过程． 7．阅读与思考 规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“3的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“a的圈n次方”． 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：除方乘方 【初步探究】 （1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式________；________． 【深入思考】 （2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成乘方的形式是________． 【运用规律】 （3）算一算（算出最后结果）：． 8．综合与探究 下面是小雨同学一篇数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 今天上课时，我知道了：两个非零有理数相乘，可以分为“正数×正数”，“负数×正数”，“正数×负数”与“负数×负数”四种类型、对于前三种乘法法则的探索过程，我都理解，但是对于“负负得正”的结论，仍然存在疑问．通过重新梳理探索的过程，我理解了“负负得正”的道理，进一步体会到运算律在探索法则中的作用． 探索1：对于“正数×正数”和“负数×正数”，可根据乘法与加法的关系进行计算． 例如：； ． 探索2：对于“正数×负数”，可以转化为“负数×正数”得出结论． 例如：   （依据1：▲） ． 即． 结合与，与的关系可以发现：两个正有理数相乘，如果其中一个因数不变，另一个因数变为其相反数时，乘积也与原来的积互为相反数［结论］ 例如：，而与的结果都是，也符合上述结论． 探索3：对于“负数×负数”，受“探索2”中所得结论的启发，我的思考如下： 以为例，猜想的积与的积也互为相反数．对于这一猜想，我分析如下：    （依据2：▲） ． 所以，，即的积与的积互为相反数． 因为，所以，即两个负数的乘积是一个正数 …… 任务： (1)写出上述探索过程中的两个依据：依据1：__________________  依据2：__________________ (2)仿照“探索3”的思路，说明“”． (3)聪明的两位学生又回忆起有理数的相关运算． 在探究“有理数加法法则”的过程中，我们只要通过对几类运算进行归纳总结，就可以得出该法则．下列给出的算式： ；     ；    ；     ； ；     ；     ；     ， 你认为可以帮助探究有理数加法法则的算式组合是_________ A．    B．    C．    D． 9．“分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的两个问题． 例：三个有理数满足，求的值． 解：由题意得：三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当都是正数，即，，时， 则：； ②当有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， 则：， 综上：的值为或． 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知是有理数，当时，求的值． (2)已知是有理数，，，求的值． 10．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 行列式 概念学习：我们把形如的式子称为“行列式”，其运算法则为． 小宣利用该法则计算的过程如下： （依据：乘法_____①_____律的逆运算） _____②_____． 小夏计算的过程如下： …… 任务： (1)材料中“①”处的依据是_____，“②”处的结果为_____． (2)补全小夏计算的过程． (3)根据行列式的运算法则，直接写出的计算结果． 11．阅读与思考 下面是小字同学的数学学习笔记，请认真阅读，并完成相应任务． 巧用运算律进行简便运算例1：                        例2： （依据1）                    （依据2）                                                      ． 任务： (1)例1中的依据1为___________；依据2为___________． (2)模仿例1中的方法计算：． (3)模仿例2中的方法计算：． 12．阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日星期日 揭秘“能被整除”的奥秘 在小学我只知道像，，，这样的自然数能被整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被整除，那么这个自然数就能被整除．但我不知道其中的道理是什么． 今天通过数学活动课上的探究，我知道了其中的奥秘． 先看两位数的情形．若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，，则这个数可记为，于是．这里能被整除，因此，如果能被整除，那么就能被整除，即能被整除． 用类似的方法表示三位数、四位数、五位数等也可以说明前面结论的道理． 任务： 请你根据小宇同学的日记用类似的方法表示三位数，并说明前面结论的道理． 13．下面是小明关于“完美积式”的研究性学习报告的一部分，请认真阅读并完成相应的任务． 概念理解： 如果一个多项式可以写成两个一次二项式的乘积，即的形式，其中a、b、c、d均为整数，且，，则称这个多项式为“完美积式”． 例如，，因此是一个“完美积式”． 特例构造： 根据定义，可从整数a、b、c、d入手，构造“完美积式”，思路如下： 当，时，取不同的整数b、d，即可得到二次项系数为1的“完美积式”，如； 当，时，取不同的整数b、d，即可得到二次项系数为2的“完美积式”，如； 当，时，取不同的整数b、d，即可得到二次项系数为6的“完美积式”， 以此类推… 规律剖析： 在特例构造的过程中可以发现，对于“完美积式”：，其系数之间存在特定的关系． 设二次项系数，一次项系数，常数项． 则，且是完全平方数（一个整数的平方）．因此，“完美积式”的判别式一定是完全平方数． 反过来，对于一个二次三项式，如果是完全平方数，且存在整数分解，那么它就可以表示为两个一次二项式的乘积，即为“完美积式”． 根据以上材料，回答下列问题： (1)当，，b、d互为相反数时，请写出一个符合要求的完美积式：______； (2)下列二次三项式中，是“完美积式”的是（   ）； A．　　B．　　C．　　D． (3)若二次三项式是“完美积式”，且k为正整数，则k的所有可能值的和为_____． 14．阅读与思考 请你仔细阅读小明的数学日记，并按要求完成相应任务． *年*月*日    晴 整式加减拆穿数字魔术 今天课间，同桌给我表演了一个数字魔术．他让我任意想一个两位数，然后按下列步骤进行运算： ①用十位数字乘2，然后加5； ②将第①步的结果乘5，再加个位数字； ③将第②步的结果减去15． 我只要报出最后的得数，他就能立刻猜出我原来想的数！ 我试了“37”：，，．我报了47，同桌立刻猜出了我想的数是37，他是如何猜出的呢？ 我用学过的整式知识一算，立刻就明白了玄机．如果用，分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，那么第①步的运算结果为；第②步的运算结果为________；第③步的运算结果为，因此只要用最后的运算结果减10，就是所想的数！ 魔术中的“干扰项”在整式的加减运算中被完全抵消了．这根本不是读心术，而是一个巧妙的数学设计！ 任务： (1)上述材料中，小明第②步的运算结果为________． (2)小明受此启发，设计了一个猜三位数的魔术规则：想一个三位数，依次进行以下运算：①将百位数字乘，然后加2，再将所得的和乘20；②将十位数字加5，然后乘10；③将个位数字加10；④将这三步的结果相加，报出最后的计算结果就能知道你所想的三位数．请你利用整式的加减揭秘此魔术． 15．阅读与思考 下面是小聪同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 分五数 【概念理解】 一个三位数的正整数，如果百位上的数字恰好等于十位上的数字与个位上的数字之和的五分之一，那么称这个三位数的正整数为“分五数”． 例如：123，因为，所以123是“分五数”． 【问题解决】 问题1：填空：153___________“分五数”，396___________“分五数”．（填“是”或“不是”） 问题2：设“分五数”的百位数字为，十位数字为，个位数字为，则“分五数”的百位数字只能为1，2，3这三种情况，试说明理由． 解：根据题意，得，即． 因为“分五数”是一个三位数的正整数， 所以取1~9的自然数，，取0~9的自然数，即的最大值为18． 若为4，则． 因为， 所以不能为4． 同理，不能为5，6，7，8，9． 所以“分五数”的百位数字只能为1，2，3这三种情况． 任务： (1)请解决问题1． (2)若设“分五数”的个位数字为．当“分五数”的百位数字为1时，用含的代数式表示这个“分五数”，并说明该“分五数”能否被3整除． (3)请你直接写出一个与材料中所给“分五数”不同的“分五数”． 16．阅读与思考 请认真阅读下列材料，并完成相应任务． 一个含有多个字母的式子中，当字母的取值均不相等，且都不为0时，任意交换两个字母的位置，式子的值不变，这样的式子叫做“对称式”．例如：式子中任意两个字母交换位置，可得到式子，，．因为，所以是“对称式”，而式子中的字母，交换位置，得到式子，但是，所以不是“对称式”． 任务： (1)下列式子中，是“对称式”的是____________．（填序号） ①；②；③ (2)写出一个系数为，只含有字母且次数为4的单项式，使该单项式是“对称式”； (3)已知，求，并判断所得结果是否是“对称式”． 17．阅读与思考 阅读下面的材料，并解决问题． 代数推理的魅力 一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．若一个三位数百位、十位、个位上的数字分别为，，，则通常记这个三位数为．于是： ． 显然能被3整除，因此如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除． 问题解决： (1)下列三位数中，不能被3整除的是______． A．123    B．235    C．357    D．555 (2)参照材料中的方法，说明一个四位数，若它的所有数位上的数字之和能被3整除，则这个四位数能被3整除． (3)拓展：若表示一个四位数，当时，这个四位数能被11整除．请你直接写出的值．（至少写出2个） 18．请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务． 整体思想 在数学解题过程中，“整体思想”是一种重要的思想方法，它能将复杂问题转化为简单问题，在多项式的化简与求值中的应用极为广泛． 例如：合并同类项时，，这里是将“”看成一个整体进行运算．类似地，我们也可以把多项式看成一个整体．比如把看成一个整体，则： ． 任务： (1)把看成一个整体，计算的结果为___________． (2)已知，求代数式的值． (3)已知，求代数式的值． 19．阅读与思考 请仔细阅读并完成相应任务： 关于“对称式”的研究报告善思小组研究对象：对称式 研究思路：按“概念-性质-判定”的路径，由一般到特殊进行研究 研究方法：观察（测量、实验）-猜想-推理证明 【一般概念】一个含有多个字母的式子中，任意交换两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，式子的值都不变，这样的式子叫做对称式． 【特例研究】①式子中任意两个字母交换位置，可得到式子，因为，所以是对称式． ②式子中字母a，b交换位置，得到式子，因为，所以________对称式． 问题： (1)Ⅰ．直接写出研究报告中“________”处短缺的内容． Ⅱ．给出下列式子：①，②，③，④，其中是对称式的是________（填序号即可）； (2)Ⅰ．写出一个系数为，只含有字母a，b且次数为6的单项式，使该单项式是对称式； Ⅱ．写出一个只含有字母x，y的四次三项式，使该多项式是对称式． 20．阅读与思考 下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 在解决数学问题的过程中，往往需要考虑到所有可能发生的情况，使得考虑问题全面化，因此我们常用到“分类讨论”的数学思想方法来解决问题，比如我们已经知道： ， 提出问题：已知三个有理数满足，求的值． 解决问题： 分析：由题意得三个有理数都为负数或其中一个为负数，另外两个为正数． 解：①当都是负数，即时， 则； ②当有一个是负数，另外两个都是正数时， 假设，，， 则． 所以的值为或1． 任务： (1)已知三个有理数满足，求的值． (2)已知，且，直接写出的值． 21．阅读与思考 下面是小宣同学的数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 差倒数【概念理解】已知有理数，且，我们把称为的差倒数．因为分数的分母不能为0，所以1没有差倒数．例如10的差倒数为，的差倒数为，等等． 【问题解决】问题1：已知5的差倒数为，的差倒数为，则______． 问题2：已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数……依此类推，求的差倒数． 解：根据差倒数的定义，因为，所以， ， 任务： (1)材料中问题1的“_____”处应填写_____． (2)补全材料中问题2解答过程的剩余部分． (3)现有若干个数，第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，第4个数记为，第100个数记为，若，接下来的都是它前面那个数的差倒数，直接写出的值． 22．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 神秘的数字黑洞 在数字的浩瀚宇宙中，总有一些特殊的存在，它们像隐藏在迷雾里的宝藏，吸引着无数人去探索．数字黑洞就是其中之一．所谓的数字黑洞是指：若选定某些自然数通过有限次“特定数学运算”后，结果必然得到固定数值的整数．这个固定整数我们称为数字黑洞，本文中“特定数学运算”是指“重排求差”，即将数字各位重新排列组成最大数减去最小数． 四位数黑洞研究： 取任意一个四位数（四个数字均为同一个数的，以及三个数字相同，另外一个数字与这个数字相差，如，等除外），将该数的四个数字重新排列，形成可能的最大数和可能的最小数，再将两者之间的差求出来；对此差值重复同样过程，最后总是得到，我们称为四位“黑洞”数． 例如：取四位数； 大数：取这四个数字能构成的最大数，本例为：； 小数：取这四个数字能构成的最小数，本例为：； 差：求出大数与小数之差，本例为：； 重复：对新数按以上算法求得新数为：； 重复：对新数按以上算法求得新数为：； 重复：． 任务： (1)学习小组成员，取六位数，用一次“重排求差”法，将结果设置为微信支付密码，这个密码是 ； (2)类比阅读内容，小组成员研究三位数黑洞时发现：任取一组互不相等的三个数字，经过有限次上述“重排求差”操作后，最终会得到一个固定的数字黑洞，这个数是 ； (3)小组成员发现：在研究三位数黑洞时，任取一组互不相等的三个数字，“重排求差”操作中，最大数和最小数的差能被整除，请证明这个结论． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 与有理数、整式有关的阅读与思考题 1．阅读与思考：认识绝对值 【阅读理解】如下图：两辆巡护车从长治市太行街中点同时出发，一辆向东行驶千米，另一辆向西行驶千米．规定向东为正方向，向西为负方向，则向东记作千米，向西记作千米．我们发现：它们的行驶方向不同，行驶的路程不同，离出发点的距离也不同，分别是千米和千米． 数轴上表示一个数的点到原点的距离，叫做这个数的绝对值，记作“”． 例如：，， 【思考提升】 (1)填空： ①________②________③________④________ 我们发现：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是去掉负号后的数；的绝对值是． 绝对值永远不会是_____________．（填“正数”“”“负数”） (2)长治市太行街道路巡护车从市政府（原点）出发巡查，向东为正方向，向西为负方向，当天行驶记录如下：，，，（单位：千米） ①请你先填写每次行驶路程的绝对值，再求出巡护车当天总共行驶了多少千米？ 次序 第一次 第二次 第三次 第四次 路程（千米） 绝对值 ②如果巡护车每行驶千米耗油升，当天巡护车耗油多少升？ ③道路巡护车巡查结束后，会停在什么位置？ 2．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习的部分内容，阅读下列材料，并完成相应任务． 关于“用拆项法计算”的研究报告 博学小组 研究对象：用拆项法计算的值． 研究思路：由于2025与2024相差1，2033与2034相差1，因而可以将问题改写成． 研究方法：先利用拆项法，再利用乘法分配律． 研究步骤：解：原式（依据1） （依据2） = ▲ ． 任务： (1)上述研究报告中的依据1是指________，依据2是指________． (2)研究报告中的“▲”处空缺的内容为________． (3)请用另外一种拆分方法计算． 3．阅读材料，并完成相应的任务． 定义新运算：，（其中，），若，则有理数a为b的“隔一数”． 例如：， 因为，所以有理数2为3的“隔一数” (1)下列各组数中，a为b的“隔一数”的是：______．（请将正确的序号填入横线处） ①，；②，． (2)计算． 4．张景院士指出：“代数的智慧在于‘代’，以字母代换数，能让我们突破算术的局限，洞悉数学的本质…‘代’的思想极具穿透力，它能架起已知与未知的桥梁，能在普遍规律与特殊案例间建立连接，能将繁杂的数量关系简化为清晰的代数表达式，还能让看似普通的数学现象衍生出多样的应用场景．”在整数的世界里，有许多如“对称数”“阶梯数”等具有独特结构的数，它们隐藏的规律，都可以通过字母表示数的代数方法逐一揭开．一个三位正整数，如果十位数字恰好等于百位数字与个位数字差的2倍，我们称这个三位正整数为“倍差数”．例如三位正整数543中，，所以543是倍差数；又如461中，，所以461也是倍差数． 任务： 已知一个三位数是“倍差数”． (1)若它的百位数字是9，个位数字是5，则这个数是______________； (2)若它的百位数字为b，个位数字为c，（，且b，c均为正整数），则十位数字为______________，这个数为______________（用含b，c的代数式表示）； (3)若（2）中的该倍差数满足，则它能被13整除，请写出推理过程． 5．阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用分配律解题我们知道，分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的时，我们可以逆用分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用分配律可得，这样计算就简便得多． 计算： (1)； (2)． 6．阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日     星期日 这周，老师布置了作业： 观察下列各式：；； 通过以上各式，请你写出这种新定义的运算： ． 在完成老师布置的作业之后，我对这个新定义的运算充满了好奇，继而思考：这个新定义的运算满足交换律吗？于是我展开以下探究： 若满足交换律，则有． …… 任务： (1)请你补全上述材料的空缺部分： ． (2)根据材料，计算与． (3)请你补全小宇日记中的探究过程． 7．阅读与思考 规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“3的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“a的圈n次方”． 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：除方乘方 【初步探究】 （1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式________；________． 【深入思考】 （2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成乘方的形式是________． 【运用规律】 （3）算一算（算出最后结果）：． 8．综合与探究 下面是小雨同学一篇数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 今天上课时，我知道了：两个非零有理数相乘，可以分为“正数×正数”，“负数×正数”，“正数×负数”与“负数×负数”四种类型、对于前三种乘法法则的探索过程，我都理解，但是对于“负负得正”的结论，仍然存在疑问．通过重新梳理探索的过程，我理解了“负负得正”的道理，进一步体会到运算律在探索法则中的作用． 探索1：对于“正数×正数”和“负数×正数”，可根据乘法与加法的关系进行计算． 例如：； ． 探索2：对于“正数×负数”，可以转化为“负数×正数”得出结论． 例如：   （依据1：▲） ． 即． 结合与，与的关系可以发现：两个正有理数相乘，如果其中一个因数不变，另一个因数变为其相反数时，乘积也与原来的积互为相反数［结论］ 例如：，而与的结果都是，也符合上述结论． 探索3：对于“负数×负数”，受“探索2”中所得结论的启发，我的思考如下： 以为例，猜想的积与的积也互为相反数．对于这一猜想，我分析如下：    （依据2：▲） ． 所以，，即的积与的积互为相反数． 因为，所以，即两个负数的乘积是一个正数 …… 任务： (1)写出上述探索过程中的两个依据：依据1：__________________  依据2：__________________ (2)仿照“探索3”的思路，说明“”． (3)聪明的两位学生又回忆起有理数的相关运算． 在探究“有理数加法法则”的过程中，我们只要通过对几类运算进行归纳总结，就可以得出该法则．下列给出的算式： ；     ；    ；     ； ；     ；     ；     ， 你认为可以帮助探究有理数加法法则的算式组合是_________ A．    B．    C．    D． 9．“分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的两个问题． 例：三个有理数满足，求的值． 解：由题意得：三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当都是正数，即，，时， 则：； ②当有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， 则：， 综上：的值为或． 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知是有理数，当时，求的值． (2)已知是有理数，，，求的值． 10．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 行列式 概念学习：我们把形如的式子称为“行列式”，其运算法则为． 小宣利用该法则计算的过程如下： （依据：乘法_____①_____律的逆运算） _____②_____． 小夏计算的过程如下： …… 任务： (1)材料中“①”处的依据是_____，“②”处的结果为_____． (2)补全小夏计算的过程． (3)根据行列式的运算法则，直接写出的计算结果． 11．阅读与思考 下面是小字同学的数学学习笔记，请认真阅读，并完成相应任务． 巧用运算律进行简便运算例1：                        例2： （依据1）                    （依据2）                                                      ． 任务： (1)例1中的依据1为___________；依据2为___________． (2)模仿例1中的方法计算：． (3)模仿例2中的方法计算：． 12．阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日星期日 揭秘“能被整除”的奥秘 在小学我只知道像，，，这样的自然数能被整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被整除，那么这个自然数就能被整除．但我不知道其中的道理是什么． 今天通过数学活动课上的探究，我知道了其中的奥秘． 先看两位数的情形．若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，，则这个数可记为，于是．这里能被整除，因此，如果能被整除，那么就能被整除，即能被整除． 用类似的方法表示三位数、四位数、五位数等也可以说明前面结论的道理． 任务： 请你根据小宇同学的日记用类似的方法表示三位数，并说明前面结论的道理． 13．下面是小明关于“完美积式”的研究性学习报告的一部分，请认真阅读并完成相应的任务． 概念理解： 如果一个多项式可以写成两个一次二项式的乘积，即的形式，其中a、b、c、d均为整数，且，，则称这个多项式为“完美积式”． 例如，，因此是一个“完美积式”． 特例构造： 根据定义，可从整数a、b、c、d入手，构造“完美积式”，思路如下： 当，时，取不同的整数b、d，即可得到二次项系数为1的“完美积式”，如； 当，时，取不同的整数b、d，即可得到二次项系数为2的“完美积式”，如； 当，时，取不同的整数b、d，即可得到二次项系数为6的“完美积式”， 以此类推… 规律剖析： 在特例构造的过程中可以发现，对于“完美积式”：，其系数之间存在特定的关系． 设二次项系数，一次项系数，常数项． 则，且是完全平方数（一个整数的平方）．因此，“完美积式”的判别式一定是完全平方数． 反过来，对于一个二次三项式，如果是完全平方数，且存在整数分解，那么它就可以表示为两个一次二项式的乘积，即为“完美积式”． 根据以上材料，回答下列问题： (1)当，，b、d互为相反数时，请写出一个符合要求的完美积式：______； (2)下列二次三项式中，是“完美积式”的是（   ）； A．　　B．　　C．　　D． (3)若二次三项式是“完美积式”，且k为正整数，则k的所有可能值的和为_____． 14．阅读与思考 请你仔细阅读小明的数学日记，并按要求完成相应任务． *年*月*日    晴 整式加减拆穿数字魔术 今天课间，同桌给我表演了一个数字魔术．他让我任意想一个两位数，然后按下列步骤进行运算： ①用十位数字乘2，然后加5； ②将第①步的结果乘5，再加个位数字； ③将第②步的结果减去15． 我只要报出最后的得数，他就能立刻猜出我原来想的数！ 我试了“37”：，，．我报了47，同桌立刻猜出了我想的数是37，他是如何猜出的呢？ 我用学过的整式知识一算，立刻就明白了玄机．如果用，分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，那么第①步的运算结果为；第②步的运算结果为________；第③步的运算结果为，因此只要用最后的运算结果减10，就是所想的数！ 魔术中的“干扰项”在整式的加减运算中被完全抵消了．这根本不是读心术，而是一个巧妙的数学设计！ 任务： (1)上述材料中，小明第②步的运算结果为________． (2)小明受此启发，设计了一个猜三位数的魔术规则：想一个三位数，依次进行以下运算：①将百位数字乘，然后加2，再将所得的和乘20；②将十位数字加5，然后乘10；③将个位数字加10；④将这三步的结果相加，报出最后的计算结果就能知道你所想的三位数．请你利用整式的加减揭秘此魔术． 15．阅读与思考 下面是小聪同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 分五数 【概念理解】 一个三位数的正整数，如果百位上的数字恰好等于十位上的数字与个位上的数字之和的五分之一，那么称这个三位数的正整数为“分五数”． 例如：123，因为，所以123是“分五数”． 【问题解决】 问题1：填空：153___________“分五数”，396___________“分五数”．（填“是”或“不是”） 问题2：设“分五数”的百位数字为，十位数字为，个位数字为，则“分五数”的百位数字只能为1，2，3这三种情况，试说明理由． 解：根据题意，得，即． 因为“分五数”是一个三位数的正整数， 所以取1~9的自然数，，取0~9的自然数，即的最大值为18． 若为4，则． 因为， 所以不能为4． 同理，不能为5，6，7，8，9． 所以“分五数”的百位数字只能为1，2，3这三种情况． 任务： (1)请解决问题1． (2)若设“分五数”的个位数字为．当“分五数”的百位数字为1时，用含的代数式表示这个“分五数”，并说明该“分五数”能否被3整除． (3)请你直接写出一个与材料中所给“分五数”不同的“分五数”． 16．阅读与思考 请认真阅读下列材料，并完成相应任务． 一个含有多个字母的式子中，当字母的取值均不相等，且都不为0时，任意交换两个字母的位置，式子的值不变，这样的式子叫做“对称式”．例如：式子中任意两个字母交换位置，可得到式子，，．因为，所以是“对称式”，而式子中的字母，交换位置，得到式子，但是，所以不是“对称式”． 任务： (1)下列式子中，是“对称式”的是____________．（填序号） ①；②；③ (2)写出一个系数为，只含有字母且次数为4的单项式，使该单项式是“对称式”； (3)已知，求，并判断所得结果是否是“对称式”． 17．阅读与思考 阅读下面的材料，并解决问题． 代数推理的魅力 一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．若一个三位数百位、十位、个位上的数字分别为，，，则通常记这个三位数为．于是： ． 显然能被3整除，因此如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除． 问题解决： (1)下列三位数中，不能被3整除的是______． A．123    B．235    C．357    D．555 (2)参照材料中的方法，说明一个四位数，若它的所有数位上的数字之和能被3整除，则这个四位数能被3整除． (3)拓展：若表示一个四位数，当时，这个四位数能被11整除．请你直接写出的值．（至少写出2个） 18．请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务． 整体思想 在数学解题过程中，“整体思想”是一种重要的思想方法，它能将复杂问题转化为简单问题，在多项式的化简与求值中的应用极为广泛． 例如：合并同类项时，，这里是将“”看成一个整体进行运算．类似地，我们也可以把多项式看成一个整体．比如把看成一个整体，则： ． 任务： (1)把看成一个整体，计算的结果为___________． (2)已知，求代数式的值． (3)已知，求代数式的值． 19．阅读与思考 请仔细阅读并完成相应任务： 关于“对称式”的研究报告善思小组研究对象：对称式 研究思路：按“概念-性质-判定”的路径，由一般到特殊进行研究 研究方法：观察（测量、实验）-猜想-推理证明 【一般概念】一个含有多个字母的式子中，任意交换两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，式子的值都不变，这样的式子叫做对称式． 【特例研究】①式子中任意两个字母交换位置，可得到式子，因为，所以是对称式． ②式子中字母a，b交换位置，得到式子，因为，所以________对称式． 问题： (1)Ⅰ．直接写出研究报告中“________”处短缺的内容． Ⅱ．给出下列式子：①，②，③，④，其中是对称式的是________（填序号即可）； (2)Ⅰ．写出一个系数为，只含有字母a，b且次数为6的单项式，使该单项式是对称式； Ⅱ．写出一个只含有字母x，y的四次三项式，使该多项式是对称式． 20．阅读与思考 下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 在解决数学问题的过程中，往往需要考虑到所有可能发生的情况，使得考虑问题全面化，因此我们常用到“分类讨论”的数学思想方法来解决问题，比如我们已经知道： ， 提出问题：已知三个有理数满足，求的值． 解决问题： 分析：由题意得三个有理数都为负数或其中一个为负数，另外两个为正数． 解：①当都是负数，即时， 则； ②当有一个是负数，另外两个都是正数时， 假设，，， 则． 所以的值为或1． 任务： (1)已知三个有理数满足，求的值． (2)已知，且，直接写出的值． 21．阅读与思考 下面是小宣同学的数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 差倒数【概念理解】已知有理数，且，我们把称为的差倒数．因为分数的分母不能为0，所以1没有差倒数．例如10的差倒数为，的差倒数为，等等． 【问题解决】问题1：已知5的差倒数为，的差倒数为，则______． 问题2：已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数……依此类推，求的差倒数． 解：根据差倒数的定义，因为，所以， ， 任务： (1)材料中问题1的“_____”处应填写_____． (2)补全材料中问题2解答过程的剩余部分． (3)现有若干个数，第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，第4个数记为，第100个数记为，若，接下来的都是它前面那个数的差倒数，直接写出的值． 22．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 神秘的数字黑洞 在数字的浩瀚宇宙中，总有一些特殊的存在，它们像隐藏在迷雾里的宝藏，吸引着无数人去探索．数字黑洞就是其中之一．所谓的数字黑洞是指：若选定某些自然数通过有限次“特定数学运算”后，结果必然得到固定数值的整数．这个固定整数我们称为数字黑洞，本文中“特定数学运算”是指“重排求差”，即将数字各位重新排列组成最大数减去最小数． 四位数黑洞研究： 取任意一个四位数（四个数字均为同一个数的，以及三个数字相同，另外一个数字与这个数字相差，如，等除外），将该数的四个数字重新排列，形成可能的最大数和可能的最小数，再将两者之间的差求出来；对此差值重复同样过程，最后总是得到，我们称为四位“黑洞”数． 例如：取四位数； 大数：取这四个数字能构成的最大数，本例为：； 小数：取这四个数字能构成的最小数，本例为：； 差：求出大数与小数之差，本例为：； 重复：对新数按以上算法求得新数为：； 重复：对新数按以上算法求得新数为：； 重复：． 任务： (1)学习小组成员，取六位数，用一次“重排求差”法，将结果设置为微信支付密码，这个密码是 ； (2)类比阅读内容，小组成员研究三位数黑洞时发现：任取一组互不相等的三个数字，经过有限次上述“重排求差”操作后，最终会得到一个固定的数字黑洞，这个数是 ； (3)小组成员发现：在研究三位数黑洞时，任取一组互不相等的三个数字，“重排求差”操作中，最大数和最小数的差能被整除，请证明这个结论． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)①；②；③；④；负数 (2)①8，5，3，6；22千米；②2.2升；③市政府（原点） 【分析】（1）根据绝对值的定义和规律，即可求解； （2）①根据绝对值的定义求出每次行驶的路程的绝对值，再把这些绝对值相加，即可求解； ②根据每行驶千米耗油升，乘以总路程即可求出总耗油量； ③根据向东为正，向西为负，把每次行驶的路程相加，再判断巡查结束后，会停在什么位置即可． 【详解】（1）解：由绝对值的定义可得，，，，， 由绝对值计算结果规律可得，绝对值永远不会是负数． （2）解：① 次序 第一次 第二次 第三次 第四次 绝对值 总路程（千米）． ②总耗油量（升）． ③∵， ∴道路巡护车巡查结束后，会停在市政府（原点）． 2．(1)拆项法；乘法分配律 (2)9 (3) 解：原式 ． 【分析】（1）根据拆项法和乘法分配律求解即可； （2）根据有理数的加减运算法则求解即可； （3）仿照题干方法，可将原式改写为，再利用乘法分配律和有理数的加减运算法则求解即可． 【详解】（1）解：研究报告中的依据1是指拆项法，依据2是指乘法分配律； （2）解：原式 ， 故“▲”处空缺的内容为9； （3）略 3．(1)② (2) 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的四则混合运算，理解新定义是解题的关键． （1）分别计算和的值，再根据“隔一数”的定义即可得出结论； （2）根据新定义运算法则计算即可． 【详解】（1）解：①当，时， ，， ∴， ∴a不为b的“隔一数”，故①不符合题意； ②当，时， ，， ∴， ∴a为b的“隔一数”，故②符合题意； 故答案为：②； （2）解： ． 4．(1)985 (2)； (3) 当时，原式   ，为整数， 该倍差数满足，它能被13整除． 【分析】本题考查了新定义，数位上数的规律，列代数式等知识，解题的关键题理解新定义“倍差数”的意义． （1）根据“倍差数”定义回答即可； （2）先确定十位上的数字，再用代数式表这个三位数即可； （3）将代入（2）问中的三位数，再判断它能否被13整除即可． 【详解】（1）解：百位上的数是9，个位上的数是5， 十位上的数为， 这个三位数是985； 故答案为：985； （2）百位上的数字是，个位上的数字是， 十位上的数字是， 这个数为； 故答案为：； （3）略 5．(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的乘法分配律，解题的关键是理解题意； （1）逆用分配律把原式变形为，再计算求解； （2）逆用分配律把原式变形为，再计算求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 6．(1) (2)， (3) 解：因为，， 所以， 所以这个新定义的运算满足交换律． 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据各式可得； （2）根据新运算的定义列式，先计算乘法、去括号，再计算加减法即可得； （3）根据新运算的定义可得，，由此即可得． 【详解】（1）解：观察各式可知，， 故答案为：． （2）解： ． ． （3）略 7．（1），；（2）；5 【分析】本题考查了有理数的除法运算，乘方运算，以及有理数混合运算，正确理解相关运算法则是解题的关键． （1）将有理数除法转化为乘法，再写成幂的形式即可； （2）从（1）中总结归纳相关规律即可； （3）先将除方转化为乘方，再运算乘方，然后运算除法，最后运算加减法，即可作答． 【详解】解：（1）依题意，， ， （2）依题意，； （3） ． 8．(1)乘法交换律，乘法分配律 (2) 证明： （乘法分配律） ， ，即与互为相反数． ， ． (3)C 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据题意，可以写出相应的依据； （2）根据题目中的探索3，可以写出的理由； （3）根据有理数加法法则的应用选择． 【详解】（1）解∶由题目中的解答过程可知依据1：乘法交换律；依据2：乘法分配律． 故答案为∶乘法交换律；乘法分配律； （2）略 （3）解∶探究有理数加法法则需要归纳以下几种情况：两个正数相加（如②）；两个负数相加（如③）；一个数同0相加（如⑤）；异号两数相加，包括和为正（如⑥）、和为负（如⑦）、和为零（即互为相反数的两数相加，如⑧）．选项C的算式组合②③⑤⑥⑦⑧恰好完整覆盖了上述所有情况． 故选C． 9．(1)或 (2) 【分析】（）分四种情况，根据绝对值的性质解答即可求解； （）由已知可得，，，三个有理数有两个正数一个负数，进而仿照题例解答即可求解； 本题考查了绝对值的意义，有理数的加法，有理数的乘法法则，运用分类讨论的思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可分为四种情况： ①当，时，； ②当，时，； ③当，时，； ④当，时，； 综上，的值为或； （2）解：∵， ∴，，， 又∵， ∴三个有理数有两个正数一个负数， 不妨设，，， ∴． 10．(1)分配， (2) 解： ； (3) 【分析】本题主要查了有理数的四则混合运算及乘法分配律，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据乘法分配律解答即可； （2）根据有理数的四则混合运算法则计算即可； （3）根据有理数的四则混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：材料中“①”处的依据是乘法分配律的逆运算，“②”处的结果为， 故答案为：分配，； （2）略 （3）解： ． 11．(1)加法交换律；加法结合律 (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算． （1）根据加法运算律回答即可． （2）根据有理数加减中的简便运算方法计算即可． （3）运算乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解：例1中的依据1为加法交换律，依据2为加法结合律． （2）解： ； （3）解： 12．解：设一个三位数的百位、十位、个位上的数字分别为，，，该三位数记为， 则， ∵和都能被整除， ∴若能被整除，则能被整除，即能被整除， 故对于三位数，若其所有数位上的数字之和能被整除，那么这个三位数就能被整除． 【分析】将三位数拆成能被整除的部分与各位数字之和，采用与题目类似的方法论证即可． 【详解】略 13．(1)（答案不唯一） (2)B (3) 【分析】（1）根据题意不妨取即可； （2）根据“完美积式”的判定为一个整数的平方，逐项判断即可； （3）根据题意可知要为一个整数的平方，再列举即可． 【详解】（1）解：，，b、d互为相反数, ，即， 则“完美积式”式为， 不妨取，则“完美积式”为； （2）解：对于A，，不是一个整数的平方，故A不符合； 对于B，，故B正确； 对于C，，不是一个整数的平方，故C不符合题意； 对于D，，故D不符合题意； （3）解：， 要为一个整数的平方，且k为正整数， ，解得（负值已舍去）， ，解得（负值已舍去）， ，解得（负值已舍去）， 故k的所有可能值的和为． 14．(1) (2)只要把结果减100，得到的数就是所想的三位数． 【分析】本题考查列代数式，整式加减的应用，正确的列出代数式是解题的关键： （1）根据步骤②列出代数式即可； （2）根据步骤，列出代数式，进行运算后，即可得出结论． 【详解】（1）解：； （2）解：用a，b，c分别表示一个三位数的百位数字、十位数字和个位数字． ， 因此，只要把结果减100，得到的数就是所想的三位数． 15．(1)不是，是 (2)，能 (3)255 【分析】本题考查了新定义，整式的加减． （1）直接根据“分五数”的定义判断即可； （2）设“分五数”的十位数字为b，根据“分五数”的定义得到，表述出这个数，除以3即可； （3）直接根据“分五数”的定义作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴153不是“分五数”； ∵， ∴396是“分五数”； 故答案为：不是，是； （2）解：设“分五数”的十位数字为b， ∵“分五数”的个位数字为，百位数字为1， ∴， ∴， ∴， ∴这个“分五数”为， ∵，为整数， ∴该“分五数”能被3整除； （3）解：对于255，，故255是“分五数”． 16．(1)①③ (2) (3)，是对称式 【分析】本题考查整式的加减，正确理解对称式的定义，并进行正确判断是解题的关键； （1）根据对称式的定义即可求解； （2）根据对称式的定义可得的指数都为； （3）先去括号，然后合并同类项，再根据对称式的定义即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴是“对称式”， 故①符合题意； ②∵， ∴不是“对称式”， 故②不符合题意； ③∵， ∴是“对称式”， 故③符合题意； 故答案为：①③． （2）解：根据“对称式”的定义可得：字母的指数相同， ∵单项式的次数为4， ∴的指数都为， 又∵系数为， ∴该单项式为． （3）解： ∵， ∴是“对称式”． 17．(1)B (2) 解：设一个四位数千位、百位、十位、个位上的数字分别为，，，，将这个四位数表示为． 于是： ． 显然能被3整除，因此如果能被3整除， 那么能被3整除，即能被3整除； (3)11，0（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了有理数的运算，整式的加减运算，解题的关键是掌握材料给出的推理方法． （1）根据材料给出的方法，逐项进行判断即可； （2）设一个四位数千位、百位、十位、个位上的数字分别为，，，，将这个四位数表示为，根据整式的加减进行整理即可； （3）根据材料给出的方法进行求解即可． 【详解】（1）解：A.∵， ∴123能被3整除； B. ∵，不是整数， ∴235不能被3整除； C. ∵， ∴357能被3整除； D. ∵， ∴555能被3整除； 故选：B； （2）略 （3）解： ． 显然能被11整除，因此如果能被11整除， 那么能被11整除，即能被11整除， ∴的值为11的倍数， ∴的值可取11或0（答案不唯一）． 18．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的加减运算，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，把看成一个整体，再进行合并，即可作答． （2）把代入，进行计算，即可作答． （3）把代入，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：把看成一个整体， 则 ； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， 则 ． 19．(1)Ⅰ．不是；Ⅱ．①③ (2)Ⅰ．；Ⅱ．（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了代数式，解题的关键是理解题目中的定义． （1）Ⅰ．根据题目给出的定义，进行判定即可； Ⅱ．根据题目给出的定义，进行判定即可； （2）Ⅰ．根据题目给出的定义，进行求解即可； Ⅱ．根据题目给出的定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：Ⅰ．∵， ∴不是对称式， 故答案为：不是； Ⅱ．根据题意得， ①， ∴①为对称式； ②， ∴②不是对称式； ③， ∴③为对称式； ④， ∴④不是对称式； ∴其中是对称式的是①③， 故答案为：①③； （2）解：Ⅰ．根据题意得， ， ∴对称式可为； Ⅱ．根据题意得， ， ∴对称式可为． 20．(1)3或 (2)或 【分析】本题主要考查了绝对值的化简，解决此题关键是要分类讨论； （1）根据题中的例子，把要求的式子进行分类讨论，进行求值即可； （2）先去绝对值，并要根据题中的条件进行分类讨论，最后得到答案即可； 【详解】（1）解：①当都是正数，即时， 则； ②当有一个是正数，另外两个都是负数时， 假设，，， 则． 所以的值为3或； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴取或， ∴或， 故答案为：或． 21．(1)2 (2) 解：∵， ∴， ∴， ∴， ……， 以此类推，可知这一列数从第1个数开始，每3个数为一个循环，结果依次为， ∵， ∴， ∴的差倒数为； (3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，代数式求值，正确理解题意是解题的关键． （1）根据差倒数的定义求出x、y的值即可得到答案； （2）求出的结果，可得这一列数从第1个数开始，每3个数为一个循环，结果依次为，据此求出2026除以3的商和余数即可得到答案； （3）仿照（2）求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； （2）略 （3）解：， ∴， ∴， ∴， ……， 以此类推，可知这一列数从第1个数开始，每3个数为一个循环，结果依次为， ∵， ∴每个循环内的三个数的乘积为， ∵ ∴原式 ． 22．(1)； (2)； (3) 解：设一个三位数各数位上的数由组成，且， 则所组成的最大三位数为：，所组成的最小三位数为：， ∴最大数与最小数之差为 ， ∵为正整数， ∴最大数和最小数的差能被整除． 【分析】此题考查了数字规律问题，列代数式，有理数的减法，整式的加减的应用，解题的关键是正确分析题意． （）根据“重排求差”法求解即可； （）任取三位数，根据“重排求差”求解，进而找到规律； （）根据题意得到最大三位数为，所组成的最小三位数为，然后作差求解即可． 【详解】（1）解：取六位数； 大数：这六个数字能构成的最大数为 小数：这六个数字能构成的最小数为； 差：大数与小数之差为； 故答案为：； （2）解：任取三位数； 大数：这三个数字能构成的最大数为：； 小数：这三个数字能构成的最小数为：； 差：大数与小数之差为：； 重复：对新数按以上算法求得新数为：； 重复：对新数按以上算法求得新数为：； 重复：， ∴这个数是， 故答案为：； （3）略 答案第1页（共2页） 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