第四章 指数函数与对数函数单元复习讲义（6大知识点+18大题型）-2026-2027 学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第四章 指数函数与对数函数高频重难点题型归纳 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 5 知识点一、指数运算 5 知识点二、指数函数及其性质 5 知识点三、对数运算 6 知识点四、对数函数的图像与性质 7 知识点五、函数的零点 7 知识点六、二分法 8 03 题型精讲 10 题型 1 指数幂的运算 10 题型 2 指数函数的概念与图象 11 题型 3 指数型函数的定义域值域问题 13 题型 4 指数 (型) 函数的单调性 15 题型 5 对数运算 17 题型 6 对数函数的概念与图象 18 题型 7 对数（型）函数的定义域与值域 21 题型 8 对数型复合函数的单调性 22 题型 9 比较大小 24 题型 10 判断零点所在区间 25 题型 11 根据零点所在区间求参数（范围） 26 题型 12 函数零点（方程实根）个数问题 28 题型 13 嵌套函数的零点问题 31 题型 14 二分法的应用 34 题型 15 指数函数与对数函数的实际应用 36 题型 16 拟合函数问题 38 题型 17 指数（型）函数性质的综合 42 题型 18 对数（型）函数性质的综合 47 知识点一、指数运算 1、若，则叫做的次方根．（，） （1）当为奇数时，；（2）当为偶数时，； 2、根式的性质：①，②（，） 3、正数的正分数与负分数指数幂的意义：（，，，且） ①；② 4、正数的指数幂的运算性质：（，，，） ①，②，③； ④，⑤，⑥． 知识点二、指数函数及其性质 1、指数函数概念：一般地，函数（，且）叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为. 2、图像与性质 函数名称 指数函数 定义 函数（，且）叫做指数函数 图象 定义域 值域 过定点 图象过定点，即当时，． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 变化对图 象的影响 在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低． 指数函数与的图象关于轴对称． 函数①；②；③；④的图象如下图左所示，则； 即时，（底大幂大）；时，． 知识点三、对数运算 1、如果（，且），那么数叫做以为底的对数，记作． 2、（，且）． ①；②；③；④． 3、对数的运算性质(，且，，)：若，则.（两边取对数） （1）； （2）； （3）． 4、换底公式：；(其中，，且，，且) 推论：①；②；③． 知识点四、对数函数的图像与性质 1、对数函数的概念：函数（，且）叫做对数函数，其中是自变量. 2、图像与性质 图象 定义域 值域 R 过定点 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 变化对图像的影响 在第一象限内，越大图象越靠低； 在第四象限内，越大图象越靠高． 知识点五、函数的零点 （1）函数零点的概念 对于函数，使的实数叫做函数的零点. （2）方程根与函数零点的关系 方程有实数根函数有零点函数的图象与轴有交点，且交点横坐标为. （3）方程有实数根函数与函数有交点，且交点横坐标为. （4）零点存在性定理 如果函数在上的图象是连续不断的，且，那么函数在至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 注意：①符合该定理的条件，能确定在区间内有零点，但零点不一定唯一． ②并不是所有的零点都可以用该定理来判定．不满足该定理的函数也可能有零点． 函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”，零点存在性定理只适用“变号零点”． ③若在区间内有零点，且在区间上单调，则在内有唯一零点． ④设，若在上有零点，则． 知识点六、二分法 ①二分法的概念 对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. ②用二分法求方程近似解的步骤 （1）确定区间，验证，给定精确度； （2）求区间的中点； （3）计算， （i）若，则就是函数的零点； （ii）若，则令 （iii）若，则令 （4）判断是否达到精确度：即若，则得到零点近似值为（或）；否则重复（2）~（4） 题型 1 指数幂的运算 【典例1】（2026·高一·江苏镇江·阶段检测）设，则的分数指数幂形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据分数指数幂的定义：（）， 逐步化简如下：化简内层根式：； 计算根号内的同底数幂乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加， 因此； 化简外层三次根式：， 根据幂的乘方运算性质，底数不变，指数相乘，可得， 因此结果为. 【变式1-1】（2026·高一·辽宁·期中）下列指数幂运算中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 【变式1-2】（2026·高一·福建泉州·期中）已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，，则，因此， 所以. 【变式1-3】（2026·高一·江苏连云港·阶段检测）化简的结果为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【解析】 故选：C 题型 2 指数函数的概念与图象 【典例2】（2026·高一·重庆渝中·期中）已知指数函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】因为指数函数，则.因的图象经过点，则， ∴. 故选：A. 【变式2-1】（2026·高二·云南文山·阶段检测）若函数是指数函数，则（   ） A．或 B． C． D．，且 【答案】C 【解析】因为函数是指数函数， 所以，解得，满足，且. 【变式2-2】（2026·高一·江苏盐城·期末）已知且，，则函数与在同一坐标系内的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为为一次函数，所以函数的图象为一条直线， 而为指数型函数， 对于A，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递增，故A符合题意； 对于B，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递减，故B符合题意； 对于C，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递减其图象与的图象关于轴对称，故C符合题意； 对于D，由图象结合一次函数图象性质可知，， 而恒成立，所以图象在轴上方，故D不符合题意. 故选：D 【变式2-3】函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】由图象可知，函数为减函数，所以， ， 因为，所以，所以. 题型 3 指数型函数的定义域值域问题 【典例3】（2026·高一·吉林长春·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D. 【变式3-1】（2026·贵州六盘水·一模）已知函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，则，故， 若，当时，，此时函数在上的值域为，不符合题意； 若，当时，， 此时函数在上的值域为，不是，不符合题意； 若，当时，， 此时函数在上的值域为， 所以，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 【变式3-2】（2026·高一·安徽安庆·开学考试）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数的定义域为R，，当且仅当时取等号， 又函数在上单调递减，因此， 所以函数的值域是. 【变式3-3】（2026·高一·河北·期末）已知，且，若函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数在上单调递增，所以要使函数的值域为， 须满足函数在上单调递增，即， 且，解得， 则． 故选：D 题型 4 指数 (型) 函数的单调性 【典例4】（2026·高一·天津红桥·期中）下列函数是偶函数且在 上单调递增的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】选项A、函数的定义域为，关于原点对称， 因为， 所以该函数为奇函数，不符合偶函数要求，选项A错误； 选项B、函数的定义域为，关于原点对称， 因为 所以该函数为偶函数。 当时，，即， 指数函数在上单调递增，选项B正确； 选项C、函数的定义域为，定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，不符合要求，选项C错误； 选项D、函数的定义域为，关于原点对称， 因为， 所以该函数为奇函数，不符合偶函数要求，选项D错误． 【变式4-1】（2026·高三·北京西城·阶段检测）已知函数，则（     ） A．是奇函数且在上是增函数 B．是偶函数且在上是增函数 C．是奇函数且在上是减函数 D．是偶函数且在上是减函数 【答案】C 【解析】由，解得，定义域关于原点对称， ，， 所以是奇函数. 设，在上单调递增，，在上单调递减， 由复合函数单调性同增异减可知，函数在上是减函数. 【变式4-2】（2026·高三·福建南平·开学考试）已知函数则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】首先化简函数：，可知函数的图象关于直线对称. 当时，单调递增，故单调递增， 单调递增，故单调递减，因此在上单调递增，由对称性可知在上单调递减. 根据函数性质，等价于，因此不等式等价于，即， 两边平方得，展开整理得，因式分解为，解得. 【变式4-3】（2026·高三·四川成都·阶段检测）已知函数，满足对于任意实数，都有成立，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为对于任意实数，都有成立， 所以函数在上单调递增， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 题型 5 对数运算 【典例5】（    ） A．1 B．2 C．5 D．7 【答案】B 【解析】. 【变式5-1】（2026·高一·江苏·期中）设，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由则， 利用换底公式得到， 因为， ， 所以. 【变式5-2】（2026·高一·河北邯郸·阶段检测）（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】 . 故选：B. 【变式5-3】（2026·高一·江苏·期末）（   ） A．e B． C． D． 【答案】C 【解析】，，，， ，故C正确． 故选：C． 题型 6 对数函数的概念与图象 【典例6】（2026·高一·山东菏泽·期末）若，则（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【解析】因为，令，解得， 所以. 故选：A 【变式6-1】（2026·高一·全国·期中）若函数且的图象如图，其中，为常数，则函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】观察的图象可知， 则也是单调递增的，排除掉选项C，D； 当时，，又，则. ，排除B，结合图象判断A正确. 【变式6-2】（2026·高一·山西阳泉·期末）已知函数，且，则a+b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示，且， 由，则，则， 从而，，即， 设，注意到， 易知在上单调递减， 于是. 【变式6-3】（2026·高一·浙江·开学考试）函数（且）的图象过定点，若正数，，满足，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【解析】对于对数函数 ， 令，解得 ， 此时，因此函数过定点， 得 ，由条件 可得： ，即 ， 由 ，代入得： 利用1的代换结合基本不等式： 当且仅当成立时，等号成立， 结合 ，得 ，满足正数条件， 所以 . 所以当时，取最小值，最小值为. 题型 7 对数（型）函数的定义域与值域 【典例7】（2026·高三·山西·阶段检测）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，解得，所以的定义域为. 【变式7-1】（2026·高一·广东广州·期末）已知，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，由，得， ， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 【变式7-2】函数的值域为（    ） A．（0，3） B．[0，3] C．（－∞，3] D．[0，＋∞） 【答案】D 【解析】当时，. 当时， . 所以函数的值域为. 【变式7-3】（2026·高二·内蒙古·期末）若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数的值域为， 所以真数能取到大于零的任意实数， 所以，解得. 题型 8 对数型复合函数的单调性 【典例8】（2026·高三·江苏·阶段检测）函数的单调增区间是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，解得或，即函数定义域为. 设， ，在上单调递减. 是开口向上的二次函数，对称轴为， 函数在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”规则，的单调增区间为. 【变式8-1】（2026·高一·北京东城·阶段检测）函数在上单调递减的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数是外层函数与内层函数的复合函数， 外层函数性质：底数，故在定义域上为单调递减函数 由复合函数“同增异减”的判定规则，要使在单调递减，需同时满足两个条件： （1）内层函数在上单调递增；（2）在上恒成立. 因为为开口向上的二次函数，对称轴为，所以，解得； 因为在单调递增，所以，只需边界值，代入得，解得. 综上，在单调递减的充要条件为，其充分不必要条件对应集合是的真子集. 选项A：，满足充分不必要要求； 选项B：为充要条件，不符合要求； 选项C、D：集合内存在的取值，无法满足在恒成立，不是充分条件. 【变式8-2】已知 若 则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得，可知的定义域为，定义域关于原点对称， 且 ， 则是定义在上的偶函数， ， 在单调递减，函数为增函数， 在单调递减， 由函数为偶函数可得，等价于， ，解得. 【变式8-3】（2026·高一·江苏无锡·期中）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由函数在上单调递减， 则函数在上单调递减， 且在上恒成立， 则有，解得， 故实数的取值范围为. 故选：D. 题型 9 比较大小 【典例9】（2026·高一·北京东城·期中）设，，，那么，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由指数函数在上单调递增，所以，即， 由指数函数在上单调递增，所以，即， 由对数函数在上单调递增，所以，即，所以. 【变式9-1】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 又，，则，则， 故，即，故，故. 【变式9-2】（2026·新疆喀什·模拟预测）已知，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由对数函数的性质可知，，同理， 因为，所以， 又因为，所以， 因此，. 【变式9-3】（2026·高一·天津河西·阶段检测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，即， ，即， ，即， 所以， 故选：D 题型 10 判断零点所在区间 【典例10】设函数，则的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数，易知函数在定义域上单调递增， 又因为，， 所以， 根据零点存在性定理可知，的零点所在区间为. 【变式10-1】（2026·高一·安徽阜阳·阶段检测）已知方程的解在内，则（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解析】构建，则在定义域内单调递增，故在定义域内至多有一个零点， ∵， ∴仅在内存在零点，即方程的解仅在内， 故． 故选：D． 【变式10-2】（2026·高一·天津南开·期中）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减， 又，， 所以函数的零点所在区间是， 故选：B 【变式10-3】（2026·高一·山西·阶段检测）函数的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为与都是增函数，所以为增函数， 又，， 所以的零点所在的区间为． 故选：B． 题型 11 根据零点所在区间求参数（范围） 【典例11】（2026·高一·湖南常德·阶段检测）已知一元二次方程有两个实数根，，且，则m的值为（    ） A．-4 B．-5 C．-6 D．-7 【答案】A 【解析】因为元二次方程有两个实数根，， 且，令， 则由题意可得，即 解得，又，可得. 故选：A. 【变式11-1】（2026·高一·吉林长春·阶段检测）若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，，此时只有一个零点，零点为-1，不符合要求； 当时，函数为二次函数，，利用零点存在性定理和二次函数的图象性质得，解得. 故选：D. 【变式11-2】已知函数的零点位于区间内，则整数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】因为函数与在上均为增函数， 所以函数在上为增函数， 因为，，， 所以函数的零点位于区间内，故. 故选：B. 【变式11-3】（2026·高一·海南·期末）若函数在区间内存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数在区间内存在零点，且函数在定义域内单调递增， 由零点存在性定理知，即，解得 所以实数的取值范围是 故选：B 题型 12 函数零点（方程实根）个数问题 【典例12】（2026·高一·湖北·期末）设函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，设函数， 令，即，所以问题转化为函数与的图象有3个交点． 在平面直角坐标系内，作出函数的图象，如图所示，结合图象可知， 当时，，且， 当时，函数与的图象有3个交点， 故实数的取值范围为． 故选：D. 【变式12-1】（2026·高一·辽宁·期末）已知函数，若有四个零点，，，，且满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】作出函数的图象，如图， 因为有四个零点，所以. 因为，，所以， 即，所以. 所以. 因为是方程的根， 即的根， 所以. 又，所以， 令，则， 令，则， 所以， 所以. 故选：C 【变式12-2】（2026·高一·福建莆田·阶段检测）若函数在上有两个零点，则实数a的取值范围是（ ） A．或 B． C． D．或 【答案】C 【解析】由 ，， 由题意，函数与在时有两个交点， 由对勾函数的性质，函数在上单调递减，在上单调递增， 且时，，时，，时，， 要使函数与在时有两个交点， 则，即实数a的取值范围是. 故选：C 【变式12-3】（2026·高一·天津滨海新区·阶段检测）已知函数，若函数图象与直线有且仅有三个不同的交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将的图象向下平移个单位长度得到的图象， 再将的图象的轴下方的图象以轴为对称轴翻转至轴上方， 可得到的图象， 将的图象向右平移个单位长度得到的图象， 所以的图象如图所示， 由图可知，当时，函数图象与直线有且仅有三个不同的交点. 故选：B 题型 13 嵌套函数的零点问题 【典例13】（2026·高一·广东广州·阶段检测）已知函数，若方程有且仅有5个不同实根，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，有，即， 解得或，作出的图象，如图， 方程有且仅有5个不同实数根， 则由图得或 解得或，则． 故选：C 【变式13-1】（2026·高一·福建三明·阶段检测）已知函数若关于的方程恰有个不同的实数根,则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据作出的大致图像,如下图所示. 令,由图知当时,方程有两个根,分别为； 当时,方程有个根； 当时,方程有个根； 当时,方程有个根. 要使得方程恰有个不同的实数根,则有个不同的实数根,显然,不满足方程,舍去； 设的两个根分别为且 故当时满足题意,则得 当时满足题意,则得 综上所述,实数的取值范围是. 故选：. 【变式13-2】（2026·高一·云南保山·期末）已知函数若方程有5个解，则 的取值范围是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，， 当时，，所以函数在上是偶函数， 当时，单调递减，且当时，， 当时，， 因此，作出函数的大致图象如图所示： 设，则原方程为， 因为是方程的根， 所以由图象可知，若关于的方程有五个不同的实数解， 只需直线与函数的图象有三个不同的公共点， 且关于的方程有两个不同的公共点， 其中一根，另一根， 所以， 解得且， 所以实数的取值范围为， 故选D. 【变式13-3】（2026·高三·重庆垫江·阶段检测）已知函数，且方程有5个不等的实根，则实数的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】方程有5个不等的实根， ，一共5个不等实根，作出函数图象： 其中 其中有两个不等实根，所以有三个不等实根， 所以， . 故选：C 题型 14 二分法的应用 【典例14】（2026·高一·辽宁大连·期中）已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过2次二分法后确定的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，且，，，得在内有零点； 由且，，，得在内有零点； 所以经过2次二分法后确定的零点所在区间是. 【变式14-1】（2026·高二·山东·学业考试模拟）下列函数不宜用二分法求零点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，函数单调递增且与轴有唯一交点，可以用二分法求零点； 对于B，函数单调递增且与轴有唯一交点，可以用二分法求零点； 对于C，因为，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点． 对于D，函数为开口向下的抛物线与轴有两个交点，可以用二分法求零点. 【变式14-2】用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.1时，所需二分区间次数最少为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】，， 取区间，，计算， 取区间，计算， 取区间，，计算， 取区间，，因此零点在区间上，因此二分区间至少4次. 【变式14-3】（2026·高一·陕西西安·期末）用二分法求方程根的近似解时，令，并用计算器得到如下表数据：则由表中的数据，可得方程的一个近似解为（精确度为）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设函数的零点为， 因为，，则，所以，区间长度为， 取区间中点，，则， 所以，区间长度为， 取区间的中点，，则， 所以，区间长度为， 取区间的中点，则或， 此时区间长度为，故方程的一个近似解为， 故选：B. 题型 15 指数函数与对数函数的实际应用 【典例15】（2026·高三·四川·阶段检测）为推进“海绵城市”建设，某城市修建了雨水收集调蓄池.降雨时，调蓄池的蓄水量（单位：）与降雨时间（单位：）的关系为，其中为调蓄池最大蓄水量，为大于零的常数.已知降雨后，蓄水量达到最大蓄水量的一半，则当蓄水量达到最大蓄水量的时，降雨大约的时间为（四舍五入保留整数，参考数据：）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，，则，即.当蓄水量达到最大蓄水量的时，， 所以，即，所以，即，即，即， 解得，约为7h. 【变式15-1】（2026·高一·广东深圳·期末）从盛有纯酒精的容器中倒出，然后用水填满；再倒出，又用水填满……连续进行次后，容器中纯酒精剩下不到，则至少是（    ）（参考数据：） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】由题意，第一次倒出，剩下纯酒精为， 加满水后含酒精，第二次倒出，剩下纯酒精为， 加满水后含酒精，第三次倒出，剩下纯酒精为， ， 连续进行次后，第次倒出，剩下纯酒精为， 令，可得：， 则，则 故至少是4. 故选：B. 【变式15-2】（2026·高一·安徽六安·阶段检测）四个函数在第一象限中的图象如图所示，则a，b，c，d所表示的函数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据幂函数、指数函数、对数函数的性质和图象的特点，可知a，c对应的函数分别是幂指数大于1和幂指数大于0小于1的幂函数，b，d对应的函数分别为底数大于1和底数大于0小于1的指数函数． 【变式15-3】（2026·高一·全国·期中）某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为：（为正常数，为原污染物数量）.若前5个小时废气中的污染物被过滤掉了，那么要能够按规定排放废气，至少还需要过滤（    ） A．小时 B．小时 C．5小时 D．小时 【答案】C 【解析】由题意可知：前5个小时消除了的污染物， 因为，则， 即，可得，， 由， 可得，即， 即总共需要过滤10小时，污染物的残留含量才不超过， 又因为前面已经过滤了5小时，所以还需过滤5小时. 题型 16 拟合函数问题 【典例16】（2026·高一·重庆·期末）航天工程对人们的生活产生方方面面的影响，有关部门对某航模专卖店的航模销售情况进行调查发现：在某月（按30天计算）内特价航模的日销售价格（元/个）与时间（某月的第天，下同）的函数关系近似表示为（常数）.该专卖店特价航模的日销售量（百个）与时间部分数据如下表所示： 第天 3 8 15 24 （百个） 4 5 6 7 已知某月内第8天该专卖店特价航模的销售收入为300百元. (1)给出以下三种函数模型：①；②；③.请你依据上表中的数据，从以上三种函数模型中，选择你认为最合适的一种函数模型，来表示该专卖店特价航模的日销售量（百个）与时间的关系，说明你的理由； (2)借助你在（1）中选择的模型，记该专卖店特价航模的日销售收入为（百元），其中，，预估该专卖店特价航模的日销售收入在一个月内的第几天最低？ 【解析】（1） 选择模型③，理由如下： 表格中对应的数据从小到大按1递增，是匀速递增的，对应的数据从小到大， 相邻两个大数减去小数依次为，不是匀速递增的，模型①不满足题意； 表格中数据满足，而模型②满足，模型②不满足题意； 对于模型③，将，代入模型③，有，解得， 此时，显然都满足，因此模型③满足题意， 所以选择模型③. （2）由（1）知，，则， 由，得，解得， 因此 ，当且仅当，即时取等号， 所以预估该专卖店特价航模日销售收入在一个月内的第29天最低. 【变式16-1】（2026·高一·广东广州·期末）小明通过对11月（以30天计）的某种水果的销售情况的调查发现：每千克的销售价格（单位：元/千克）关于第天的函数关系近似满足（且为常数），日销售量（单位：千克）关于第天的部分数据如下表所示： 9 14 18 22 29 54 59 63 59 52 已知第9天的日销售收入为552元． (1)求的值； (2)日销售量给出以下三种函数模型： ①；②；③； 请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型（简要说明理由）来描述日销售量关于第天的变化关系，并求出该函数的解析式； (3)设该水果的上半月的日销售收入为函数（单位：元），问哪天的日销售收入最少，最小值为多少，可以超过500元吗？ 【解析】（1）因为第9天的日销售收入为552元，所以有， 即，解得：； （2）模型①和模型③都为单调函数或常函数， 由表中数据可知，既有单调递减区间又有单调递增区间的情况，故选择模型. 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 由列表可知，的单调性是先增后减，因此合适， 把代入， 得，解得：， 则，显然，也满足该函数的解析式， 所以； （3）由题意可知，当时，， ， 当且仅当，即时取等号，此时； 所以第3日销售额最少，最小值为512元，超过了500元． 【变式16-2】（2026·高一·山东烟台·期末）某湿地自然保护区为提升某种鸟类的种群数量，自2020年年初开始对该鸟类采取有效保护措施，并于每年年底统计其该年份的种群数量（单位：千只）．经评估，与年份近似满足如下关系：当时，；当时，，其中，，，均为常数.已知2020年和2023年该鸟类种群数量分别为10千只、20千只． (1)求，的值； (2)假设2026年该鸟类的种群数量为50千只，求其种群数量增长到80千只时的年份． 【解析】（1）由题知，当时，，当时，， 即， 解得． （2）由（1）知，当时，， 当时，， 联立上述两个方程，解得， 所以， 令，整理得，解得． 所以，到2032年时，该鸟类的种群数量能增长到80千只． 【变式16-3】（2026·高一·云南昆明·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，污染物的初始含量，其中是正的常数，如果在前消除了的污染物. (1)求的值. (2)后还剩百分之几的污染物？ (3)污染物减少需要花多少时间（精确到）？ （参考数据：） 【解析】（1）由题意可知当时，，即， 所以. （2）当时，， 即后，还剩的污染物. （3）设污染物减少需要花，则有， 两边取以为底的对数，得， 所以 ， 即污染物减少大约需要花. 题型 17 指数（型）函数性质的综合 【典例17】（2026·高一·广东茂名·期中）已知函数，. (1)求实数的值. (2)已知“函数的图象关于坐标原点成中心对称”的充要条件是“函数为奇函数，即对于定义域内任意恒成立”，有同学发现可以将其推广为“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于定义域内任意恒成立”，试用此结论证明：函数的图象的对称中心为. (3)若存在实数，使得对于任意，都存在满足，求实数的值. 【解析】（1）将代入得，. （2）假设函数存在对称中心，则对于定义域内任意恒成立， 整理得恒成立， 所以，所以对称中心为. （3）已知，函数的图象的对称中心为， 故，因此， 易知函数在上单调递减，所以，整理得， 因为，所以，则， 由因为，所以，. 【变式17-1】（2026·高三·陕西宝鸡·阶段检测）已知函数的定义域是，若对于任意的、，当时，都有，则称函数在上为非减函数. (1)判断，是否为非减函数； (2)已知函数在上为非减函数，求实数的取值范围； (3)已知函数在上为非减函数，且满足条件：①，②，③，求，及的值. 【解析】（1），所以函数在区间上为减函数， 在区间上为增函数，则函数在区间上不是非减函数. （2）任取且，即， 因为函数在上为非减函数， 有， 因为，所以，所以， 所以，， 则，所以，即，因此的取值范围是. （3）由已知得，，得， 从而，， 所以， 因为函数为上的非减函数， 对任意的，，即， 所以，因为，所以， 所以， 因为，则，因此. 【变式17-2】（2026·高一·河南·期中）已知函数，的定义域均为，是奇函数，是偶函数，且． (1)求，的解析式； (2)判断的单调性并用单调性的定义证明； (3)设函数，，若，，使得，求实数的取值范围． 【解析】（1），则， 因为是奇函数，是偶函数， 所以， 所以，可得， 所以. （2）在上单调递增； 证明：，且， ， 因为函数为增函数，且， 所以，， 所以，即， 所以在上单调递增； （3）， 因为，因为函数为增函数，所以，， 所以，所以，所以， 即， 由题可得时，， ， 令，， 由（2）知为增函数，所以， 令，，对称轴， 当，即时，在上单调递增， 所以，解得，与矛盾，舍去； 当，即时， ，解得， 综上：的取值范围是. 【变式17-3】（2026·高一·山西长治·阶段检测）在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关），记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数的定义域为R，且具有如下性质： ①为奇函数，为偶函数； ②（常数是自然对数的底数，）． 利用上述性质，解决以下两个问题： (1)求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式，并证明； (2)设函数，若在R上的最小值为6，求实数a的值． 【解析】（1）由，， 又因为为奇函数，为偶函数， 所以，又， 解得， 所以， 由， 又，， 所以， 所以； （2）由（1）有：， 令，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以， 令， 当时，函数在上单调递增， 所以， 解得或， 又，所以， 当时，，解得， 又，所以， 综上有：或. 题型 18 对数（型）函数性质的综合 【典例18】（2026·高一·湖北十堰·阶段检测）已知函数. (1)若的定义域为，求，的值. (2)当时，是否存在，使得在内存在最大值，且最大值大于2？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. (3)若在上单调，求的最小值. 【解析】（1）由题可知，的解集为， 所以1和2是方程的两根， 由韦达定理得，解得，. （2）不存在，理由如下： 当时，，要使在内存在最大值且大于2， 只需函数，的最大值大于， 则，即，无实数解， 故不存在实数，使得在内存在最大值，且最大值大于2. （3）若在上单调，记， 则由复合函数单调性可知，函数在上单调，且在上恒成立 则或， ①当时，，， 此时， 当且仅当，时，等号成立； ②当时，，， 此时，当且仅当，时，等号成立. 综上，的最小值为. 【变式18-1】（2026·高一·湖南衡阳·阶段检测）已知函数． (1)若的值域为，求实数的取值范围． (2)当时，若在上单调递增，求实数的取值范围． (3)设函数．若，使得成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为函数的值域为，所以能取到大于的所有值， 所以，解得或， 因此实数的取值范围为． （2）当时，． 令，得或， 又， 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以在上单调递增， 因为题中在上单调递增，所以实数的取值范围为． （3）因为，使得成立，所以． 因为在时单调递减， 所以， 即，即成立． 方法一：设，其图象的对称轴为直线． 当时，只需，解得； 当时，只需，解得； 当时，只需，无解． 综上，得，即实数的取值范围为． 方法二：成立，等价于成立， 所以． 记，则在上单调递增， 所以，所以. 成立，等价于成立，所以． 记，则（当且仅当时取等号）， 所以，所以， 综上，，即实数的取值范围为． 【变式18-2】（2026·高一·湖北黄石·阶段检测）已知，且，且． (1)求a的值及的单调区间. (2)若对于，，使得成立，求实数t的取值范围. 【解析】（1）由得，即， 所以，所以， 所以， 因为，所以，故的定义域为； ， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 又函数为增函数， 由复合函数的单调性可得：函数在上单调递增，在上单调递减． （2）令， ，，使得，即， 其中由（1）知， 又在上单调递增， ， ，． 【变式18-3】（2026·高一·广东汕头·期末）已知定义在上的函数为奇函数． (1)求a的值； (2)用定义证明：为增函数 (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）是奇函数， ，即，解得 经检验时函数为奇函数， ； （2），任取，，则， 由， ∴，故是增函数. （3）由（2）得在单调递增， 当时，，当时，， ∴在上的值域为， 又，， 设，则，， 当时，，当时，， 因此函数在上的值域， 由对任意的，总存在，使得成立，得， 于是，解得， 所以实数的取值范围是. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 指数函数与对数函数高频重难点题型归纳 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 5 知识点一、指数运算 5 知识点二、指数函数及其性质 5 知识点三、对数运算 6 知识点四、对数函数的图像与性质 7 知识点五、函数的零点 7 知识点六、二分法 8 03 题型精讲 10 题型 1 指数幂的运算 10 题型 2 指数函数的概念与图象 10 题型 3 指数型函数的定义域值域问题 11 题型 4 指数 (型) 函数的单调性 12 题型 5 对数运算 12 题型 6 对数函数的概念与图象 13 题型 7 对数（型）函数的定义域与值域 14 题型 8 对数型复合函数的单调性 14 题型 9 比较大小 15 题型 10 判断零点所在区间 15 题型 11 根据零点所在区间求参数（范围） 16 题型 12 函数零点（方程实根）个数问题 16 题型 13 嵌套函数的零点问题 17 题型 14 二分法的应用 18 题型 15 指数函数与对数函数的实际应用 18 题型 16 拟合函数问题 19 题型 17 指数（型）函数性质的综合 21 题型 18 对数（型）函数性质的综合 23 知识点一、指数运算 1、若，则叫做的次方根．（，） （1）当为奇数时，；（2）当为偶数时，； 2、根式的性质：①，②（，） 3、正数的正分数与负分数指数幂的意义：（，，，且） ①；② 4、正数的指数幂的运算性质：（，，，） ①，②，③； ④，⑤，⑥． 知识点二、指数函数及其性质 1、指数函数概念：一般地，函数（，且）叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为. 2、图像与性质 函数名称 指数函数 定义 函数（，且）叫做指数函数 图象 定义域 值域 过定点 图象过定点，即当时，． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 变化对图 象的影响 在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低． 指数函数与的图象关于轴对称． 函数①；②；③；④的图象如下图左所示，则； 即时，（底大幂大）；时，． 知识点三、对数运算 1、如果（，且），那么数叫做以为底的对数，记作． 2、（，且）． ①；②；③；④． 3、对数的运算性质(，且，，)：若，则.（两边取对数） （1）； （2）； （3）． 4、换底公式：；(其中，，且，，且) 推论：①；②；③． 知识点四、对数函数的图像与性质 1、对数函数的概念：函数（，且）叫做对数函数，其中是自变量. 2、图像与性质 图象 定义域 值域 R 过定点 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 变化对图像的影响 在第一象限内，越大图象越靠低； 在第四象限内，越大图象越靠高． 知识点五、函数的零点 （1）函数零点的概念 对于函数，使的实数叫做函数的零点. （2）方程根与函数零点的关系 方程有实数根函数有零点函数的图象与轴有交点，且交点横坐标为. （3）方程有实数根函数与函数有交点，且交点横坐标为. （4）零点存在性定理 如果函数在上的图象是连续不断的，且，那么函数在至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 注意：①符合该定理的条件，能确定在区间内有零点，但零点不一定唯一． ②并不是所有的零点都可以用该定理来判定．不满足该定理的函数也可能有零点． 函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”，零点存在性定理只适用“变号零点”． ③若在区间内有零点，且在区间上单调，则在内有唯一零点． ④设，若在上有零点，则． 知识点六、二分法 ①二分法的概念 对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. ②用二分法求方程近似解的步骤 （1）确定区间，验证，给定精确度； （2）求区间的中点； （3）计算， （i）若，则就是函数的零点； （ii）若，则令 （iii）若，则令 （4）判断是否达到精确度：即若，则得到零点近似值为（或）；否则重复（2）~（4） 题型 1 指数幂的运算 【典例1】（2026·高一·江苏镇江·阶段检测）设，则的分数指数幂形式为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·高一·辽宁·期中）下列指数幂运算中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·高一·福建泉州·期中）已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·高一·江苏连云港·阶段检测）化简的结果为（    ） A． B． C．1 D． 题型 2 指数函数的概念与图象 【典例2】（2026·高一·重庆渝中·期中）已知指数函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D．2 【变式2-1】（2026·高二·云南文山·阶段检测）若函数是指数函数，则（   ） A．或 B． C． D．，且 【变式2-2】（2026·高一·江苏盐城·期末）已知且，，则函数与在同一坐标系内的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 题型 3 指数型函数的定义域值域问题 【典例3】（2026·高一·吉林长春·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·贵州六盘水·一模）已知函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·高一·安徽安庆·开学考试）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·高一·河北·期末）已知，且，若函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型 4 指数 (型) 函数的单调性 【典例4】（2026·高一·天津红桥·期中）下列函数是偶函数且在 上单调递增的为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·高三·北京西城·阶段检测）已知函数，则（     ） A．是奇函数且在上是增函数 B．是偶函数且在上是增函数 C．是奇函数且在上是减函数 D．是偶函数且在上是减函数 【变式4-2】（2026·高三·福建南平·开学考试）已知函数则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·高三·四川成都·阶段检测）已知函数，满足对于任意实数，都有成立，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型 5 对数运算 【典例5】（    ） A．1 B．2 C．5 D．7 【变式5-1】（2026·高一·江苏·期中）设，，则（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·高一·河北邯郸·阶段检测）（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式5-3】（2026·高一·江苏·期末）（   ） A．e B． C． D． 题型 6 对数函数的概念与图象 【典例6】（2026·高一·山东菏泽·期末）若，则（    ） A． B． C．1 D．3 【变式6-1】（2026·高一·全国·期中）若函数且的图象如图，其中，为常数，则函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·高一·山西阳泉·期末）已知函数，且，则a+b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2026·高一·浙江·开学考试）函数（且）的图象过定点，若正数，，满足，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D．3 题型 7 对数（型）函数的定义域与值域 【典例7】（2026·高三·山西·阶段检测）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2026·高一·广东广州·期末）已知，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】函数的值域为（    ） A．（0，3） B．[0，3] C．（－∞，3] D．[0，＋∞） 【变式7-3】（2026·高二·内蒙古·期末）若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型 8 对数型复合函数的单调性 【典例8】（2026·高三·江苏·阶段检测）函数的单调增区间是（     ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2026·高一·北京东城·阶段检测）函数在上单调递减的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】已知 若 则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2026·高一·江苏无锡·期中）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型 9 比较大小 【典例9】（2026·高一·北京东城·期中）设，，，那么，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【变式9-1】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2026·新疆喀什·模拟预测）已知，，，则（     ） A． B． C． D． 【变式9-3】（2026·高一·天津河西·阶段检测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 题型 10 判断零点所在区间 【典例10】设函数，则的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（2026·高一·安徽阜阳·阶段检测）已知方程的解在内，则（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式10-2】（2026·高一·天津南开·期中）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【变式10-3】（2026·高一·山西·阶段检测）函数的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 题型 11 根据零点所在区间求参数（范围） 【典例11】（2026·高一·湖南常德·阶段检测）已知一元二次方程有两个实数根，，且，则m的值为（    ） A．-4 B．-5 C．-6 D．-7 【变式11-1】（2026·高一·吉林长春·阶段检测）若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】已知函数的零点位于区间内，则整数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式11-3】（2026·高一·海南·期末）若函数在区间内存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型 12 函数零点（方程实根）个数问题 【典例12】（2026·高一·湖北·期末）设函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】（2026·高一·辽宁·期末）已知函数，若有四个零点，，，，且满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】（2026·高一·福建莆田·阶段检测）若函数在上有两个零点，则实数a的取值范围是（ ） A．或 B． C． D．或 【变式12-3】（2026·高一·天津滨海新区·阶段检测）已知函数，若函数图象与直线有且仅有三个不同的交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型 13 嵌套函数的零点问题 【典例13】（2026·高一·广东广州·阶段检测）已知函数，若方程有且仅有5个不同实根，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式13-1】（2026·高一·福建三明·阶段检测）已知函数若关于的方程恰有个不同的实数根,则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（2026·高一·云南保山·期末）已知函数若方程有5个解，则 的取值范围是（　） A． B． C． D． 【变式13-3】（2026·高三·重庆垫江·阶段检测）已知函数，且方程有5个不等的实根，则实数的取值范围是（      ） A． B． C． D． 题型 14 二分法的应用 【典例14】（2026·高一·辽宁大连·期中）已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过2次二分法后确定的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【变式14-1】（2026·高二·山东·学业考试模拟）下列函数不宜用二分法求零点的是（   ） A． B． C． D． 【变式14-2】用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.1时，所需二分区间次数最少为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式14-3】（2026·高一·陕西西安·期末）用二分法求方程根的近似解时，令，并用计算器得到如下表数据：则由表中的数据，可得方程的一个近似解为（精确度为）（    ） A． B． C． D． 题型 15 指数函数与对数函数的实际应用 【典例15】（2026·高三·四川·阶段检测）为推进“海绵城市”建设，某城市修建了雨水收集调蓄池.降雨时，调蓄池的蓄水量（单位：）与降雨时间（单位：）的关系为，其中为调蓄池最大蓄水量，为大于零的常数.已知降雨后，蓄水量达到最大蓄水量的一半，则当蓄水量达到最大蓄水量的时，降雨大约的时间为（四舍五入保留整数，参考数据：）（    ） A． B． C． D． 【变式15-1】（2026·高一·广东深圳·期末）从盛有纯酒精的容器中倒出，然后用水填满；再倒出，又用水填满……连续进行次后，容器中纯酒精剩下不到，则至少是（    ）（参考数据：） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式15-2】（2026·高一·安徽六安·阶段检测）四个函数在第一象限中的图象如图所示，则a，b，c，d所表示的函数可能是（   ） A． B． C． D． 【变式15-3】（2026·高一·全国·期中）某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为：（为正常数，为原污染物数量）.若前5个小时废气中的污染物被过滤掉了，那么要能够按规定排放废气，至少还需要过滤（    ） A．小时 B．小时 C．5小时 D．小时 题型 16 拟合函数问题 【典例16】（2026·高一·重庆·期末）航天工程对人们的生活产生方方面面的影响，有关部门对某航模专卖店的航模销售情况进行调查发现：在某月（按30天计算）内特价航模的日销售价格（元/个）与时间（某月的第天，下同）的函数关系近似表示为（常数）.该专卖店特价航模的日销售量（百个）与时间部分数据如下表所示： 第天 3 8 15 24 （百个） 4 5 6 7 已知某月内第8天该专卖店特价航模的销售收入为300百元. (1)给出以下三种函数模型：①；②；③.请你依据上表中的数据，从以上三种函数模型中，选择你认为最合适的一种函数模型，来表示该专卖店特价航模的日销售量（百个）与时间的关系，说明你的理由； (2)借助你在（1）中选择的模型，记该专卖店特价航模的日销售收入为（百元），其中，，预估该专卖店特价航模的日销售收入在一个月内的第几天最低？ 【变式16-1】（2026·高一·广东广州·期末）小明通过对11月（以30天计）的某种水果的销售情况的调查发现：每千克的销售价格（单位：元/千克）关于第天的函数关系近似满足（且为常数），日销售量（单位：千克）关于第天的部分数据如下表所示： 9 14 18 22 29 54 59 63 59 52 已知第9天的日销售收入为552元． (1)求的值； (2)日销售量给出以下三种函数模型： ①；②；③； 请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型（简要说明理由）来描述日销售量关于第天的变化关系，并求出该函数的解析式； (3)设该水果的上半月的日销售收入为函数（单位：元），问哪天的日销售收入最少，最小值为多少，可以超过500元吗？ 【变式16-2】（2026·高一·山东烟台·期末）某湿地自然保护区为提升某种鸟类的种群数量，自2020年年初开始对该鸟类采取有效保护措施，并于每年年底统计其该年份的种群数量（单位：千只）．经评估，与年份近似满足如下关系：当时，；当时，，其中，，，均为常数.已知2020年和2023年该鸟类种群数量分别为10千只、20千只． (1)求，的值； (2)假设2026年该鸟类的种群数量为50千只，求其种群数量增长到80千只时的年份． 【变式16-3】（2026·高一·云南昆明·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，污染物的初始含量，其中是正的常数，如果在前消除了的污染物. (1)求的值. (2)后还剩百分之几的污染物？ (3)污染物减少需要花多少时间（精确到）？ （参考数据：） 题型 17 指数（型）函数性质的综合 【典例17】（2026·高一·广东茂名·期中）已知函数，. (1)求实数的值. (2)已知“函数的图象关于坐标原点成中心对称”的充要条件是“函数为奇函数，即对于定义域内任意恒成立”，有同学发现可以将其推广为“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于定义域内任意恒成立”，试用此结论证明：函数的图象的对称中心为. (3)若存在实数，使得对于任意，都存在满足，求实数的值. 【变式17-1】（2026·高三·陕西宝鸡·阶段检测）已知函数的定义域是，若对于任意的、，当时，都有，则称函数在上为非减函数. (1)判断，是否为非减函数； (2)已知函数在上为非减函数，求实数的取值范围； (3)已知函数在上为非减函数，且满足条件：①，②，③，求，及的值. 【变式17-2】（2026·高一·河南·期中）已知函数，的定义域均为，是奇函数，是偶函数，且． (1)求，的解析式； (2)判断的单调性并用单调性的定义证明； (3)设函数，，若，，使得，求实数的取值范围． 【变式17-3】（2026·高一·山西长治·阶段检测）在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关），记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数的定义域为R，且具有如下性质： ①为奇函数，为偶函数； ②（常数是自然对数的底数，）． 利用上述性质，解决以下两个问题： (1)求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式，并证明； (2)设函数，若在R上的最小值为6，求实数a的值． 题型 18 对数（型）函数性质的综合 【典例18】（2026·高一·湖北十堰·阶段检测）已知函数. (1)若的定义域为，求，的值. (2)当时，是否存在，使得在内存在最大值，且最大值大于2？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. (3)若在上单调，求的最小值. 【变式18-1】（2026·高一·湖南衡阳·阶段检测）已知函数． (1)若的值域为，求实数的取值范围． (2)当时，若在上单调递增，求实数的取值范围． (3)设函数．若，使得成立，求实数的取值范围． 【变式18-2】（2026·高一·湖北黄石·阶段检测）已知，且，且． (1)求a的值及的单调区间. (2)若对于，，使得成立，求实数t的取值范围. 【变式18-3】（2026·高一·广东汕头·期末）已知定义在上的函数为奇函数． (1)求a的值； (2)用定义证明：为增函数 (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $