第四章 指数函数与对数函数（含函数零点） 拓展提升（11类热点题型讲练）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦指数函数与对数函数性质及函数零点，以题型为载体构建从基础性质到综合应用的逻辑体系，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |指数函数性质|2典例+5变式|值域、单调性及参数求解|从定义出发，结合复合函数转化，体现性质应用的层次性| |对数函数性质|2典例+5变式|定义域、值域、单调性综合|与指数函数性质对比，强化定义域优先原则及单调性判定| |实际应用|2典例+3变式|保鲜、冷却等模型构建|通过真实情境抽象函数关系，发展数学建模与数据应用意识| |综合应用|2典例+3变式|奇偶性、不等式及零点综合|整合函数性质与方程思想，提升综合解题能力| |函数零点|2典例+6变式|零点个数、参数范围及根的关系|衔接函数与方程，深化数形结合思想，培养数学抽象能力|

第08讲 第四章 指数函数与对数函数（含函数零点） 拓展提升 题型01指数（型）函数的值域（最值） 【典例1】（25-26高一下·安徽安庆·开学考试）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【典例2】设，则的最小值为_____． 【变式1】（2026·贵州六盘水·一模）已知函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数的最大值为2027，则的值为（    ） A． B． C．1 D．或 【变式3】（25-26高一上·江西吉安·期末）已知函数是定义域为的偶函数. (1)求的值； (2)若在上的最小值为，求的值. 题型02指数（型）函数的单调性 【典例1】（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）若是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二下·广西柳州·期末）已知，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二下·湖南长沙·期末）若 是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知 且 ，若在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高一下·陕西汉中·期中）若函数的单调递增区间是，则______. 题型03对数（型）函数的定义域 【典例1】（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）函数的定义域是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【典例2】（25-26高二下·重庆·期末）函数定义域是，则的定义域是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·天津滨海新区·阶段检测）函数的定义域是_________. 【变式2】（25-26高一下·云南昭通·阶段检测）若函数的定义域为，则实数a的取值范围为________． 题型04对数（型）函数的值域（最值） 【典例1】（25-26高一下·广东广州·期末）已知，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【典例2】（2026高三·全国·专题练习）（1）若函数的定义域为，求的取值范围及函数值域； （2）若函数的值域为，求的取值范围及函数的定义域． 【变式1】（25-26高二下·内蒙古·期末）若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·河北承德·期末）函数的最小值为__________． 【变式3】（26-27高一上·全国·课后作业）已知，试求的最大值和最小值 题型05对数（型）函数的单调性 【典例1】（2026·广西·模拟预测）设函数，则函数（    ）． A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【典例2】（26-27高三上·江苏扬州·开学考试）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为______． 【变式1】（26-27高三上·江苏扬州·开学考试）已知函数（，且）在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·河北沧州·一模）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是______. 【变式3】（26-27高一上·全国·课堂例题）（1）求函数的单调区间． （2）求函数的单调区间． 题型06指数（型）对数（型）函数的实际应用 【典例1】（24-25高三上·四川泸州·阶段检测）已知某种食品保鲜时间与储存温度有关，满足函数关系(为保鲜时间，为储存温度)，若该食品在冰箱中0的保鲜时间是144小时，在常温20的保鲜时间是48小时，则该食品在高温40的保鲜时间是（    ） A．14小时 B．16小时 C．18小时 D．20小时 【典例2】（25-26高一下·贵州毕节·期中）中国茶文化源远流长，是中华文明的重要组成部分，从神农时代至今，茶文化已经在中国发展了4700多年，形成了独特的精神内涵和表现形式.若把一杯刚泡的茶水放在冷空气中冷却，茶水初始的温度为，空气温度为（），则经过后茶水的温度（单位：）可由公式（其中，）求得，其中是一个随着茶水与空气的接触状况而定的正的常数.现在有85的一杯茶水，放在25的空气中冷却，20min以后的温度是35. (1)求的值； (2)若将100的茶水，放在20的空气中冷却，该茶水的温度降至24需要多少分钟？（精确到小数点后一位）（参考数值：，，） (3)该函数模型为（其中，，），请结合实际意义对函数模型及其系数，给出合理的解释. 【变式1】（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）某放射性物质在衰变过程中，剩余质量与时间的关系式为，其中为初始质量，T为半衰期（放射性物质的剩余质量衰减到原来一半所需的时间）.已知该物质的半衰期为8天，则大约经过（   ）天后，剩余质量变为初始质量的. 参考数据： A．25 B．27 C．29 D．31 【变式2】（25-26高一上·安徽安庆·期末）根据基础教育阶段要统筹课内外、校内外，积极推进中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时的要求.树人中学学生每天能用于课外的锻炼时间约有60分钟，现制定了一个课外锻炼考核评分标准，建立了一个每天得分（单位：分）与当天锻炼时间（单位：分钟）的函数关系如图所示，要求如下： （ⅰ）函数是区间上的增函数； （ⅱ）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分； （ⅲ）每天运动时间为20分钟时，当天得分为3分，每天最多得分不超过6分. 现有以下三个函数模型供选择： ①，②，③. (1)请你根据条件及图象从以上三种函数模型中选择一个合适的模型，说明理由并求出函数解析式； (2)若小张同学要求每天考核得分不少于4分，请问小张同学每天课外锻炼时间不少于多少分钟.（注：，结果保留一位小数）. 【变式3】（23-24高一下·云南曲靖·期末）某乡镇企业2024年1～4月份生产的产品产量（单位：千件）与收益（单位：万元）的统计数据如下表： 月份 产品产量千件 … 收益万元 … 已知且，给出以下4个函数模型：①；②；③；④. (1)选择一个恰当的函数模型来描述，之间的关系，并求出其解析式； (2)已知该乡镇企业由于场地小，最多只能生产500千件，否则需要搬迁，现镇政府想使该企业的收益在10万元以上（含10万元），此企业是否应搬迁？ 题型07指数（型）对数（型）函数的综合应用 【典例1】（26-27高二上·山东日照·开学考试）已知函数． (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)解关于的不等式； (3)设，若函数与图象有2个公共点，求实数的取值范围． 【典例2】（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数． (1)若的值域为，求实数的取值范围． (2)当时，若在上单调递增，求实数的取值范围． (3)设函数．若，使得成立，求实数的取值范围． 【变式1】（26-27高二上·贵州遵义·开学考试）已知函数（，且），且． (1)求的值； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【变式2】（25-26高二下·内蒙古通辽·期末）已知函数. (1)若，，求函数的值域； (2)若，， ①求证：曲线是中心对称图形； ②解关于的不等式：. 【变式3】（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知. (1)若，求的解集； (2)令，若在区间上存在零点，求a的取值范围； (3)令，对于任意的，，都有成立，求a的取值范围. 题型08根据零点个数求参数 【典例1】（2026·湖北黄冈·二模）已知函数有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二下·贵州毕节·期末）已知函数，若有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围为________． 【变式1】（26-27高三上·湖南岳阳·阶段检测）已知函数 有 个零点，则实数 的取值范围为______. 【变式2】（2026·全国二卷·高考真题）若函数有两个零点，则的取值范围是__________． 【变式3】（24-25高一上·四川宜宾·期末）已知函数，若函数有3个零点，则m的取值范围是________． 题型09求函数的零点（方程的根）的个数 【典例1】（26-27高三上·江西宜春·开学考试）函数的零点个数为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二下·山东青岛·期末）设，则函数的零点个数为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（2026高一上·全国·专题练习）方程的实数解的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数多 【变式2】（25-26高一上·浙江杭州·期末）已知，则实数a满足，则满足条件的实数a的值的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式3】（2026高一·全国·专题练习）方程的解的个数为__. 题型10根据函数的零点（方程的根）的个数求参数或根的代数和 【典例1】（26-27高一上·湖南邵阳·开学考试）已知函数若，，，是方程的四个根，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一上·河南南阳·期末）已知函数有3个不同的零点则实数的取值范围是__________；若，则__________. 【变式1】（25-26高一上·贵州安顺·期末）如果是函数的零点，是函数的零点，那么的值为（   ） A． B．3 C．5 D．6 【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数，其中． (1)直接写出的零点； (2)讨论关于x的方程的解的个数； (3)若方程有四个不同的根，，，，直接写出这四个根的和． 【变式3】已知函数，若互不相等的实数满足，求的取值范围. 题型11函数与方程的综合应用 【典例1】（25-26高二下·山东青岛·期末）已知， (1)若的图象经过点，求函数的定义域； (2)令，若存在零点，求的范围． 【典例2】（25-26高二下·黑龙江黑河·期末）对于函数，若在定义域内存在实数（），满足，则称为“点对称函数”． (1)已知函数，试判断是否为“点对称函数”，并说明理由； (2)若函数是定义域为的“点对称函数”，求的取值范围． 【变式1】（2026高二下·浙江·学业考试）已知高斯函数（取整函数）表示不超过实数x的最大整数，函数. (1)求的值； (2)求函数的值域； (3)若函数恰有4个零点，求实数m的取值范围． 【变式2】（25-26高一下·湖北荆州·期中）已知函数 (1)当时，解不等式； (2)设，若对，函数在的最大值和最小值之差不超过，求的取值范围； (3)已知函数只有一个零点，求的取值范围． 【变式3】（25-26高一下·广东梅州·阶段检测）已知函数且为奇函数. (1)求实数的值及函数的值域； (2)解不等式； (3)求函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 第四章 指数函数与对数函数（含函数零点） 拓展提升 题型01指数（型）函数的值域（最值） 【典例1】（25-26高一下·安徽安庆·开学考试）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数单调性，结合二次函数最值求出值域. 【详解】函数的定义域为R，，当且仅当时取等号， 又函数在上单调递减，因此， 所以函数的值域是. 【典例2】设，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用指数函数值域及基本不等式求出最小值. 【详解】令，则， 当且仅当，即时取等号， 所以所求最小值为. 【变式1】（2026·贵州六盘水·一模）已知函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数在上的值域，对实数的取值进行分类讨论，求出该函数在上的值域，结合已知条件可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】当时，，则，故， 若，当时，，此时函数在上的值域为，不符合题意； 若，当时，， 此时函数在上的值域为，不是，不符合题意； 若，当时，， 此时函数在上的值域为， 所以，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 【变式2】已知函数的最大值为2027，则的值为（    ） A． B． C．1 D．或 【答案】A 【详解】令， 因为单调递减， 又因为函数的最大值为2027， 则的最小值为， 所以，且当时有， 即得，解得或， 所以. 【变式3】（25-26高一上·江西吉安·期末）已知函数是定义域为的偶函数. (1)求的值； (2)若在上的最小值为，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用得，则得到值，最后代入计算即可； （2）变形，再利用整体换元法，并结合二次函数性质即可得到方程，解出即可. 【详解】（1）因为是定义域为的偶函数， 则，即， 所以，即， . （2）， ， 令，因为，则根据对勾函数和指数函数单调性可知，即， ， 若时，当时，，解得； 当时，当时，，解得，不符合题意，舍去； 综上，可知． 题型02指数（型）函数的单调性 【典例1】（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）若是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据分段函数的单调递增所满足的三个条件计算可得. 【详解】因为分段函数在上单调递增，需要同时满足三个条件： ①当时，指数函数单调递增，所以底数需满足； ②当时，一次函数单调递增：所以斜率需满足，解得； ③在分界点处，左段的函数值不能超过右段在处的起始值， 即当时： ，化简得，解得. 联立三个条件，解得，即. 因此实数的取值范围为. 【典例2】（25-26高二下·广西柳州·期末）已知，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，构造函数，利用的单调性将不等式转化为即可求解. 【详解】已知函数， 令，构造新函数，则，因此，， 要满足，即满足， 由于指数函数在实数集上单调递增，一次函数也在实数集上单调递增， 所以在实数集上单调递增，所以不等式等价于，解得， 所以的取值范围是，故C正确. 【变式1】（24-25高二下·湖南长沙·期末）若 是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数在上单调递增的要求：各分段分别单调递增、分段点处左段函数值不大于右段函数值，列不等式组求解. 【详解】若为上的单调递增函数，需同时满足以下条件： 当时，指数函数单调递增，因此； 当时，一次函数单调递增， 因此斜率，解得； 在分段点处，左端函数值不大于右端函数值， 即，整理得，解得； 取三个不等式解集的交集，可得，即的取值范围为. 【变式2】（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知 且 ，若在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知可看作由和复合而成； 当时，函数单调递增，要使在上单调递增， 则需在上单调递增，因此需满足，解得， 结合得； 当时，函数单调递减，要使在上单调递增， 则需在上单调递减，因此需满足，解得，此时a不存在； 综合可知的取值范围为. 【变式3】（25-26高一下·陕西汉中·期中）若函数的单调递增区间是，则______. 【答案】2 【详解】设， 因为函数的对称轴为，其单调递增区间为， 且函数为上增函数， 则依题意可得，解得. 题型03对数（型）函数的定义域 【典例1】（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）函数的定义域是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】直接由对数函数及幂函数的性质列不等式组，再解不等式组可得. 【详解】要使函数有意义，则， 由，得，解得或； 由，得，解得或. 因此不等式组的解集为或. 所以函数的定义域为或. 【典例2】（25-26高二下·重庆·期末）函数定义域是，则的定义域是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数定义域是，所以， 解得，所以的定义域是 【变式1】（25-26高二下·天津滨海新区·阶段检测）函数的定义域是_________. 【答案】 【详解】由题意得，解得或， 故定义域为 【变式2】（25-26高一下·云南昭通·阶段检测）若函数的定义域为，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【分析】利用对数函数的性质转化为恒成立问题，再建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】因为函数的定义域为，所以在上恒成立， 当时，，解得，不合题意； 当时，则，解得． 综上实数的取值范围为． 题型04对数（型）函数的值域（最值） 【典例1】（25-26高一下·广东广州·期末）已知，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，由，得， ， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 【典例2】（2026高三·全国·专题练习）（1）若函数的定义域为，求的取值范围及函数值域； （2）若函数的值域为，求的取值范围及函数的定义域． 【答案】（1）的取值范围是，值域为； （2）的取值范围是，定义域为 【分析】（1）分析可知，可求出的取值范围，再利用配方法结合对数函数的单调性可求出原函数的值域； （2）分析可知，可求出的取值范围，由可求出原函数的定义域. 【详解】（1）函数的定义域为，即恒成立， 则恒成立，所以． 此时，， 所以的取值范围是，函数的值域为； （2）函数的值域为，即真数必能取遍所有正数， 二次函数的图象不可能全在轴上方， ，所以或． 所以实数的取值范围是， 由得或． 所以函数的定义域为． 【变式1】（25-26高二下·内蒙古·期末）若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数型函数值域为，则真数必须能取到大于零的任意实数. 【详解】因为函数的值域为， 所以真数能取到大于零的任意实数， 所以，解得. 【变式2】（25-26高一上·河北承德·期末）函数的最小值为__________． 【答案】 【分析】根据对数的运算性质得，令，的最小值即为函数的最小值. 【详解】， 令，， ， 所以当时，即时，函数取得最小值. 故答案为：. 【变式3】（26-27高一上·全国·课后作业）已知，试求的最大值和最小值 【答案】最大值为，最小值为. 【详解】令，，则， ，， 因为在上单调递减． ∴当时，取最大值为，当时，取最小值为. 故当时，取最大值为，当时，取最小值为. 故的最大值为，最小值为. 题型05对数（型）函数的单调性 【典例1】（2026·广西·模拟预测）设函数，则函数（    ）． A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】C 【详解】由，得， 则函数的定义域为，排除AB； 由复合函数的单调性可知，在上单调递增， 则函数在上单调递增，C正确，D错误. 【典例2】（26-27高三上·江苏扬州·开学考试）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据复合函数的单调性法则，结合对数函数的定义域，即可求解. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 且函数在上恒成立， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 【变式1】（26-27高三上·江苏扬州·开学考试）已知函数（，且）在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则， 因为，所以在上是增函数， 根据复合函数的单调性知需为减函数，所以. 又在上需满足恒大于0，所以，即. 综上，实数的取值范围是. 【变式2】（2026·河北沧州·一模）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】令，则， 因为在上单调递增， 又函数在上单调递增， 所以在上单调递增， 且对恒成立， 所以，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 【变式3】（26-27高一上·全国·课堂例题）（1）求函数的单调区间． （2）求函数的单调区间． 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）单调递增区间为，单调递减区间为. 【详解】（1）设，令，解得或， ∴函数的定义域为， 的对称轴为且开口向上， 在上单调递减，在上单调递增， 又在定义域内单调递减， ∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）令，解得， ∴函数的定义域为， 又的图象开口向下且对称轴为， ∴在上单调递增，在上单调递减， 又∵在定义域上单调递增， ∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 题型06指数（型）对数（型）函数的实际应用 【典例1】（24-25高三上·四川泸州·阶段检测）已知某种食品保鲜时间与储存温度有关，满足函数关系(为保鲜时间，为储存温度)，若该食品在冰箱中0的保鲜时间是144小时，在常温20的保鲜时间是48小时，则该食品在高温40的保鲜时间是（    ） A．14小时 B．16小时 C．18小时 D．20小时 【答案】B 【分析】根据已知的两组温度与对应保鲜时间列出方程组，求解得到与的值，整体代入计算时的保鲜时间即可. 【详解】依题意，将已知条件代入函数可得： 当时，， 当时，，将代入，解得， 当时，，将、代入得： . 【典例2】（25-26高一下·贵州毕节·期中）中国茶文化源远流长，是中华文明的重要组成部分，从神农时代至今，茶文化已经在中国发展了4700多年，形成了独特的精神内涵和表现形式.若把一杯刚泡的茶水放在冷空气中冷却，茶水初始的温度为，空气温度为（），则经过后茶水的温度（单位：）可由公式（其中，）求得，其中是一个随着茶水与空气的接触状况而定的正的常数.现在有85的一杯茶水，放在25的空气中冷却，20min以后的温度是35. (1)求的值； (2)若将100的茶水，放在20的空气中冷却，该茶水的温度降至24需要多少分钟？（精确到小数点后一位）（参考数值：，，） (3)该函数模型为（其中，，），请结合实际意义对函数模型及其系数，给出合理的解释. 【答案】(1) (2)33.4分钟. (3)当物体的温度高于环境温度，随着时间的增加，物体的温度下降，温度下降的速度是先快后慢，故函数模型是合理的. ：代表环境温度，是茶水冷却过程中温度趋近的极限值； ：代表茶水初始温度与环境温度的差值，差值越大，初始冷却速度越快. 【分析】（1）结合已知条件及指数函数、对数的运算求解即可. （2）根据指数函数的模型，结合指数与对数的互化、对数的运算求解即可. （3）结合函数模型分析其实际意义，分析解释即可. 【详解】（1）由题意知，，即， 所以，解得. （2）设该物体需要放置分钟温度降至24，由题意知，，即. 由（1）知，所以，即， 所以， 故该茶水的温度降至24需要33.4分钟. （3）当时，物体初始温度； 当时，即当物体冷却时间足够长时，物体的温度会趋近于环境温度， 又当时，，因此，， 故. 当物体的温度高于环境温度，随着时间的增加，物体的温度下降，温度下降的速度是先快后慢，故函数模型是合理的. ：代表环境温度，是茶水冷却过程中温度趋近的极限值； ：代表茶水初始温度与环境温度的差值，差值越大，初始冷却速度越快. 【变式1】（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）某放射性物质在衰变过程中，剩余质量与时间的关系式为，其中为初始质量，T为半衰期（放射性物质的剩余质量衰减到原来一半所需的时间）.已知该物质的半衰期为8天，则大约经过（   ）天后，剩余质量变为初始质量的. 参考数据： A．25 B．27 C．29 D．31 【答案】B 【分析】设经过天后，剩余质量变为初始质量的，化简可得，利用换底公式得到最终结果. 【详解】由题意，， 设大约经过天后，剩余质量变为初始质量的， 则有，所以， （天）， 故大约经过27天后，剩余质量变为初始质量的. 【变式2】（25-26高一上·安徽安庆·期末）根据基础教育阶段要统筹课内外、校内外，积极推进中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时的要求.树人中学学生每天能用于课外的锻炼时间约有60分钟，现制定了一个课外锻炼考核评分标准，建立了一个每天得分（单位：分）与当天锻炼时间（单位：分钟）的函数关系如图所示，要求如下： （ⅰ）函数是区间上的增函数； （ⅱ）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分； （ⅲ）每天运动时间为20分钟时，当天得分为3分，每天最多得分不超过6分. 现有以下三个函数模型供选择： ①，②，③. (1)请你根据条件及图象从以上三种函数模型中选择一个合适的模型，说明理由并求出函数解析式； (2)若小张同学要求每天考核得分不少于4分，请问小张同学每天课外锻炼时间不少于多少分钟.（注：，结果保留一位小数）. 【答案】(1)选择模型③，理由： 是一次函数，增长速度恒定，与图象的递增趋势越来越缓不符； 是指数函数，增长速度会越来越快，与图象的增长趋势不符； 是对数函数，增长速度越来越缓，与图象的增长趋势一致，故选择模型③， ； (2)分钟. 【分析】（1）根据图象增长趋势排除一次函数和指数函数，选择对数函数模型，再代入已知点求解参数并验证边界条件，得到函数解析式； （2）根据得分不少于分的要求列出不等式，利用对数函数的单调性求解不等式，得到锻炼时间的最小值. 【详解】（1）由题可知，图象经过点和，代入解析式得，解得， 所以函数解析式为； （2）由题意可得，即， 因为是增函数，所以， 所以，解得， 即小张每天课外锻炼时间不少于分钟. 【变式3】（23-24高一下·云南曲靖·期末）某乡镇企业2024年1～4月份生产的产品产量（单位：千件）与收益（单位：万元）的统计数据如下表： 月份 产品产量千件 … 收益万元 … 已知且，给出以下4个函数模型：①；②；③；④. (1)选择一个恰当的函数模型来描述，之间的关系，并求出其解析式； (2)已知该乡镇企业由于场地小，最多只能生产500千件，否则需要搬迁，现镇政府想使该企业的收益在10万元以上（含10万元），此企业是否应搬迁？ 【答案】(1)④， (2)应搬迁 【分析】（1）首先根据函数的性质判断符合的函数，再代入表格数据，即可求解函数的解析式； （2）根据（1）的结果，列不等式，即可求解. 【详解】（1）由表中数据可知，收益随着产品产量的递增而递增，且增长速度越来越慢. 而①单调递减，不合题意， ③是单调递减函数，不合题意， 对于②，由题意可知，从而增长率越来越快，不合题意. 故只能选择④的模型，且. 将，代入，可得， 解得，所以， 当时，， 当时，，所以符合题意， 所以可用④来描述，之间的关系，解析式为； （2）令，则， 又，所以此企业需要搬迁. 题型07指数（型）对数（型）函数的综合应用 【典例1】（26-27高二上·山东日照·开学考试）已知函数． (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)解关于的不等式； (3)设，若函数与图象有2个公共点，求实数的取值范围． 【答案】(1)偶函数；对任意的，，所以，函数的定义域为， ， 即， 所以， 所以函数是偶函数； (2) (3) 【分析】（1）由偶函数的定义结合对数运算性质证明； （2）分析函数在上的单调性，由偶函数的性质将所求不等式变形为，可得出关于实数的不等式，解之即可； （3）令，由题意可知，关于的方程有两个不等的正根，根据二次方程根的分布可得出关于的不等式组，解之即可. 【详解】（1）偶函数；略； （2）因为， 令，任取、，且，则， ，则， 所以 ，则， 所以，函数在上为增函数， 又因为外层函数为上的增函数， 所以，函数在上为增函数， 由可得，所以， 即，整理可得，解得， 因此，实数的取值范围是. （3）函数与图象有个公共点， 由可得， 可得，即， 因为，则， 设，则，又在上单调递增， 由题意可知，关于的方程有两个不等的正根， 所以，，解得. 即的取值范围为. 【典例2】（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数． (1)若的值域为，求实数的取值范围． (2)当时，若在上单调递增，求实数的取值范围． (3)设函数．若，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由对数函数的值域可得真数对应的二次函数的判别式大于等于，从而可得所求取值范围； （2）令，并结合定义域可得函数单调递增区间，从而可得所求取值的范围； （3）将不等式转化为，由单调性可得，所以只需，进而转化为，方法一：根据二次函数的在闭区间的最值问题分类讨论可得；方法二：通过参数分离可得及，分别求两个函数的最值可得. 【详解】（1）因为函数的值域为，所以能取到大于的所有值， 所以，解得或， 因此实数的取值范围为． （2）当时，． 令，得或， 又， 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以在上单调递增， 因为题中在上单调递增，所以实数的取值范围为． （3）因为，使得成立，所以． 因为在时单调递减， 所以， 即，即成立． 方法一：设，其图象的对称轴为直线． 当时，只需，解得； 当时，只需，解得； 当时，只需，无解． 综上，得，即实数的取值范围为． 方法二：成立，等价于成立， 所以． 记，则在上单调递增， 所以，所以. 成立，等价于成立，所以． 记，则（当且仅当时取等号）， 所以，所以， 综上，，即实数的取值范围为． 【变式1】（26-27高二上·贵州遵义·开学考试）已知函数（，且），且． (1)求的值； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用结合对数的运算性质，求得的值. （2）根据函数的单调性化简，结合函数的单调性、值域，求得的取值范围. 【详解】（1）由得， 则，因为，且，解得：. （2）在单调递增， 由可得：对任意恒成立， 对任意恒成立等价于对任意恒成立， ， 令，因为， 则， 在时为增函数， ∴，∴， 又∵，∴. 综上所述：实数的取值范围是. 【变式2】（25-26高二下·内蒙古通辽·期末）已知函数. (1)若，，求函数的值域； (2)若，， ①求证：曲线是中心对称图形； ②解关于的不等式：. 【答案】(1) (2)①证明：把，代入函数，得 ， 所以， 故， 所以曲线关于中心对称. ② 【分析】（1）把，代入函数，应用分离变量即可求得值域； （2）把，代入函数， ①利用中心对称与函数图象表达式的关系证明； ②用指数与对数函数运算法则化简整理即可求解. 【详解】（1）把，代入函数，得 ，定义域为 由，得,那么, 即， 所以，函数的值域为. （2）①略 ②把，代入函数，得 由于，故, 所以即可化为 又，在上单调递减， 所以，， 设，那么在上单调递增， 又， 所以原不等式可化为，得， 所以原不等式解集为. 【变式3】（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知. (1)若，求的解集； (2)令，若在区间上存在零点，求a的取值范围； (3)令，对于任意的，，都有成立，求a的取值范围. 【答案】(1)； (2); (3). 【分析】(1)利用对数函数单调性脱去对数，转化为一元二次不等式，通过换元法结合指数函数性质，求解出x的取值范围; (2)根据函数零点定义转化为方程有解问题，换元后分离参数，利用函数的最值与区间端点值，确定参数取值范围; (3), 转化为  ，再利用函数的单调性求解. 【详解】（1），，得， 所以，即， 令 ，，解得 ，即 ， 所以，所以的解集是； （2） 在 上存在零点，令，得 ，即，所以， 因为，所以 令 ，，记 ， 由均值不等式，当且仅当 时取等号， 所以，在 时取得最大值， 又，， 所以的值域是，所以,所以， 所以a的取值范围是; （3）, 得， 即， 在上的最大值是，最小值是， 由题意  ，即， 所以，所以， 即，所以， 令，， 在上单调递减，所以当时，取得最小值3， 所以在上取得最大值， 在上单调递减，所以当时，取得最小值1， 所以，所以 所以a的取值范围是. 题型08根据零点个数求参数 【典例1】（2026·湖北黄冈·二模）已知函数有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数有两个零点，则方程有两个实根， 即有两个实根，即直线与函数的图象有两个交点. 结合函数的图象，可得， 所以的取值范围是. 【典例2】（25-26高二下·贵州毕节·期末）已知函数，若有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【分析】将问题转化为的图象与直线有三个不同的交点，画出图象，结合图象求解即可. 【详解】如图所示分段函数图象，若有三个不相等的实数根，则函数与函数的图象有三个交点， 因为，所以. 【变式1】（26-27高三上·湖南岳阳·阶段检测）已知函数 有 个零点，则实数 的取值范围为______. 【答案】 【分析】应用零点列方程，再结合二次函数特征求解. 【详解】令 得 . 设 ，其图象为 在 轴下方部分翻折到轴上方所得， 在 、 处为 ，在 处取得最大值 .要使方程有 4 个不同实根，需 ， 故实数的取值范围是. 【变式2】（2026·全国二卷·高考真题）若函数有两个零点，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】方法一：令,则即，,转化为一元二次方程有两个正根的问题. 方法二：把函数 有两个零点转化为方程有两个实数根的问题，再转化为,即函数与函数交点问题. 【详解】令，得，即， 方法一： 令，则，即，, 则一元二次方程有两个正根， 那么， 所以，的取值范围是. 方法二： 设，那么设，则， 由于在上单调递减，在上单调递增， 故在上单调递减，在上单调递增，且， 根据函数图象可知，函数有两个零点，则的取值范围是. 【变式3】（24-25高一上·四川宜宾·期末）已知函数，若函数有3个零点，则m的取值范围是________． 【答案】或 【分析】依据题意画出函数的图象，有3个零点，即函数与有3个交点.根据图象即可求出的取值范围. 【详解】由题可知，有3个零点，即函数与有3个交点， 作出函数的图象，从图象可以看出， 当时，有3个交点；当时，有2个交点； 当时，有4个交点；当时，有3个交点， 所以的取值范围是或. 题型09求函数的零点（方程的根）的个数 【典例1】（26-27高三上·江西宜春·开学考试）函数的零点个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，令，得到，解得或（舍）， 当时，，令，得到，即，解得， 所以函数的零点个数为个. 【典例2】（25-26高二下·山东青岛·期末）设，则函数的零点个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令可得 ，把零点个数问题转化为求解函数的图象与直线的交点个数问题. 【详解】令可得 当时，，联立方程可得，解得， 此时仅一个交点； 当时，，联立方程解得， 此时仅一个交点； 当时，，由图象可知仅有一个交点， 综上所述，函数的图象与直线有3个交点. 【变式1】（2026高一上·全国·专题练习）方程的实数解的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数多 【答案】C 【分析】根据题意，转化为，设与，画出两个函数的图象，结合图象的交点个数，即可得到答案. 【详解】由方程，得，设函数与， 画出与的图象有两个交点， 故方程的实数解的个数为2个. 【变式2】（25-26高一上·浙江杭州·期末）已知，则实数a满足，则满足条件的实数a的值的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】作函数图象，数形结合求解. 【详解】令，解得， 因为，所以， 作出函数，直线的图象，如图， 由图象可知，直线与函数图象有3个交点， 所以的根有3个，即满足条件的实数a的值的个数为3个. 【变式3】（2026高一·全国·专题练习）方程的解的个数为__. 【答案】2 【分析】方程的解的个数，即函数和函数的图象的交点个数，画出两函数图象即可得. 【详解】方程的解的个数， 即函数和函数的图象的交点个数， 如图所示，数形结合可得， 函数和函数的图象的交点个数为2， 故方程的解的个数为2. 题型10根据函数的零点（方程的根）的个数求参数或根的代数和 【典例1】（26-27高一上·湖南邵阳·开学考试）已知函数若，，，是方程的四个根，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先画出分段函数图象，由四个根确定参数，分别利用抛物线的对称性和对数函数的对称性，求出和，最后通过换元，利用对勾函数的单调性求出比值的取值范围． 【详解】画出函数图象如图所示， 由有四个根，结合图象可知，直线与函数图象有四个交点， 所以，，且 令得： 所以，因此 所以，令，因为，所以， 所以，令， 根据对勾函数单调性，在上单调递增，所以， 所以 【典例2】（23-24高一上·河南南阳·期末）已知函数有3个不同的零点则实数的取值范围是__________；若，则__________. 【答案】 / 【分析】令，得到或，结合的图象求解计算即可. 【详解】令， 解得或. 作出的图象如图. 要使有3个不同的零点， 则的图象与直线和一共有3个交点， 由图可知当即时，的图象与直线有1个交点，与直线有2个交点，符合条件. 易得，所以，即， 不妨设，由，得， 由，得， 所以. 故答案为： 【变式1】（25-26高一上·贵州安顺·期末）如果是函数的零点，是函数的零点，那么的值为（   ） A． B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据函数零点的定义，结合同底的对数函数和指数函数互为反函数，根据反函数的对称性进行求解即可. 【详解】因为是实数集上增函数， 所以是函数的唯一零点， 所以， 所以直线与函数的图象的交点的横坐标为. 因为是正实数集上增函数， 所以是函数的唯一零点， 所以， 所以直线与函数的图象的交点的横坐标为. 因为函数和互为反函数， 所以它们的图象关于直线对称，且直线与直线互相垂直， 所以点关于直线对称， 所以，所以. 故选：C 【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数，其中． (1)直接写出的零点； (2)讨论关于x的方程的解的个数； (3)若方程有四个不同的根，，，，直接写出这四个根的和． 【答案】(1)－1和3； (2) 当时，方程无实根； 当或时，方程有2个实根； 当时，方程有4个实根； 当时，方程有3个实根． (3)． 【分析】（1）利用函数零点的定义直接解方程求解即可； （2）将问题转化为与直线的交点个数，画出的图象，结合图象求解即可； （3）由图象可知，函数的图象关于直线对称，从而可求得结果. 【详解】（1）解方程，即， 解得或， 所以，函数的零点为－1和3； （2）则函数的图象如下图所示： 方程的解的个数等于函数和图象的交点个数，如下图所示： 当时，方程无实根； 当或时，方程有2个实根； 当时，方程有4个实根； 当时，方程有3个实根． （3）由图象可知，函数的图象关于直线对称， 因此． 【变式3】已知函数，若互不相等的实数满足，求的取值范围. 【答案】 【分析】根据函数解析式作出函数的图象，利用函数的对称性及不等式的性质即可求解. 【详解】作出函数的图象，如图所示 不妨设，则关于直线对称，故， 且满足； 则的取值范围为； 即． 所以的取值范围为. 题型11函数与方程的综合应用 【典例1】（25-26高二下·山东青岛·期末）已知， (1)若的图象经过点，求函数的定义域； (2)令，若存在零点，求的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入求，再求的定义域； （2）先表示出根据对数函数的定义得，，再根据在有零点求出的范围. 【详解】（1）因为图象经过，所以． 解得． 所以． 由解得或， 所以定义域为． （2）． 因为，所以，化简得： 则在有零点，即在有解． ， 即，解得． 【典例2】（25-26高二下·黑龙江黑河·期末）对于函数，若在定义域内存在实数（），满足，则称为“点对称函数”． (1)已知函数，试判断是否为“点对称函数”，并说明理由； (2)若函数是定义域为的“点对称函数”，求的取值范围． 【答案】(1)是“点对称函数”，若，得，解得，所以是“点对称函数”； (2) 【分析】（1）根据定义，得，解出即可判断； （2）由分段函数，根据的情况分类讨论，将问题转化为方程有解问题，利用一元二次方程即可求解. 【详解】（1）略； （2）当时，恒成立，因为，所以，即对所有恒成立， 所有， 当时，，由得：， 令，则， 若，则， 所以必有，所以，即， 设， 又，所以方程有两个实根，设为， 所以，所以异号，不妨设， 要使时方程有解，只需； 当时，， 所以，所以， 由得：， 所以，即， 要使时方程有解，只需， 综上所述，， 所以的取值范围为. 【变式1】（2026高二下·浙江·学业考试）已知高斯函数（取整函数）表示不超过实数x的最大整数，函数. (1)求的值； (2)求函数的值域； (3)若函数恰有4个零点，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据取整函数的定义计算即可； （2）利用取整函数判断，进而代入即可判断； （3）首先判断函数本身的奇偶性，进而将零点问题进行化简，通过讨论不同范围的取值即可求解. 【详解】（1）由题意得，. （2）因为，因此，即，即函数值域为. （3）函数的定义域为，且， 即函数为定义在实数域上的偶函数，则其零点关于原点对称， 因此恰有个零点等价于时，恰有个零点，且不是零点， 时，，即， 当时，设， 故若时，，，此时函数在上单调递增，值域为， 当时，，，此时函数在上单调递增，值域为， 当时，，，此时函数在上单调递增，值域为， 当时，，，此时函数在上单调递增，值域为， 当时，，，此时函数在上单调递增，值域为， ， 若函数恰有4个零点，即方程有2个正根， 所以. 【变式2】（25-26高一下·湖北荆州·期中）已知函数 (1)当时，解不等式； (2)设，若对，函数在的最大值和最小值之差不超过，求的取值范围； (3)已知函数只有一个零点，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)或或. 【详解】（1）当时，，由，得，即，即，即，所以，解得或， 所以不等式的解集是； （2）因为在定义域上单调递减且， 所以在区间上的最大值是，最小值是， 依题意得，即对恒成立， 即对恒成立， 即对恒成立， 即对恒成立， 令，则， 当，;当，， 所以，故，所以的取值范围是； （3）因为只有一个零点， 所以方程只有一个根， 所以只有一个根， 整理得，， 即，即， ①若，此时，代入真数知真数大于0，符合题意； ②若，此时，代入真数知真数大于0，符合题意； ③若使得真数大于0，使得真数小于等于0，即时符合题意，此时； ④若使得真数小于等于0，使得真数大于0，即时符合题意，此时无解． 综上所述，的取值范围为. 【变式3】（25-26高一下·广东梅州·阶段检测）已知函数且为奇函数. (1)求实数的值及函数的值域； (2)解不等式； (3)求函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据条件，利用奇函数的性质，即可求出的值，再利用指数函数和反比例函数的单调性，即可求解； （2）根据条件得，利用指数不等式的解法，即可求解； （3）根据条件，将问题转化成在上有两个不等根，令，利用二次函数根的分布建立方程组，即可求解. 【详解】（1）因为且，则的定义域为，又为奇函数， 则，解得，所以， 则，所以满足题意， 又，所以，则，所以函数的值域为. （2）由（1）知，由，得到， 整理得到，解得，所以不等式的解集为. （3）因为，令，即，整理得到， 又函数在区间上有两个不同的零点，所以时，方程有两个不等根， 令，得到，又在区间上单调递增，所以， 则在上有两个不等根， 令，则，解得， 所以实数的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $