广西南宁市武鸣区府城高级中学2026-2027学年上学期高二数学期中考试自编模拟试卷

2026年秋季学期高二年级数学期中考试模拟卷 答题卡 扫描关注错题 班级 姓名 学校 考场号 注意事项 准考证号 1.答题前请将姓名、班级、考场、座号和准考证号 填写清楚。 0 0 0) 0 0 2.客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮 [1 1 [1] 2 [2 2] [2 [2 擦干净。 3] [3 3.主观题必须使用黑色签字笔书写。 41 4 4] [4 4 4.必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区 5 [5] 5] [5 [5] 域书写无效。 [6 6 61 5.保持答卷清洁完整 7 7 7 7 81 [81 81 8 8 [9] [9] [9] [9] [9] 9] [9] [9] 正确填涂■ 错误填涂☑碰兰 力XIO刀 考生禁填 (由蓝考老师填涂 缺考☐ 违规☐ 、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1IA1B1[C1IDI 5 IAIIBIICIID] 2[A1【B1IC1ID 6 IAI[BIICI [D] 3 [A]IB][C]ID] 7【A1IB1 IC]ID] 4 IA]IBIICIIDI 8 [AIIBIICIID] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分： 9 [AIIBIICI[DI 10 IAIIBIICIID] 11 [A]IB]ICIID] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12 13 14 请勿在此区域作答或 者做任何标记 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 第1页共6页 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 四、解答题：本题共5小题，共77分.请写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 15.(13分) 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 第2页共6页 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 16.(15分) >B 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 第3页共6页 请保持答题卡干净整洁，不要污损 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 频率 17.(15分) 0.035 组距 0.014 888长 o 405060708090100分数 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 ■ 第4页共6页 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 18.(17分) 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 第5页共6页 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 19.(17分) 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 第6页共6页 2026年秋季学期高二年级数学期中考试模拟卷 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：必修第一册、第二册占30%，选择性必修第一册第一章、第二章占70%． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.集合，则A∪( ∁RB )＝(　　) A．{ x| x > 1 } B．{ x| x ≥－1 } C．{ x| 1< x ≤ 2 } D．{ x| 1 ≤ x ≤ 2 } 2.已知，其中为虚数单位，则复数在复平面内所对应的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 3.已知四面体，所有棱长均为2，点分别为棱的中点， 则（    ） A．1 B． C．2 D． 4.已知，则（     ） A． B． C． D． 5.已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 6.直线与圆相交所得的弦长为，则（ ） A．1 B． C．2 D．3 7.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为点到点的距离，则的最小值为（     ）． A．3 B． C． D． 8.已知直线与曲线恰有两个公共点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知函数，则下列结论正确的有（     ） A．为函数的一个周期 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在上为减函数 D．函数的值域为 10.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的有（    ） A．两条不重合直线的方向向量分别是，则 B．直线的方向向量，平面的法向量是，则 C．两个不同的平面的法向量分别是，则 D．直线的方向向量，平面的法向量是，则或 11.已知点是圆上的动点，点，为坐标原点，则下列结论正确的有（     ） A．过点的直线被圆截得的最短弦长为4 B．的最大值为7 C． D．对任意实数的最小值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.台风在危害人类的同时，也在保护人类.台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡.甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8、0.7、0.9，各卫星间相互独立，则在同一时刻至少有两颗预报准确的概率为 13.在正方体中，分别为棱的中点，则 和所成角的余弦值为 14. 若直线l与圆，圆都相切， 切点分别为A、B，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15.（13分）已知圆方程为：， (1)写出圆的圆心和半径； (2)求直线被圆截的弦长. 16.（15分）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且， 点是的中点， (1)求证：直线平面； (2)求直线到平面的距离； 17.（15分）新冠肺炎疫情期间，某市为了了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从市居民中随机抽取若干居民进行评分（满分为100分），根据调查数据制成如下频率分布直方图，已知评分在的居民有2200人. (1)求频率分布直方图中a的值及所调查的总人数； (2)从频率分布直方图中，估计本次评测分数的众数和平均数（精确 到0.1）； (3)设该市居民为50万人，估计全市居民对当地防疫工作评分在85 分以上的人数. 18（17分）已知圆，直线 (1)求证：直线恒过定点； (2)当圆心到直线的距离取得最大值时，求的值； (3)当时，为上一动点，过作圆的两条切线，切点分别为．求四边形面积的最 小值． 19.（17分）已知点圆C是过点的面积最小的圆． (1)求圆C的标准方程； (2)若为圆C上任意一点， （i）求的最大值和最小值; （ii）求的最大值和最小值; （iii）求的最大值和最小值． 第 1 页（ 共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026年秋季学期高二年级数学期中考试模拟卷 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟， 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答 题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：必修第一册、第二册占30%，选择性必修第一册第一章、第二章占70%， 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1.集合A={x-1≤x≤2，B={x|x<,则AU(CRB)=() A.{xx>1} B.{xx≥-1} C.{x1<x≤2} D.{x1≤x≤2} 【答案】B 【解析】由A=d-1≤2}，B={xrKI}可知CRB={r之1}，∴AU(CRB)={≥-1}.故选B 2.已知z·(2+3)=-4+7i,其中i为虚数单位，则复数z在复平面内所对应的点的坐标是（) A.(1,1) B.(1,2) C.(2,1) D.(2,2) 【答案】B 【解折】因为复数z2+30=-4+7i,所以z=4+i 3,则z=4+71-4+7①：(2-30）-13+261=1+2 2+3i 13 13 所以复数=在复平面内所对应的点的坐标是1,2)，故选：B. D 3.已知四面体ABCD,所有棱长均为2，点E,F分别为棱AB,AD的中点， 则CF.CE=( ) A.1 3 B. C.2 D. 2 【答案】D 【详解】因为点E,F分别为棱AB,AD的中点，且四面体ABCD所有棱长均为2，则 西〔}0（a+所以西.@oaa+ 4e0网c60+网ko60+可+网c网cos60r-2x2分+2x2x分+2+2x2x) 2F 故选：D 4已知m6+m0+写1，则m0+)（) B.V3 C. 2 D. 3 3 3 【答案】B 【详解】由思意可得：sin+sim+5cos6=1则：3n0+5os0=1,5n0+cos0=5 21 2 2 2 2 从而有：血6cos天+cos0n-5,即smg+牙 6 5故选：B 63 63 5.已知经过点A(1,2,4)的平面a的法向量为i=(1,-1,1),则点B(-2,3,2)到平面a的距离为() A.2 B.3 C.3W2 D.25 【答案】D 【详解】因为A(1,2,4),B(-2,3,2),则AB=（-3,1,-2),又平面a的法向量为i=(1,-1,1), 则点B(-2,3,2)到平面x的距离为d=I B上3-1-225故选D 6.直线x+y+m=0(2>0)与圆x2+y2=3相交所得的弦长为m,则m=() A.1 B.2 C.2 D.3 【答案】c 【详解】圆x2+y2=3的圆心坐标为(0,0)，半径r=√3，则圆心到直线x+y+m=0(m>0)的距离为 10-行因此有+司 m =r2,代入得 m 十 =3,化简得+=3 V12+12 2 24 即3m=3,解得m=4,结合m>0的条件，得m=2.故选C 4 7著名数学家华罗庚曾说过：数形结合百般好，割裂分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化 为几何问题加以解决，如：√(x-a)}+(y-b可以转化为点(xy)到点(a,b)的距离，则Ve2+1+√-4x+8 的最小值为(). A.3 B.2W2+1 C.25 D.3 【答案】D 【详解】√F+1+V-4x+8=Vx-0+(0-1)2+Vx-2}+(0-2)}可以看作点P(x,0)到点A(0,1),B(2,2)的距离之 和，作点A关于x轴的对称点A'(0,-1),显然当B,P,A三点共线时，取到最小值，最小值为B,A'间的距离√2？+3？=√3 故选：D 8.己知直线y=x-与曲线y=√2x-x2恰有两个公共点，则实数m的取值范围为() A.[0,2-1) B.(1-V2,0] c.(1-V2,1) D.(-1,0] 【答案】B 【解析】将y=V2x-x2两边平方整理得(x-1)2+y2=1≥0)，即曲线y=√2x-x2 表示以C(1,0)为圆心、半径等于1的半圆，如图所示： 当y=x-m过点(0,0)时，m=0,满足y=x-m与y=V2x-x2有两个不同的公共点： 当直线y=x-m和半圆相切时，由1=一，得m=1-V2或m=1+V巨，由图知，此时级截距-m>0:即m<0。 所以m=1-√2，故直线y=x-m与曲线y=√2x-x2有两个不同的公共点时，实数m的取值范围为(1-√2,0] 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知函数f(x)=√1+cosx+√1-cosx,则下列结论正确的有（) A.π为函数f(x)的一个周期 B.函数f()的图象关于直线x=工对称 C.函数f(x) 上为减函数 D.函数f(x)的值域为V2,2 【答案】ABD 【详解】因为f(x+)=√1+cos(x+)+V1-cos(x+m)=V1-coSx+V1+cosx=f(x),所以π为函数fx)的一个周期， 故A正确：因为f(π-x)=V1+cos(π-x)+V1-cos(π-)=V1-cosx+V1+cosx=f(x),所以函数f()的图象关于直线 =对称，故B正确：因为f0)=i+cosx+-cosx-=cos2受 2 5osm子=2m+由于+e孕，放f网=2如宁孕在上为地画数，故c错误 、兀 24 由C的分折可知J)=2血（宁+孕在0引上为增函数，所以）e[5.2],故D正确，放适：A8D 10.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的有() A.两条不重合直线4,1，的方向向量分别是a=(2,3,-1,i=(-2,-3,1),则4∥1 B.直线1的方向向量a=1,-1,2),平面a的法向量是u=(6,4,-1),则1⊥a C.两个不同的平面，P的法向量分别是i=(2,2,-1,v=（3,4,2),则a上F D.直线l的方向向量a=(1,3,0),平面a的法向量是u=(6,2,0),则1∥ax或1ca 【答案】ACD 详解选项A:因为弓号-所以a瓜，所以必，枚A正确：选项B:因为1x6+(x4+2x()=0,所以a山 所以l/a或1ca,故B错误：选项C:因为2×(-3)+2×4+(-l)×2=0,所以i⊥，所以a⊥B,故C正确； 选项D:因为l×(6)+3×2=0,所以a⊥u,所以I∥a或lca,故D正确.故选：ACD 11.已知点P是圆C:(x-1)+(y-3)=9上的动点，点Q(3,4),O为坐标原点，则下列结论正确的有() A.过点Q的直线被圆C截得的最短弦长为4 B.OP的最大值为7 C.10-3V10≤0C.OP≤10+3V10 D.对任意实数t,OC-tOQ的最小值为2 【答案】AC 【详解】由圆C的方程(x-1)+(y-3)2=9,可得圆心C(1,3),半径r=3.对于A,因为Q(3,4),可得 Cg-(3-1)}+(4-3)}=5<9,所以点9在圆C内，且Cg=V5,当过点9的直线与直线CQ垂直时，被圆C截得的弦 最短，则被截得的最短弦长为2√P2-CQ=2×V9-5=4,所以A正确.对于B,因为0C=(0-)2+(0-3)}=10>9, 可得点O在圆C外，且OC=V10,由圆的性质，可得OP的最大值为OC+r=3+V10,所以B错误：对于C,方法 一：如图，作向量oP在0C上的投影向量0D,则0C.0P=OCOD=10OD,因 为0C-r≤OD≤OC+r,即V10-3≤OD≤V10+3,所以 10-3√10≤0C.0P≤10+3√10，所以C正确 方法二：设P(x,y),则OP=(x,y),因为OC=(1,3),可得OC.OP=x+3y.设x+3y=m, 则直线：x+3y-m=0与圆C有公共点，则满足 +9-m<3,解得 V12+32 10-3V10≤m≤10+3v10,所以C正确. 对于D,方法一：对任意实数t,向量00与00共线，设O0=0E,则点E在直线0g上，OC-10回=EC=CE, 则OC-O四的最小值为圆心C到直线0Q的距离，因为点Q(3,4),所以直线09的方程为4x-3y=0,所以圆心C(1,3) 4-9气=1，所以D错误. 到直线00的距离为？+(-3列 方法二：因为0C=(1,3),09=(3,4),可得0C-100=(1,3)-1(3,4)=(1-31,3-41),所以 oc-100-V1-3刘+B-4-5-5-6+2,当1=号时.0c-100=l,所以D错误 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.台风在危害人类的同时，也在保护人类台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水荒，另外还 使世界各地冷热保持相对均衡.甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星 准确预报台风的概率分别为0.8、0.7、0.9，各卫星间相互独立，则在同一时刻至少有两颗预报准确的 概率为 【答案】0.902 【详解】设“甲、乙、丙预报准确”分别为事件A,B,C,不准确记为A,B,C,则P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9, P(A=0.2,PB)=0.3,PC=0.1,至少两颗预报准确的事件有ABC,ABC,ABC,ABC,这四个事件两两 互斥所以至少两颗预报准确的概率为 P-P(ABC+P(ABC)+P(ABC）+P(4BC)=0.8×0.7×0.1+0.8×0.3×0.9+0.2×0.7×0.9+0.8×0.7x0.9 =0.056+0.216+0.126+0.504=0.902. 13.在正方体ABCD-AB,C,D中，M,N分别为棱AA,BB,的中点，则 CM和DN所成角的余弦值为 【答案】 1 【详解】设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，DA,DC,DD所在直线分别为x,y,z轴， 建立空间直角坐标系， 则M(2,0,1),C(0,2,0),N(2,2,1),D(0,0,2),CM=(2,-2,1),DN=(2,2,-1), CM-DN1 1 设CM和D,N所成角为0，cos0= CW2N3×3)即CM和Dw所成角的余弦值为 9 14.若直线1与圆C:(x+1)+y2=1,圆C,:x2+y2-2x-3=0都相切，切点分别为A、B, 则AB=」 【答案】√ 【详解】圆C半径为1，圆心为(-1,0)，圆C2半径为2，圆心为(1,0)，画图如下： 由题意得：|AC上1，|BC2=2, 因为∠BMC,=∠AMC,∠MBC,=∠MAC=90,所以△AMC-aBMC,且相似比为：BC2 IACI1 所以MC=MC2-CC2=2MC-CC2,则MC=CC2=2,MA=V22-1=√3，MB=V42-22=2√3， 所以AB=MBl-MA=V5 四、解答题：本题共5小题，共7分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.(13分)己知圆C方程为⊙C:x2+y2-4x-6y-3=0, (1)写出圆C的圆心和半径； (2)求直线y=2x+4被圆截的弦长 解：(1)因为圆C方程为⊙C:x2+y2-4x-6y-3=0,由配方法可得：圆C的方程可转化为(x-2)2+y-3)2=16, 圆心为(23)，半径为4： (2)直线y=2x+4可化为2x-y+4=0,所以圆心(2,3)到直线2x-y+4=0的距离d= 2×2-3+4-5 V2+(-102 所以弦长为2r2-（5=2W16-5=2i. 16.(15分)如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC,PA⊥平面ABCD,且PA=AB=1, 点E是PD的中点， (I)求证：直线PB/1平面AEC: (②)求直线PB到平面AEC的距离： (1)证明：因AB⊥AC,PA⊥平面ABCD,即AB,AC,AP两两垂直，故可建立如图所 示的空间直角坐标系，设AC=a,因为PA=AB=1,则 A(0,0,0),B(0,1,0),C(a,0,0),D(a,1,0),P(0,0,1)，又因为E是PD的中点，所以 B号号为，所以历=0L-0c=aa0正=（号号为：设面ABC的法向 i·AC==0 量为i=(x,y,z),则有 n正=-+2=0'所以n=(01,)是平面4BC的- 222 个法向量，又因为PB.=1-1=0,所以PB⊥n,因为PB在平面AEC,所以直线PB/ B 平面AEC. (2)解：由(1)得直线PB/平面AEC且平面AEC的一个法向量为n=(0,1,1), 所以直线PB到平面AEC的距离为点B到平面AEC的距离， 又因为BC=(a,-L0),所以直线PB到平面ABC的距离为d=1n~BC-1-V2 nv2 2 17.(15分)新冠肺炎疫情期间，某市为了了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从市居民中随机抽 取若干居民进行评分（满分为100分），根据调查数据制成如下频率分布直方图，已知评分在[70,90]的 居民有2200人. 频率 0.035 组距 (1)求频率分布直方图中α的值及所调查的总人数： (②)从频率分布直方图中，估计本次评测分数的众数和平均数（精确 到0.1)： 0.020 0.014 (3)设该市居民为50万人，估计全市居民对当地防疫工作评分在85 分以上的人数， 0.004 0.002 解：(1)有频率分布直方图知(0.002+0.004+0.014+0.020+0.035+a四×10=1 0'405060708090100分数 即10×(0.075+d=1,解得a=0.025,设总共调查了n人，则2200=(0.020+0.035)×10， n 解得n=4000,即调查的总人数为4000人： 2)最高小矩形底边中点横坐标即为众数，可得众数为80+0=85.0，由频率分布直方图知各段的频率分 2 别为：0.02、0.04、0.14、0.20、0.35、0.25，所以设平均数为x, 则x=45×0.02+55×0.04+65x×0.14+75×0.2+85×0.35+95×0.25=80.7 3)油频率分布直方图知评分在85分以上的频率为035+0.25=0.425 2 所以估计该市居民评分在85分以上的人数为：500000×0.425=212500 18.(17分)已知圆C:(+1)2+(0y+2)=9,直线1：(2+1)x+(什1)y71-4=0 (1)求证：直线1恒过定点Q: (2)当圆心C到直线1的距离取得最大值时，求m的值： (3)当0时，P为1上一动点，过P作圆C的两条切线，切点分别为A,B.求四边形PACB面积的最 小值. 解：(1)证明：由(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0得m(2x+y-7)+(x+y-4)=0, 由+--8形子所以直旋恒过定五08D: (2)由(1)知，当11QC时，圆心C到直线的距离取得最大值，易知圆心为 C(-1-2).因为kc=岩所以=专即-=青解得m=月 (3)当m=0时，直线的方程为x+y-4=0,故可设P(a,4-a), 圆的半径r=3,SPACB=2S△Pac=2×PA·AC=3PA=31PC-9,圆心到直线的距离d=上24=石， 2 所以 PC≥-号所以5e≥3层-g=V6瓦，即四边形pAC8面积的最小值为号V6瓦 19.（17分)已知点A(0,9),B(4,5),圆C是过点A和点B的面积最小的圆. (1)求圆C的标准方程； (2)若M(x,y)为圆C上任意一点， (1)求√x2+y2+4x-6叶13的最大值和最小值； ()求y-3的最大值和最小值 x+2 (ii)求y一x的最大值和最小值， 解：(1)设圆心C到直线AB的距离d≥0，半径r,AB|= (4-0)2+(5-9)2=4V2,则圆的几何性质可得，r= +正=V⑧+正≥2V厄，当且仅当=0，即圆心c是线段AB的中点时，半径的取得最小值，此时圆C的面积 最小.所以r=2√2，C(2,7),即圆C的标准方程为(x-2)2+0y-7)2=8. (2)(i)因为Vx2+y+4x-6y+13=√(x+2)2+0y-3)2表示圆上的点M与已知的点Q(-2,3)之间的距离. 圆C:(x-2)2+y-7)2=8,如图所示，连接QC交圆C于AB两点，当M与A重合时MQI取得最小值， 即lQCl-r= (2+2)2+(7-3)2-2W2=22,与B重合时1MQ1取得最大值即IQC1+r= M 6W2,故最大值为6V2,最小值为2V2: (易知器=kQ:由图形知当MQ与圆C相切时取得最值， 如图所示. 可设lw0:y=k(x+2)+3,则C到其距离为-=r=2V2, √k2+1 VA 解得k=2±√，故最大值为2+√3，最小值为2-√3 (iii)设y-x=z,如图所示，z即过点M的直线y-x=z的截距， 如图所示，当该直线与圆相切时截距取得最值， y=x+z 圆心C到该直线的距离为5-4=r=22,所以z=1或9，故最大值为9，最小值为1，2026年秋季学期高二年级数学期中考试模拟卷 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答 题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：必修第一册、第二册占30%，选择性必修第一册第一章、第二章占70%」 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1.集合A={x-1≤x≤2，B={xx<1},则AU(CB)=() A.{xx>1} B.{xx≥一1} C.{x1<x≤2} D.{1≤x≤2} 2.已知z·(2+3)=-4+7i,其中i为虚数单位，则复数z在复平面内所对应的点的坐标是（) A.(（1,1) B.(1,2) C.(2,1) D.(2,2) 3.已知四面体ABCD,所有棱长均为2，点E,F分别为棱AB,AD的中点， 则cF.CE=() 3 B.2 A.1 C.2 D. 2 4已知0+n0+1,则m0+)) 1 A. B.3 C. 2-3 D.5 3 5.已知经过点A(1,2,4)的平面的法向量为i=(1,-1,1),则点B(-2,3,2)到平面“的距离为( ) A.2 B.3 C.3W2 D.2W3 6.直线x+y+m=0(m>0)与圆x2+y2=3相交所得的弦长为m,则m=() A.1 B.√2 C.2 D.3 7著名数学家华罗庚曾说过：数形结合百般好，割裂分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化 为几何问题加以解决，如：√(x-a)}'+(y-b可以转化为点(：y)到点(a,b)的距离，则Vx2+1+√-4x+8 的最小值为（). A.3 B.2W2+1 C.23 D.√3 8.已知直线y=x-m与曲线y=√2x-x2恰有两个公共点，则实数m的取值范围为（) A.[0,2-1) B.(1-V2,0] C.(1-2,1) D.(-1,0] 第1页（共4页) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知函数f()=√1+cosx+√1-cosx,则下列结论正确的有() A.π为函数f(x)的一个周期 B.函数f()的图象关于直线x=匹对称 C.函数f(x)在 0,上为减函数 D.函数fw)的值域为「V2,2 10.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的有() A.两条不重合直线1,1的方向向量分别是a=(2,3,-1,b=(-2,-3,1),则1∥1 B.直线1的方向向量a=1,-1,2),平面a的法向量是u=(6,4,-1),则11a C.两个不同的平面a,B的法向量分别是1=(2,2，-1)v=（-3,4,2),则a上P D.直线l的方向向量a=（1,3,0),平面x的法向量是u=（-6,2,0),则1∥a或1ca 11.己知点P是圆C:(x-1)}+(y-3)=9上的动点，点(3,4)，0为坐标原点，则下列结论正确的有() A.过点Q的直线被圆C截得的最短弦长为4 B.OP的最大值为7 C.10-3V10≤0C.Op≤10+310 D.对任意实数t,OC-tOQ的最小值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.台风在危害人类的同时，也在保护人类.台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水荒，另外还 使世界各地冷热保持相对均衡甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星 准确预报台风的概率分别为0.8、0.7、0.9，各卫星间相互独立，则在同一时刻至少有两颗预报准确的 概率为 D 13.在正方体ABCD-ABC,D,中，M,N分别为棱AA,BB,的中点，则 CM和D,N所成角的余弦值为 14.若直线1与圆C,:(x+1+y2=1,圆C,:x2+y2-2x-3=0都相切， 切点分别为A、B,则AB= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.（13分)已知圆C方程为⊙C:x2+y2-4x-6y-3=0, (1)写出圆C的圆心和半径： (2)求直线y=2x+4被圆截的弦长， 第2页（共4页) 16.（15分)如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC,PAL平面ABCD,且PA=AB=1, 点E是PD的中点， (I)求证：直线PB/1平面AEC: (2)求直线PB到平面AEC的距离： 17.(15分)新冠肺炎疫情期间，某市为了了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从市居民中随机抽 取若干居民进行评分（满分为100分），根据调查数据制成如下频率分布直方图，已知评分在[70,90]的 居民有2200人 频率 0.035 [组距 (I)求频率分布直方图中α的值及所调查的总人数： (2)从频率分布直方图中，估计本次评测分数的众数和平均数（精确 到0.1)： 0.020 0.014 (3)设该市居民为50万人，估计全市居民对当地防疫工作评分在85 分以上的人数： 8.882 0.004 0405060708090100分数 第3页（共4页) 18（17分)己知圆C:(+1)2+G+2)2=9,直线1：(2t1)x+(+1)y74=0 (1)求证：直线1恒过定点Q: (2)当圆心C到直线1的距离取得最大值时，求的值： (3)当0时，P为1上一动点，过P作圆C的两条切线，切点分别为A,B.求四边形PACB面积的最 小值. 19.（17分)已知点A(0,9),B(4,5),圆C是过点A和点B的面积最小的圆. (1)求圆C的标准方程： (2)若M(x,y)为圆C上任意一点， (i)求√x2+y2+4x-6叶13的最大值和最小值， ()求y=3的最大值和最小值； x+2 (i)求y-x的最大值和最小值. 第4页（共4页)2026年秋季学期高二年级数学期中考试模拟卷 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答 案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区 域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：必修第一册、第二册占30%，选择性必修第一册第一章、第二章占70%. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的， 1集合A={x-1≤x≤2头，B={xx<1},则AU(CB)=() A.{xx>1} B.{xx≥-1} C.{x1<x≤2} D.{x1≤x≤2} 2.己知z·(2+3)=-4+7i,其中i为虚数单位，则复数z在复平面内所对应的点的坐标是() A.(1,1) B.(1,2) C.(2,1) D.(2,2) 3.已知四面体ABCD,所有棱长均为2，点E,F分别为棱AB,AD的中点， 则CF.CE=() A.1 B. C.2 D. 5-2 A.2 1 B. 3 C. D. 3 2-3 2 5.已知经过点A(1,2,4)的平面a的法向量为i=(1,-1,1),则点B(-2,3,2)到平面a的距离为( A.2 B.3 C.3W2 D.23 6.直线x+y+m=0(m>0)与圆x2+y2=3相交所得的弦长为m,则m=() A.1 B.2 C.2 D.3 7.著名数学家华罗庚曾说过：数形结合百般好，割裂分家万事休.事实上，有很多代数问题可以转化为几 何问题加以解决，如：V(x-a)+(y-b}可以转化为点(x,)到点(a,b)的距离，则V2+1+√2-4x+8的最小 值为（). A.3 B.2√2+1 C.2W3 D.√3 8.已知直线y=x-与曲线y=√2x-x2恰有两个公共点，则实数m的取值范围为() A.[0,2-1) B.(1-V2,0] C.(1-V2,1) D.-1,0] 第1页（共4页） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知函数f(x)=V1+cosx+V1-cosx,则下列结论正确的有（) A.π为函数f(x)的一个周期 B.函数f(田的图象关于直线x=对称 c.函数f在0引 上为减函数 D.函数fx)的值域为√2,2 10.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的有（) A.两条不重合直线4,4的方向向量分别是a=(2,3,-1),i=（2,-3,1),则4∥1 B.直线1的方向向量a=(1,-1,2),平面a的法向量是u=(6,4,-1),则11o C.两个不同的平面，B的法向量分别是u=(2,2,-1,v=（3,4,2),则a⊥B D.直线1的方向向量a=1,3,0),平面a的法向量是1=(6,2,0，则1∥a或1ca 11.已知点P是圆C:(x-1)2+(y-3)2=9上的动点，点Q(3,4),O为坐标原点，则下列结论正确的有() A.过点Q的直线被圆C截得的最短弦长为4 B.OP的最大值为7 C.10-3V10≤0C.0p≤10+3V10 D.对任意实数t,OC-10四的最小值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.台风在危害人类的同时，也在保护人类.台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水荒，另外还使世 界各地冷热保持相对均衡甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预 报台风的概率分别为0.8、0.7、0.9，各卫星间相互独立，则在同一时刻至少有两颗预报准确的概率为_ 13.在正方体ABCD-AB,C,D中，M,N分别为棱AA1,BB,的中点，则 2外 D CM和D,N所成角的余弦值为 14.若直线1与圆C:(x+1+y2=1,圆C2:x2+y2-2x-3=0都相切， 切点分别为A、B,则AB= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15.(13分)已知圆C方程为⊙C:x2+y2-4x-6y-3=0, (1)写出圆C的圆心和半径： (2)求直线y=2x+4被圆截的弦长. 第2页（共4页） 16.（15分)如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC,PA⊥平面ABCD,且PA=AB=1, 点E是PD的中点， D (1)求证：直线PB/平面AEC; (2)求直线PB到平面AEC的距离； 17.(15分)新冠肺炎疫情期间，某市为了了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从市居民中随机抽取若 千居民进行评分（满分为100分），根据调查数据制成如下频率分布直方图，已知评分在[70,90]的居民有 频率 2200人 0.035组距 (I)求频率分布直方图中α的值及所调查的总人数： (②)从频率分布直方图中，估计本次评测分数的众数和平均数（精确 0.020 到0.1)： 0.014 (3)设该市居民为50万人，估计全市居民对当地防疫工作评分在85 0.004 分以上的人数， 0.002x- 0Y405060708090100分数 第3页（共4页) 18.（17分)已知圆C:(+1)2+(+2)2=9,直线1：(2什1)x+(什1)y740 (1)求证：直线1恒过定点Q: (2)当圆心C到直线1的距离取得最大值时，求的值； (3)当0时，P为1上一动点，过P作圆C的两条切线，切点分别为A,B.求四边形PACB面积的最 小值. 19.(17分)已知点A(0,9),B(4,5),圆C是过点A和点B的面积最小的圆. (1)求圆C的标准方程： (2)若(x,y)为圆C上任意一点， (i)求√x2+y2+4x-6+13的最大值和最小值； ()求y3的最大值和最小值： x+2 (i)求y-x的最大值和最小值. 第4页（共4页) 2026年秋季学期高二年级数学期中考试模拟卷 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：必修第一册、第二册占30%，选择性必修第一册第一章、第二章占70%． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.集合，则A∪( ∁RB )＝(　　) A．{ x| x > 1 } B．{ x| x ≥－1 } C．{ x| 1< x ≤ 2 } D．{ x| 1 ≤ x ≤ 2 } 2.已知，其中为虚数单位，则复数在复平面内所对应的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 3.已知四面体，所有棱长均为2，点分别为棱的中点， 则（    ） A．1 B． C．2 D． 4.已知，则（     ） A． B． C． D． 5.已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 6.直线与圆相交所得的弦长为，则（ ） A．1 B． C．2 D．3 7.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为点到点的距离，则的最小值为（     ）． A．3 B． C． D． 8.已知直线与曲线恰有两个公共点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 第1页（共4页） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知函数，则下列结论正确的有（     ） A．为函数的一个周期 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在上为减函数 D．函数的值域为 10.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的有（    ） A．两条不重合直线的方向向量分别是，则 B．直线的方向向量，平面的法向量是，则 C．两个不同的平面的法向量分别是，则 D．直线的方向向量，平面的法向量是，则或 11.已知点是圆上的动点，点，为坐标原点，则下列结论正确的有（     ） A．过点的直线被圆截得的最短弦长为4 B．的最大值为7 C． D．对任意实数的最小值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.台风在危害人类的同时，也在保护人类.台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡.甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8、0.7、0.9，各卫星间相互独立，则在同一时刻至少有两颗预报准确的概率为 13.在正方体中，分别为棱的中点，则 和所成角的余弦值为 14. 若直线l与圆，圆都相切， 切点分别为A、B，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15.（13分）已知圆方程为：， (1)写出圆的圆心和半径； (2)求直线被圆截的弦长. 第2页（共4页） 16.（15分）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且， 点是的中点， (1)求证：直线平面； (2)求直线到平面的距离； 17.（15分）新冠肺炎疫情期间，某市为了了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从市居民中随机抽取若干居民进行评分（满分为100分），根据调查数据制成如下频率分布直方图，已知评分在的居民有2200人. (1)求频率分布直方图中a的值及所调查的总人数； (2)从频率分布直方图中，估计本次评测分数的众数和平均数（精确 到0.1）； (3)设该市居民为50万人，估计全市居民对当地防疫工作评分在85 分以上的人数. 第3页（共4页） 18.（17分）已知圆，直线 (1)求证：直线恒过定点； (2)当圆心到直线的距离取得最大值时，求的值； (3)当时，为上一动点，过作圆的两条切线，切点分别为．求四边形面积的最 小值． 19.（17分）已知点圆C是过点的面积最小的圆． (1)求圆C的标准方程； (2)若为圆C上任意一点， （i）求的最大值和最小值; （ii）求的最大值和最小值; （iii）求的最大值和最小值． 第4页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季学期高二年级数学期中考试模拟卷 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：必修第一册、第二册占30%，选择性必修第一册第一章、第二章占70%． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.集合，则A∪( ∁RB )＝(　　) A．{ x| x > 1 } B．{ x| x ≥－1 } C．{ x| 1< x ≤ 2 } D．{ x| 1 ≤ x ≤ 2 } 【答案】B 【解析】由A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}可知∁RB＝{x|x≥1}，∴A∪(∁RB)＝{x|x≥－1}．故选B 2.已知，其中为虚数单位，则复数在复平面内所对应的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为复数，所以，则， 所以复数在复平面内所对应的点的坐标是，故选：. 3.已知四面体，所有棱长均为2，点分别为棱的中点， 则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】因为点分别为棱的中点，且四面体所有棱长均为2，则，所以 .故选：D 4.已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得：，则：，， 从而有：，即.故选：B. 5.已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，则，又平面的法向量为， 则点到平面的距离为.故选D 6.直线与圆相交所得的弦长为，则（ ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径，则圆心到直线 的距离为，因此有 ，代入得，化简得 ， 即 ，解得，结合的条件，得.故选C 7.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为点到点的距离，则的最小值为（     ）． A．3 B． C． D． 【答案】D 【详解】,可以看作点到点的距离之和，作点关于轴的对称点，显然当三点共线时，取到最小值，最小值为间的距离. 故选：D. 8.已知直线与曲线恰有两个公共点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将两边平方整理得，即曲线表示以为圆心、半径等于1的半圆，如图所示： 当过点时，，满足与有两个不同的公共点； 当直线和半圆相切时，由，得或，由图知，此时纵截距，即，所以，故直线与曲线有两个不同的公共点时，实数的取值范围为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知函数，则下列结论正确的有（     ） A．为函数的一个周期 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在上为减函数 D．函数的值域为 【答案】ABD 【详解】因为，所以为函数的一个周期，故A正确；因为，所以函数的图象关于直线对称，故B正确；因为，因为，所以，故，由于，故在上为增函数，故C错误； 由C的分析可知在上为增函数，所以，故D正确，故选：ABD． 10.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的有（    ） A．两条不重合直线的方向向量分别是，则 B．直线的方向向量，平面的法向量是，则 C．两个不同的平面的法向量分别是，则 D．直线的方向向量，平面的法向量是，则或 【答案】ACD 【详解】选项A：因为，所以，所以，故A正确；选项B：因为，所以， 所以或，故B错误；选项C：因为，所以，所以，故C正确； 选项D：因为，所以，所以或，故D正确. 故选：ACD 11.已知点是圆上的动点，点，为坐标原点，则下列结论正确的有（     ） A．过点的直线被圆截得的最短弦长为4 B．的最大值为7 C． D．对任意实数的最小值为2 【答案】AC 【详解】由圆的方程，可得圆心，半径．对于A，因为，可得所以点在圆内，且，当过点的直线与直线垂直时，被圆截得的弦最短，则被截得的最短弦长为，所以A正确．对于B，因为，可得点在圆外，且，由圆的性质，可得的最大值为，所以B错误；对于C，方法一：如图，作向量在上的投影向量，则，因为，即，所以，所以C正确． 方法二：设，则，因为，可得．设，则直线与圆有公共点，则满足，解得，所以C正确． 对于D，方法一：对任意实数，向量与共线，设，则点在直线上，， 则的最小值为圆心到直线的距离，因为点，所以直线的方程为，所以圆心到直线的距离为，所以D错误． 方法二：因为，可得，所以，当时，，所以D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.台风在危害人类的同时，也在保护人类.台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡.甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8、0.7、0.9，各卫星间相互独立，则在同一时刻至少有两颗预报准确的概率为 【答案】 【详解】设“甲、乙、丙预报准确”分别为事件，不准确记为，则，，至少两颗预报准确的事件有，，，，这四个事件两两互斥.所以至少两颗预报准确的概率为 ． 13.在正方体中，分别为棱的中点，则 和所成角的余弦值为 【答案】 【详解】设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则, 设和所成角为，，即和所成角的余弦值为. 14.若直线l与圆，圆都相切，切点分别为A、B， 则__________. 【答案】 【详解】圆半径为1，圆心为，圆半径为2，圆心为，画图如下： 由题意得：，， 因为，，所以，且相似比为：， 所以，则，，， 所以 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15.（13分）已知圆方程为：， (1)写出圆的圆心和半径； (2)求直线被圆截的弦长. 解：（1）因为圆方程为：，由配方法可得：圆的方程可转化为， 圆心为，半径为. （2）直线可化为，所以圆心到直线的距离， 所以弦长为. 16.（15分）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点， (1)求证：直线平面； (2)求直线到平面的距离； (1)证明：因平面，即两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系，设，因为，则，又因为是的中点，所以，所以，设平面的法向量为，则有，所以是平面的一个法向量，又因为，所以，因为平面，所以直线平面． （2）解：由（1）得直线平面且平面的一个法向量为， 所以直线到平面的距离为点到平面的距离， 又因为，所以直线到平面的距离为． 17.（15分）新冠肺炎疫情期间，某市为了了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从市居民中随机抽取若干居民进行评分（满分为100分），根据调查数据制成如下频率分布直方图，已知评分在的居民有2200人. (1)求频率分布直方图中a的值及所调查的总人数； (2)从频率分布直方图中，估计本次评测分数的众数和平均数（精确 到0.1）； (3)设该市居民为50万人，估计全市居民对当地防疫工作评分在85 分以上的人数. 解：(1)有频率分布直方图知 即，解得，设总共调查了人，则， 解得，即调查的总人数为4000人； (2)最高小矩形底边中点横坐标即为众数，可得众数为，由频率分布直方图知各段的频率分别为：0.02､0.04､0.14､0.20､0.35､0.25，所以设平均数为， 则 (3)由频率分布直方图知评分在85分以上的频率为 所以估计该市居民评分在85分以上的人数为: 18.（17分）已知圆，直线 (1)求证：直线恒过定点； (2)当圆心到直线的距离取得最大值时，求的值； (3)当时，为上一动点，过作圆的两条切线，切点分别为．求四边形面积的最 小值． 解：（1）证明：由得， 由得，所以直线恒过定点； （2） 由（1）知，当时，圆心到直线的距离取得最大值，易知圆心为 ，因为，所以    即，解得. （3）当时，直线的方程为，故可设， 圆的半径，，圆心到直线的距离，所以，所以，即四边形面积的最小值为. 19.（17分）已知点圆C是过点的面积最小的圆． (1)求圆C的标准方程； (2)若为圆C上任意一点， （i）求的最大值和最小值; （ii）求的最大值和最小值; （iii）求的最大值和最小值． 解：（1）设圆心到直线的距离，半径，，则圆的几何性质可得，，当且仅当，即圆心是线段的中点时，半径的取得最小值，此时圆C的面积最小.所以，，即圆C的标准方程为． （2）（i）因为表示圆上的点M与已知的点之间的距离． 圆C：，如图所示，连接QC交圆C于AB两点，当M与A重合时取得最小值， 即，与B重合时取得最大值即，故最大值为，最小值为； （ii）易知，由图形知当与圆C相切时取得最值， 如图所示． 可设，则C到其距离为， 解得，故最大值为，最小值为 （iii）设，如图所示，即过点M的直线的截距， 如图所示，当该直线与圆相切时截距取得最值． 圆心C到该直线的距离为，所以或9，故最大值为9，最小值为1． 学科网（北京）股份有限公司 $