上海市奉贤区汇贤中学2026-2027学年第一学期 九年级数学期中练习卷

2026学年第一学期九年级数学学科期中练习卷 --答案 完卷时间：100分钟　　总分：150分 依据官方参考答案核对优化；保留完整题目、解题步骤与方法点拨。 一、选择题（本大题共5题，每题4分，满分20分） 1. 下列函数中，一定是二次函数的是（ ） A. 　　　B. C. 　　　D. 【答案】D 【解析】二次函数的二次项系数必须非零。对任意实数，，故D一定是二次函数。B、C在时不是二次函数，A至多是一次函数。 2. 如果两个相似三角形的面积比为，那么它们的对应角平分线的比为（ ） A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 【答案】B 【解析】相似三角形面积比等于相似比的平方，故相似比为；对应角平分线之比等于相似比。 3. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将缩小得到，点、的对应点分别为、。若，则点的坐标为（ ） A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 【答案】C 【解析】异侧位似且缩小为原来的一半，坐标同时乘，故。 4. 函数（）和（）在同一直角坐标系中的图像可能是（ ） 【答案】A 【解析】抛物线必须经过原点，故B排除。A中抛物线开口向下、对称轴在轴左侧，故、，于是，反比例函数位于第一、三象限，符合。C的抛物线同样要求，却画在第二、四象限；D中、，应有，也不符合。 5. 如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，则图中相似而不全等的三角形的对数是（ ） A. 4　　　B. 3　　　C. 2　　　D. 1 【答案】B 【解析】由两等腰直角三角形，。设，则，。 于是的三个角为；的三个角为；的三个角也为。这三个三角形两两相似，共3对，且依原图位置大小不同，互不全等。 另外与虽然相似，但题设已给出全等，不计入；、没有形成额外可由已知保证的相似对。 【点睛】数三角形对数前，先按角的组合归组；同一组有3个三角形时，产生3对，而不是2对。题目要求“相似而不全等”，须剔除题设已知的全等对。 二、填空题（本大题共10题，每题4分，满分40分） 6. 已知，则________。 【答案】 【解析】。 7. 五线谱是一种记谱法，通过五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律。如图，同一条直线上的三个点、、都在平行线上。若，则的长是________。 【答案】 【解析】图中跨一个等距间隔，跨三个等距间隔。由平行线分线段成比例，，所以。 8. 如图，与相交于点，，且，，则的长为________。 【答案】 【解析】由对顶角相等及夹角两边成比例，。对应关系为、，所以，得。 9. 如果抛物线在对称轴的左侧部分下降，那么的取值范围是________。 【答案】 【解析】在对称轴左侧，随增大而下降的抛物线开口向上，故。 10. 已知抛物线经过和两点，将该抛物线向左平移2个单位，那么平移后的抛物线的对称轴为直线________。 【答案】 【解析】同高两点关于对称轴对称，原对称轴为；向左平移2个单位后为。 11. 在“国旗在心中”活动中，小星近距离触摸五星红旗，聆听红旗的故事。如图，在国旗上的五角星中，、两点都是线段的黄金分割点。若，则的长为________。（结果保留根号） 【答案】 【解析】由图中点的顺序，为较长段。黄金分割中，较长段与全长之比为，故。 12. 如图是杠杆示意图，支点为。动力的作用线与动力臂垂直，阻力的作用线与阻力臂垂直。由动力臂、动力的作用线与杠杆组成，由阻力臂、阻力的作用线的反向延长线与杠杆组成。若，且杠杆平衡时动力，根据杠杆平衡条件，则阻力________N。 【答案】9 【解析】两个直角三角形有一组对顶角相等，故，。所以。 13. 某次踢球，足球的飞行高度（米）与水平距离（米）之间满足，则足球从离地到落地的水平距离为________米。 【答案】8 【解析】离地、落地时，即，得或，水平距离为8米。 14. 如图，在中，为边上的中点，点为边上一点，交于点。当（）时，则________。 【答案】 【解析】由为中点，与的面积比为（分别从共同底边看高）。又与同高，面积比为。因共线，与的面积比等于，与的面积比也等于，故。而，且。所以。 【点睛】遇到中点与交叉线段，可用面积比把同高三角形串联起来；每次比例都要明确共同底边或共同高。 15. 在等腰三角形中，，是边上的高。将线段绕点逆时针旋转，点旋转到点，与边交于点，且。如果与相似，那么的值为________。 【答案】 【解析】旋转保持长度，。由图形位置及，交点在之间，故。按题目对应顺序，由得，即。在直角三角形中，，所以。 【点睛】先把旋转得到的等长关系保留下来，再按相似的对应顺序写比例；不要把EF与DE混淆。 三、解答题（本大题共8题，满分90分） 16. （本题满分10分） 已知是的三边长，且，，求周长。 【答案】。 【解析】设（），则。 由，得，解得。 因此，所以的周长为。 17. （本题满分10分） 如图，在中，点分别在边上，，且。 （1）如果，求的长； （2）如果的面积为8，求四边形的面积。 【答案】（1）4；（2）10。 【解析】（1）由，得，，故。 （2）相似三角形面积比为相似比的平方，，所以，四边形面积为。 18. （本题满分10分） 已知二次函数的图像与轴只有一个交点。 （1）求的值； （2）把这个二次函数的图像上、下平移，使其顶点恰好落在正比例函数的图像上，求此时二次函数的解析式。 【答案】（1）；（2）。 【解析】（1）由二次函数知。与轴只有一个交点，故。排除，得。 （2）原函数为，顶点为。上下平移不改变顶点横坐标，新顶点在上，故为。所以新解析式为。 19. （本题满分10分） 2026年，MXGP世界摩托车越野锦标赛再次登陆上海奉贤，这已经是奉贤第四次举办这一顶级赛事。官方推出了一款“疾风”吉祥物（跨摩托车造型），某官方特许零售店销售该款“疾风”套装，已知其进价为每套60元。经市场调研发现，该款套装的日销售量（套）与销售单价（元）满足一次函数关系：当销售单价定为100元时，平均每天可售出80套；当销售单价定为120元时，平均每天可售出60套。 （1）请求出该款“疾风”套装的日销售量（套）与销售单价（元）之间的函数表达式； （2）若该店销售该款套装每天的总利润为（元），请写出与的函数表达式，并求出当销售单价定为多少元时，该店每天能获得最大总利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）；（2），；单价120元时，最大利润为3600元。 【解析】（1）设（）。由两组单价与销量，得，。相减得，解得，故。 （2）每日总利润等于每套利润乘日销量，故 。 按官方采用的不亏本、销量非负的销售范围，且，即。 配方得。因为平方项不小于0，所以；当时取等号，且120在上述范围内。 因此销售单价定为120元时，每日总利润最大，为3600元；此时日销量为60套。 【点睛】利润模型先写“单件利润×销售量”，再配方求最大值。求出顶点后，要检查单价是否在实际销售范围内。 20. （本题满分10分） 图1、图2、图3都是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫格点。点均是格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图。（保留作图痕迹） （1）在图1中，画出以点为位似中心，且与相似比为的位似三角形； （2）在图2的上，找到一点，使； （3）在图3中，画出的高线。 【答案】作图见下图；三个小问的目标点与官方答案一致。 【解析】为说明格点位置，以为，网格水平向右、竖直向上为正方向，则。坐标只用于指明已有格点，不用刻度测量。 （1）连接格点与，与交于；连接格点与，与交于；连接。 由等距网格与平行线分线段成比例，是的中点；由矩形对角线互相平分，是的中点。故，，即为所求。 （2）连接格点与，与交于；连接。到直线的距离相等，结合网格中的平行线可得。与同高，故面积相等。 （3）连接格点与，与交于。对应的横、纵方向变化为4、5，所作直线对应的横、纵方向变化为5、4，且方向相反；两直角三角形的锐角互余，故所作直线垂直于。线段即为所求高线。 【点睛】利用格点和线段交点确定目标点，保留辅助线。 21. （本题满分12分） 如图，线段相交于点，点是线段的中点，联结，分别延长交于点。已知，且。 （1）求证：； （2）如果平分，求证：。 【答案】（1）（2）证明见解析。 【解析】（1）由，且，得。 所以，。 在直角三角形中，为斜边中点，故。因此。 （2）由平分，得。由（1），，所以。 又由直角三角形斜边中点性质，，故。 因为共线，共线，所以，。等角的补角相等，故。 于是，得到。 再由，可得，从而。 【点睛】先用斜边中点换线段，再用等角的补角证明相似。 22. （本题满分13分） 在平面直角坐标系中，如果抛物线与直线相交于点和点，那么我们把叫做抛物线在直线上的“水平跨度”。 （1）求抛物线在直线上的“水平跨度”； （2）已知抛物线，顶点为点。当取不同值时，抛物线的顶点始终落在同一条直线上。 ①请用含的式子表达抛物线的顶点坐标，并求直线的解析式； ②试探究抛物线在直线上的“水平跨度”是否会随值的变化而变化，并说明理由； ③将直线向上平移3个单位得到直线，设直线与抛物线交于点，求的面积。 【答案】（1）1；（2）①，；②不变，恒为2；③。 【解析】（1）联立，得，所以两交点横坐标为0和1，水平跨度为。 （2）①配方得，故顶点为。代入，得，所以，直线为。 ②联立抛物线与，得，即。两交点横坐标为和，故水平跨度为，不随变化。 另一种核验：联立所得方程为。由韦达定理，，，因此，仍得水平跨度为2。 ③直线向上平移3个单位，得。联立得，即。两交点横坐标为和，所以水平跨度为4。 过顶点作竖线，与交于。由得，且在线段上。以为共同底边，与的高之和等于两交点的水平跨度4。 故。 【点睛】水平跨度只需交点横坐标，不必先求纵坐标。含参数时，可将x−m作为整体；只求两根之差的绝对值，也可用韦达定理。面积计算选竖直线段作底，能直接利用水平跨度。 23. （本题满分15分） 在中，，，。点是边上的一个动点，过作，为垂足，在线段上取，连接，作，交射线于点，交射线于点。 （1）如图1所示，求证：； （2）设，求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （3）当时，求线段的长。 【答案】（1）证明见解析；（2），；（3）或。 【解析】（1）由，得。又、，所以，，从而。 因共线，。又共线，，所以。 （2）在直角三角形中，。由，有。 因此，，所以，。 下面证明。设。由，得；由等腰三角形内角和，。故。 又，所以，。两底角相等，故。 于是。由，得。右端点对应、。 （3）由（1）相似，，所以。 当在线段内时，，故，解得。 当在延长线上时，，故，解得。两个值均满足上述范围。 综上，或。 【点睛】第三问中F在射线CB上，BF为2时有两种位置，必须分别处理。把相似比例先化成CF与x的关系，再代入两种CF，能减少重复运算。 第页 共页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期九年级数学学科期中练习卷 完卷时间：100分钟　　总分：150分 一、选择题（本大题共5题，每题4分，满分20分） 1. 下列函数中，一定是二次函数的是（ ） A. 　　　B. C. 　　　D. 2. 如果两个相似三角形的面积比为，那么它们的对应角平分线的比为（ ） A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 3. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将缩小得到，点、的对应点分别为、。若，则点的坐标为（ ） A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 4. 函数（）和（）在同一直角坐标系中的图像可能是（ ） 5. 如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，则图中相似而不全等的三角形的对数是（ ） A. 4　　　B. 3　　　C. 2　　　D. 1 二、填空题（本大题共10题，每题4分，满分40分） 6. 已知，则________。 7. 五线谱是一种记谱法，通过五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律。如图，同一条直线上的三个点、、都在平行线上。若，则的长是________。 8. 如图，与相交于点，，且，，则的长为________。 9. 如果抛物线在对称轴的左侧部分下降，那么的取值范围是________。 10. 已知抛物线经过和两点，将该抛物线向左平移2个单位，那么平移后的抛物线的对称轴为直线________。 11. 在“国旗在心中”活动中，小星近距离触摸五星红旗，聆听红旗的故事。如图，在国旗上的五角星中，、两点都是线段的黄金分割点。若，则的长为________。（结果保留根号） 12. 如图是杠杆示意图，支点为。动力的作用线与动力臂垂直，阻力的作用线与阻力臂垂直。由动力臂、动力的作用线与杠杆组成，由阻力臂、阻力的作用线的反向延长线与杠杆组成。若，且杠杆平衡时动力，根据杠杆平衡条件，则阻力________N。 13. 某次踢球，足球的飞行高度（米）与水平距离（米）之间满足，则足球从离地到落地的水平距离为________米。 14. 如图，在中，为边上的中点，点为边上一点，交于点。当（）时，则________。 15. 在等腰三角形中，，是边上的高。将线段绕点逆时针旋转，点旋转到点，与边交于点，且。如果与相似，那么的值为________。 三、解答题（本大题共8题，满分90分） 16. （本题满分10分） 已知是的三边长，且，，求周长。 17. （本题满分10分） 如图，在中，点分别在边上，，且。 （1）如果，求的长； （2）如果的面积为8，求四边形的面积。 18. （本题满分10分） 已知二次函数的图像与轴只有一个交点。 （1）求的值； （2）把这个二次函数的图像上、下平移，使其顶点恰好落在正比例函数的图像上，求此时二次函数的解析式。 19. （本题满分10分） 2026年，MXGP世界摩托车越野锦标赛再次登陆上海奉贤，这已经是奉贤第四次举办这一顶级赛事。官方推出了一款“疾风”吉祥物（跨摩托车造型），某官方特许零售店销售该款“疾风”套装，已知其进价为每套60元。经市场调研发现，该款套装的日销售量（套）与销售单价（元）满足一次函数关系：当销售单价定为100元时，平均每天可售出80套；当销售单价定为120元时，平均每天可售出60套。 （1）请求出该款“疾风”套装的日销售量（套）与销售单价（元）之间的函数表达式； （2）若该店销售该款套装每天的总利润为（元），请写出与的函数表达式，并求出当销售单价定为多少元时，该店每天能获得最大总利润？最大利润是多少？ 20. （本题满分10分） 图1、图2、图3都是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫格点。点均是格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图。（保留作图痕迹） （1）在图1中，画出以点为位似中心，且与相似比为的位似三角形； （2）在图2的上，找到一点，使； （3）在图3中，画出的高线。 21. （本题满分12分） 如图，线段相交于点，点是线段的中点，联结，分别延长交于点。已知，且。 （1）求证：； （2）如果平分，求证：。 22. （本题满分13分） 在平面直角坐标系中，如果抛物线与直线相交于点和点，那么我们把叫做抛物线在直线上的“水平跨度”。 （1）求抛物线在直线上的“水平跨度”； （2）已知抛物线，顶点为点。当取不同值时，抛物线的顶点始终落在同一条直线上。 ①请用含的式子表达抛物线的顶点坐标，并求直线的解析式； ②试探究抛物线在直线上的“水平跨度”是否会随值的变化而变化，并说明理由； ③将直线向上平移3个单位得到直线，设直线与抛物线交于点，求的面积。 23. （本题满分15分） 在中，，，。点是边上的一个动点，过作，为垂足，在线段上取，连接，作，交射线于点，交射线于点。 （1）如图1所示，求证：； （2）设，求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （3）当时，求线段的长。 第页 共页 学科网（北京）股份有限公司 $