精品解析：福建省漳州市龙文区漳州艺术实验学校2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

2025-2026学年度（上）高一数学第二次月考测试 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1. 与60角终边相同的角是（ ） A. 390 B. 420 C. 330 D. 480 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知全集，集合，集合，则（ ）． A. B. C. D. 4. 设，则“”是“”（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数的定义域是（ ）． A. B. C. 且 D. 且 6. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 7. 设，则（　　） A. B. C. D. 8. 若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于x的一元二次不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. 不等式的解集为 D. 11. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 始边与轴的正半轴重合的角的终边过点，则_________． 13. 函数（且）的图像恒过定点，则点的坐标为__________． 14. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是___________. 四、解答题 15. 计算： （1）； （2） 16. 已知集合，． （1）分别求，； （2）已知，若，求实数a的取值集合． 17. 已知， （1）判断f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明． （2）求f(x)在[2，6]上的最大值和最小值． 18. 如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求M点在的延长线上，N点在的延长线上，且对角线过C点.已知米，米.设米（单位：米） （1）要使矩形的面积大于32平方米，请问的长应在什么范围； （2）当的长度是多少米时，矩形的面积最小，并求出最小面积. 19. 已知函数（且）在上的最大值与最小值之和为，记. （1）求的值； （2）证明：； （3）求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度（上）高一数学第二次月考测试 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1. 与60角终边相同的角是（ ） A. 390 B. 420 C. 330 D. 480 【答案】B 【解析】 【分析】考察是否与60°相差360°的整倍数即可做出判断. 【详解】与60°角终边相同的角是与60°相差360°的整倍数的角，四个选项中只有420°符合要求， 故选:B. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用全称量词命题的否定是特称量词命题，写出结果即可. 【详解】命题“，”是全称量词命题，其否定是特称量词命题， 所以命题“，”的否定是：， 故选：D 3. 已知全集，集合，集合，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的定义以及补集的定义即可求解. 【详解】全集，集合，， 又集合，则. 故选：A. 4. 设，则“”是“”（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的判断求解. 【详解】因为推不出，而一定能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 5. 函数的定义域是（ ）． A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据具体函数定义域的求法列不等式，解不等式组即可. 【详解】由已知， 则，解得且， 即函数的定义域为且， 故选：D. 6. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义域即可判断选项A和选项B；化简函数的解析式，再结合其定义域即可判断选项C和选项D． 【详解】对于选项A，由，解得，所以的定义域为， 又，解得或，所以的定义域为， 即与的定义域不同，所以它们不是同一个函数，故A错误； 对于选项B，由的定义域为，而的定义域为， 即与的定义域不同，所以它们不是同一个函数，故B错误； 对于选项C，由， 所以与的对应关系不相同，即它们不是同一个函数，故C错误； 对于选项D，由，且定义域为， 又定义域为，所以与的定义域相同，对应关系也相同，即它们是同一个函数，故D正确． 故选：D． 7. 设，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】举例说明判断ABD；作差与0比较大小判断C. 【详解】对于ABD，取，则，， ，ABD错误； 对于C，，而，则， ，，因此，C正确. 故选：C 8. 若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，存在，使不等式有解，即，解不等式可求. 【详解】正实数，满足， . 当且仅当且，即，时取等号， 存在，使不等式有解， ，解可得或，即， 故选：C. 二、多选题 9. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据对数的运算性质判断. 【详解】选项A：，故选项A正确； 根据对数恒等式可知，选项B正确； 选项C：，故选项C错误； 根据换底公式可得：，故选项D正确， 故选：ABD． 10. 已知关于x的一元二次不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. 不等式的解集为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据不等式的解集判断对应二次函数的开口判断A，再根据是方程的根，利用韦达定理可得，从而可解BC选项中的不等式，再根据1不在解集得不等式判断D. 【详解】关于x的不等式的解集为或， 所以二次函数的开口方向向上，即，故选项A正确； 因为是方程的根，所以，解得， 所以也即，解得，故选项B正确； 不等式等价于，也即， 解得或，故选项C错误； 因为或，所以，故选项D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题考查了一元二次不等式的逆向思维，一元二次不等式的解法，理解二次函数、一元二次方程与不等式之间的关系是解题的关键. 11. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，由不等式性质判断；对B，利用“1”的代换结合基本不等式求解；对C，由得，由基本不等式将其转化为为变量的不等式求解；对D，由基本不等式求解. 【详解】对于A：因为，所以，又， 所以，即，A正确； 对于B：， 当且仅当时等号成立.B正确； 对于C：由可得，又， 所以，解得，当且仅当时取等号.C错误； 对于D：，当且仅当时取等号.D正确. 三、填空题 12. 始边与轴的正半轴重合的角的终边过点，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】由三角函数的定义即可求解. 【详解】依题意得，，，则有，从而. 故答案为： 13. 函数（且）的图像恒过定点，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数的性质，令，即可求解. 【详解】令，即，则， 所以定点为， 故答案为：． 14. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】结合的值域，可分析得到必为减函数，再根据分段函数整体的图象，数形结合，即得解 【详解】由题意，的值域为： 要使得：的值域为 必为减函数，因此 可作出函数图象如图，由图象可知解之得. 故答案为： 四、解答题 15. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数运算的知识化简即可得出答案； （2）根据指数运算的知识化简即可得出答案. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 16. 已知集合，． （1）分别求，； （2）已知，若，求实数a的取值集合． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用集合的交集与并集的计算规律计算即可； （2）先判断，然后因为，建立不等式求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 【小问2详解】 因为，所以 当，可知 所以实数a的取值集合为 17. 已知， （1）判断f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明． （2）求f(x)在[2，6]上的最大值和最小值． 【答案】（1）函数f(x)在(1，＋∞)上是减函数． 证明：任取x2>x1>1，则f(x1)－f(x2)＝， 因为x1－1>0，x2－1>0，x2－x1>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)． 所以f(x)在(1，＋∞)上是减函数． （2）f(x)min＝，f(x)max＝1. 【解析】 【分析】（1）根据解析式判断出函数为减函数，再根据减函数的定义加以证明即可； （2）根据（1）可知f(x)在[2，6]上是减函数，根据单调性可得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知f(x)在(1，＋∞)上是减函数，所以f(x)在[2，6]上是减函数， 所以f(x)max＝f（2）＝1，f(x)min＝f(6)＝， 所以f(x)min＝，f(x)max＝1. 【点睛】本题考查了用定义证明函数的单调性，考查了利用函数的单调性求函数的最值，属于基础题. 18. 如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求M点在的延长线上，N点在的延长线上，且对角线过C点.已知米，米.设米（单位：米） （1）要使矩形的面积大于32平方米，请问的长应在什么范围； （2）当的长度是多少米时，矩形的面积最小，并求出最小面积. 【答案】（1）； （2）米，最小为24平方米. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用平行线分推比例式建立面积的函数关系，再解不等式即可. （2）由（1）中函数，利用基本不等式求出最小值即可. 【小问1详解】 依题意，由，得， 而，，则， 因此矩形的面积， 由，得，而， 则有，解得或， 所以长的取值范围是. 【小问2详解】 由（1）知，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以当的长为4米时，矩形的面积最小，最小为24平方米. 19. 已知函数（且）在上的最大值与最小值之和为，记. （1）求的值； （2）证明：； （3）求的值. 【答案】（1）； （2）证明：由（1）知，； （3）. 【解析】 【分析】（1）分和两种情况讨论，根据指数函数的单调性列出关于的方程，解出即可得出实数的值； （2）由（1）得出，然后利用通分以及指数的运算律证明出； （3）利用（2）中的结论，结合倒序相加法可求出所求代数式的值. 【小问1详解】 当时，函数在上单调递减， 则函数的最大值为，最小值为， 由题意得，即，解得或，均不合乎题意； 当时，函数在上单调递增， 则函数的最小值为，最大值为， 由题意得，即，解得或，合乎题意. 因此，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，，…，， . 【点睛】本题考查利用指数函数的最值求参数，以及利用指数运算证明等式与求值，在涉及指数函数单调性相关的问题时，要注意对底数的取值范围进行分类讨论，考查分类讨论思想与计算能力，属于中等题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $