甘肃兰州市某校2026-2027学年高二上学期11月期中考试数学试卷

西北师大附中 2026一2027学年第一学期期中考试试题 高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求。 1.数列1，-号，分-华，子的一个通项公式a-() A()1 B(" c(-图 D-*图 2.已知直线l1:ax+y+1=0与l2:(a+1)x+ay-3=0,则“a=-2”是“l11l2”的() A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为() A.1 B.2 C.4 D.8 4.直线+？=1与x轴、y轴分别交于点A,B,以线段AB为直径的圆的方程为() A.x2+y2-4x-2y-3=0 B.x2+y2-4x-2y=0 C.x2+y2-4x-2y+3=0 D.x2+y2-2x-4y=0 5.设A(-2,2),B(3,1),若直线y=kx-2与线段AB有交点，则k的取值范围是() A.(-o,-1]U[2,+) B.[-1,2] C.(-∞，-2]U[1,+∞) D.[-2,1] 6.点(5,2)到直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5的距离的最大值为() A.V13 B.2V13 C.V15 D.215 7.等比数列{an}的前n项和为Sn,S2=2+V2,S4=6+3V2,则a7+ag=() A.32+8W2 B.32+16V2 C.16+4V2 D.16+82 8.己知点A(x1y1),B(x2,y2),定义V(x1+y2)2+(x2+y1)2为A,B的“对称距离”.若点A,B在圆C:(x- 4)2+y2=4上，则A,B的“对称距离”的最小值为() A.42-4 B.2 C.2W2 D.V2+1 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 第1页，共3页 9.己知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sm,且Sg=S10<S11,则() A.a10=0 B.d>0 C.S8<S9 D.S10<0 10.圆C:x2+y2+4x-6y-3=0,直线l:3x-4y-7=0,点P在圆C上，点Q在直线上，则下列结论 正确的是() A.直线与圆C相交 B.PQ的最小值是1 C.从Q点向圆C引切线，切线长的最小值是3 D.直线y=kc-2)+4与曲线y=1+V4-有两个不同的交点，则实数k的取值范国是（号，剖 11.定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫做该数列的一次“美好成 长”.将数列1,4进行“美好成长”，第一次得到数列1,4,4第二次得到数列1,4,4,16,4；.设第n 次“美好成长”后得到的数列为1，x1,x2,…,xk,4,an=l0g4(1·x1·x2…xk·4),则下列说法正确的 是() A.a2=5 B.k=2n-1 C.a+1=2an+1 D.数列{a的通项公式为a=3”+ 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知数列{a的前n项和S,n=(+1)2,则数列{a3的通项公式为 13.己知数列{a的通项公式为an=n2-3n,若数列{a}为递增数列，则实数的取值范围是 14.已知圆C:x2+y2=1,点P在直线：2x+y-4=0上.若圆C上存在两点A,B,使得△PAB是等边三角 形，则点P的横坐标的取值范围为一· 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分)在平行四边形ABCD中，A(-1,2),B(1,3),C(3,-1),E是线段BC的中点. (1)求直线CD的方程； (②)求过点A且与直线DE垂直的直线. 16.(15分)已知数列{an的前n项和为Sn,且Sn=2n2+n,n∈N*,在数列bnJ}中，b1=1,且 bm+1=2bn+3,n∈N*. (1)求证：{bn+3}是等比数列： (②若c,-1o8,,+3.求数列 的前n项和Tn: 第2页，共3页 17.(15分)已知圆C经过坐标原点0，圆心在x轴正半轴上，且与直线3x+4y-8=0相切. (1)求圆C的标准方程。 (2)直线L:y=kx+2与圆C交于A,B两点. (①)求k的取值范围： ()证明：直线OA与直线0B的斜率之和为定值. 18.(17分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0，且S3+S5=50,a1,a4,a13成等比数列. (1)求数列{an的通项公式. (2设是首项为1，公比为3的等比数列， )求数列{bn}的前n项和Tn ()若不等式Tn-S,+2n2≤0对一切n∈N*恒成立，求实数的最大值. 19.(17分)定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记MNI的最大值为m,MN的最小值为n,若m=2n, 则称N为圆C的“黄金点”；若G同时是圆E和圆F的“黄金点”，则称G为圆“E-F”的“钻石点”.已知圆 A:x+1)2+0+12=3:P为圆A的“黄金点”. (1)求点P所在曲线的方程 (2)已知圆B:(x-2)2+(y-2)2=1,P,Q均为圆“A-B”的“钻石点”， (①)求直线PQ的方程. (若圆H是以线段PQ为直径的圆，直线y=kx+与圆H交于1，J两点，对于任意的实数k,在y轴上是否 存在一点W,使得y轴平分∠IW?若存在，求出点W的坐标；若不存在，请说明理由. 第3页，共3页西北师大附中 2026-2027学年第一学期期中考试试题参考答案 高二数学 一、单选题：1.D2.A3.C4.B5.C6.B7.D8.A 8.解：点A(:1,y,B(x2,y2)的“对称距离”√x1+y2)2+(x2+y)2, 相当于点B关于直线l:y=-x的对称点B'(-y2,-x2)与点A的距离， 所以当点A,B在圆C上时，点B在圆C关于l的对称圆C上， 又圆心C到直的距离d=4+=2√2，所以圆C与相离，从而圆c与圆c'外离. 2 所以A,B的“对称距离”的最小值，即为两圆上的点A,B'的距离的最小值， 也即点A到的距离的最小值的两倍， 其中点A到的距离最小值为圆心C到直的距离减去半径，即2√2-2， 所以所求最小值为2(2√2-2)=4v2-4. 故选：A 二、多选题：9.ABD10.BCD11.ABD 11.解：初始数列：1,4； 第一次成长：1,4,4，乘积P1=1×4×4=16=42,a1=l10g442=2; 第二次成长：1,4,4,16,4，乘积P2=1×4×4×16×4=45,Q2=10g445=5,故A正确； 记n次“美好成长”后的数列有bn项，则bn+1=bn+bn-1,即bn+1-1=2(bn-1), 又b1-1=2,所以数列b-1是以2为首项和公比的等比数列，故b,-1=2n,b=2m+1, 所以k=b-2=2n-1,故B正确； 因为每次插入的新项为原数列中相邻两项的乘积， 所以Pn+1=(1·x1·x2·xk·4)[(1·x1)·(x1·x2)x2·x3)…(xk-1·x)(xk·4] =1x1x2·…xk·43=P2, an+1=l0g4Pn+1=l0g4P3=l0g4+l0g4P3=-1+3l084Pn=-1+3an 则an+1=3a-1,故C错误； 由此an+1-=3(an-, 因此数列a一为等比数列，首项为a1-多公比为3。 第1页，共5页 故a-×3”1=解得an=,故D正确， 三、填空题：12a=+1n之2aENy 13.(-0,1) 14.[B,2 14.解：圆C:x2+y2=1的圆心为C0,0),半径r=1,由P在直线l:2x+y-4=0上，设P的坐标为(x,4-2x) 要使圆C上存在两点A,B使得△PAB为等边三角形，当PA,PB为圆C的切线时∠APB取得最大值，只需满足 ∠APB>60即可。在Rt△CAP中，CA1PA,CA=1,∠APC=号∠APB,若LAPB>60则LAPC>30°， 因此stn-APC=>宁即高>克解得到元1<2。即x2+4-2P<4故不等式的解集为xe,2斗 四、解答题： 15.(1)四边形ABCD是平行四边形，.AB/CD, 直线CD的斜率等于直线AB的斜率，为= 故直线CD的方程为y+1=(x-3),即x-2y-5=0. (2)E是线段BC的中点，∴.E(2,1).根据(1)中求得的直线CD的方程，可设D(2m+5,m), 在平行四边形ABCD中，AD/IBC,易知直线BC的斜率存在， 则ko一kc,即品可-号 3+1 解得m=-2,故D(1,-2),故直线DE的斜率为-3. 故过点A且与直线DB垂直的直线的斜率为-子其方程为y-2=一(x+1),即x+3y-5=0. 16.解：（①i证明：+1+3=26+3+3=2且b,+3=4, bn+3 bn+3 ·{b+3}是首项为4，公比为2的等比数列. (2)由(1)知bm+3=4×2m-1=2m+1,所以bm=2m+1-3, 则cn=log2(bm+3)=n+1, 1=1-1 Cncn+1 n+1 n+2' Fn+1n+22-n+2 17.解：(1)设圆C的圆心坐标为C(a,0),其中a>0,半径为r, 圆C经过坐标原点0，圆心在x轴正半轴上，∴r=α， 第2页，共5页 又圆C与直线3x+4y-8=0相切， 六是=7=a,解得a=1或a=-4(含去)， 圆心C(1,0),r=1, 故圆C的标准方程为(x-1)2+y2=1: (®0展立直接与调的方配子，=1 可得(k2+1)x2+(4k-2)x+4=0, ~直线交圆C与A,B两点， “4=(4k-2)2-16(k2+1)>0,解得k<-子 故k的取值范围为(-∞，-子： (ii)证明：设A(x1,y1),B(x2,y2) 由0可得x+名=景X=年 又ka+8=+是=2+2-+2k=≥+2k=-2k11+2=1, 8k-4 X1X2 2+1 ∴直线OA与直线OB的斜率之和为定值， 18.解：(1)依题意得a=a1a13,S3+S5=50, 即有3a+3受d+5a+受d=50 （(a1+3d)2=a1(a1+12d) 解得份？子 an=a1+(m-1)d=3+2(n-1)=2n+1, 即an=2n+1; (2)00=3"-1,b.=a3”-1=(2m+1)3m-1, Tn=3+5×3+7×32+……+(2n+1)3n-1 3Tn=3×3+5×32+7×33+….+(2n-1)3m-1+(2n+1)3m, -2Tm=3+2×3+2×32+….+2×3m-1-(2n+1)3m =3+2×31-30☐-(2m+1)3m=-2m·3m, 1-3 .Tn=n·3m. 第3页，共5页 (i)由(1)易求得Sm=n(n+2),所以不等式1Tm-Sn+2n2≤0对一切n∈N*恒成立， 即转化为≤对一切m∈N恒成立， 令f0m)=,则f0)mn之，f0+1)-fm)=-=-0>0, 当1≤n≤2时，f(m+1)-f(n)<0;n≥3时，f(m+1)-f(m)>0, 所以f1)>f(2)>f3),且f3)<f(4)<…,则a≤f(n)mm=f(3)=-2 所以实数的最大值为-7 19.解：(1)因为P为圆A的“黄金点”， 所以PA+5=2PA-,即PA=V3, 所以点P的轨迹是以A为圆心，√3为半径的圆， 故点P所在曲线的方程为(x+1)2+(y+1)2=3: (②))因为P为圆B的“黄金点”，所以PB=3, 即点P在圆(x-2)2+y-2)2=9上， 则P是圆(x+1)2+y+1)2=3和(x-2)2+y-2)2=9的交点， 因为P,Q均为圆“A一B”的“钻石点”， 所以直线PQ即为圆(x+1)2+y+1)2=3和(x-2)2+y-2)2=9的公共弦所在直线， 两圆方程相减可得x+y=0,故直线PQ的方程为x+y=0: ()设(x+1)2+y+1)2=3的圆心为S(-1,-1),半径为v3, x-2)2+(y-2)2=9的圆心为T(2,2),半径为3， 直线ST的方程为y=x,得P,Q的中点坐标为(0,0)， 点S到直线x+y=0的距离为=V2, 则9=6W32-W22=1. 所以圆H的方程为x2+y2=1, 假设y轴上存在点W(0,t)满足题意， 设1(x1,y1),J(x2,y2),X1x2≠0， 若y轴平分∠IWI,则kw+kw=0, 第4页，共5页 即+=0，整理得x201-)+x02-)=0, 又y=kx+号2=kx2+号 所以代入上式可得x2(kx1+3-t)+x1(kx2+-)=0, 整理得2kx1x2+(-t)(+x2)=0①， 由+，相2+1g2+x-g=0, x2+y2=1 所以x1+X2=一k2+1x2=k2中7？ 代入①并整理，得-2k+二kt=0,此式对任意的k都成立， 所以t=3,故y轴上存在点W(0,3),使得y轴平分∠IWJ. 第5页，共5页