精品解析：黑龙江哈尔滨市第九中学校2026-2027学年高二上学期11月期中考试数学试题

哈九中2026—2027学年度高二上学期 期中考试数学学科试卷 一、单选题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 椭圆的焦距为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据焦距定义即可得到答案. 【详解】由题意得，则其焦距为2. 故选：B. 2. 若三点A(3，1)，B(－2，b)，C(8，11)在同一直线上，则实数b等于 A. 2 B. 3 C. 9 D. －9 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由得，b的值为-9，故选D． 考点：本题主要考查直线方程，直线的斜率计算公式． 点评：简单题，可利用计算AB,AC的斜率相等，也可以先求直线AB的方程，再将点C坐标代入,求得b值． 3. 已知直线：与圆：，则（ ） A. 与相离 B. 与相切 C. 平分 D. 与相交但不平分 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离与半径之间的大小关系，判断直线和圆的位置关系. 【详解】已知圆：，则圆心为，半径为， 圆心到直线的距离，即直线经过圆心. 故选：C. 4. 若双曲线（，）的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（     ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线、离心率公式以及两直线的垂直与斜率的关系求解. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 直线的斜率为， 所以由题可知，， 所以双曲线的离心率为， 故选:C. 5. 点为等轴双曲线的焦点，过作轴的垂线与的两渐近线分别交于两点，则的面积为（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先求出双曲线的方程，进而求出双曲线的渐近线方程，即可求出两点的坐标，即可求出的面积. 【详解】设双曲线为：， 因为，解得：， 所以双曲线为：，则双曲线的渐近线为：， 所以，解得：，则， 所以为等腰直角三角形， 所以的面积为. 故选：B. 6. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点在上满足，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设，则， 由椭圆定义得，解得， 在中，由余弦定理得， 即，整理得， 所以的离心率. 7. 点A、B分别为圆M：x2＋(y－3)2＝1与圆N：(x－3)2＋(y－8)2＝4上的动点，点C在直线x＋y＝0上运动，则|AC|＋|BC|的最小值为(　　) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，算出圆M关于直线对称的圆P方程，当点C位于线段NM上时，线段AB就是|AC|＋|BC|的最小值. 【详解】解：设M(0，3)关于直线的对称点为P(－3，0)，且N(3，8) ∴ 故选A. 【点睛】本题是一道关于圆的方程的题目，解决问题的关键是根据图形得出|AC|＋|BC|在什么情况下取得最小值. 8. 希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明，他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线：当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线，则方程表示的圆锥曲线为（ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的定义及距离公式得出结果. 【详解】方程， 即为方程表示：动点到定点的距离与到定直线的距离的比为且小于1， 所以根据椭圆的定义得出其轨迹为椭圆. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，有选错的得0分． 9. 已知抛物线过点，则（ ） A. 拋物线的标准方程可能为 B. 抛物线的标准方程可能为 C. 过点与抛物线只有一个公共点的直线有一条 D. 过点与抛物线只有一个公共点的直线有两条 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意设出抛物线的方程，利用点在抛物线上及直线与抛物线的位置关系即可求解. 【详解】对于选项A，当抛物线开口向右时，设抛物线的方程为，将代入抛物线中得，则拋物线的方程为，故A正确； 对于选项B，当抛物线开口向下时，设抛物线的方程为，将代入拋物线中得，则抛物线为，故B正确； 对于C、D选项，过点与对称轴平行的直线，以及抛物线在点处的切线都与抛物线只有一个公共点，故C错误，D正确. 故选：ABD. 10. 设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 离心率 B. 面积的最大值为 C. 以线段为直径的圆与直线相切 D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】求出离心率可判断A；计算面积的最大值可判断B；求出圆的方程，再判断圆心到直线的距离与半径的关系可判断C；设进行数量积的坐标运算结合可判断D，进而可得正确选项. 【详解】对于A：由椭圆可知，，，， 所以左、右焦点分别为，，离心率，故A错误； 对于B：，当点与椭圆的上下顶点重合时，面积的最大， 所以面积的最大值为，故B正确； 对于C：以线段为直径的圆的圆心，半径为1， 由圆心到直线的距离， 所以以线段为直径的圆与直线相切，故C正确； 对于D：设，， ，则的最小值为， 故D错误. 11. 已知抛物线与圆交于，两点，且．过焦点的直线与抛物线交于，两点，点是抛物线上异于顶点的任意一点，点是抛物线的准线与坐标轴的交点，则（ ） A. 点的坐标为 B. 若，则直线的斜率为 C. 的最小值为 D. 点与点的横坐标相同时，最小 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先根据抛物线与圆的对称性及弦长求出交点坐标，代入抛物线方程，确定抛物线方程，再根据抛物线的性质逐个分析选项即可. 【详解】 对于A，抛物线与圆均关于轴对称，故垂直轴，第一象限交点纵坐标为，代入圆方程得横坐标为，即， 代入抛物线方程得，解得，焦点坐标为，故A正确； 对于B，设，由得，设直线，联立得， 则，，代入解得，直线斜率，故B错误； 对于C，由抛物线焦点弦性质得， 则，当且仅当时取等号， 因此最小值为，故C正确； 对于D，设，则，，，故， 由基本不等式得，当且仅当（即与横坐标相同）时取等号，此时最小，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线过三点，，中的两点，则的方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先确定，两点在双曲线上，代入双曲线方程中求得，即可确定C的方程. 【详解】根据双曲线的对称性可知， 点，在双曲线图像上，将其代入双曲线方程， 所以解得 所以双曲线C：， 故答案为：. 13. 已知，抛物线的焦点为，是抛物线上任意一点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用抛物线的定义将转化为点到准线的距离，再根据垂线段最短的几何性质求解最小值. 【详解】 对于抛物线，其标准形式为，对比得，即，因此焦点的坐标为，准线方程为， 根据抛物线的定义：抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离， 设点到准线的垂线段为（为垂足），则，因此， 根据几何中垂线段最短的性质，当、、三点共线且垂直于准线时，取得最小值， 该最小值即为点到准线的距离, 已知，准线为，故点到准线的距离为，即的最小值为. 14. 如图，，分别是椭圆的左、右顶点，圆的半径为2，过点作圆的切线，切点为，在轴的上方交椭圆于点，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】先连结，可得是边长为2的等边三角形，由此求出的方程，联立直线方程求出点横坐标，再由圆与直线相切于点，求出直线的方程，联立直线与椭圆方程求出点横坐标，最后由即可求出结果. 【详解】 连结，可得是边长为2的等边三角形，所以， 可得直线的斜率，直线的斜率为， 因此，直线的方程为，直线的方程为， 设， 由解得， 因为圆与直线相切于点，所以，因此， 故直线的斜率，因此直线的方程为，代入椭圆方程，消去得，解得或， 因为直线交椭圆于与点，设，可得， 由此可得. 故答案为 【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，通常需要联立直线与椭圆方程，结和椭圆的性质求解，属于常考题型. 四、解答题：本题有5道题，总共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 圆内有一点，过的直线交圆于A、B两点. （1）当弦AB被平分时，求直线AB的方程； （2）若圆与圆相交于E，F两点，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据题意得到，从而得到，再利用点斜式求解直线方程即可. （2）首先根据题意得到公共弦方程为，再求弦长即可. 【小问1详解】 如图所示： ， 因为弦AB被平分，所以，即. 所以直线为，即. 【小问2详解】 . 原点到直线的距离. 则. 16. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，点是的中点. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明:如图，连接， ∵四边形是正方形，∴. 又平面，平面，∴， ∵平面，， ∴平面， 又平面， ∴ （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质和判定定理即可证明； （2）根据题意建立空间直角坐标系，通过线面角相关公式进行计算即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 易知，，两两垂直，以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. ∵，∴，，，，， ∴，，. 设平面的法向量为，则， 令，得.设直线与平面所成角为，由图可知， 则. 即直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知抛物线上的点到准线的距离为a． （1）求抛物线C的方程； （2）设，O为坐标原点，过点的直线l与抛物线C交于不同的A、B两点，问：是否存在直线l，使得，若存在，求出的直线l方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）存在；. 【解析】 【分析】（1）由题意可列出的方程组，计算求解即可； （2）设直线l的方程为，、，联立方程组得出、，根据题意可求出的值，可求出的直线l方程. 【小问1详解】 由题可知：， ∴抛物线C的方程为； 【小问2详解】 假设存在满足题意的直线l，显然直线l的斜率存在， 设直线l的方程为，、， 则，、， 由，得， 由题可知：， ∴， ∴， 故存在满足题意的直线l，直线l的方程为. 18. 已知椭圆的两个焦点分别为，，长半轴长为，点为上一点，周长为，其中为坐标原点． （1）求椭圆的方程； （2）直线与交于，两点， ①求面积的最大值； ②设，试证明点在定直线上，并求出定直线方程． 【答案】（1） （2）① ， ② 因为，所以， 因为，所以点的坐标为， 而， 因此点在直线上. 【解析】 【分析】（1）根据题意求出，可得椭圆方程； （2）①联立方程，根据确定的范围，再用韦达定理用表示线段长度和原点到直线的距离，进而表示出的面积，利用基本不等式求得最大值；②求出点的坐标，进而求出定直线. 【小问1详解】 由题意得，，，解得，， 因此椭圆的方程为. 【小问2详解】 ① 直线与椭圆交于，， 联立方程得，，化简得，， 则，即， 且，，点距离直线的距离， 则的面积， 因为，所以， 则，当且仅当时，即时等号成立. ② 略 19. 已知双曲线的离心率，右焦点到渐近线的距离为. （1）求双曲线的标准方程； （2）已知点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，直线与双曲线交于另一点，设直线AM，AN的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ii）求证：直线MP过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】（1）； （2）（i）证明:显然直线的斜率存在，设其方程为， 由消去得， ，由直线与双曲线的左、右支分别交于点， 得，解得，则 ， 所以为定值. （ii）证明:设直线的方程为，直线斜率，由（i）得， 由消去得， ， 由，得，即或， 当时，直线过点，不符合题意，舍去， 当时，直线的方程为，过定点. 【解析】 【分析】（1）利用给定的离心率及焦点到渐近线的距离，列式求出即可得双曲线方程. （2）（i）由题意易得直线l的斜率存在,设，直线l的方程为，联立直线与双曲线方程，化简的式子，结合韦达定理即可求出结果.（ii）求出直线的方程，利用根与系数的关系以及定值探究直线过哪个定点． 【小问1详解】 设双曲线右焦点， 由到双曲线的渐近线的距离为，得， 由双曲线的离心率，得，解得， 所以双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 （i）略； （ii）证明略，定点为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈九中2026—2027学年度高二上学期 期中考试数学学科试卷 一、单选题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 椭圆的焦距为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 若三点A(3，1)，B(－2，b)，C(8，11)在同一直线上，则实数b等于 A. 2 B. 3 C. 9 D. －9 3. 已知直线：与圆：，则（ ） A. 与相离 B. 与相切 C. 平分 D. 与相交但不平分 4. 若双曲线（，）的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（     ） A. 2 B. C. D. 5. 点为等轴双曲线的焦点，过作轴的垂线与的两渐近线分别交于两点，则的面积为（ ） A. B. 4 C. D. 8 6. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点在上满足，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 点A、B分别为圆M：x2＋(y－3)2＝1与圆N：(x－3)2＋(y－8)2＝4上的动点，点C在直线x＋y＝0上运动，则|AC|＋|BC|的最小值为(　　) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 8. 希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明，他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线：当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线，则方程表示的圆锥曲线为（ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 以上都不对 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，有选错的得0分． 9. 已知抛物线过点，则（ ） A. 拋物线的标准方程可能为 B. 抛物线的标准方程可能为 C. 过点与抛物线只有一个公共点的直线有一条 D. 过点与抛物线只有一个公共点的直线有两条 10. 设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 离心率 B. 面积的最大值为 C. 以线段为直径的圆与直线相切 D. 的最小值为 11. 已知抛物线与圆交于，两点，且．过焦点的直线与抛物线交于，两点，点是抛物线上异于顶点的任意一点，点是抛物线的准线与坐标轴的交点，则（ ） A. 点的坐标为 B. 若，则直线的斜率为 C. 的最小值为 D. 点与点的横坐标相同时，最小 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线过三点，，中的两点，则的方程为___________. 13. 已知，抛物线的焦点为，是抛物线上任意一点，则的最小值为________． 14. 如图，，分别是椭圆的左、右顶点，圆的半径为2，过点作圆的切线，切点为，在轴的上方交椭圆于点，则_______． 四、解答题：本题有5道题，总共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 圆内有一点，过的直线交圆于A、B两点. （1）当弦AB被平分时，求直线AB的方程； （2）若圆与圆相交于E，F两点，求． 16. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，点是的中点. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知抛物线上的点到准线的距离为a． （1）求抛物线C的方程； （2）设，O为坐标原点，过点的直线l与抛物线C交于不同的A、B两点，问：是否存在直线l，使得，若存在，求出的直线l方程；若不存在，请说明理由． 18. 已知椭圆的两个焦点分别为，，长半轴长为，点为上一点，周长为，其中为坐标原点． （1）求椭圆的方程； （2）直线与交于，两点， ①求面积的最大值； ②设，试证明点在定直线上，并求出定直线方程． 19. 已知双曲线的离心率，右焦点到渐近线的距离为. （1）求双曲线的标准方程； （2）已知点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，直线与双曲线交于另一点，设直线AM，AN的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ii）求证：直线MP过定点，并求出该定点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $