第13讲 函数的应用（一）（七大题型+思维导图+知识归纳+课后提升练）（秋季讲义）高一数学人教A版必修第一册

第13讲 函数的应用（一） 【人教A版】 模块二 一次函数、二次函数模型的应用 【知识点1 一次函数、二次函数模型的应用】 1．实际问题中函数建模的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. (4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果 要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. 2．一次函数模型的应用 一次函数模型：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0). 一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过. 3．二次函数模型的应用 二次函数模型：f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0). 二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值 问题常用到二次函数模型. 【题型1 一次函数模型的应用】 【例1】（25-26高一上·浙江·期中）网上购物常常看到下面这样一张表，第一行可以理解为脚的长度，第二行是我们习惯称呼的“鞋号”．为了穿得舒适，鞋子不能挤脚，也不能过长． SIZE 尺码对照表 中国鞋码实际标注 (同国际码) mm 220 225 230 235 240 245 250 255 260 265 中国鞋码习惯叫法 (同欧码) 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 一个篮球运动员的脚长为282 mm，则从表格数据可以推算出，他最适合穿的鞋号是（    ） A．45 B．46 C．47 D．48 【答案】C 【解题思路】设出一次函数，采用待定系数法求出，令即可求解. 【解答过程】设脚长为，鞋号为码，由数据可知，脚长和鞋号符合一次函数关系：，将代入可得，当时，，故他最适合穿的鞋号是47码. 故选：C. 【变式1-1】（25-26高一上·北京·期中）果蔬批发市场批发某种水果，不少于千克时，批发价为每千克元，小王携带现金3000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为千克，小王付款后剩余现金为元，则与之间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，直接列式，根据题意求x的最小值和最大值，得到x的取值范围. 【解答过程】由题意可知函数关系式是， 由题意可知最少买千克，最多买千克，所以函数的定义域是. 故；， 故选：C. 【变式1-2】（2026高一·全国·专题练习）南通至通州的某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的函数关系如图所示（收支差额＝车票收入一支出费用）．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（Ⅰ）不改变车票价格，减少支出费用；建议（Ⅱ）不改变支出费用，提高车票价格．下面给出的四个图形中，实线虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（    ） A．①反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ） B．②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ） C．①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ） D．④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ） 【答案】C 【解题思路】根据题意，利用一次函数的性质判断不同方案下参数的变化对图象的影响，即可确定正确选项. 【解答过程】设目前车票价格为，支出费用为，则， 对于建议（I），设建议后的支出费用为（＜），则， 显然建议后，直线斜率不变，在y轴上的截距变大，故图象①反映了建议（I）； 对于建议（II），设建议后的车票价格为（＞），则， 显然建议后，直线斜率变大，在y轴上的截距不变，故图象③反映了建议（II）． 故选：C． 【变式1-3】（25-26高一上·湖北武汉·期中）从装满10升纯酒精的容器中倒出2升酒精，然后用水将容器加满，再倒出2升酒精溶液，再用水将容器加满，照这样的方法继续下去，设倒完第次后，前次共倒出纯酒精升，倒完第次后，前次共倒出纯酒精升，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出第次倒出酒精后容器中含纯酒精的质量，然后可得第次倒出的纯酒精的质量，然后可得倒次共倒出的纯酒精． 【解答过程】第次时共倒出了纯酒精升， 第次倒出后容器中含纯酒精为升 第次倒出的纯酒精是升 所以倒出第次时，共倒出了纯酒精 故选：C. 【题型2 二次函数模型的应用】 【例2】（25-26高一上·浙江·期中）嘉兴粽子以糯而不糊，肥而不腻，香糯可口，咸甜适中而著称，尤以鲜肉粽最为出名，被誉为“粽子之王”．小嘉销售一批嘉兴肉粽，每个肉粽的最低售价为10元．若按最低售价出售，每天能卖出40个；若每个肉粽的售价每提高1元，日销售量将减少2个．那么小嘉一天能获得的最大收入是（   ） A．440元 B．450元 C．460元 D．470元 【答案】B 【解题思路】通过设售价提高的金额，建立收入的二次函数模型，利用二次函数的性质求最大值. 【解答过程】设每个肉粽的售价提高元，则售价为元，日销售量为个. 收入. 因为二次函数开口向下，当时，取得最大值. 此时最大收入为元. 故选：B. 【变式2-1】（25-26高一上·天津·阶段检测）某文具店购进一批新型台灯，最低销售价格为15元，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则这批台灯的销售价格的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据已知得到销售收入且，再由求范围. 【解答过程】由题设，销售收入且， 为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则， 所以，可得， 综上，. 故选：C. 【变式2-2】（26-27高一上·陕西渭南·阶段检测）运动会的成功举办往往会带动当地经济的快速发展．运动会期间，某“农家乐”接待中心有客房 200 间，每间日租金为 40 元，每天都客满．根据实际需要，该中心需提高租金，如果每间客房日租金每增加 4 元，客房出租就会减少 10 间．（不考虑其他因素） (1)设每间客房日租金提高元（，），记该中心客房的日租金总收入为，试用表示； (2)在（1）的条件下，每间客房日租金为多少时，该中心客房的日租金总收入最高？ 【答案】(1)（，）； (2)每间日租金为 60 元时总收入最高，最高为 9000 元. 【解题思路】（1）由总收入＝每间日租金×出租间数，可列得关于的表达式； （2）根据二次函数的最值求法可得. 【解答过程】（1）由题意知，每间日租金为 元，出租间数为 间， 所以（，）． （2）， 因为且， 所以当时，取最大值，最大值为， 此时每间客房日租金为（元）． 所以每间客房日租金为60元时，日租金总收入最高，最高为9000元． 【变式2-3】（25-26高一上·辽宁辽阳·期中）某商场经营一批进价为50元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价（单位：元）与日销售量（单位：件）满足关系式． (1)设经营此商品的日销售利润为（单位：元），求关于的函数解析式； (2)求经营此商品的日销售利润的最大值； (3)若要使得商场经营此商品的日销售利润不低于1050元，求此商品销售单价的取值范围． 【答案】(1) (2)1250元 (3) 【解题思路】（1）根据已知应用利润等于销售额减去成本得出函数解析式； （2）应用二次函数性质得出最大值； （3）解一元二次不等式即可求出参数范围. 【解答过程】（1）由题可知． 因为， 所以关于的函数解析式为． （2）由（1）可知， 当时，取得最大值1250， 故经营此商品的日销售利润的最大值为1250元． （3）令， 整理得， 解得， 故要使得商场经营此商品的日销售利润不低于1050元，此商品销售单价的取值范围为． 模块三 幂函数模型的应用 【知识点2 幂函数模型的应用】 1．幂函数模型的应用 幂函数模型应用的求解策略: (1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式. (2)根据题意，直接列出相应的函数关系式. 【题型3 幂函数模型的应用】 【例3】（2026·广西·模拟预测）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】初始状态设为，变化后为，根据，的关系代入后可求解． 【解答过程】设初始状态为，则，， 又，，即 ， ，，，，． 故选：D． 【变式3-1】（25-26高一上·广东揭阳·期中）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道半径（单位：）的四次方成正比．若气体在半径为的管道中，流量为，气体在半径为的管道中，流量大于且小于，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设，当，时，求出的值，再由可求出的取值范围. 【解答过程】根据题意，设，由题意可得，解得，故， 当时，，解得， 故选：D. 【变式3-2】（25-26高一上·青海西宁·期末）为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．现在加密密钥为，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，则解密后得到的明文是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解题思路】根据题意中给出的解密密钥为，利用其加密、解密原理， 求出的值，解方程即可求解. 【解答过程】由题可知加密密钥为， 由已知可得，当时，， 所以，解得， 故，显然令，即， 解得，即． 故选：A. 【变式3-3】（25-26高三·全国·三轮复习）遗忘曲线（又称“艾宾浩斯遗忘曲线”）是由德国心理学家艾宾浩斯（H．Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率y与初次记忆经过的时间x（单位：时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15：00考语文时拥有复习背诵记忆的42%，则他明天复习背诵的时间需大约在（    ）参考数据： ，． A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 【答案】A 【解题思路】利用函数模型求出需要记忆的时间，即可推断出考前复习背诵的时间在几点开始. 【解答过程】令，则． ∵，，， ∴的估计值可取0.5，即他复习背诵的时间需大约在． 故选：A. 模块四 分段函数模型的应用 【知识点3 分段函数模型的应用】 1．分段函数模型的应用 由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有广泛的应用. 【题型4 分段函数模型的应用】 【例4】（25-26高一上·河北邢台·期中）“空气质量指数（AQI）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．AQI大于200表示空气重度污染，不宜开展户外活动．某地某天时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述，则这天可开展户外活动的时长至多为（   ） A．6小时 B．8小时 C．16小时 D．18小时 【答案】D 【解题思路】当AQI大于200时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动；即小于或等于200时适合开展户外活动，根据分段函数的解析式，分情况讨论求出不等式解集，再求出区间长度即可. 【解答过程】由AQI大于200表示空气重度污染，不宜开展户外活动， 得当小于或等于200时，可开展户外活动，即， 因为 所以当时，，解得， 当时，，解得． 综上，可开展户外活动的时长至多为小时． 故选:D. 【变式4-1】（25-26高一上·广西百色·阶段检测）某省对居民生活用电实行“阶梯电价”，计费方式如下表： 每户每年用电量 电价 不超过2160千瓦时 0.60元/千瓦时 超过2160千瓦时但不超过4200千瓦时的部分 0.65元/千瓦时 超过4200千瓦时的部分 0.90元/千瓦时 若某户居民一年的电费为2712元，则此户居民这一年使用的电量为（   ） A．3750千瓦时 B．3950千瓦时 C．4300千瓦时 D．4400千瓦时 【答案】C 【解题思路】根据题意，得到本年缴纳的电费和居民用电量的函数关系式，结合题意，列出方程，即可求解. 【解答过程】由题意，设某户居民用电量为千瓦时，本年缴纳的电费为， 可得， 当某户居民本年缴纳的电费为2712元时，可得， 解得，即居民本年的用电量为4300千瓦时. 故选：C. 【变式4-2】（26-27高一上·四川眉山·阶段检测）某工厂生产工具，经过研究判断生产该工具的年固定成本为60万元，每生产万件，需另外投入成本（万元），每件工具售价为60元，经过市场调研该厂年内生产的工具能全部销售完． (1)写出年利润G（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； (2)年产量为多少万件时，该厂在这一工具的生产中所获利润最大? 【答案】(1) (2)90万件 【解题思路】（1）分和两种情况，由题意得到函数解析式； （2）分和两种情况，由二次函数性质和基本不等式求出最大值，比较后得到答案. 【解答过程】（1）当时， ， 当时， ， 故， （2）当时，， 当时，取得最大值， 当时，， 当且仅当即时取到等号， ，所以当年产量为万件时，取得最大值为万元． 【变式4-3】（25-26高一上·宁夏银川·期末）年月日，中国向国际电信联盟（ITU）一次性提交万颗低轨卫星频轨资源申请，年商业航天发射活动将更加活跃，东方空间“引力一号”、深蓝航天“星云一号”、星河动力“智神星一号”、中科宇航“力箭二号”等火箭均已制定发射计划，备受关注的天兵科技“天龙三号”，据悉也将在近期迎来首飞.某企业自主研发了一款火箭专用高级设备，并从年起全面发售.经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且，.每百台高级设备售价为万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产量最大为台. (1)求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式； (2)当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润. 【答案】(1)； (2)年产量百台时利润最大，最大利润为万元. 【解题思路】（1）根据给定的函数表达式结合年利润的求法即可得到函数关系； （2）分和两段函数，再分别利用二次函数的性质和基本不等式求出其最值，再比较可得最大值. 【解答过程】（1）每百台高级设备售价为万元，年产量（百台）时销售收入为万元， 总成本为万元，年利润万元. 当时， ； 当时， . 所以年利润. （2）由（1）当时， ， 故当（百台）时，（万元）， 当时， 当且仅当即（百台）时，等号成立，此时（万元）， 因为,所以年产量百台时利润最大，最大利润为万元. 【题型5 分式型函数模型的应用】 【例5】（2026·四川·二模）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（    ） A．135 B．149 C．165 D．195 【答案】B 【解题思路】把给定函数变形，利用基本不等式即可得解. 【解答过程】由题意得，，当且仅当，即时取“=”， 所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149. 故选：B. 【变式5-1】（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）某公司建造一间地面为矩形、背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用，那么设计房屋的正面边长为（   ）m时，能使总造价最低． A．6 B．4 C． D．3 【答案】B 【解题思路】设正面边长为xm，地面宽为ym，易得，设总造价为，由求解. 【解答过程】解：设正面边长为xm，则地面宽为ym，则， 所以， 设总造价为， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：B. 【变式5-2】（25-26高一下·云南红河·期末）某公司生产某产品，原生产量为每年万件，为适应市场需求，计划改进技术并扩大生产．据测算，生产该产品的年固定成本为万元，每生产万件，需另投入可变成本万元，且．由市场调研知，该产品每件的售价为元，且全年产品当年可全部售完． (1)求年利润（万元）与年产量（万件）的函数解析式（利润＝销售收入－固定成本－可变成本）； (2)当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1) (2)当年产量为万件时，年利润最大，最大年利润为万元. 【解题思路】（1）由“利润＝销售收入－固定成本－可变成本”列出关系式并化简即得的解析式； （2）利用基本不等式可求得年利润最大值. 【解答过程】（1）由题意知，年利润 ； （2）当时， ， 当且仅当，即时取等号， 此时，取得最大值为， 所以当年产量为万件时，年利润最大，最大年利润为万元. 【变式5-3】（26-27高一上·浙江宁波·阶段检测）如图，居民小区要建一座八边形的休闲广场，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为4200元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元，再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元. (1)设长为（单位：），总造价为（单位：元），试建立关于的函数关系式； (2)当为何值时最小，并求出最小值. 【答案】(1) (2)当时，最小，最小值为元 【解题思路】（1）根据题目条件用表示出，从而可求出各个图形的面积，将花坛、地坪、草坪的各个区域造价相加，即可求得总造价； （2）由（1）得到的总造价关系式，利用均值不等式求出最小值即可． 【解答过程】（1）设，由两个相同的矩形和构成的面积为， 得，解得，由，得， 则，， ， 所以 ， 即； （2）由（1）可得， ， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值元． 模块五 “对勾”函数模型的应用 【知识点4 “对勾”函数模型的应用】 1．“对勾”函数模型的应用 对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：(a>0,b>0)，当x>0时，在上递减，在上递增.另外，还要注意换元法的运用. 2．“对勾”函数模型的求解方法 (1)利用“对勾”函数的单调性求解； (2)利用基本不等式求解. 【题型6 “对勾”函数模型的应用】 【例6】（26-27高一上·上海浦东新·阶段检测）某小区计划建一面积为的矩形绿地，并在绿地四周铺设人行道．设计要求绿地外南北两侧人行道宽，东西两侧人行道宽，如图所示．设矩形绿地的南北侧边长为米． (1)当人行道的占地面积不大于时，求的取值范围； (2)求绿地的长、宽分别为多少米时，才能使人行道的占地面积最小．（结果精确到）． 【答案】(1) (2)绿地的长约为米、宽约为米时，才能使人行道的占地面积最小． 【解题思路】（1）根据已知得出人行道的占地面积为，进而得出不等式，求解不等式，即可得出答案； （2）根据基本不等式求解面积，即可得出的最小值. 【解答过程】（1）设矩形绿地的南北侧边长为米，则东西侧边长为米． 由题意可知，包含人行道的大矩形南北侧边长为米，东西侧边长为米． 设人行道的占地面积为S，则：， ，， 由题意得，即：，， ，，， 所以不等式的解集为，即的取值范围为． （2）由（1）知，因为， 由基本不等式得：， 所以，当且仅当，即，时等号成立， 因为，所以，， 由于，所以绿地的长对应东西侧边长，宽对应南北侧边长， 绿地的长约为米、宽约为米时，才能使人行道的占地面积最小． 【变式6-1】（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）某养殖场计划沿着围墙（足够长）划出一块面积为平方米的矩形区域修建一个养殖场，规定的每条边长均不超过米．如图所示，矩形为养殖区，且点，，，四点共线，阴影部分为米宽的鹅卵石小径．设（单位：米），养殖区域的面积为（单位：平方米）． (1)用表示，并写出的取值范围； (2)当为多长时，取得最大值？并求出此最大值． 【答案】(1)， (2) 米时，取得最大值平方米 【解题思路】（1）设出另一边，把长、宽各减去两侧小径后相乘可得，利用每边不超过米，可求得的取值范围； （2）利用（1）的函数解析式，结合基本不等式求最值即可． 【解答过程】（1）因为矩形的面积为，，所以， 四周小径宽均为米，故，， 所以． 由每条边不超过米，得且，即， 所以的取值范围是． （2）， 当且仅当，即时取等号，且， 所以当米时，取得最大值平方米． 【变式6-2】（26-27高一上·福建厦门·阶段检测）某企业2026年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元．设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为万元． (1)求关于的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（）． 【答案】(1) (2)22万元 【解题思路】(1)根据盈利总额=总收入-初始购置成本-总维修保养费用列函数式； (2)先推导年平均盈利额的表达式，再利用基本不等式求最大值. 【解答过程】（1）由题意，盈利总额为年的总收入扣除初始设备购置费和年总维修保养费用的剩余值，因此 ， 故关于的函数关系式为； （2） 设年平均盈利额为，根据定义得 , 由基本不等式得，当且仅当即时等号成立， 因此，即该设备的年平均盈利额的最大值为22万元. 【变式6-3】（26-27高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）某报社要印制一张矩形海报，四周留白：上、下各留 2，左、右各留 1，已知中间印刷部分（矩形）的面积恒为 288 ．设印刷区的宽为 ，高为 （ ）． (1)写出整个海报（含白边）的面积关于的解析式，并写出定义域； (2)当取何值时，整个海报面积最小？最小面积是多少？ 【答案】(1)，定义域为 (2)当cm时，整个海报面积最小，最小面积为 【解题思路】（1）由印刷区的宽为，以及中间印刷部分（矩形）的面积恒为288，可得，代入，再由以及即可求解； （2）由基本不等式即可求解. 【解答过程】（1）整个海报的面积为总宽度与总高度的乘积：， 将代入上式， 得 =， 将代入，得，得到，结合， 可得 ， 因此，定义域为； （2）=+296=2 96+296=392， 当且仅当，，解得时取等号，满足定义域， 所以，当 cm时，整个海报面积最小，最小面积为． 【题型7 函数模型的选择问题】 【例7】（25-26高一上·北京·期中）长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益.每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数）来衡量每座水库的水位情况.假设某次联合调度要求如下： （ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间； （ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低； （ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变. 记为调度前该水库的蓄满指数，为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个关于的函数解析式： ①；②；③；④. 则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是（    ） A．②④ B．①④ C．②③ D．③④ 【答案】A 【解题思路】需满足四个条件：（1）自变量的取值范围是；（2）函数值域为的子集；（3）该函数在上恒有；（4）该函数在上为增函数.逐一对照分析即可求解. 【解答过程】函数的对称轴为， 所以，超出了范围，不符合题意； ，时，， 且在上单调递增， ，即，符合题意； 函数在上单调递减，在上单调递增，故不符合题意； 函数为增函数，且时，， ，则，即，符合题意. 故满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是②④. 故选：A. 【变式7-1】（25-26高一上·河南洛阳·阶段检测）某果园占地约600亩，拟选用果树A进行种植，在相同种植条件下，果树A每亩最多可种植50棵，种植成本y（万元）与果树数量x（百棵）之间的关系如下表所示. x 1 4 9 16 y 1 4.4 7.8 11.2 (1)根据上面表格中的数据判断与哪一个更适合作为y与x的函数模型； (2)已知该果园的年利润z（万元）与x，y的关系为，利用（1）中适合的模型估计果树数量x为多少时年利润最大？ 【答案】(1)更适合作为y与x的函数模型 (2)289百棵 【解题思路】（1）将代入和，求出两个函数，然后和代入，看那个算出的数据更接近选择哪个模型； （2）由（1）得，利用换元法及二次函数性质求解即可. 【解答过程】（1）①若选择作为y与x的函数模型， 将的坐标分别代入，得，解得， 所以. 此时，当时，与表格中的7.8相差较大， 当时，与表格中的11.2相差较大， 所以不适合作为y与x的函数模型. ②若选择作为y与x的函数模型， 将的坐标分别代入，得，解得， 所以.此时，当时，， 当时，，y的值刚好与表格中的7.8和11.2相符合， 所以更适合作为y与x的函数模型. （2）由题可知，该果园最多可种植30000棵该品种果树，所以x的取值范围为， 当时，. 易知，当，即时，之取最大值53（万元）， 故果树数量为289百棵时，年利润最大. 【变式7-2】（25-26高一上·陕西渭南·期末）2025年9月22日，歼-15T、歼-35及空警-600三型舰载机在福建舰上完成电磁弹射起飞与着舰训练，这进一步引发了军迷对中国海军舰艇的关注，对某海军舰艇模型专卖店过去一个月（按30天计）的销售情况进行调查后发现：舰艇模型第天的销售单价 （元）的解析式为 （为常数），第天的销售量（个）的部分数据如下表所示： 3 8 15 24 40 50 60 70 已知第15天该专卖店的销售收入为5100元.（销售收入=销售量×销售单价） (1)求实数的值； (2)根据表格判断①，②这两个函数模型中哪个模型最符合题意，并求出的函数解析式； (3)根据（2）中选择的模型，预估该专卖店的日销售收入（元）在哪一天最低，最低收入是多少元? 【答案】(1) (2)模型②最符合题意， (3)在第8天最低，最低为5000元 【解题思路】（1）由题意分别求出舰艇模型第天的销售单价和销售量，根据销售收入列出方程，求解可得的值； （2）根据销售量的增长速度可知函数模型②更适合，选取和代入模型②，求出函数解析式，并利用和检验，确定函数解析式； （3）利用（1）和（2）的结果，列出销售收入对应的函数解析式，并利用基本不等式求得其最小值. 【解答过程】（1）由题意得，舰艇模型第天的销售单价； 第天的销售量，依题意，解得. （2）模型②最符合题意，理由如下： 因为每增长10，需要的天数越来越多，可知不是匀速增长，而是增长速度越来越慢，故排除模型①，选择模型②. 将，分别代入函数模型②，可得，解得. 所以， 经验证，，均满足该函数解析式. 故函数解析式为. （3）由（1）知，由（2）知， 则 . 当且仅当，即时，等号成立. 所以日销售收入在第8天最低，最低收入为5000元. 【变式7-3】（25-26高一上·贵州黔东南·期末）近年来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与第天的函数关系近似满足（为常数，且，，），日销售量（单位：件）与第天的部分数据如表所示： 5 10 15 20 25 45 50 55 50 45 已知第5天的日销售收入为459元.给出以下三个函数模型：①；②；③. (1)请你根据表中的数据，从中选择你认为合适的一种函数模型来描述日销售量与的变化关系，并求出该函数的解析式； (2)设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的解析式； (3)该工艺品的日销售收入哪天最低？最低收入是多少？ 【答案】(1)选择模型②， (2)， (3)该工艺品的日销售收入第30天最低，最低收入是元 【解题思路】（1）根据题意易知选择函数模型②，从而再根据题意建立方程，即可求解； （2），从而可求的解析式； （3）利用基本不等式及函数单调性，即可求解． 【解答过程】（1）由表格中的数据知，随着x的增大，先增后减， ①③函数模型描述的都是单调函数，不符合该数据模型， 所以选择函数模型②：， 由，可得，解得， 因为，解得， 则日销售量与时间x的关系式为. （2）因为第5天的日销售收入为459元， 则，解得，所以， 由（1）知， 则. （3）当，时，， 当且仅当，即时，等号成立； 当，时，单调递减， 所以函数的最小值为， 综上可得，当时，函数取得最小值元. 所以该工艺品的日销售收入第30天最低，最低收入是元. 模块六 课后提升练（19题） 一、单选题 1．（25-26高一·全国·寒假作业）某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x（万元）与药品利润y（万元）存在的关系为（α为常数），其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为（    ） A．115万元 B．120万元 C．125万元 D．130万元 【答案】C 【解题思路】根据已知代入求解得出解析式，再计算求解. 【解答过程】由已知投入广告费用为3万元，药品利润为27万元，代入中，得，解得， 故函数解析式为，所以当时，． 故选：C. 2．（25-26高一上·广西柳州·阶段检测）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”，计算方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元 超过的部分但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 甲用户某月缴纳的水费为54元，则甲用户该月的用水量（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】D 【解题思路】根据题设条件可得水费与水价的关系式，根据该关系式可求用水量. 【解答过程】设用水量为，水价为元， 则， 整理得到：， 当时，；时，；时，. 故甲户本月缴纳的水费为54元，则用水量应满足， 令，解得，即甲用户该月的用水量为. 故选：D. 3．（25-26高一上·四川绵阳·期中）某工厂建造一个无盖贮水池，其容积为，深度为.池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，设计水池的最低总造价约为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【解题思路】设无盖贮水池的底面长为，宽为，列出总造价关于的关系式，利用基本不等式即可求解. 【解答过程】设无盖贮水池的底面长为，宽为， 又其深度为，容积为，所以，化简得， 令池底面积为，则，解得， 又池底每平方米的造价为元，则池底总造价为元， 池壁由四个侧面组成，面积为， 又池壁每平方米的造价为元，则池壁总造价为元， 综上所述，水池的总造价为元， 令，又， 所以， 根据基本不等式，可得， 当且仅当，即时，取得最小值. 故选：C. 4．（25-26高一上·河北邯郸·开学考试）生物活动小组的同学们观察某植物生长，得到该植物高度（单位：cm）与观察时间（单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（轴），该植物最高的高度是（    ）    A．50cm B．20cm C．16cm D．12cm 【答案】C 【解题思路】设直线 的解析式为 ，然后利用待定系数法求出直线线段的解析式，再把代入进行计算即可得解． 【解答过程】设直线的解析式为 经过点， 解得 所以直线的解析式为 ，由题中图像可知， 当 时，该植物最高，此时 . 故选：C. 5．（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时间内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2023年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量万件与投入实体店体验安装的费用万元之间满足函数关系式.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是（    ）万元. A．45.5 B．37.5 C．36 D．35 【答案】B 【解题思路】根据题意，得到，进而得到月利润的表示式，结合基本不等式即可求解. 【解答过程】依题意，产品的月销量万件与投入实体店体验安装的费用万元之间满足， 即有，由，得， 因此月利润 ，当且仅当时，即时取等号， 所以当万件时，该公司最大月利润为万元. 故选：B. 6．（25-26高一上·宁夏固原·期中）某投资公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资量成正比例，其关系如图1，B产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图2(利润与投资量单位：万元)；该公司已有20万元资金，并全部投入A，B两种产品中，进行科学合理投资，使公司获得最大利润为（    ）万元 A．5 B．4.8 C．4.6 D．4 【答案】B 【解题思路】根据题干给出的函数模型和已知数据求出函数解析式，设产品投入万元，求出利润的表达式，然后利用换元法转化为二次函数，求其最大值. 【解答过程】设，由图知当时，，所以，所以， 设，由图知当时，，所以，， 设产品投入万元，则产品投入万元， 则企业利润， 令，则， 则， 所以当时，取得最大值为，此时， 所以，产品投入万元，产品投入万元，才能使公司获得最大利润，最大利润为万元. 故选：B. 7．（25-26高一上·湖南·阶段检测）如图，在一块等腰三角形空地中欲建一个内接矩形花园（阴影部分），已知，，则内接矩形花园面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设，矩形的面积为．取的中点，连接，交于．由等腰三角形求得，由三角形相似表示出，从而得到，然后得到，通过配方法求得其最大值. 【解答过程】设，矩形的面积为． 取的中点，连接，交于． 因为，所以，，则． 易知，则，则， 则AI＝，所以， 所以， 当时，取得最大值，且最大值为96，故内接矩形花园面积的最大值为． 故选：D. 8．（25-26高一上·山东济宁·期中）随着市场需求和消费习惯的转变，摆摊创业正吸引着越来越多创业者．小李打算批发某种水果摆摊售卖，设他进货总费用（百元）与进货量（单位：百斤）之间的关系为（为常数），若满足“随着进货量的增大，水果每斤的平均价格逐渐减小”，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】表示出平均价格的函数，再利用其单调性列式求解. 【解答过程】设水果每斤的平均价格为， 则， 随着进货量的增大，水果每斤的平均价格逐渐减小，即函数在单调递减， 则需满足，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 二、多选题 9．（25-26高一上·河北·阶段检测）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道的半径（单位：）的四次方成正比，当气体在半径为5的管道中时，流量为，则（    ） A．当气体在半径为3的管道中时，流量为 B．当气体在半径为3的管道中时，流量为 C．要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为4 D．要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为 【答案】AC 【解题思路】根据题意求得函数解析式，再逐项判断即可. 【解答过程】依题意可设，为常数． 当气体在半径为5的管道中时，流量为，所以，解得， 则．当时，，故A正确，B错误． 由，解得，故C正确，D错误． 故选：AC. 10．（25-26高一上·辽宁辽阳·期中）某商家为了提高一等品M的销售额，对一等品M进行分类销售．据统计，该商家有200件一等品M，产品单价为元．现计划将这200件一等品分为两类：精品和优品．其中优品x件（，），分类后精品的单价在原来的基础上增加2x%，优品的单价调整为元（），因市场需求旺盛，假设分类后精品与优品可以全部售完．若优品的单价不低于分类前一等品M的单价，且精品的总销售额不低于优品的总销售额，则n的值可能为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】BC 【解题思路】根据题意列出不等式组得到且在上恒成立，结合对勾函数性质求出n的取值范围． 【解答过程】依题意，则， 由知：，且， 由知：在上恒成立， 因为在上递增，所以，即， 综上，，. 故选：BC. 11．（25-26高一上·浙江温州·期中）根据官方最新统计，截至2025年1月温州市机动车保有量为341.2万辆，这不仅反映了人们的生活水平不断提高；同时也对城市基础设施带来了极大的挑战，在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当，车流速度是车流密度的一次函数．规定车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）．下列说法正确的是（   ） A．若车流密度为50辆/千米时，则车流速度为50千米/小时 B．若车流密度为50辆/千米时，则车流量为2500辆/小时 C．当车流密度为200辆/千米时，车流量可以达到最大值 D．车流量最大值可以达到约为3333辆/小时 【答案】ABD 【解题思路】根据题意用分段函数并结合待定系数法求出函数的关系式即可判断A，再由题意得到的解析式，代值即可判断B，最后根据分段函数求得最值即可判断C，D． 【解答过程】由题意，当时,； 当时，设 由已知得， 解得， ∴； 所以时，，故A正确； 由上可得， 时，，故B正确； ①当时，为增函数， ∴当时，取得最大值，且最大值为 ， ②当时，， ∴当时，取得最大值，且最大值为．， 所以的最大值为， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，且最大值为3333辆/小时，故C错误，D正确； 故选：ABD. 三、填空题 12．（25-26高一上·青海·期末）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计算方法如下： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 2元 超过但不超过的部分 3元 超过的部分 6元 已知该城市某户居民某月的水费为72元，则此户居民该月的用水量为__________. 【答案】34 【解题思路】根据题设条件可得水费与水价的关系式，根据该关系式可求用水量. 【解答过程】设此户居民该月的用水量为，则此户居民该月的水费 当时，；当时，；当时. 该城市某户居民某月的水费为72元，则此户居民该月的用水量在内，则，解得. 故答案为：34. 13．（25-26高一·全国·寒假作业）有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成面积相等的三个小矩形，如图所示，则围成矩形的最大面积为__________（围墙厚度不计）． 【答案】2500 【解题思路】设矩形垂直于墙的边长为x m，则其邻边长为，把面积用函数表示出来，再根据二次函数的性质求得最大值． 【解答过程】设矩形垂直于墙的边长为x m，则其邻边长为， 故矩形面积， 所以当时，，即最大面积是． 故答案为：2500． 14．（25-26高一上·全国·周测）随着新能源技术的发展，新能源汽车行业也迎来了巨大的商机．某新能源汽车加工厂生产某款新能源汽车每年需要固定投人100万元，此外每生产辆该汽车另需增加投资万元，当该款汽车年产量低于400辆时，，当年产量不低于400辆时，，若该款汽车售价为每辆15万元，且生产的汽车均能售完，则该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为__________万元． 【答案】 【解题思路】设该工厂生产并销售这款新能源汽车的年利润为，得出函数的解析式，结合二次函数的性质，以及基本不等式，求得函数的最大值，即可求解． 【解答过程】设该工厂生产并销售这款新能源汽车的年利润为（万元）， 由题意可得， 即， 当时，函数的对称轴为，则； 当时，， 当且仅当时，取得最大值， 综上可得，该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为万元． 故答案为：． 四、解答题 15．（25-26高一上·河南洛阳·阶段检测）某厂以的速度匀速生产某种产品，生产条件要求，每小时可获得的利润是元. (1)要使生产该产品获得的利润为元，求. (2)要使生产该产品获得的利润最大，该厂应该选取何种生产速度？并求利润的最大值. 【答案】(1) (2)，元 【解题思路】（1）根据利润表达式列出方程，解之即可； （2）解法一：构造利润函数，根据二次函数的性质求解出最大值；解法二：构造利润函数，采用换元法并结合二次函数的性质求解出最大值. 【解答过程】（1）由得，解得或. 因为，所以. （2）解法一：生产该产品所需时间为h， 所以生产该产品获得的利润为元，. 令，则. 所以当时，取得最大值，利润最大值为 ， 故该厂以的速度生产该产品时，利润取得最大值，最大值为元. 解法二：生产该产品获得的利润为元，. 令，则. 令， 则当时，取得最大值，此时. 因为， 所以该厂以的速度生产该产品时，利润取得最大值，最大值为元. 16．（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产两种产品，根据市场调查与市场预测，产品的利润与投资金额成正比，其关系如图①；产品的利润与投资金额的关系满足函数，如图②（注：单位为万元）. (1)分别求出两种产品的利润表示为投资金额的函数关系式； (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)， (2)A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元 【解题思路】（1）利用待定系数法求得，根据图②的数据代入的解析式后可求参数的值，从而可求. （2）列出企业利润的函数解析式，结合换元法可求利润最大值. 【解答过程】（1）由题设，由图知，故，故. 又，，所以，， 所以，故，故，故． （2）设A产品投入万元，则B产品投入万元，设企业利润为万元 则， 令，则， 所以当时，，此时. 故A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元. 17．（25-26高一上·福建泉州·期中）近年来，在国家政策的推动下，新能源汽车行业蓬勃发展．某新能源汽车配件公司为适应市场需求，计划扩大生产并改进技术，以生产某种新型组件．据测算，生产该组件的年固定成本为2300万元，每生产万件，需另投入可变成本万元，且 ，已知当年产量为10万件时，需另投入可变成本为16600万元．由市场调研知，该组件每件的售价为2000元，且假定全年产量可当年全部售完． (1)求年利润（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）； (2)当该组件的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1) (2)45万件；2600万元. 【解题思路】（1）先根据题意求出的值，然后根据利润=销售收入-成本求出年利润与年产量的关系式. （2）先求出时年利润的最大值，再求出时利润的最大值，最后比较大小可得公司所获年利润最大. 【解答过程】（1）当时，，解得.                            由题意可知， 当时，， 当时，. 所以年利润（万元）与年产量x（万件）的关系式为. （2）当时， 开口向下，所以当时，. 当时， . 当且仅当，即时，等号成立，此时， ，所以该组件的年产量为45万件时，公司所获年利润最大，利润最大为2600万元. 18．（25-26高一上·江苏宿迁·期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为（四个阴影部分加中间小正方形）的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.设总造价为（单位：元），长为（单位：m）. (1)试用表示的长，并求的取值范围； (2)求关于的函数关系式，当为何值时，最小？并求出这个最小值. 【答案】(1) ； (2)，且时元. 【解题思路】（1）设，根据十字形地域的面积得出的关系式，即可求解； （2）由（1）可求得，从而可求出各个图形的面积，将花坛、地坪、草坪的各个区域造价相加，求得总造价，再利用基本不等式求出最小值即可. 【解答过程】（1）设，由两个相同的矩形和构成的面积为， 得，解得，由，得， 所以 . （2）由（1）知，则， 矩形的面积为，正方形为， 所以 ，由及，得， 所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值118000元. 19．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）随着港珠澳大桥和深中通道的开通，珠海某村依托区位优势，大力发展民宿旅游产业.为增加村民收入，村集体计划投资改造一批精品民宿并于2026年初投入运营.据市场调研和成本核算：项目初期需投入固定成本（如基础设施升级等）20万元.此外，装修及维护x栋民宿的变动成本为万元，且.调研数据显示，每间装修好的民宿预计2026年一年可带来稳定的30万元收入. (1)若装修15栋民宿，预计2026年一年的利润有多少万元？ (2)请将该批民宿改造后的2026年年利润（万元）表示为装修数量（栋）的函数关系式： (3)为了实现2026年年利润最大化，该村应装修多少栋民宿？并求出年利润的最大值. （附：年利润＝年收入－变动成本－固定成本） 【答案】(1) (2) (3)投资栋民宿时获得的利润最大，最大利润为万元 【解题思路】（1）求出，再根据题意求利润即可得到答案； （2）利用利润等于收入减去成本求解函数关系即可； （3）根据二次函数性质及基本不等式求解最值即可. 【解答过程】（1）当时，， 根据题意，利润为， 所以装修15栋民宿，预计2026年一年的利润有万元. （2）由题意可得， 当时，， 当时，， 所以. （3）当时，， 因为在内单调递增，所以当时，的最大值为， 当时，， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 因为，所以当时，的最大值为， 所以投资栋民宿时获得的利润最大，最大利润为万元. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 函数的应用（一） 【人教A版】 模块二 一次函数、二次函数模型的应用 【知识点1 一次函数、二次函数模型的应用】 1．实际问题中函数建模的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. (4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果 要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. 2．一次函数模型的应用 一次函数模型：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0). 一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过. 3．二次函数模型的应用 二次函数模型：f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0). 二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值 问题常用到二次函数模型. 【题型1 一次函数模型的应用】 【例1】（25-26高一上·浙江·期中）网上购物常常看到下面这样一张表，第一行可以理解为脚的长度，第二行是我们习惯称呼的“鞋号”．为了穿得舒适，鞋子不能挤脚，也不能过长． SIZE 尺码对照表 中国鞋码实际标注 (同国际码) mm 220 225 230 235 240 245 250 255 260 265 中国鞋码习惯叫法 (同欧码) 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 一个篮球运动员的脚长为282 mm，则从表格数据可以推算出，他最适合穿的鞋号是（    ） A．45 B．46 C．47 D．48 【变式1-1】（25-26高一上·北京·期中）果蔬批发市场批发某种水果，不少于千克时，批发价为每千克元，小王携带现金3000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为千克，小王付款后剩余现金为元，则与之间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026高一·全国·专题练习）南通至通州的某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的函数关系如图所示（收支差额＝车票收入一支出费用）．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（Ⅰ）不改变车票价格，减少支出费用；建议（Ⅱ）不改变支出费用，提高车票价格．下面给出的四个图形中，实线虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（    ） A．①反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ） B．②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ） C．①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ） D．④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ） 【变式1-3】（25-26高一上·湖北武汉·期中）从装满10升纯酒精的容器中倒出2升酒精，然后用水将容器加满，再倒出2升酒精溶液，再用水将容器加满，照这样的方法继续下去，设倒完第次后，前次共倒出纯酒精升，倒完第次后，前次共倒出纯酒精升，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 【题型2 二次函数模型的应用】 【例2】（25-26高一上·浙江·期中）嘉兴粽子以糯而不糊，肥而不腻，香糯可口，咸甜适中而著称，尤以鲜肉粽最为出名，被誉为“粽子之王”．小嘉销售一批嘉兴肉粽，每个肉粽的最低售价为10元．若按最低售价出售，每天能卖出40个；若每个肉粽的售价每提高1元，日销售量将减少2个．那么小嘉一天能获得的最大收入是（   ） A．440元 B．450元 C．460元 D．470元 【变式2-1】（25-26高一上·天津·阶段检测）某文具店购进一批新型台灯，最低销售价格为15元，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则这批台灯的销售价格的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（26-27高一上·陕西渭南·阶段检测）运动会的成功举办往往会带动当地经济的快速发展．运动会期间，某“农家乐”接待中心有客房 200 间，每间日租金为 40 元，每天都客满．根据实际需要，该中心需提高租金，如果每间客房日租金每增加 4 元，客房出租就会减少 10 间．（不考虑其他因素） (1)设每间客房日租金提高元（，），记该中心客房的日租金总收入为，试用表示； (2)在（1）的条件下，每间客房日租金为多少时，该中心客房的日租金总收入最高？ 【变式2-3】（25-26高一上·辽宁辽阳·期中）某商场经营一批进价为50元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价（单位：元）与日销售量（单位：件）满足关系式． (1)设经营此商品的日销售利润为（单位：元），求关于的函数解析式； (2)求经营此商品的日销售利润的最大值； (3)若要使得商场经营此商品的日销售利润不低于1050元，求此商品销售单价的取值范围． 模块三 幂函数模型的应用 【知识点2 幂函数模型的应用】 1．幂函数模型的应用 幂函数模型应用的求解策略: (1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式. (2)根据题意，直接列出相应的函数关系式. 【题型3 幂函数模型的应用】 【例3】（2026·广西·模拟预测）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·广东揭阳·期中）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道半径（单位：）的四次方成正比．若气体在半径为的管道中，流量为，气体在半径为的管道中，流量大于且小于，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高一上·青海西宁·期末）为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．现在加密密钥为，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，则解密后得到的明文是（    ） A． B． C．2 D． 【变式3-3】（25-26高三·全国·三轮复习）遗忘曲线（又称“艾宾浩斯遗忘曲线”）是由德国心理学家艾宾浩斯（H．Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率y与初次记忆经过的时间x（单位：时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15：00考语文时拥有复习背诵记忆的42%，则他明天复习背诵的时间需大约在（    ）参考数据： ，． A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 模块四 分段函数模型的应用 【知识点3 分段函数模型的应用】 1．分段函数模型的应用 由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有广泛的应用. 【题型4 分段函数模型的应用】 【例4】（25-26高一上·河北邢台·期中）“空气质量指数（AQI）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．AQI大于200表示空气重度污染，不宜开展户外活动．某地某天时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述，则这天可开展户外活动的时长至多为（   ） A．6小时 B．8小时 C．16小时 D．18小时 【变式4-1】（25-26高一上·广西百色·阶段检测）某省对居民生活用电实行“阶梯电价”，计费方式如下表： 每户每年用电量 电价 不超过2160千瓦时 0.60元/千瓦时 超过2160千瓦时但不超过4200千瓦时的部分 0.65元/千瓦时 超过4200千瓦时的部分 0.90元/千瓦时 若某户居民一年的电费为2712元，则此户居民这一年使用的电量为（   ） A．3750千瓦时 B．3950千瓦时 C．4300千瓦时 D．4400千瓦时 【变式4-2】（26-27高一上·四川眉山·阶段检测）某工厂生产工具，经过研究判断生产该工具的年固定成本为60万元，每生产万件，需另外投入成本（万元），每件工具售价为60元，经过市场调研该厂年内生产的工具能全部销售完． (1)写出年利润G（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； (2)年产量为多少万件时，该厂在这一工具的生产中所获利润最大? 【变式4-3】（25-26高一上·宁夏银川·期末）年月日，中国向国际电信联盟（ITU）一次性提交万颗低轨卫星频轨资源申请，年商业航天发射活动将更加活跃，东方空间“引力一号”、深蓝航天“星云一号”、星河动力“智神星一号”、中科宇航“力箭二号”等火箭均已制定发射计划，备受关注的天兵科技“天龙三号”，据悉也将在近期迎来首飞.某企业自主研发了一款火箭专用高级设备，并从年起全面发售.经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且，.每百台高级设备售价为万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产量最大为台. (1)求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式； (2)当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润. 【题型5 分式型函数模型的应用】 【例5】（2026·四川·二模）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（    ） A．135 B．149 C．165 D．195 【变式5-1】（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）某公司建造一间地面为矩形、背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用，那么设计房屋的正面边长为（   ）m时，能使总造价最低． A．6 B．4 C． D．3 【变式5-2】（25-26高一下·云南红河·期末）某公司生产某产品，原生产量为每年万件，为适应市场需求，计划改进技术并扩大生产．据测算，生产该产品的年固定成本为万元，每生产万件，需另投入可变成本万元，且．由市场调研知，该产品每件的售价为元，且全年产品当年可全部售完． (1)求年利润（万元）与年产量（万件）的函数解析式（利润＝销售收入－固定成本－可变成本）； (2)当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【变式5-3】（26-27高一上·浙江宁波·阶段检测）如图，居民小区要建一座八边形的休闲广场，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为4200元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元，再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元. (1)设长为（单位：），总造价为（单位：元），试建立关于的函数关系式； (2)当为何值时最小，并求出最小值. 模块五 “对勾”函数模型的应用 【知识点4 “对勾”函数模型的应用】 1．“对勾”函数模型的应用 对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：(a>0,b>0)，当x>0时，在上递减，在上递增.另外，还要注意换元法的运用. 2．“对勾”函数模型的求解方法 (1)利用“对勾”函数的单调性求解； (2)利用基本不等式求解. 【题型6 “对勾”函数模型的应用】 【例6】（26-27高一上·上海浦东新·阶段检测）某小区计划建一面积为的矩形绿地，并在绿地四周铺设人行道．设计要求绿地外南北两侧人行道宽，东西两侧人行道宽，如图所示．设矩形绿地的南北侧边长为米． (1)当人行道的占地面积不大于时，求的取值范围； (2)求绿地的长、宽分别为多少米时，才能使人行道的占地面积最小．（结果精确到）． 【变式6-1】（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）某养殖场计划沿着围墙（足够长）划出一块面积为平方米的矩形区域修建一个养殖场，规定的每条边长均不超过米．如图所示，矩形为养殖区，且点，，，四点共线，阴影部分为米宽的鹅卵石小径．设（单位：米），养殖区域的面积为（单位：平方米）． (1)用表示，并写出的取值范围； (2)当为多长时，取得最大值？并求出此最大值． 【变式6-2】（26-27高一上·福建厦门·阶段检测）某企业2026年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元．设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为万元． (1)求关于的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（）． 【变式6-3】（26-27高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）某报社要印制一张矩形海报，四周留白：上、下各留 2，左、右各留 1，已知中间印刷部分（矩形）的面积恒为 288 ．设印刷区的宽为 ，高为 （ ）． (1)写出整个海报（含白边）的面积关于的解析式，并写出定义域； (2)当取何值时，整个海报面积最小？最小面积是多少？ 【题型7 函数模型的选择问题】 【例7】（25-26高一上·北京·期中）长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益.每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数）来衡量每座水库的水位情况.假设某次联合调度要求如下： （ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间； （ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低； （ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变. 记为调度前该水库的蓄满指数，为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个关于的函数解析式： ①；②；③；④. 则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是（    ） A．②④ B．①④ C．②③ D．③④ 【变式7-1】（25-26高一上·河南洛阳·阶段检测）某果园占地约600亩，拟选用果树A进行种植，在相同种植条件下，果树A每亩最多可种植50棵，种植成本y（万元）与果树数量x（百棵）之间的关系如下表所示. x 1 4 9 16 y 1 4.4 7.8 11.2 (1)根据上面表格中的数据判断与哪一个更适合作为y与x的函数模型； (2)已知该果园的年利润z（万元）与x，y的关系为，利用（1）中适合的模型估计果树数量x为多少时年利润最大？ 【变式7-2】（25-26高一上·陕西渭南·期末）2025年9月22日，歼-15T、歼-35及空警-600三型舰载机在福建舰上完成电磁弹射起飞与着舰训练，这进一步引发了军迷对中国海军舰艇的关注，对某海军舰艇模型专卖店过去一个月（按30天计）的销售情况进行调查后发现：舰艇模型第天的销售单价 （元）的解析式为 （为常数），第天的销售量（个）的部分数据如下表所示： 3 8 15 24 40 50 60 70 已知第15天该专卖店的销售收入为5100元.（销售收入=销售量×销售单价） (1)求实数的值； (2)根据表格判断①，②这两个函数模型中哪个模型最符合题意，并求出的函数解析式； (3)根据（2）中选择的模型，预估该专卖店的日销售收入（元）在哪一天最低，最低收入是多少元? 【变式7-3】（25-26高一上·贵州黔东南·期末）近年来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与第天的函数关系近似满足（为常数，且，，），日销售量（单位：件）与第天的部分数据如表所示： 5 10 15 20 25 45 50 55 50 45 已知第5天的日销售收入为459元.给出以下三个函数模型：①；②；③. (1)请你根据表中的数据，从中选择你认为合适的一种函数模型来描述日销售量与的变化关系，并求出该函数的解析式； (2)设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的解析式； (3)该工艺品的日销售收入哪天最低？最低收入是多少？ 模块六 课后提升练（19题） 一、单选题 1．（25-26高一·全国·寒假作业）某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x（万元）与药品利润y（万元）存在的关系为（α为常数），其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为（    ） A．115万元 B．120万元 C．125万元 D．130万元 2．（25-26高一上·广西柳州·阶段检测）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”，计算方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元 超过的部分但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 甲用户某月缴纳的水费为54元，则甲用户该月的用水量（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 3．（25-26高一上·四川绵阳·期中）某工厂建造一个无盖贮水池，其容积为，深度为.池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，设计水池的最低总造价约为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 4．（25-26高一上·河北邯郸·开学考试）生物活动小组的同学们观察某植物生长，得到该植物高度（单位：cm）与观察时间（单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（轴），该植物最高的高度是（    ）    A．50cm B．20cm C．16cm D．12cm 5．（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时间内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2023年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量万件与投入实体店体验安装的费用万元之间满足函数关系式.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是（    ）万元. A．45.5 B．37.5 C．36 D．35 6．（25-26高一上·宁夏固原·期中）某投资公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资量成正比例，其关系如图1，B产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图2(利润与投资量单位：万元)；该公司已有20万元资金，并全部投入A，B两种产品中，进行科学合理投资，使公司获得最大利润为（    ）万元 A．5 B．4.8 C．4.6 D．4 7．（25-26高一上·湖南·阶段检测）如图，在一块等腰三角形空地中欲建一个内接矩形花园（阴影部分），已知，，则内接矩形花园面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·山东济宁·期中）随着市场需求和消费习惯的转变，摆摊创业正吸引着越来越多创业者．小李打算批发某种水果摆摊售卖，设他进货总费用（百元）与进货量（单位：百斤）之间的关系为（为常数），若满足“随着进货量的增大，水果每斤的平均价格逐渐减小”，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·河北·阶段检测）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道的半径（单位：）的四次方成正比，当气体在半径为5的管道中时，流量为，则（    ） A．当气体在半径为3的管道中时，流量为 B．当气体在半径为3的管道中时，流量为 C．要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为4 D．要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为 10．（25-26高一上·辽宁辽阳·期中）某商家为了提高一等品M的销售额，对一等品M进行分类销售．据统计，该商家有200件一等品M，产品单价为元．现计划将这200件一等品分为两类：精品和优品．其中优品x件（，），分类后精品的单价在原来的基础上增加2x%，优品的单价调整为元（），因市场需求旺盛，假设分类后精品与优品可以全部售完．若优品的单价不低于分类前一等品M的单价，且精品的总销售额不低于优品的总销售额，则n的值可能为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 11．（25-26高一上·浙江温州·期中）根据官方最新统计，截至2025年1月温州市机动车保有量为341.2万辆，这不仅反映了人们的生活水平不断提高；同时也对城市基础设施带来了极大的挑战，在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当，车流速度是车流密度的一次函数．规定车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）．下列说法正确的是（   ） A．若车流密度为50辆/千米时，则车流速度为50千米/小时 B．若车流密度为50辆/千米时，则车流量为2500辆/小时 C．当车流密度为200辆/千米时，车流量可以达到最大值 D．车流量最大值可以达到约为3333辆/小时 三、填空题 12．（25-26高一上·青海·期末）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计算方法如下： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 2元 超过但不超过的部分 3元 超过的部分 6元 已知该城市某户居民某月的水费为72元，则此户居民该月的用水量为__________. 13．（25-26高一·全国·寒假作业）有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成面积相等的三个小矩形，如图所示，则围成矩形的最大面积为__________（围墙厚度不计）． 14．（25-26高一上·全国·周测）随着新能源技术的发展，新能源汽车行业也迎来了巨大的商机．某新能源汽车加工厂生产某款新能源汽车每年需要固定投人100万元，此外每生产辆该汽车另需增加投资万元，当该款汽车年产量低于400辆时，，当年产量不低于400辆时，，若该款汽车售价为每辆15万元，且生产的汽车均能售完，则该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为__________万元． 四、解答题 15．（25-26高一上·河南洛阳·阶段检测）某厂以的速度匀速生产某种产品，生产条件要求，每小时可获得的利润是元. (1)要使生产该产品获得的利润为元，求. (2)要使生产该产品获得的利润最大，该厂应该选取何种生产速度？并求利润的最大值. 16．（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产两种产品，根据市场调查与市场预测，产品的利润与投资金额成正比，其关系如图①；产品的利润与投资金额的关系满足函数，如图②（注：单位为万元）. (1)分别求出两种产品的利润表示为投资金额的函数关系式； (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 17．（25-26高一上·福建泉州·期中）近年来，在国家政策的推动下，新能源汽车行业蓬勃发展．某新能源汽车配件公司为适应市场需求，计划扩大生产并改进技术，以生产某种新型组件．据测算，生产该组件的年固定成本为2300万元，每生产万件，需另投入可变成本万元，且 ，已知当年产量为10万件时，需另投入可变成本为16600万元．由市场调研知，该组件每件的售价为2000元，且假定全年产量可当年全部售完． (1)求年利润（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）； (2)当该组件的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 18．（25-26高一上·江苏宿迁·期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为（四个阴影部分加中间小正方形）的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.设总造价为（单位：元），长为（单位：m）. (1)试用表示的长，并求的取值范围； (2)求关于的函数关系式，当为何值时，最小？并求出这个最小值. 19．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）随着港珠澳大桥和深中通道的开通，珠海某村依托区位优势，大力发展民宿旅游产业.为增加村民收入，村集体计划投资改造一批精品民宿并于2026年初投入运营.据市场调研和成本核算：项目初期需投入固定成本（如基础设施升级等）20万元.此外，装修及维护x栋民宿的变动成本为万元，且.调研数据显示，每间装修好的民宿预计2026年一年可带来稳定的30万元收入. (1)若装修15栋民宿，预计2026年一年的利润有多少万元？ (2)请将该批民宿改造后的2026年年利润（万元）表示为装修数量（栋）的函数关系式： (3)为了实现2026年年利润最大化，该村应装修多少栋民宿？并求出年利润的最大值. （附：年利润＝年收入－变动成本－固定成本） 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $