第3章 重点突破3 二次函数的最值问题-【金版新学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书Word（人教A版）

本讲义聚焦二次函数在区间上的最值问题，通过“定轴定区间”“定轴动区间”“动轴定区间”“动轴动区间”四种类型构建学习支架，从对称轴与区间位置关系的基础分类逐步过渡到含参数的复杂情况，系统梳理最值求解步骤与方法。 本资料以分类讨论为主线，通过典例解析、规律方法总结及对点练，培养学生逻辑推理与数学运算核心素养。例如“定轴动区间”中对参数t的分类讨论，引导学生严谨分析对称轴与区间的关系，课中助力教师分层教学，课后学生可通过随堂评价和对点练查漏补缺，强化知识应用能力。

学习目标 　　能够利用二次函数的单调性解决求最值和参数范围等问题，提升逻辑推理和数学运算的核心素养． 　　求二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c在区间上的最值分为以下三种情况： (1)对称轴在区间的左侧：若x＝－＜m，则f(x)在区间上是增函数，最大值为f，最小值为f，如图①所示． (2)对称轴在区间内：若m≤－≤n，则f(x)的最小值为f＝，最大值为f、f中的较大者(或区间端点m，n中与直线x＝－的距离较大的那一个端点所对应的函数值)；即最小值为f＝，最大值为fmax＝max，如图②，③所示． (3)对称轴在区间的右侧：若x＝－＞n，则f(x)在区间上是减函数，最大值为f，最小值为f，如图④所示． 类型一　“定轴定区间”问题 已知f(x)＝3x2－12x＋5，当f(x)的定义域为下列区间时，求函数的最大值和最小值： (1)［0，3］；(2)［－1，1］；(3)［3，＋∞)． 解：f(x)＝3x2－12x＋5＝3(x－2)2－7，对称轴为x＝2，如图所示． (1)若x∈［0，3］，则f(x)min＝f(2)＝－7，f(x)max＝f(0)＝5； (2)若x∈［－1，1］，此时函数f(x)单调递减； 则f(x)min＝f(1)＝－4，f(x)max＝f(－1)＝20； (3)若x∈［3，＋∞)，此时函数f(x)单调递增， 则f(x)min＝f(3)＝－4，无最大值． 解决“定轴定区间”问题的步骤 第一步：画出函数图象，根据给定的区间截取符合要求的部分； 第二步：根据图象或单调性写出最大值和最小值． ［注意］　当二次函数图象开口向上时，自变量距离对称轴越远，对应的函数值越大；当图象开口向下时，则相反． 对点练1.(1)函数f(x)＝－x2＋2x－3在区间［0，＋∞)上(　　) A．有最大值－2 B．有最大值－3 C．有最小值－2 D．有最小值－3 (2)(双空题)已知函数f(x)＝ax2－2ax＋b(a＞0)的定义域为R，且在区间上有最大值5，最小值1，则a＝　　　　，b＝　　　　． 答案：(1)A　(2)1　2 解析：(1)因为f(x)＝－x2＋2x－3，所以函数f(x)的图象是开口向下的抛物线，对称轴为x＝1，如图所示.由此可得函数y＝f(x)在上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，所以f＝f(1)＝－1＋2－3＝－2，无最小值.故选A. (2)因为f(x)＝ax2－2ax＋b＝a(x－1)2＋b－a(a＞0)在上单调递增， 所以即解得 类型二　“定轴动区间”问题 已知二次函数f(x)＝x2＋2x＋1，记函数f(x)在区间［t，t＋1］(t∈R)上的最大值为g(t)，求函数g(t)的解析式． 解：函数f(x)＝x2＋2x＋1的图象开口向上，且对称轴是直线x＝－1. ①当t＋1＜－1，即t＜－2时，函数f(x)在区间［t，t＋1］上单调递减，所以f(x)max＝f(t)＝t2＋2t＋1. ②当t≤－1≤t＋1，即－2≤t≤－1时，讨论区间端点到对称轴距离的大小： 当t＋1－(－1)≤－1－t，即－2≤t≤－时，f(x)max＝f(t)＝t2＋2t＋1； 当t＋1－(－1)＞－1－t，即－＜t≤－1时，f(x)max＝f(t＋1)＝t2＋4t＋4. ③当t＞－1时，函数f(x)在区间［t，t＋1］上单调递增，所以f(x)max＝f(t＋1)＝t2＋4t＋4. 所以g(t)＝ 　　分析对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论． 对点练2.(1)已知函数f＝－x2＋x在区间上的最小值为3a，最大值为3b，则a＋b＝(　　) A．－4 B． C．2 D． (2)已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝4x，且f(0)＝1. ①求二次函数f(x)的解析式； ②设x∈［0，t］，求f(x)的最小值． 答案：(1)A 解析：(1)因为f＝－x2＋x＝－＋≤，对称轴为x＝1，开口向下，函数在上单调递增，在上单调递减，依题意3b≤，所以b≤，所以f在区间上单调递增，所以即所以a，b为方程x2＋2x＝0的两根，所以a＋b＝－＝－4.故选A. (2)①设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，因为f(0)＝1，所以c＝1， 由f(x＋1)－f(x)＝4x，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝4x， 整理得2ax＋a＋b＝4x，所以解得a＝2，b＝－2，所以f(x)＝2x2－2x＋1. ②函数f(x)＝2x2－2x＋1的图象开口向上， 且对称轴为直线x＝， 当0＜t≤时，f(x)在［0，t］上单调递减， 此时f(x)min＝f(t)＝2t2－2t＋1； 当t＞时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，此时f(x)min＝f＝2×－2×＋1＝. 综上，f(x)min＝ 类型三　“动轴定区间”问题 已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a，a∈R． (1)求函数f(x)在［0，1］上的最小值g(a)； (2)已知函数f(x)在［0，1］上的最大值为h(a)，求h(a)的最小值． 解：因为f(x)＝－x2＋2ax＋1－a，开口向下，对称轴为x＝a， 所以f(x)在(－∞，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减． (1)当a＞1时，f(x)在［0，1］上单调递增， 所以g(a)＝f(x)min＝f(0)＝1－a； 当a＜0时，f(x)在［0，1］上单调递减， 所以g(a)＝f(x)min＝f(1)＝a； 若0≤a≤1， 当0≤a≤时，a≤1－a，此时g(a)＝a， 当＜a≤1时，1－a＜a，此时g(a)＝1－a． 综上所述，g(a)＝ (2)当a＞1时，f(x)在［0，1］上单调递增， 所以h(a)＝f(x)max＝f(1)＝a； 当a＜0时，f(x)在［0，1］上单调递减， 所以h(a)＝f(x)max＝f(0)＝1－a； 当0≤a≤1时，h(a)＝f(x)max＝f(a)＝a2－a＋1， 综上所述，h(a)＝ 作出h(a)的大致图象如图所示． 由此可得h(a)min＝h＝. 解决“动轴定区间”问题的方法 　　以一元二次函数图象开口向上、对称轴为x＝m，区间为［a，b］为例，则有 1.f(x)min＝ 2.f(x)max＝ 　　当开口向下时，可用类似方法进行讨论． ［注意］　解决此类问题的关键是讨论对称轴与区间的位置关系． 对点练3.(1)若函数f(x)＝x2－2bx＋3a在区间上的最大值是M，最小值是m，则M－m的值(　　) A．与a无关，且与b有关 B．与a有关，且与b无关 C．与a有关，且与b有关 D．与a无关，且与b无关 (2)已知二次函数f(x)＝x2＋ax＋1，x∈［－1，2］，求f(x)的最小值，并表示为关于a的函数H(a)． 答案：(1)A 解析：(1)函数f(x)＝x2－2bx＋3a的图象开口向上，且对称轴为直线x＝b.①当b＞1时，f(x)在上单调递减，则M＝f(0)＝3a，m＝f(1)＝1－2b＋3a，此时M－m＝2b－1，故M－m的值与a无关，与b有关；②当b＜0时，f(x)在上单调递增，则M＝f(1)＝1－2b＋3a，m＝f(0)＝3a，此时M－m＝1－2b，故M－m的值与a无关，与b有关；③当0≤b≤1时，m＝f(b)＝3a－b2，若0≤b≤时，f(1)≥f(0)，有M＝f(1)＝1－2b＋3a，所以M－m＝b2－2b＋1，故M－m的值与a无关，与b有关，若＜b≤1时，f(1)＜f(0)，有M＝f(0)＝3a，所以M－m＝b2，故M－m的值与a无关，与b有关.综上，M－m的值与a无关，与b有关.故选A. (2)函数f(x)的图象开口向上，且对称轴为直线x＝－， 当－≤－1，即a≥2时，f(x)＝x2＋ax＋1在［－1，2］上单调递增，此时f(x)min＝f(－1)＝(－1)2－a＋1＝2－a； 当－1＜－＜2，即－4＜a＜2时，f(x)＝x2＋ax＋1在上单调递减，在上单调递增，此时f(x)min＝f＝＋a·＋1＝1－； 当－≥2，即a≤－4时，f(x)＝x2＋ax＋1在［－1，2］上单调递减， 此时f(x)min＝f(2)＝22＋2a＋1＝5＋2a． 所以H(a)＝ 类型四　“动轴动区间”问题 设a是正数，且函数f(x)＝－x2＋3x－ax＋2在［0，］上的最大值为M(a)，求M(a)的解析式． 解：因为f(x)＝－x2＋3x－ax＋2＝－[x－(3－a)]2＋＋2， 所以x＝3－a为对称轴. ①当3－a＜0，即a＞3时，M(a)＝f(0)＝2； ②当0≤3－a≤，即0＜a≤1或2≤a≤3时，M(a)＝f(3－a)＝＋2； ③当3－a＞，即1＜a＜2时，M(a)＝f＝. 综上，M(a)＝ 　　由于所给区间与对称轴的位置都是变化的，它们的变化相互制约，故必须对其制约关系进行讨论． 对点练4.(1)已知函数f(x)＝x2－2ax(a＞0)在［t，t＋2］上的最大值为0，最小值是－4，求实数a和t的值． (2)求二次函数f(x)＝x2－tx－1在x∈［t，t＋1］上的最小值g(t)，t∈R． 解：(1)f(0)＝f(2a)＝0，由题意t＝0或t＋2＝2a，这时－a2≤－4，解得a≥2. 若t＝0，则t＋2≤a，如图①所示， 所以f(t＋2)＝f(2)＝－4⇒a＝2； 若t＋2＝2a，即t＝2a－2≥a，如图②所示，所以f(t)＝－4＝f(2a－2)，则a＝2. 综上，t＝0，a＝2或t＝2，a＝2. (2)因为f(x)＝x2－tx－1＝－， 所以x＝为对称轴． ①当t≥0时，则0≤≤t＜t＋1，此时f(x)在区间［t，t＋1］上单调递增，所以最小值为g(t)＝f(t)＝t2－t2－1＝－1； ②当t＜0时， (ⅰ)若t＋1≤，即t≤－2，此时f(x)在区间［t，t＋1］上单调递减， 所以最小值为g(t)＝f(t＋1)＝(t＋1)2－t(t＋1)－1＝t． (ⅱ)若＜t＋1，即－2＜t＜0，此时f(x)在区间[t，t＋1]上先减后增，所以最小值为g(t)＝f＝－. 综上，g(t)＝ 1.已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈［0，1］，若f(x)的最小值为－2，则f(x)的最大值为　　　　． 答案：1 解析：因为f(x)＝－x2＋4x＋a在［0，1］上单调递增，所以其最小值为f(0)＝a＝－2，所以其最大值为f(1)＝3＋a＝3－2＝1. 2.已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间［0，m］上有最大值3，最小值2，则实数m的取值范围是　　　　． 答案：［1，2］ 解析：f(x)＝(x－1)2＋2，因为f(x)min＝2，f(x)max＝3，且f(1)＝2，f(0)＝f(2)＝3，所以1≤m≤2. 3.(多选)已知二次函数f＝x2＋bx＋c(b，c∈R)，M，N分别是函数在区间上的最大值和最小值，则M－N的可能取值为(　　) A．2 B．1 C．4 D． 答案：ABC 解析：当－≤－1，即b≥2时，M－N＝f－f＝2b≥4；当－≥1，即b≤－2时，M－N＝f－f＝－2b≥4；当－1＜－≤0，即0≤b＜2时，M－N＝f－f＝1＋b＋∈[1，4)；当0＜－＜1，即－2＜b＜0时，M－N＝f－f＝1－b＋∈(1，4).综上所述，M－N≥1.故选ABC. 4.已知二次函数f(x)＝x2－2x＋3. (1)当x∈［－2，3］时，求f(x)的最值． (2)当x∈［t，t＋1］时，求f(x)的最小值g(t)． 解：f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2. 则f(x)的图象的对称轴为x＝1，且开口向上． (1)f(x)在［－2，1］上单调递减，在［1，3］上单调递增， 所以f(x)min＝f(1)＝2. 又因为f(－2)＞f(3)， 所以f(x)max＝f(－2)＝11. (2)当t＞1时，f(x)在［t，t＋1］上单调递增， 所以g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3. 当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，g(t)＝f(1)＝2. 当t＋1＜1，即t＜0时，f(x)在［t，t＋1］上单调递减， 所以g(t)＝f(t＋1)＝t2＋2. 综上可得g(t)＝ 学科网（北京）股份有限公司 $