第09讲 函数的概念及其表示（十大题型+思维导图+知识归纳+课后提升练）（秋季讲义）高一数学人教A版必修第一册

第09讲 函数的概念及其表示 【人教A版】 模块二 函数的概念 【知识点1 函数的概念】 1．函数的概念 (1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y=f(x)，x∈A. (2)函数的四个特征： ①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 2．函数的三要素 (1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． (2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range). (3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 【知识点2 函数的定义域与值域】 1．求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2．求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 3．求函数值域的一般方法 (1)分离常数法； (2)配方法； (3)不等式法； (4)单调性法； (5)换元法； (6)数形结合法. 【题型1 函数关系的判断】 【例1】（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（    ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】C 【解题思路】根据函数的定义逐一判断即可. 【解答过程】对于A，因为，但是没有意义，0在中无对应的元素，A不符合题意； 对于B，因为对于任意一个实数，当时，无意义，B不符合题意； 对于C，任意一个实数，，因此同时满足任意性和唯一性，C符合题意； 对于D，当时，，不满足函数值的唯一性，D不符合题意. 故选：C. 【变式1-1】（25-26高一上·广东汕头·阶段检测）下列图象中，不能作为的函数图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据函数的定义依次判断选项即可. 【解答过程】根据函数的定义可知，对应定义域内的任意变量只能有唯一与对应，选项D中，当时，有两个不同的对应同一个，所以不满足值的唯一性，所以不能作为的函数图象； 故选：D. 【变式1-2】（25-26高一上·四川南充·期中）下列关系中一定是函数关系的是（   ） A．空调的销售额和利润的关系 B．大豆的产量和施肥量的关系 C．正方形的面积与周长的关系 D．钢铁的产量和单位生产成本的关系 【答案】C 【解题思路】根据相关关系和函数关系的定义判断各项，即可得. 【解答过程】对于空调的销售额与利润、大豆的产量与施肥量、钢铁产量和单位生产成本， 其中一个变量的变化受到多种因素的影响，以上各情况中列出的另一个变量只是其中的一个因素， 所以一个变量的变化对另一个变量的影响具有一定的随机性，故它们都是相关关系， 对于正方形的面积与周长，一个变量的变化对另一个变量影响是确定的，，即具有函数关系. 故选：C. 【变式1-3】（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知集合，集合，则下列图象能表示以为定义域，为值域的函数是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解题思路】根据题意，利用函数的定义，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【解答过程】对于A，由函数的定义，选项A可以表示定义域为，值域为的函数，所以A符合题意； 对于B，由函数的定义，选项B表示定义域为，值域为的函数，所以B不符合题意； 对于C，选项C中存在，有两个与之对应，不符合函数的定义，所以选项C不能表示函数，所以C不符合题意； 对于D，选项D中，当时，，所以选项D不能表示函数，所以D不符合题意. 故选：A. 【题型2 具体函数的定义域】 【例2】（25-26高一上·重庆·阶段检测）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用分母不为零，偶次根式被开方数大于等于零求解. 【解答过程】，且，的定义域为. 故选：D. 【变式2-1】（25-26高一上·四川乐山·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据使函数有意义得到不等式组，解得即可. 【解答过程】由有意义可得， ， 解得，即， 所以函数的定义域为. 故选：D. 【变式2-2】（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据函数定义域的求法，列不等式组求得正确答案. 【解答过程】依题意，， ，解得且， 所以的定义域是. 故选：C. 【变式2-3】（25-26高一上·陕西咸阳·期中）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据函数有意义所需满足的条件列不等式求解即可. 【解答过程】由题意，得，解得， 所以函数的定义域是. 故选：D. 【题型3 抽象函数、复合函数的定义域】 【例3】（25-26高一上·内蒙古乌兰察布·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由抽象函数定义域的求法结合解析式得到，求解即可. 【解答过程】由题意可得：，解得且， 所以的定义域为， 故选：D. 【变式3-1】（25-26高一上·陕西咸阳·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用抽象函数的定义域，结合复合函数定义域列式求解即得. 【解答过程】由函数的定义域为，得，则， 即的定义域为，在函数中，由，解得， 所以所求函数的定义域为. 故选：A. 【变式3-2】（25-26高一上·全国·周测）（1）已知函数的定义域为，求的定义域； （2）已知函数的定义域为，求的定义域. 【答案】（1）{，或}； （2） 【解题思路】（1）根据的定义域列不等式求解x，即为的定义域； （2）由的定义域可得，求出的范围即为的定义域. 【解答过程】（1）的定义域为， 要使有意义，须使，即或， 函数的定义域为{，或}. （2）的定义域为，即其中的函数自变量的取值范围是， 令，，的定义域为， 函数的定义域为. 【变式3-3】（25-26高一上·河南信阳·阶段检测）求下列函数的定义域： (1)已知函数的定义域为，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域，求函数的定义域. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由的定义域可得，求出x的取值集合即可得出的定义域； （2）由的定义域可得，求出的取值集合即可得出的定义域，进而得出的取值集合，再求出x的取值集合即可； 【解答过程】（1）设，由于函数定义域为， 故，即，解得， 所以函数的定义域为； （2）因为函数的定义域为，即， 所以，所以函数的定义域为， 由，得， 所以函数的定义域为. 【题型4 求函数的值域】 【例4】（25-26高一上·江苏扬州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用换元法并根据二次函数性质计算可得结果. 【解答过程】令，则可得，即， 可得， 当时，取得最大值2，即； 所以其值域为. 故选：A. 【变式4-1】（25-26高一上·北京·期中）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】对A，由基本不等式即可得到值域；对B，根据二次函数性质即可得到值域；对CD求出分母的范围即可得到值域. 【解答过程】对A，当时，， 当时，， 则其值域为，故A错误； 对B，，则其值域为，故B错误； 对C，因为，则，故C错误； 对D，的定义域为，则，则，故D正确. 故选：D. 【变式4-2】（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【解题思路】（1）根据给定的自变量值求出函数值即可. （2）利用二次根式的意义求出值域. （3）利用二次函数的性质求出值域. （4）利用分式函数，结合分离常数的思想求出值域. 【解答过程】（1），且，则． 所以函数的值域为. （2）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为. （3）函数图象的对称轴为，而， 当时，，当时，， 所以函数的值域为． （4）函数的定义域为， ， 所以函数的值域为． 【变式4-3】（25-26高一上·全国·期中）求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（）． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【解题思路】（1）利用观察法求值域； （2）利用配方法求值域； （3）利用换元法求值域； （4）利用分离常数法求值域； （5）利用基本不等式法求值域； 【解答过程】（1）因为，所以．故值域为． （2）因为，且，所以，所以，故函数的值域为． （3）令，则，且， 所以（）．故函数的值域． （4），其中，， 当时，． 又因为，所以． 故函数的值域为． （5）因为，所以，所以， 当且仅当，即时，取等号，即取得最小值8． 故函数的值域为． 【题型5 由函数的定义域或值域求参数】 【例5】（25-26高一上·福建福州·期中）函数的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】讨论二次项系数，要使值域为，可得，解不等式组即可求解. 【解答过程】当时，，则恒成立，显然不符合题意； 要使函数的值域为， 需使，解得. 故的取值范围是. 故选：D. 【变式5-1】（25-26高一上·上海·期中）若函数的定义域为，则实数a不可能等于（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解题思路】问题化为在上恒成立，结合二次函数的性质求参数范围，即可得. 【解答过程】由题意，在上恒成立，显然时不等式恒成立， 当时，情况如下： 若，此时不等式为在上不恒成立， 若，则，可得， 综上，. 故选：D. 【变式5-2】（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知函数． (1)若，求； (2)若的定义域为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由题意可得，求解得，进而计算可求. （2）分，和三种情况，分别计算求解即可. 【解答过程】（1）因为，所以，解得，则， 故． （2）因为的定义域为，所以对于任意，不等式恒成立， ①当时，二次函数的图象开口向下， 故必然存在使得，不符合题意； ②当时，的定义域为，不满足题意； ③当时，要使对于任意恒成立， 只需满足，解得． 综上，的取值范围是． 【变式5-3】（25-26高一上·辽宁朝阳·开学考试）已知函数. (1)若，求实数的值； (2)若函数的定义域为，求实数的取值范围； (3)若函数的值域为，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）直接代入，可求得实数的值； （2）讨论二次函数的图象特征，可求出实数的取值范围； （3）依照值域的含义，分析二次函数的图象性质，可得实数的取值范围. 【解答过程】（1）因为，所以，解得. （2）因为函数的定义域为，所以对于任意，不等式恒成立. ①当时，二次函数的图象开口向下， 故必然存在使得，不符合题意； ②当时，令，解得，此时的定义域为，不满足题意； ③当时，要使对于任意恒成立， 只需满足，解得. 综上，实数的取值范围是. （3）因为函数的值域为， 所以的值域包含. 故, ①解得； ②，值域为，符合题意. 所以实数的取值范围为. 【题型6 求函数值或由函数值求参】 【例6】（25-26高一上·福建南平·期中）若函数，则（    ） A．2 B．0 C．12 D．20 【答案】A 【解题思路】令，得，进而代值计算即可. 【解答过程】令，得，则. 故选：A. 【变式6-1】（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【解题思路】应用赋值法已知函数值求自变量即可. 【解答过程】令，解得， 所以， 因为，所以， 故选：B. 【变式6-2】（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知函数，则（    ） A．4046 B．4048 C．8092 D．8096 【答案】C 【解题思路】根据函数解析式证明，即可得到答案.. 【解答过程】， 定义域为， 则， 所以， 所以， 所以. 故选：C. 【变式6-3】（25-26高一上·广东广州·阶段检测）已知函数满足．若，则（   ） A．2 B．1 C．3 D．0 【答案】C 【解题思路】中令，结合可得答案. 【解答过程】令， 因为，且， 所以，可得， 故选：C. 模块三 函数的相等 【知识点3 函数的相等】 1．函数的相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才相等，即是同一个函数. 2．区间的概念 设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定： (1)满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； (2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)； (3)满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b]. 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 【题型7 判断两个函数是否相等】 【例7】（25-26高一上·重庆·期中）下列各组函数中，与是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，由两个函数是同一函数的定义，结合函数的定义域与对应关系，逐项分析判断，即可求解. 【解答过程】对于A，函数与的定义域都是，且对应关系也相同， 所以两个函数为同一函数，所以A符合题意； 对于B，的定义域为，的定义为， 两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，所以B不符合题意； 对于C，函数的定义域为，的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，所以C不符合题意； 对于D，由函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域和对应关系都不同，所以两个函数不是同一函数，所以D不符合题意. 故选：A. 【变式7-1】（25-26高一上·宁夏银川·期中）下列各组函数中，不是同一函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解题思路】根据题意，结合同一函数的定义，结合选项，先判定定义域，再判定对应关系，即可求解. 【解答过程】对于A，函数与的定义域都是， 且两个函数的对应关系也相同，所以两个函数是同一函数，所以A不符合题意； 对于B，函数与的定义域都是，且对应关系也相同， 所以两个函数是同一函数，所以B不符合题意； 对于C，函数满足，解得， 即函数的定义域为， 又由满足，解得，即的定义域为， 所以两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，所以C符合题意； 对于D，函数与，所以两个函数的定义域相同， 且两个函数的对应关系也相同，所以两个函数是同一函数，所以D不符合题意. 故选：C. 【变式7-2】（25-26高一上·安徽安庆·阶段检测）下列各组函数中，同组的两个函数是相同函数的有（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解题思路】先求出函数的定义域，若定义域不同，则两个函数不是相同函数，在定义域相同的情况下，再整理函数的解析式，若解析式不同，则不是相同函数，若相同，则两个函数是相同函数. 【解答过程】解：对于A：，定义域为，定义域为，所以两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一个函数，故A不正确； 对于B：，，这两个函数的解析式不同，故不是同一函数，故B不正确； 对于C：，两个函数解析式，定义域都相同，故是同一函数，故C正确. 对于D：的定义域为，而的定义域为，两个函数定义域不同，故不是同一函数，故D不正确. 故选：C. 【变式7-3】（25-26高一上·江苏无锡·期中）下列各组函数表示相同函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解题思路】根据相同函数的定义域和对应法则相同，依次判断各项中两个函数是否为相同函数即可. 【解答过程】对于A，的定义域为，的定义域为，不是相同函数，故A错误； 对于B，的定义域为，的定义域为，不是相同函数，故B错误； 对于C，的定义域为，的定义域为，不是相同函数，故C错误； 对于D，， 因为，所以，定义域为， 的定义域为，是相同函数，故D正确. 故选：D. 模块四 函数的表示法 【知识点4 函数的表示法】 1．函数的表示法 函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法. (1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系； (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系； (3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系. 2．抽象函数与复合函数 (1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． (2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数. 【题型8 函数的表示法】 【例8】（25-26高一上·河北邯郸·期中）根据表中数据，可得（    ） 1 2 3 4 2 3 1 4 1 2 4 3 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】利用表格计算即可求解. 【解答过程】因为，所以. 故选：D. 【变式8-1】（25-26高一上·湖南·期中）小宇周日去电影院看电影，从家出发匀速步行一段路后发现快迟到了，就匀速跑步前进，看完电影后匀速步行回家，下面图象由与上述事件吻合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】把时间与离家的路程变化，与速度有关，所以根据速度的大小来判断直线的斜率. 【解答过程】从家出发先匀速步行，此时直线的上升幅度较小，中间匀速跑步前进，此时直线的上升幅度较之前步行的增大，后面看电影的时间表示离家的距离没有发生变化，故直线呈水平状态，最后匀速步行回家，此时直线下降，最后减至离家的距离为. 根据以上判断，只有B吻合， 故选：B. 【变式8-2】（25-26高一上·北京·期中）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选1名代表，当各班人数除以10的余数大于5时再增选1名代表.那么各班可推选的代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数）可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】可分余数为和两种情况分别表示出班级人数和代表人数关系式，再推理即可判断得答案. 【解答过程】设各班人数除以10的余数为， 当时，，，， ； 当时，，，， ， 所以所求的函数关系为. 故选：B. 【变式8-3】（25-26高一上·山东淄博·阶段检测）已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线ABC，则的值为（    ） x 1 2 3 2 3 0 A．3 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解题思路】根据题意，由的图象求出，再由求解即可. 【解答过程】根据题意，由函数的图象，可得， 则 故选：B． 【题型9 函数解析式的求解】 【例9】（25-26高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案. 【解答过程】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 【变式9-1】（25-26高一上·贵州六盘水·期中）已知函数，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用换元法求出的解析式，即可求出的解析式. 【解答过程】因为，令，则， 所以，即， 由，所以， 所以. 故选：D. 【变式9-2】（25-26高一上·甘肃兰州·阶段检测）（1）已知，求的解析式； （2）已知函数是二次函数，且，，求的解析式. 【答案】（1）； （2） 【解题思路】（1）利用换元法进行求解即可； （2）利用待定系数法进行求解即可； 【解答过程】（1）令， 由， 所以的解析式为：； （2）令， 因为，所以， ， 所以的解析式为. 【变式9-3】（25-26高一上·内蒙古乌兰察布·期中）（1）已知是一次函数且，求的解析式； （2）已知，求的解析式； （3）若对任意实数x，均有，求的解析式. 【答案】（1）； （2）； （3） 【解题思路】（1）应用函数类型设函数应用待定系数法计算求解； （2）应用换元法求解解析式； （3）结合赋值法应用方程组法计算求解解析式. 【解答过程】（1）是一次函数，设， 由题可知：， 化简得， 因为，所以，解得. 所以函数的解析式为； （2）， 又，当且仅当，即时等号成立. 设，则， ， 函数的解析式为； （3），①，② 由①②得， 函数的解析式为. 【题型10 分段函数】 【例10】（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解题思路】根据分段函数的解析式，先求得的值，进而求得的值，得到答案. 【解答过程】由函数，可得，所以. 故选：B. 【变式10-1】（25-26高一上·江西宜春·阶段检测）已知函数，若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解题思路】设，则，根据分段函数分类讨论计算推得，再由，同法讨论计算即得的值. 【解答过程】设，则， 当时，，不合题意； 当时，由，解得，不合题意； 当时，由，解得，因，则， 即，若，则，不合题意； 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得，不合题意. 综上，可得. 故选：D. 【变式10-2】（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数. (1)求，的值； (2)若，求m的值； (3)求解集． 【答案】(1)，； (2)或1或； (3). 【解题思路】（1）根据给定分段函数，判断代入计算即得. （2）根据给定分段函数，分类讨论求得值. （3）根据给定分段函数，分类讨论求得不等式的解集. 【解答过程】（1）由，得，. （2）当时，，解得，则； 当时，，解得，则； 当时，，解得或，则， 所以的值为或1或. （3）当时，恒成立，则； 当时，恒成立，则； 当时，，即，解得，则， 所以不等式的解集为． 【变式10-3】（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知函数    (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求的解集． 【答案】(1)， (2)或1或 (3)   ， 【解题思路】（1）根据分段函数解析式计算可得； （2）根据分段函数解析式，分类讨论，分别计算可得； （3）根据函数解析式，可作出函数图象，根据函数解析式分类讨论可求得不等式的解集. 【解答过程】（1）因为， 所以， ． （2）当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得或（舍去）． 综上所述，的值为或1或． （3）作出函数的图象如图所示：    当时，恒成立；当时，恒成立； 当时，，即，得． 综上所述，的解集为． 模块五 课后提升练（19题） 一、单选题 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列四个图形中，不是以为自变量的函数的图象是（    ） A．    B．    C．    D．    【答案】C 【解题思路】由函数定义知，定义域内的每一个都有唯一函数值与之对应，逐个判断即可. 【解答过程】由函数定义知，定义域内的每一个都有唯一函数值与之对应， ABD选项中的图象都符合；C项中对于大于零的而言，有两个不同的值与之对应，不符合函数定义. 故选：C. 2．（25-26高一上·河南信阳·期中）若函数的解析式满足下表，则（    ） 0 1 2 3 -3 3 1 2 A．-3 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】根据对应法则找到对应的值即可. 【解答过程】由表可知：， 故选：C. 3．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）已知函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据复合函数定义域的求法求函数定义域. 【解答过程】由 . 所以函数的定义域为. 故选：C. 4．（25-26高一上·新疆喀什·期末）已知函数则（    ） A．0 B．1 C．－1 D．2 【答案】A 【解题思路】根据分段函数特点逐步代入即可. 【解答过程】因为函数， 所以． 故选：A. 5．（25-26高一上·江苏·阶段检测）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先求出函数的定义域，且，设，由得到，将函数两边平方，得到，设，利用二次函数的图像求出的范围，将代入得到，根据的范围求出的范围，根据的范围和求出的范围即可得解. 【解答过程】，，，， 设，则， 可得， 设，则 ，，，，， ，，，， 的值域为. 故选：C. 6．（25-26高一上·湖北·阶段检测）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数的定义域与对应关系逐项验证函数是否为同一函数即可得结论. 【解答过程】对于A，的定义域为，的定义域为， 两个函数的定义域不同，不是同一函数，故A不符合； 对于B，的定义域均为，又， 则两个函数的定义域相同，对应关系相同，故为同一函数，故B符合； 对于C，的定义域为，的定义域为， 两个函数的定义域不同，不是同一函数，故C不符合； 对于D，的定义域满足，解得或，即的定义域为， 的定义域满足，解得，即的定义域为， 两个函数的定义域不同，不是同一函数，故D不符合. 故选：B. 7．（25-26高一上·湖南常德·阶段检测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，用换元法求出函数解析式即可. 【解答过程】令，则，因此，， 所以. 故选：B. 8．（25-26高一上·广东广州·期中）已知，，则（    ） A．4048 B．4044 C．2024 D．2026 【答案】A 【解题思路】根据已知条件推出为定值，判断出准确项数，计算即可. 【解答过程】令，，则，所以. 令，则. 中共有项， 所以原式. 故选：A. 二、多选题 9．（25-26高一上·江苏泰州·期中）下列说法正确的是（    ） A．函数与 是同一个函数 B．命题 的否定是 C．若函数 的值域为 ，则实数k的取值范围是 . D．若函数 的定义域为R，则实数k的取值范围是 【答案】BC 【解题思路】对A：求出两函数定义域即可得；对B：由特称命题的否定即可解题；对C：分与，结合所给值域进行讨论即可得；对D：分与，结合所给定义域进行讨论即可得. 【解答过程】对A：定义域为，定义域为， 故函数与 不是同一个函数，故A错误； 对B：命题 的否定是 ，故B正确； 对C：当时，，不符合题意； 当时，则有，解得； 故实数的取值范围是，故C正确； 对D：当时，，其定义域为，符合要求； 当时，则有，解得； 故实数的取值范围是，故D错误. 故选：BC. 10．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）下列各组函数中，表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】CD 【解题思路】根据题意结合函数相等的定义，分析函数的对应关系和定义域，进而逐项分析判断即可. 【解答过程】对于选项A：因为，与的对应关系不相同， 所以不是同一个函数，故A错误； 对于选项B：因为的定义域为，的定义域为， 两者的定义域不相同，所以不是同一个函数，故B错误； 对于选项C：因为与，即对应关系相同， 且定义域均为，所以是同一个函数，故C正确； 对于选项D：因为与，即对应关系相同， 且定义域均为，所以是同一个函数，故D正确； 故选：CD. 11．（25-26高一上·浙江舟山·阶段检测）下列函数定义域和值域相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解题思路】根据函数的定义域、值域对选项进行分析，从而确定正确答案. 【解答过程】A选项，的定义域是，值域是，不符合题意. B选项，的定义域和值域都是，符合题意. C选项，的定义域是，值域是，不符合题意. D选项，的定义域和值域都是，符合题意. 故选：BD. 三、填空题 12．（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）若函数的定义域为，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解题思路】将函数定义域问题转化为不等式问题，对分情况讨论，结合一元二次不等式恒成立条件即可求解. 【解答过程】由题意可知，对任意恒成立. 当时，不等式可化为，恒成立，符合条件； 当时，需满足二次函数的图象开口向上，且与轴无交点， 即，也即，解得. 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 13．（26-27高一上·全国·期中）已知是二次函数，且，，，则的解析式为___________． 【答案】 【解题思路】设，结合题设条件可得关于参数的方程组，求出其解后可得函数解析式. 【解答过程】设， 根据题意得，解得， 所以 ． 故答案为：． 14．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域为___________． 【答案】 【解题思路】求出函数定义域，再利用判别式法求出函数值域即可. 【解答过程】由于恒成立，所以原函数定义域为， 由，得， 当时，，符合题意； 当时，由，得恒有实数根， 因此，解得且， 所以函数的值域为 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）求抽象函数的定义域. (1)已知函数，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域为，求的定义域. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据函数解析式可知，可得出函数的定义域，再根据抽象函数的定义域求法，即可求出函数的定义域； （2）根据题意，可知，根据抽象函数的定义域求法，可求出函数的定义域，从而得出的定义域． 【解答过程】（1）解：由， 得，解得：， ∴函数的定义域为； （2）解：∵函数的定义域为， ∴，则， 即函数的定义域为， 由，得， ∴的定义域为． 16．（25-26高三·全国·一轮复习）求下列函数的值域： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）将函数化为，利用基本不等式即可求解； （2）将函数化为，先求出的范围即可求出函数的值域. 【解答过程】（1）因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以函数的值域为. （2）由，得， 由，得， 所以， 所以函数的值域为. 17．（25-26高一上·吉林松原·期中）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)求，的值； (3)当时，求，的值. 【答案】(1) (2)， (3)， 【解题思路】（1）利用函数有意义列出不等式，求解即得函数的定义域. （2）（3）代入自变量值，计算得函数值. 【解答过程】（1）使根式有意义的实数x的集合是，使分式有意义的实数x的集合是. 所以，这个函数的定义域是， （2）； . （3）因为，所以，有意义. ； . 18．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数的解析式为 (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)求的值 (3)解不等式 【答案】(1)，最大值为4 (2) (3)或 【解题思路】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象，并根据图象求最值； （2）由分段函数各段定义域所对应的解析式，依次代入数值即可求解； （3）分别在各段解析式内解，并将结果取并集即可. 【解答过程】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象， 当时，取得最大值4． （2），，， 即. （3）当时，，所以恒成立， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上可知，或， 所以不等式的解集为或. 19．（2026高一上·河南安阳·专题练习）求下列函数的解析式： (1)已知函数满足：； (2)已知一次函数在上满足：； (3)已知函数满足：. 【答案】(1) (2) 或 (3) 【解题思路】（1）由配凑法求解即可； （2）由待定系数法求解即可； （3）通过构造方程组求解即可. 【解答过程】（1）因为， 因为，所以； （2）设， 则， 所以，解得或， 所以或； （3）因为定义在上的函数满足①， 所以②， 由①②，得， 所以. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 函数的概念及其表示 【人教A版】 模块二 函数的概念 【知识点1 函数的概念】 1．函数的概念 (1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y=f(x)，x∈A. (2)函数的四个特征： ①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 2．函数的三要素 (1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． (2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range). (3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 【知识点2 函数的定义域与值域】 1．求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2．求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 3．求函数值域的一般方法 (1)分离常数法； (2)配方法； (3)不等式法； (4)单调性法； (5)换元法； (6)数形结合法. 【题型1 函数关系的判断】 【例1】（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（    ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【变式1-1】（25-26高一上·广东汕头·阶段检测）下列图象中，不能作为的函数图象的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高一上·四川南充·期中）下列关系中一定是函数关系的是（   ） A．空调的销售额和利润的关系 B．大豆的产量和施肥量的关系 C．正方形的面积与周长的关系 D．钢铁的产量和单位生产成本的关系 【变式1-3】（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知集合，集合，则下列图象能表示以为定义域，为值域的函数是（   ） A．   B．   C．   D．   【题型2 具体函数的定义域】 【例2】（25-26高一上·重庆·阶段检测）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一上·四川乐山·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高一上·陕西咸阳·期中）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【题型3 抽象函数、复合函数的定义域】 【例3】（25-26高一上·内蒙古乌兰察布·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·陕西咸阳·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高一上·全国·周测）（1）已知函数的定义域为，求的定义域； （2）已知函数的定义域为，求的定义域. 【变式3-3】（25-26高一上·河南信阳·阶段检测）求下列函数的定义域： (1)已知函数的定义域为，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域，求函数的定义域. 【题型4 求函数的值域】 【例4】（25-26高一上·江苏扬州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高一上·北京·期中）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，； (4)． 【变式4-3】（25-26高一上·全国·期中）求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（）． 【题型5 由函数的定义域或值域求参数】 【例5】（25-26高一上·福建福州·期中）函数的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一上·上海·期中）若函数的定义域为，则实数a不可能等于（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式5-2】（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知函数． (1)若，求； (2)若的定义域为，求的取值范围． 【变式5-3】（25-26高一上·辽宁朝阳·开学考试）已知函数. (1)若，求实数的值； (2)若函数的定义域为，求实数的取值范围； (3)若函数的值域为，求实数的取值范围. 【题型6 求函数值或由函数值求参】 【例6】（25-26高一上·福建南平·期中）若函数，则（    ） A．2 B．0 C．12 D．20 【变式6-1】（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．1 C．2 D． 【变式6-2】（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知函数，则（    ） A．4046 B．4048 C．8092 D．8096 【变式6-3】（25-26高一上·广东广州·阶段检测）已知函数满足．若，则（   ） A．2 B．1 C．3 D．0 模块三 函数的相等 【知识点3 函数的相等】 1．函数的相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才相等，即是同一个函数. 2．区间的概念 设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定： (1)满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； (2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)； (3)满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b]. 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 【题型7 判断两个函数是否相等】 【例7】（25-26高一上·重庆·期中）下列各组函数中，与是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一上·宁夏银川·期中）下列各组函数中，不是同一函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式7-2】（25-26高一上·安徽安庆·阶段检测）下列各组函数中，同组的两个函数是相同函数的有（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式7-3】（25-26高一上·江苏无锡·期中）下列各组函数表示相同函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 模块四 函数的表示法 【知识点4 函数的表示法】 1．函数的表示法 函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法. (1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系； (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系； (3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系. 2．抽象函数与复合函数 (1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． (2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数. 【题型8 函数的表示法】 【例8】（25-26高一上·河北邯郸·期中）根据表中数据，可得（    ） 1 2 3 4 2 3 1 4 1 2 4 3 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式8-1】（25-26高一上·湖南·期中）小宇周日去电影院看电影，从家出发匀速步行一段路后发现快迟到了，就匀速跑步前进，看完电影后匀速步行回家，下面图象由与上述事件吻合的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高一上·北京·期中）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选1名代表，当各班人数除以10的余数大于5时再增选1名代表.那么各班可推选的代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数）可以表示为（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（25-26高一上·山东淄博·阶段检测）已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线ABC，则的值为（    ） x 1 2 3 2 3 0 A．3 B．0 C．1 D．2 【题型9 函数解析式的求解】 【例9】（25-26高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26高一上·贵州六盘水·期中）已知函数，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26高一上·甘肃兰州·阶段检测）（1）已知，求的解析式； （2）已知函数是二次函数，且，，求的解析式. 【变式9-3】（25-26高一上·内蒙古乌兰察布·期中）（1）已知是一次函数且，求的解析式； （2）已知，求的解析式； （3）若对任意实数x，均有，求的解析式. 【题型10 分段函数】 【例10】（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式10-1】（25-26高一上·江西宜春·阶段检测）已知函数，若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式10-2】（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数. (1)求，的值； (2)若，求m的值； (3)求解集． 【变式10-3】（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知函数    (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求的解集． 模块五 课后提升练（19题） 一、单选题 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列四个图形中，不是以为自变量的函数的图象是（    ） A．    B．    C．    D．    2．（25-26高一上·河南信阳·期中）若函数的解析式满足下表，则（    ） 0 1 2 3 -3 3 1 2 A．-3 B．1 C．2 D．3 3．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）已知函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·新疆喀什·期末）已知函数则（    ） A．0 B．1 C．－1 D．2 5．（25-26高一上·江苏·阶段检测）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·湖北·阶段检测）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·湖南常德·阶段检测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·广东广州·期中）已知，，则（    ） A．4048 B．4044 C．2024 D．2026 二、多选题 9．（25-26高一上·江苏泰州·期中）下列说法正确的是（    ） A．函数与 是同一个函数 B．命题 的否定是 C．若函数 的值域为 ，则实数k的取值范围是 . D．若函数 的定义域为R，则实数k的取值范围是 10．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）下列各组函数中，表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 11．（25-26高一上·浙江舟山·阶段检测）下列函数定义域和值域相同的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）若函数的定义域为，则实数的取值范围是___________. 13．（26-27高一上·全国·期中）已知是二次函数，且，，，则的解析式为___________． 14．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域为___________． 四、解答题 15．（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）求抽象函数的定义域. (1)已知函数，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域为，求的定义域. 16．（25-26高三·全国·一轮复习）求下列函数的值域： (1)； (2). 17．（25-26高一上·吉林松原·期中）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)求，的值； (3)当时，求，的值. 18．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数的解析式为 (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)求的值 (3)解不等式 19．（2026高一上·河南安阳·专题练习）求下列函数的解析式： (1)已知函数满足：； (2)已知一次函数在上满足：； (3)已知函数满足：. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $