第12讲 幂函数（九大题型+思维导图+知识归纳+课后提升练）（秋季讲义）高一数学人教A版必修第一册

第12讲 幂函数 【人教A版】 模块二 幂函数的概念 【知识点1 幂函数的概念】 1．幂函数的概念 (1)幂函数的概念： 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)幂函数的特征： ①xα的系数为1； ②xα的底数是自变量； ③xα的指数为常数. 只有同时满足这三个条件，才是幂函数. 2．幂函数的解析式 幂函数的形式是(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式. 【题型1 对幂函数的概念的理解】 【例1】（25-26高一上·辽宁葫芦岛·阶段检测）下列函数不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据幂函数的定义，逐一分析选项，判断其是否符合幂函数的形式. 【解答过程】对于选项A，符合幂函数的形式，是幂函数； 对于选项B，符合幂函数的形式，是幂函数； 对于选项C，不符合幂函数的形式，不是幂函数； 对于选项D，符合幂函数的形式，是幂函数. 故选：C. 【变式1-1】（25-26高一上·河南信阳·期中）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据幂函数的定义直接判断即可. 【解答过程】幂函数的定义：， 可知，，均不是幂函数，是幂函数. 故选：D. 【变式1-2】（25-26高一上·陕西咸阳·期中）现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解题思路】由幂函数的定义即可求解. 【解答过程】由于幂函数的一般表达式为：； 逐一对比可知题述中的幂函数有①；⑤共两个. 故选：C. 【变式1-3】（25-26高一上·上海·随堂练习）下列函数是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据幂函数的定义即可得解. 【解答过程】根据幂函数的定义，A、B、C均不是幂函数，只有D选项，形如（为常数），是幂函数，所以D正确 故选：D. 【题型2 求幂函数的函数值、解析式】 【例2】（25-26高一上·贵州铜仁·期末）已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设，根据求出的值，由此可得出幂函数的解析式. 【解答过程】根据题意，设，则，可得，解得，故. 故选：D. 【变式2-1】（25-26高一上·甘肃天水·期末）若幂函数的图象经过点，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】B 【解题思路】求出函数的解析式，再求值即可. 【解答过程】因为为幂函数，所以设， ，解得， 所以，所以. 故选：B. 【变式2-2】（25-26高一上·广东惠州·期中）若函数是幂函数，且满足，则的值为（   ） A．8 B．16 C．24 D．12 【答案】B 【解题思路】设（为常数），根据条件得到，从而，即可求解. 【解答过程】设（为常数），因为， 则，得到， 所以，则， 故选：B. 【变式2-3】（25-26高一上·河南·阶段检测）已知幂函数的图象经过点，则该函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由幂函数定义可设，由条件列方程求，可得结论. 【解答过程】因为函数为幂函数，故可设， 因为函数的图象过点， 所以， 所以， 所以，即. 故选：A. 【题型3 根据函数是幂函数求参数值】 【例3】（25-26高一上·江苏无锡·期中）函数为幂函数，则的值为（　　） A．2 B．1 C．2或 D．2或1 【答案】C 【解题思路】利用幂函数的定义解题即可. 【解答过程】根据幂函数的定义，可得，解得或. 故选：C. 【变式3-1】（25-26高一上·河南·阶段检测）“”是“函数是幂函数”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】根据幂函数的定义以及充分、必要条件等知识确定正确答案. 【解答过程】若函数是幂函数，则，解得或， 所以“”是“函数是幂函数”的充分不必要条件. 故选：B. 【变式3-2】（25-26高一上·福建泉州·期中）已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则实数m的取值为 （ ） A．或1 B．或2 C．1 D． 【答案】C 【解题思路】利用幂函数的定义及图象特征列式求解. 【解答过程】因为幂函数的图象与坐标轴没有公共点， 所以，解得． 故选：C. 【变式3-3】（25-26高三上·河南·阶段检测）已知幂函数的定义域为，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．1 【答案】C 【解题思路】由函数是幂函数解得或，再检验即可. 【解答过程】由题意，解得或， 当时，的定义域为，符合题意， 当时，的定义域不为，不符合题意， 综上，. 故选：C. 模块三 幂函数的图象与性质 【知识点2 幂函数的图象与性质】 1．常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上为增函数 ，增函数 ，减函数 在R上为增函数 在上为增函数 ，增函数 ，减函数 定点 （1,1） 温馨提示：幂函数在区间(0，＋∞)上，当a>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数． 2．一般幂函数的图象与性质 (1)一般幂函数的图象： ①当α=1时，y=x的图象是一条直线. ②当α=0时，y=x0=1(x≠0)的图象是一条不包括点(0,1)的直线. ③当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表： （p、q互质） p，q都是奇数 p是偶数，q是奇数 p是奇数，q是偶数 (2)一般幂函数的性质： 通过分析幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质： ①所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1). ②α>0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0,+∞)上是增函数. ③α<0时，幂函数在区间(0,+∞)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方 无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. ④任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限. ⑤任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一点都不是两个 幂函数的公共点. 3．比较幂值的大小 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 【知识点3 对勾函数的图象与性质】 1．对勾函数的图象与性质 参考幂函数的性质，探究函数的性质. (1)图象如图：与直线y=x，y轴无限接近. (2)函数的定义域为{x|x≠0}； (3)函数的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞). (4)奇偶性：∵，∴函数为奇函数. (5)单调性：由函数的图象可知，函数在(-∞,-1)，(1,+∞)上单调递增，在 (-1,0)，(0,1)上单调递减. 【题型4 求幂函数的定义域、值域】 【例4】（25-26高一上·辽宁盘锦·阶段检测）下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解题思路】根据幂函数的性质逐项分析即得. 【解答过程】对于A，的定义域为，∵，∴的值域为， 的定义域和值域均为，故A错误； 对于B，的定义域为，其值域为， 的定义域为，其值域为，故B错误； 对于C，的定义域为，其值域为， 的定义域为，其值域为，故C正确； 对于D，的定义域为，其值域为， 的定义域和值域均为，故D错误， 故选：C. 【变式4-1】（25-26高一上·山西吕梁·阶段检测）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】依据题意设出解析式，求出解析式后求解具体函数定义域即可. 【解答过程】是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故，则， 故，解得 故选：B. 【变式4-2】（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列幂函数的定义域． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】利用幂指数为分数的意义即为根式，来求定义域. 【解答过程】（1）由幂函数，可知定义域为； （2）由幂函数，可知定义域为； （3）由幂函数，可知定义域为. 【变式4-3】（25-26高一上·广东江门·期中）已知幂函数，且满足：①在区间上是增函数；②对任意的，都有. (1)求同时满足①②的幂函数的解析式， (2)在（1）条件下，求时的值域. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由②得函数为奇函数，对m分类讨论判断即可； （2）利用函数单调性求值域. 【解答过程】（1）对任意的，都有，∴是奇函数. 且，则当时，，满足①不满足②； 当时，，满足①②； 当时，，不满足①②. 故幂函数的解析式为； （2），， 故的值域为. 【题型5 幂函数图象的判断及应用】 【例5】（25-26高一上·上海浦东新·期中）图中、、分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【解题思路】根据幂函数在第一象限中图象的性质得到，即可得答案. 【解答过程】由幂函数在第一象限，在部分图象由下向上，逐渐增大， 且时在第一象限递增，且递增速度以为界点，时在第一象限递减， 所以，故A满足. 故选：A. 【变式5-1】（25-26高一上·浙江杭州·期末）如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】对每个选项中的函数一一判断其性质，结合特殊值，即可判断是否符合题意，即得答案. 【解答过程】对于A，，定义域为，当时，，不符合题意； 对于B，当时，，不符合题意； 对于C，，定义域为，函数为偶函数， 且在上单调递减，在上单调递增，符合题意； 对于D，，当时，，不符合题意， 故选：C. 【变式5-2】（25-26高一上·全国·课前预习）在同一坐标系内，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据幂函数的性质和函数的单调性判断即可. 【解答过程】易知当时，单调递增，当时，单调递减， 对于A，由函数的图象可知， 由的图象可知，互相矛盾，错误； 对于B，由函数的图象可知， 由的图象可知，互相矛盾，错误； 对于C，由函数的图象可知， 由的图象可知且，符合题意，正确； 对于D，由函数的图象可知， 由的图象可知且，互相矛盾，错误. 故选：C. 【变式5-3】（25-26高一上·陕西西安·期中）函数，和的图象如图所示，则下列四个说法错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果时，那么 【答案】B 【解题思路】根据幂函数的图象确定正确答案. 【解答过程】，和的图象都过点. 的图象都过点. A选项，如果，根据图象可知：，A选项正确. B选项，如果，根据图象可知：或，B选项错误. C选项，如果，根据图象可知：，C选项正确. D选项，如果时，根据图象可知：，D选项正确. 故选：B. 【题型6 幂函数的奇偶性及其应用】 【例6】（25-26高一上·浙江·期中）已知幂函数为偶函数，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．或1 【答案】C 【解题思路】由幂函数的定义：系数为1，再结合偶函数求参数的值. 【解答过程】由题意，，即，解得或， 当时，是偶函数，满足题意， 当时，，，没有奇偶性，不合题意， 所以. 故选：C. 【变式6-1】（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用幂函数的奇偶性、在指定区间上的单调性逐项判断. 【解答过程】对于A，函数的定义域为，不是奇函数，A不是； 对于B，函数是R上的偶函数，B不是； 对于C，幂函数在上单调递减，C不是； 对于D，幂函数是奇函数，且在上单调递增，D是. 故选：D. 【变式6-2】（25-26高一上·山东泰安·期中）已知幂函数为偶函数，则（    ） A． B．2 C．4 D．8 【答案】C 【解题思路】先依据幂函数的系数特征求出m的可能取值，再结合偶函数的性质确定m的具体值，最终计算. 【解答过程】由幂函数定义得，即，解得或. 当时，，为偶函数； 当时，，为奇函数， 故. 则，. 故选：C. 【变式6-3】（25-26高一上·新疆·期中）已知函数，则“”是“是奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据幂函数奇偶性分别验证充分性和必要性即可. 【解答过程】当时，，是奇函数，充分性成立； 若是奇函数，则需，或， 当时，是奇函数， 当时，是奇函数，或，必要性不成立； “”是“是奇函数”的充分不必要条件. 故选：A. 【题型7 幂函数的单调性问题】 【例7】（25-26高一上·湖北·阶段检测）幂函数在上是减函数，则的值为（    ） A．4或 B． C．或1 D． 【答案】C 【解题思路】首先根据函数是幂函数得到，求得的值，再代入验证. 【解答过程】因为函数是幂函数，所以， 解得：或， 当时，，满足函数在区间是减函数， 当时，，满足函数在区间是减函数. 故选：C. 【变式7-1】（25-26高一上·湖北·期中）函数的单调减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，结合函数的奇偶性和幂函数的性质，即可求解. 【解答过程】由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 且满足，所以函数为偶函数，图象关于轴对称， 根据幂函数的性质，当时，单调递减， 因为的图象关于轴对称，所以函数在单调递增， 所以函数的单调减区间为. 故选：C. 【变式7-2】（25-26高一上·江苏南京·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用待定系数法求出幂函数的解析式，然后利用复合函数的单调性得出结果． 【解答过程】设，因为的图象过点， 所以，解得，即， 可得在上单调递减， 则函数， 由，解得或， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 故选：A. 【变式7-3】（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数是幂函数，且在上单调递增，则实数（    ） A．2 B． C．1 D．1或 【答案】B 【解题思路】根据幂函数的定义与单调性求解实数的值. 【解答过程】知函数是幂函数， 则，解得或， 当时，，其在上单调递减，不符合题意， 当时，，其在上单调递增，符合题意， 故. 故选：B. 【题型8 比较幂值的大小】 【例8】（25-26高一上·福建莆田·期中）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意结合幂函数单调性的分析判断即可. 【解答过程】因为，且在内单调递增， 则，即. 故选：D. 【变式8-1】（25-26高一上·河北保定·期中）设幂函数的图象经过原点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由是幂函数且图象经过原点确定的值及的解析式，再利用的单调性即可得解. 【解答过程】因为是幂函数， 所以，解得或. 又的图象经过原点，所以，即. 因为，所以， 又因为在上单调递增， 所以． 故选：A. 【变式8-2】（25-26高三上·吉林通化·阶段检测）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用幂函数的单调性比较大小. 【解答过程】依题意，，而幂函数在上单调递减，又， 因此，所以的大小关系为. 故选：C. 【变式8-3】（25-26高一上·山东·期中）已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，求得，得到在上单调递减，进而即得. 【解答过程】由点在幂函数的图象上，可得，解得， 所以，函数在上单调递减， 因为，所以，即， 又因为，所以. 故选：D. 【题型9 利用幂函数的性质解不等式】 【例9】（25-26高一上·湖北·阶段检测）已知幂函数是定义域上的奇函数，则满足的实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据幂函数的定义求出的值，再代入解析式中检验，即可得到，从而得到函数的单调性，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【解答过程】因为为幂函数，所以，解得或， 当时，，此时为偶函数，不符合题意； 当时，，此时为奇函数，符合题意； 所以，则的定义域为，且函数在上单调递减， 则在上单调递减， 所以不等式， 即或或， 解得或无解或， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 【变式9-1】（25-26高一上·安徽六安·期中）已知幂函数为偶函数，且在上单调递减.则满足不等式的实数的取值范围是（    ）. A．且 B． C．且 D． 【答案】C 【解题思路】由条件确定的值，研究幂函数的定义域，奇偶性及在上的单调性，利用单调性解不等式即可求出实数的取值范围. 【解答过程】因为幂函数在上单调递减， 所以，即，解得. 因为，所以的可能取值为1，2. 因为幂函数为偶函数，须满足指数为偶数. 当时，，是偶数，符合条件； 当时，，是奇数，不符合条件， 所以，所以不等式为①. 因为幂函数的定义域为， 且对于定义域内的任意，都有， 所以幂函数是偶函数，且在上单调递减. 所以①式可化为②， 将两边平方可得， 即，即，解得， 所以②式为，解得且， 故选：C. 【变式9-2】（26-27高一上·河南·阶段检测）已知为幂函数． (1)求函数的解析式； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2)当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 【解题思路】（1）根据幂函数的定义列式求解即可； （2）可知函数为定义在上的奇函数，且为增函数，进而可得，分类讨论两根大小解不等式即可. 【解答过程】（1）因为为幂函数， 则，解得， 所以. （2）由（1）可知：， 则关于的不等式即为， 又因为，可知函数为定义在上的奇函数，且为增函数， 由可得， 则，可得， 令，解得或， 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 【变式9-3】（25-26高一上·河南·期中）已知幂函数满足，为实数． (1)求函数的解析式； (2)求函数的值域； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据函数是幂函数列式计算得出或，再结合计算求参； （2）结合二次函数值域计算求解； （3）应用幂函数单调性及函数定义域列不等式计算求解. 【解答过程】（1）由函数为幂函数，得，解得或， 当时，，，，满足； 当时，，，，不满足． 所以． （2）， 因为，所以，得， 故函数的值域为． （3）由得， 所以解得． 所以实数的取值范围为． 模块四 课后提升练（19题） 一、单选题 1．（25-26高一上·安徽·阶段检测）下列函数在定义域内是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据相关幂函数的单调性判断各项是否符合题设，即可得. 【解答过程】在定义域内是增函数，A不符合， 、在定义域内不单调，B、C不符合， 在定义域内单调递减，D符合. 故选：D. 2．（25-26高一上·云南昆明·期中）“”是“为幂函数”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】先根据幂函数定义确定系数条件，再分别判断“”能否推出“是幂函数”以及“是幂函数”能否推出“”，即可判断其充分性和必要性. 【解答过程】由，可得，所以函数为幂函数， 反之，由函数为幂函数，可得， 即，解得或， 故“”是“为幂函数”的充分不必要条件. 故选：B. 3．（25-26高一上·上海·阶段检测）若幂函数的图象关于y轴对称，且在上是严格减函数，则整数a的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解题思路】利用幂函数的定义及单调性列式求出的值. 【解答过程】由幂函数在上是严格减函数，得，解得， 而，则，， 由幂函数的图象关于y轴对称，得为偶数， 因此，此时，所以整数a的值是1. 故选：B. 4．（25-26高一上·上海·期中）如图所示曲线是幂函数在第一象限内的图像，其中，则曲线对应的值依次是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，结合幂函数在第一象限的单调性和图象的变换趋势，依次判定，即可求解. 【解答过程】根据幂函数在第一象限的图象，知： 当时，函数在第一象限为单调递增，且图象向上靠近轴，符合的图象； 当时，函数在第一象限为单调递增，且图象向右靠近轴，符合的图象； 当时，函数在第一象限为单调递减，且图象向右靠近轴，符合的图象； 当时，函数在第一象限为单调递减，且图象向右更靠近轴，符合的图象， 所以曲线对应的值依次是. 故选：B. 5．（25-26高一上·全国·阶段检测）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先计算出的值，然后根据幂函数的单调性可知的大小. 【解答过程】由题意，均为正数， 因为，且， 所以，由在上单调递增可知． 故选：B． 6．（25-26高一上·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知幂函数的图象经过点，则以下说法正确的是（   ） A．函数为偶函数 B．若，则 C．设，则 D． 【答案】C 【解题思路】先求得，然后根据奇偶性定义判断A；根据单调性判断B，作差法判断C，求出函数值域判断D. 【解答过程】设，因为幂函数的图象经过点，所以，所以，所以， 因为的定义域为，不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故A错误； 因为在上单调递增， 所以当时， ，故B错误； 设，则， 所以，故C正确； 因为任意，都有，故D错误． 故选：C. 7．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）已知幂函数是奇函数，则满足不等式的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据幂函数的定义及性质求解. 【解答过程】因为是幂函数，所以，解得或， 当时，是奇函数，符合题意； 当时，是偶函数，不符合题意；所以，， 因为在上单调递增，， 所以，解得， 即实数的取值范围为， 故选：C. 8．（25-26高一上·江苏淮安·期中）下列关于幂函数的说法不正确的是（   ） A．定义域为 B．值域为 C．在上单调递增 D．的解集为 【答案】C 【解题思路】根据幂函数的性质求出的定义域、值域、奇偶性和单调性判断选项ABC；利用奇偶性和单调性解不等式，得到，判断选项D. 【解答过程】因为幂函数，由于立方根的意义可得幂函数定义域为，选项A正确； 因为，所以，所以幂函数值域为，选项B正确； 因为，所以为偶函数，又因为， 所以幂函数在区间单调递增， 根据偶函数的性质得到在上单调递减，选项C错误； 由于为偶函数，所以 ，由， 根据函数图象和性质，可得，则有， 解得，选项D正确； 故选：C. 二、多选题 9．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）关于幂函数，下列结论正确的是（   ） A．当时，图象关于原点对称 B．当时，定义域为 C．所有幂函数都过点 D．当时，函数在上单调递增 【答案】ACD 【解题思路】直接根据幂函数的图象和性质判断可得. 【解答过程】因为幂函数， 对A：若时，，所以函数图象关于原点对称，故A正确； 对B：若时，，所以函数的定义域为，故B错误； 对C：当时，，所以所有幂函数都过点，故C正确； 对D：由幂函数性质可知，当时，函数在上单调递增，故D正确. 故选：ACD. 10．（2026高一·全国·专题练习）幂函数都有成立，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．是偶函数 D．是奇函数 【答案】BD 【解题思路】根据幂函数的特征以及函数的单调性得到的值，再根据奇偶性定义可得到结果. 【解答过程】因为是幂函数，所以，解得或， 因为，都有成立， 所以该函数在上是减函数， 所以，故A错误，B正确； 因为，定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以是奇函数，故D正确，C错误. 故选：BD. 11．（25-26高三上·广东中山·阶段检测）已知函数是幂函数，对任意，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论可能成立的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABC 【解题思路】根据是幂函数可求m为2或，再根据在上单调递增可得m为2，根据即可求出a，b的关系，从而得到答案． 【解答过程】∵函数是幂函数， ∴或． ∵对任意，且，满足， ∴在上单调递增． 当时，满足题意， 当时，不符合题意， ∴， ∴在上单调递增． ∵的值为负数， ∴． 当时，，故A可能成立； 当时，，故B可能成立； 当时，，故C可能成立； 故选：ABC． 三、填空题 12．（25-26高一上·甘肃张掖·阶段检测）已知幂函数在单调递增，则___________． 【答案】2 【解题思路】根据幂函数的定义和单调性进行求解即可. 【解答过程】因为函数是幂函数， 所以，或， 当时，在上单调递减，不符合题意； 当时，在上单调递增，符合题意， 故答案为：. 13．（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）已知，则的大小关系是___________．（用小于号连接） 【答案】 【解题思路】利用幂函数的单调性判断即可. 【解答过程】由， 因为幂函数在单调递增， 且，所以， 故答案为：. 14．（25-26高一上·广东湛江·阶段检测）已知幂函数在上递减，则不等式的解集为___________. 【答案】 【解题思路】根据幂函数定义可构造方程求得的值，结合单调性可确定的最终结果；根据奇偶性定义可得的奇偶性，结合定义域和单调性可得自变量大小关系，解不等式即可求得结果. 【解答过程】为幂函数，，解得：或； 当时，在上单调递增，不合题意； 当时，在上单调递减，符合题意； 综上所述：； 的定义域为，， 为定义在上的偶函数，故，， 由且， 解得：或， 的解集为. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高一上·北京通州·阶段检测）已知幂函数为偶函数． (1)求的解析式； (2)若，解关于x的不等式的解集． 【答案】(1)； (2) 当时，的解集为； 当时，的解集为空集； 当时，的解集为． 【解题思路】（1）利用幂函数的性质建立方程求解参数，再利用偶函数性质取舍即可. （2）将不等式转化为一元二次不等式，进而对参数分类讨论得到解集即可. 【解答过程】（1）因为是幂函数， 所以，解得或， 因为为偶函数，所以，可得． （2）由题意得， 所以不等式即为， 令，则，，且是开口向上的二次函数，根据其性质得： 当时，的解集为；当时，的解集为空集； 当时，的解集为； 综上，不等式的解集如下， 当时，的解集为；当时，的解集为空集；当时，的解集为． 16．（25-26高一上·广东湛江·阶段检测）已知幂函数. (1)求的解析式； (2)若图象不经过坐标原点，直接写出函数的单调区间； (3)若图象经过坐标原点，证明：函数在上为增函数. 【答案】(1)或 (2)单调递减区间为，，无递增区间 (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据幂函数的定义，利用一元二次方程的求解，可得答案； （2）根据反比例函数的性质，可得答案； （3）根据函数单调性的定义，结合二次函数的性质，可得答案. 【解答过程】（1）因为为幂函数，所以，解得或2， 由，，则或. （2）若的图象不经过坐标原点，则 此时的单调递减区间为，，无递增区间； （3）证明：若图象经过坐标原点，则， 任取、，且 则 ，又、， 即 在上为增函数. 17．（25-26高一上·天津武清·阶段检测）若函数为幂函数，且在单调递增． (1)求实数的值； (2)设函数，是否存在实数，使得当时恒成立，若存在，求的取值范围，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据幂函数的定义和单调性求解即可； （2）由（1）得是一元二次函数，利用一元二次函数的图象和性质分情况讨论即可. 【解答过程】（1）因为函数为幂函数，且在单调递增， 所以，解得. （2）由（1）得，则是一元二次函数， 当时恒成立，只需即可， 当时，在上单调递增， ， 解得，与矛盾，此时无解； 当时，在单调递减，在单调递增， ，解得， 当时，在上单调递减， ， 解得，与矛盾，此时无解； 综上. 18．（25-26高一上·重庆渝中·阶段检测）已知幂函数（）在定义域上不单调. (1)求函数的解析式； (2)判断函数的奇偶性，并证明； (3)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)函数为奇函数，证明见解析 (3) 【解题思路】（1）根据幂函数定义求的可能值，结合“定义域上不单调”的条件筛选出符合要求的，得到函数解析式. （2）验证函数定义域关于原点对称，再证明，判定函数为奇函数. （3）利用奇函数性质转化不等式，结合函数在不同区间的单调性分情况解不等式，确定实数的取值范围. 【解答过程】（1）由幂函数，得，解得或， 若，则在定义域内单调递增，不合题意； 若，则在定义域，内单调递减， 但在定义域内不单调，符合题意； 所以函数的解析式为； （2）函数为奇函数，证明如下： 函数的定义域关于原点对称， 且，所以函数为奇函数； （3）由及为奇函数， 得， 即， 而在上递减且恒负，在上递减且恒正， 所以，解得； 或，解得； 或，解得； 综上，实数a的取值范围为或， 所以实数a的取值范围. 19．（25-26高一上·河南·期中）已知幂函数，且在上单调递增． (1)求的值； (2)若在上恒成立，求的取值范围； (3)设为偶函数，当时，，当时，求的表达式． 【答案】(1) (2) (3)当时， 【解题思路】（1）根据幂函数的定义和性质即可求解； （2）构造二次函数，利用二次函数的图像处理恒成立问题； （3）先赋值求出，然后利用偶函数的定义即可得出答案. 【解答过程】（1）由题可得，解得或； 又在上单调递增，所以， 故； （2）由（1）得，所以原问题即在上恒成立， 即在上恒成立， 令，可知该二次函数开口向上， 所以要满足题意，只需， 解得； （3）由（1）得，当时，， 令，代入得， 所以当时，， 当时，，. 所以当时，. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 幂函数 【人教A版】 模块二 幂函数的概念 【知识点1 幂函数的概念】 1．幂函数的概念 (1)幂函数的概念： 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)幂函数的特征： ①xα的系数为1； ②xα的底数是自变量； ③xα的指数为常数. 只有同时满足这三个条件，才是幂函数. 2．幂函数的解析式 幂函数的形式是(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式. 【题型1 对幂函数的概念的理解】 【例1】（25-26高一上·辽宁葫芦岛·阶段检测）下列函数不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一上·河南信阳·期中）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高一上·陕西咸阳·期中）现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1-3】（25-26高一上·上海·随堂练习）下列函数是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 【题型2 求幂函数的函数值、解析式】 【例2】（25-26高一上·贵州铜仁·期末）已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一上·甘肃天水·期末）若幂函数的图象经过点，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 【变式2-2】（25-26高一上·广东惠州·期中）若函数是幂函数，且满足，则的值为（   ） A．8 B．16 C．24 D．12 【变式2-3】（25-26高一上·河南·阶段检测）已知幂函数的图象经过点，则该函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【题型3 根据函数是幂函数求参数值】 【例3】（25-26高一上·江苏无锡·期中）函数为幂函数，则的值为（　　） A．2 B．1 C．2或 D．2或1 【变式3-1】（25-26高一上·河南·阶段检测）“”是“函数是幂函数”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-2】（25-26高一上·福建泉州·期中）已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则实数m的取值为 （ ） A．或1 B．或2 C．1 D． 【变式3-3】（25-26高三上·河南·阶段检测）已知幂函数的定义域为，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．1 模块三 幂函数的图象与性质 【知识点2 幂函数的图象与性质】 1．常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上为增函数 ，增函数 ，减函数 在R上为增函数 在上为增函数 ，增函数 ，减函数 定点 （1,1） 温馨提示：幂函数在区间(0，＋∞)上，当a>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数． 2．一般幂函数的图象与性质 (1)一般幂函数的图象： ①当α=1时，y=x的图象是一条直线. ②当α=0时，y=x0=1(x≠0)的图象是一条不包括点(0,1)的直线. ③当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表： （p、q互质） p，q都是奇数 p是偶数，q是奇数 p是奇数，q是偶数 (2)一般幂函数的性质： 通过分析幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质： ①所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1). ②α>0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0,+∞)上是增函数. ③α<0时，幂函数在区间(0,+∞)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方 无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. ④任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限. ⑤任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一点都不是两个 幂函数的公共点. 3．比较幂值的大小 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 【知识点3 对勾函数的图象与性质】 1．对勾函数的图象与性质 参考幂函数的性质，探究函数的性质. (1)图象如图：与直线y=x，y轴无限接近. (2)函数的定义域为{x|x≠0}； (3)函数的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞). (4)奇偶性：∵，∴函数为奇函数. (5)单调性：由函数的图象可知，函数在(-∞,-1)，(1,+∞)上单调递增，在 (-1,0)，(0,1)上单调递减. 【题型4 求幂函数的定义域、值域】 【例4】（25-26高一上·辽宁盘锦·阶段检测）下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式4-1】（25-26高一上·山西吕梁·阶段检测）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列幂函数的定义域． (1)； (2)； (3)． 【变式4-3】（25-26高一上·广东江门·期中）已知幂函数，且满足：①在区间上是增函数；②对任意的，都有. (1)求同时满足①②的幂函数的解析式， (2)在（1）条件下，求时的值域. 【题型5 幂函数图象的判断及应用】 【例5】（25-26高一上·上海浦东新·期中）图中、、分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式5-1】（25-26高一上·浙江杭州·期末）如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为（   ）    A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·全国·课前预习）在同一坐标系内，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高一上·陕西西安·期中）函数，和的图象如图所示，则下列四个说法错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果时，那么 【题型6 幂函数的奇偶性及其应用】 【例6】（25-26高一上·浙江·期中）已知幂函数为偶函数，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．或1 【变式6-1】（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高一上·山东泰安·期中）已知幂函数为偶函数，则（    ） A． B．2 C．4 D．8 【变式6-3】（25-26高一上·新疆·期中）已知函数，则“”是“是奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型7 幂函数的单调性问题】 【例7】（25-26高一上·湖北·阶段检测）幂函数在上是减函数，则的值为（    ） A．4或 B． C．或1 D． 【变式7-1】（25-26高一上·湖北·期中）函数的单调减区间为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高一上·江苏南京·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数是幂函数，且在上单调递增，则实数（    ） A．2 B． C．1 D．1或 【题型8 比较幂值的大小】 【例8】（25-26高一上·福建莆田·期中）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高一上·河北保定·期中）设幂函数的图象经过原点，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高三上·吉林通化·阶段检测）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（25-26高一上·山东·期中）已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【题型9 利用幂函数的性质解不等式】 【例9】（25-26高一上·湖北·阶段检测）已知幂函数是定义域上的奇函数，则满足的实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26高一上·安徽六安·期中）已知幂函数为偶函数，且在上单调递减.则满足不等式的实数的取值范围是（    ）. A．且 B． C．且 D． 【变式9-2】（26-27高一上·河南·阶段检测）已知为幂函数． (1)求函数的解析式； (2)解关于的不等式． 【变式9-3】（25-26高一上·河南·期中）已知幂函数满足，为实数． (1)求函数的解析式； (2)求函数的值域； (3)若，求实数的取值范围． 模块四 课后提升练（19题） 一、单选题 1．（25-26高一上·安徽·阶段检测）下列函数在定义域内是减函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·云南昆明·期中）“”是“为幂函数”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一上·上海·阶段检测）若幂函数的图象关于y轴对称，且在上是严格减函数，则整数a的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（25-26高一上·上海·期中）如图所示曲线是幂函数在第一象限内的图像，其中，则曲线对应的值依次是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·全国·阶段检测）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知幂函数的图象经过点，则以下说法正确的是（   ） A．函数为偶函数 B．若，则 C．设，则 D． 7．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）已知幂函数是奇函数，则满足不等式的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·江苏淮安·期中）下列关于幂函数的说法不正确的是（   ） A．定义域为 B．值域为 C．在上单调递增 D．的解集为 二、多选题 9．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）关于幂函数，下列结论正确的是（   ） A．当时，图象关于原点对称 B．当时，定义域为 C．所有幂函数都过点 D．当时，函数在上单调递增 10．（2026高一·全国·专题练习）幂函数都有成立，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．是偶函数 D．是奇函数 11．（25-26高三上·广东中山·阶段检测）已知函数是幂函数，对任意，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论可能成立的是（    ） A．， B．， C．， D．， 三、填空题 12．（25-26高一上·甘肃张掖·阶段检测）已知幂函数在单调递增，则___________． 13．（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）已知，则的大小关系是___________．（用小于号连接） 14．（25-26高一上·广东湛江·阶段检测）已知幂函数在上递减，则不等式的解集为___________. 四、解答题 15．（25-26高一上·北京通州·阶段检测）已知幂函数为偶函数． (1)求的解析式； (2)若，解关于x的不等式的解集． 16．（25-26高一上·广东湛江·阶段检测）已知幂函数. (1)求的解析式； (2)若图象不经过坐标原点，直接写出函数的单调区间； (3)若图象经过坐标原点，证明：函数在上为增函数. 17．（25-26高一上·天津武清·阶段检测）若函数为幂函数，且在单调递增． (1)求实数的值； (2)设函数，是否存在实数，使得当时恒成立，若存在，求的取值范围，若不存在，说明理由． 18．（25-26高一上·重庆渝中·阶段检测）已知幂函数（）在定义域上不单调. (1)求函数的解析式； (2)判断函数的奇偶性，并证明； (3)若，求实数a的取值范围. 19．（25-26高一上·河南·期中）已知幂函数，且在上单调递增． (1)求的值； (2)若在上恒成立，求的取值范围； (3)设为偶函数，当时，，当时，求的表达式． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $