第十二讲 函数的应用同步讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第12讲 函数的应用 一、必备知识整合 知识点一：函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于一般函数y＝f(x),我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点. (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点. (3)函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y＝f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)＝0,这个c也就是方程f(x)＝0的解. 知识点二：二分法 对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 知识点三：三种函数模型的性质 函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xα(α>0) 在(0,＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随α值的变化而各有不同 知识点四：常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a,b为常数,a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a,b,c为常数,a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k,b为常数,k≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0) 幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a,b,α为常数,a≠0,α≠0) 二、考点分类精讲 ►考点01 函数零点所在的区间的判定 【例1】函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在上单调递减， 又， 所以由零点存在定理可得函数在(3，4)之间存在零点，故选：C 【变式1】函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为与在定义域上单调递增， 所以在定义域上单调递增， 又，， ， 即，所以的零点位于内. 【变式2】函数f(x)＝－2－x－1的零点所在的区间是(　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 【答案】B 【解析】函数f(x)＝－2－x－1的定义域为[0,＋∞), 函数y＝在[0,＋∞)上单调递增,函数y＝2－x在[0,＋∞)上单调递减, 所以f(x)在[0,＋∞)上单调递增. 由f(1)＝1－－1＝－<0,f(2)＝－1＝－1.25>0, 所以函数f(x)＝－2－x－1的零点所在的区间是(1,2). 【变式3】已知函数f(x)＝(m－2)xm为幂函数,若函数g(x)＝lg x＋x－m,则g(x)的零点所在区间为(　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 【答案】C 【解析】由f(x)＝(m－2)xm为幂函数,所以m－2＝1,得m＝3,所以g(x)＝lg x＋x－3,易知g(x)是增函数,则g(x)至多只有一个零点,因为g(2)＝lg 2－1<0,g(3)＝lg 3>0,所以g(x)的零点所在区间为(2,3). ►考点02 函数零点个数的判定 【例2】函数f(x)＝的零点个数为(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】D 【解析】当x≤0时,x2－1＝0,解得x＝－1； 当x>0时,f(x)＝x－2＋ln x在(0,＋∞)上单调递增,并且f(1)＝1－2＋ln 1＝－1<0, f(2)＝2－2＋ln 2＝ln 2>0, 即f(1)f(2)<0, 所以函数f(x)在区间(1,2)内必有一个零点, 综上,函数f(x)的零点个数为2. 【变式1】函数f(x)＝的零点个数为(　　) A.3 B.2 C.7 D.0 【答案】B 【解析】由或 解得x＝－2或x＝e，故f(x)有2个零点. 【变式2】函数f(x)＝3x|log2x|－1的零点个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】　C 【解析】函数f(x)＝3x|log2x|－1的零点, 即3x|log2x|－1＝0的解,即|log2x|＝的解, 即y＝|log2x|与y＝图象的交点,如图所示, 从函数图象可知,y＝|log2x|与y＝有2个交点,即函数f(x)的零点个数为2. 【变式3】已知函数f(x)＝则“a≤－2”是“f(x)有2个零点”的(　　) A.充分不必要条件 　　　　 B.必要不充分条件 C.充要条件 　　　　 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】当x<2时，f(x)＝2x＋x单调递增，且f(x)的图象是连续不断的曲线. f(－1)＝2－1－1<0，f(0)＝20＋0>0， 由函数零点存在定理可知，f(x)＝2x＋x在(－∞，2)上有唯一零点，且该零点为负数； 当x≥2时，令x2＋2a＝0，解得x＝或x＝－(舍去)， 若f(x)在[2，＋∞)上有零点， 则≥2，即a≤－2，此时f(x)在[2，＋∞)上只有唯一零点，且该零点为正数. 综上所述，当a≤－2时，f(x)有2个零点； 当f(x)有2个零点时，a≤－2， 所以“a≤－2”是“f(x)有2个零点”的充要条件.故选C. ►考点03 函数零点的分布问题 【例3】若函数在区间内存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数在区间内存在零点，且函数在定义域内单调递增， 由零点存在性定理知，即，解得所以实数的取值范围是. 【变式1】已知函数f（x）=ax-3（a>0，且a≠1），f（x0）=0，若x0∈（0，1），则实数a的取值范围是（　　） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，+） 【答案】D 【解析】因为函数f（x）=ax-3（a>0，且a≠1）单调，所以函数在区间（0，1）上至多有一个零点，因为f（x0）=0，且x0∈（0，1），所以， 解得，所以实数a的取值范围是（3，+）， 【变式2】若方程的两实根中一个小于，另一个大于，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由可得， 令，由已知可得，解得. 【变式3】已知函数，，的零点分别为，，，以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题设，，，，所以问题可转化为直线与，，的图象的交点问题，函数图象如下．由图知． ►考点04 函数零点的应用 【例4】已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)－x－a,若函数g(x)有2个零点,则实数a的取值范围是(　　) A.[－1,0) B.[1,＋∞) C.(－∞,1] D.[2,＋∞) 【答案】D 【解析】由函数f(x)＝ 因为g(x)＝f(x)－x－a,令g(x)＝0,即f(x)＝x＋a, 由函数g(x)有2个零点,即y＝f(x)和y＝x＋a的图象有两个交点, 在同一坐标系内画出两个函数的图象,如图所示, 结合函数的图象,要使函数g(x)有2个零点,则a≥2, 所以实数a的取值范围为[2,＋∞). 【变式1】已知函数若函数有2个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，与有2个交点，当时，递增且值域为；当时，在上递减，上递增且值域为；所以的图像如下：由图知：时，有2个零点. 【变式2】(多选)已知函数f(x)＝令h(x)＝f(x)－k,则下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)的单调递增区间为(0,＋∞) B.当h(x)有3个零点时,k∈(－4,－3] C.当k＝－2时,h(x)的所有零点之和为－1 D.当k∈(－∞,－4)时,h(x)有1个零点 【答案】　BD 【解析】函数f(x)＝ 结合二次函数和对数函数的图象和性质,作函数f(x)的图象如图所示, 由图象可知,函数f(x)的单调递增区间为(－1,0)和(0,＋∞),A选项错误； h(x)的零点即函数y＝f(x)的图象和直线y＝k交点的横坐标,由图象可知,当h(x)有3个零点时,k∈(－4,－3],B选项正确； 解方程可知,当k＝－2时,h(x)有两个零点,－1－和1,所有零点之和为－C选项错误； 当k∈(－∞,－4)时,函数y＝f(x)的图象和直线y＝k有1个交点,即h(x)有1个零点,D选项正确. 【变式3】已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】作出函数的图象，如图， 不妨设，则，得，由图可知，，， 故.故选：C ►考点05 二分法求函数零点 【例5】若函数的部分函数值如下，那么方程的一个近似根（精确到0．1）可以是（    ） A．1．2 B．1．3 C．1．4 D．1．5 【答案】C 【解析】因为，，且1．375与1．4375精确到0．1的近似值都为1．4，所以原方程的一个近似根为1．4．故选：C． 【变式1】下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【变式2】用二分法求函数f(x)＝ex－x－2的一个正零点的近似值(精确度为0.1)时,依次计算得到如下数据：f(1)≈－0.28,f(1.5)≈0.98,f(1.25)≈0.24,f(1.125)≈－0.04,关于下一步的说法正确的是(　　) A.已经达到精确度的要求,可以取1.1作为近似值 B.已经达到精确度的要求,可以取1.125作为近似值 C.没有达到精确度的要求,应该接着计算f(1.187 5) D.没有达到精确度的要求,应该接着计算f(1.062 5) 【答案】C 【解析】由二分法的定义,可得正零点所在区间不断缩小,(1,1.5)→(1,1.25)→(1.125,1.25),因为|1.125－1.25|＝0.125>0.1,故没有达到精确度的要求,应该接着计算f＝f(1.187 5)的值. 【变式3】在用二分法求方程x2＝3的正实数根的近似值(精确度为0.001)时,若我们选取的初始区间是[1.7,1.8],为达到精确度要求至少需要计算的次数是　　　　　　.  【答案】7 【解析】设至少需要计算n次,则n满足<0.001,即2n>100,由于26＝64,27＝128,故要达到精确度要求至少需要计算7次. ►考点06 用函数图像刻画变化过程 【例6】设f(x)＝x2,g(x)＝2x,h(x)＝log2x,当x∈(4,＋∞)时,对这三个函数的增长速度进行比较,下列结论正确的是(　　) A.f(x)的增长速度最快,h(x)的增长速度最慢 B.g(x)的增长速度最快,h(x)的增长速度最慢 C.g(x)的增长速度最快,f(x)的增长速度最慢 D.f(x)的增长速度最快,g(x)的增长速度最慢 【答案】B 【解析】画出函数f(x)＝x2,g(x)＝2x,h(x)＝log2x的图象,如图所示, 结合图象,可得三个函数f(x)＝x2,g(x)＝2x,h(x)＝log2x中, 当x∈(4,＋∞)时,函数g(x)＝2x增长速度最快,h(x)＝log2x增长速度最慢. 所以选项B正确. 【变式1】为了能在规定时间T内完成预期的运输量Q0,某运输公司提出了四种运输方案,每种方案的运输量Q与时间t的关系如图(四个选项)所示,其中运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的选项是(　　) 【答案】B 【解析】由题意,运输效率逐步提高,即函数增长速率逐渐加快,选项B满足. 【变式2】(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时,该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后,体内血药浓度及相关信息如图所示： 根据图中提供的信息,下列关于成人服用该药物的说法中,正确的是(　　) A.首次服用1单位该药物,约10分钟后药物发挥治疗作用 B.每次服用1单位该药物,两次服药间隔小于2小时时,一定会产生药物中毒 C.首次服用1单位该药物,约5.5小时后第二次服用1单位该药物,可使药物持续发挥治疗作用 D.首次服用1单位该药物,3小时后再次服用1单位该药物,不会发生药物中毒 【答案】ABC 【解析】从图象中可以看出,首次服用1单位该药物,约10分钟后药物发挥治疗作用,A正确；根据图象可知,首次服用1单位该药物,约1小时后血药浓度达到最大值,由图象可知,当两次服药间隔小于2小时时,一定会产生药物中毒,B正确；服药5.5小时时,血药浓度等于最低有效浓度,此时再服药,血药浓度增加,可使药物持续发挥治疗作用,C正确；首次服用1单位该药物4小时后与再次服用1单位该药物1小时后,血药浓度之和大于最低中毒浓度,因此一定会发生药物中毒,D错误. 【变式3】已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是(　　) A.40万元 B.60万元 C.80万元 D.120万元 【答案】D 【解析】当甲商品的价格为6元时，该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40(万元)； 当乙商品的价格为4元时，该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80(万元). 故该商人共获利40＋80＝120(万元). ►考点07 已知函数模型的实际问题 【例7】2024年1月5日,第40届中国·哈尔滨国际冰雪节在哈尔滨冰雪大世界园区开幕,现场流光溢彩,游客如潮,充满热情与活力.该园区为了倡导绿色可循环的理念,配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量N(mg/L)与时间t(小时)的关系为N＝N0e－kt(N0为最初污染物数量).如果前2个小时消除了20%的污染物,那么前6个小时消除了污染物的(　　) A.51.2% B.48.8% C.52% D.48% 【答案】B 【解析】依题意有N0e－2k＝(1－20%)N0, 可得e－2k＝0.8, 当t＝6时,N0e－6k＝N0＝0.512N0＝(1－48.8%)N0, 因此,前6个小时消除了污染物的48.8%. 【变式1】青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(　　) A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6 【答案】C 【解析】由题意知4.9＝5＋lg V， 得lg V＝－0.1，得V＝10－≈0.8， 所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8. 【变式2】我国量子计算机“悟空”预计到2025年可以操控的超导量子比特达到1 024个.已知1个超导量子比特共有2种叠加态,2个超导量子比特共有4种叠加态,3个超导量子比特共有8种叠加态,…,每增加1个超导量子比特,其叠加态的种数就增加一倍.若N＝a×10k(1≤a<10,k∈N),则称N为k＋1位数,已知1 024个超导量子比特的叠加态的种数是一个m位的数,则m等于(参考数据：lg 2≈0.301)(　　) A.308 B.309 C.1 023 D.1 024 【答案】　B 【解析】根据题意,得n个超导量子比特共有2n种叠加态, 所以当有1 024个超导量子比特时共有N＝21 024(种)叠加态. 两边取以10为底的对数得lg N＝lg 21 024＝1 024lg 2≈1 024×0.301＝308.224, 所以N≈10308.224＝100.224×10308. 由于1<100.224<10, 故N是一个309位的数,即m＝309. 【变式3】甲醛是一种无色、有着刺激性气味的气体，对人体健康有着极大的危害.新房入住时，空气中甲醛浓度不能超过0.08 mg/m3，否则，该新房达不到安全入住的标准，若某套住房自装修完成后，通风x(x＝1，2，3，…，50)周与室内甲醛浓度y(单位：mg/m3)之间近似满足函数关系式y＝0.48－0.1f(x)(x∈N*)，其中f(x)＝loga[k(x2＋2x＋1)](k>0，x＝1，2，3，…，50)，且f(2)＝2，f(8)＝3，则该住房自装修完成后要达到安全入住的标准，至少需要通风(　　) A.17周 B.24周 C.28周 D.26周 【答案】D 【解析】由题意，f(x)＝loga[k(x＋1)2]＝logak＋2loga(x＋1)， 由f(2)＝2，f(8)＝3， 得logak＋2loga(2＋1)＝2，logak＋2loga(8＋1)＝3， 两式相减得loga9＝1，则a＝9， 所以logak＋2＝3，得k＝9. 该住房自装修完成后要达到安全入住的标准，则需0.48－0.1f(x)≤0.08，即f(x)≥4， 即1＋2log9(x＋1)≥4，解得x≥26， 故至少需要通风26周.故选D. ►考点08 构造函数模型的实际问题 【例8】李冶(1192—1279)，真定栾城(今属河北石家庄市)人，金元时期的数学家、诗人，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：如求圆的直径、正方形的边长等.其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为y亩，若方田的四边到水池的最近距离均为20步，则y关于水池半径r(步)的函数关系式为y＝________，水池的边缘与方田之间的面积与水池半径比值最小时，r＝________(注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算). 【答案】r2＋r＋　40 【解析】已知水池的半径为r步， 则方田的边长为(2r＋40)步， 由题意得，(2r＋40)2－πr2＝y×240， 得y＝r2＋r＋，＝＋＋≥1，当且仅当r＝40取等号. 【变式1】某工厂拟建一个平面图形为矩形，且总面积为400 m2的三级污水处理池，如图所示，已知池外墙造价为200元/m，中间两条隔墙造价为250元/m，池底造价为80元/m2(池壁的厚度忽略不计，且污水处理池无盖).若使污水处理池的总造价最低，那么污水处理池的长和宽分别为(　　) A.40 m，10 m B.20 m，20 m C.30 m， m D.50 m，8 m 【答案】　C 【解析】设污水处理池的宽为x m， 则长为 m，总造价为y元， 则y＝200＋2×250x＋80×400＝900x＋＋ 32 000≥2＋32 000＝56 000，当且仅当900x＝， 即x＝时，总造价最低. 【变式2】某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇，开发生产一智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产x万件该产品，需另投入成本ω(x)万元，其中ω(x)＝若该公司一年内生产该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业每年利润的最大值为(　　) A.720万元 B.800万元 C.875万元 D.900万元 【答案】　C 【解析】该企业每年利润f(x)＝ 当0<x≤40时，f(x)＝－x2＋60x－25＝－(x－30)2＋875， 当x＝30时，f(x)取得最大值875； 当x>40时，f(x)＝920－≤920－2＝720(当且仅当x＝100时，等号成立)，即当x＝100时，f(x)取得最大值720. 由于875>720，所以该企业每年利润最大值为875万元.故选C. 【变式3】“打水漂”是一种游戏,通过一定方式投掷石片,使石片在水面上实现多次弹跳,弹跳次数越多越好.小赵同学在玩“打水漂”游戏时,将一石片按一定方式投掷出去,石片第一次接触水面时的速度为20 m/s,然后石片在水面上继续进行多次弹跳.不考虑其他因素,假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的85%,若石片接触水面时的速度低于6 m/s,石片就不再弹跳,沉入水底,则小赵同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为(参考数据：lg 2≈0.3,lg 3≈0.48,lg 17≈1.23)(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】C 【解析】设石片第n次接触水面时的速度为vn, 则vn＝20×0.85n－1, 由题意得20×0.85n－1≥6,即0.85n－1≥0.3, 得n－1≤log0.850.3, 又log0.850.3＝≈7.4, 所以n≤8.4,故这次“打水漂”石片的弹跳次数为8. 三、课后作业 1.函数y＝(x－2)(2x＋1)的零点是(　　) A.2 B.(2,0) C.－2 D.2或－1 【答案】A 【解析】令y＝(x－2)(2x＋1)＝0,因为2x＋1>1>0,所以x－2＝0,即x＝2. 2.下列函数图像与x轴都有公共点，其中不能用二分法求图中函数零点近似值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 3.在下列区间中，函数的零点所在的区间为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，因为，， 由零点存在定理，故函数的零点所在的区间为 4.若函数y＝f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,则“f(a)·f(b)<0”是“函数y＝f(x)在开区间(a,b)内至少有一个零点”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】　A 【解析】函数y＝f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线, 由函数零点存在定理可知,当f(a)·f(b)<0时,函数y＝f(x)在开区间(a,b)内至少有一个零点,充分性成立； 而函数y＝f(x)在开区间(a,b)内至少有一个零点时,f(a)·f(b)<0不一定成立, 如函数y＝x2,在开区间(－1,1)内有零点x＝0,但f(－1)·f(1)>0,必要性不成立. 则“f(a)·f(b)<0”是“函数y＝f(x)在开区间(a,b)内至少有一个零点”的充分不必要条件. 5．下列函数中，是偶函数且不存在零点的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A中，函数的对称轴为轴，故是偶函数，令得，所以的零点为，不符合题意； 对于B中，函数的定义域为，不关于原点对称，故不是偶函数，不符合题意； 对于C中，函数的定义域为，不关于原点对称，故不是偶函数，不符合题意． 对于D中，函数，可得，所以函数为偶函数，令，此时方程无解，所以函数无零点，符合题意.故选：D. 6.一组实验数据及对应散点图如图所示,则体现这些数据关系的最佳函数模型是(　　) x 10 20 29 41 50 58 70 y 1 2 3.8 7.4 11 15 21.8 A.y＝Alogax＋p B.y＝A·ax＋p C.y＝ax2＋bx＋c D.y＝kx＋b 【答案】C 【解析】由散点图中各点的变化趋势：非线性、且在第一象限内单调递增,对于Δxi＝xi＋1－xi,Δyi＝yi＋1－yi,i∈{1,2,3,4,5,6},由题意可得 x 10 20 29 41 50 58 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.57 可知近似于线性,所以适合二次函数模型. 7.根据调查统计,某市未来新能源汽车保有量基本满足模型y＝其中y(单位：万辆)为第x年年底新能源汽车的保有量,p为年增长率,N为饱和度,y0为初始值.若2023年年底该市新能源汽车的保有量是20万辆,以此为初始值,以后每年的增长率为12%,饱和度为1 300万辆,那么2033年年底该市新能源汽车的保有量约为(结果四舍五入保留整数,参考数据：ln 0.887≈－0.12,ln 0.30≈－1.2)(　　) A.65万辆 B.64万辆 C.63万辆 D.62万辆 【答案】B 【解析】根据题中所给模型,代入有关数据, 则2033年年底该市新能源汽车的保有量为y＝ 因为ln 0.30≈－1.2,所以e－1.2≈0.30, 所以y＝≈≈64, 所以2033年年底该市新能源汽车的保有量约为64万辆. 8.已知，分别是方程，的根，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得是函数的图象与直线交点的横坐标，是函数图象与直线交点的横坐标，因为的图象与图象关于直线对称，而直线也关于直线对称，所以线段的中点就是直线与的交点，由，得，即线段的中点为，所以，得。 9.（多选）给出下列命题： ①已知函数，则 ②当且时，函数的图像必过定点 ③用二分法求函数在区间内的零点近似值，至少经过3次二分后精确度达到0.1 ④函数的零点有2个以上命题错误的有（    ）． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】ACD 【解析】①选项，函数，所以令代入得：，故选项错误；②选项，函数为指数函数，当时，，此时，所以，此函数必过定点，该选项正确；③选项，区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过次操作后，区间长度变为，故有，，至少要操作4次，所以选项错误；④选项，函数的零点有3个，一个是，一个为，一个为，所以选项错误. 10.(多选)已知x1,x2分别是函数f(x)＝2x－和g(x)＝log2x－的零点,则(　　) A.－x2＝0 B.log2x1＋log2x2＝0 C.x2>2 D.·log2x2＝1 【答案】ABD 【解析】由题设知,f(x)的零点为函数y＝2x与函数y＝图象交点的横坐标；g(x)的零点为函数y＝log2x与函数y＝图象交点的横坐标,由y＝2x与y＝log2x的图象关于直线y＝x对称,y＝的图象关于直线y＝x对称, 所以x1,x2关于直线y＝x对称, y＝2x,y＝log2x,y＝的图象如图所示, 所以点(x1)与点(x2,log2x2)关于直线y＝x对称, 即 故－x2＝0·log2x2＝1, log2x1＋log2x2＝log2(x1x2)＝0,A,B,D对； 若x2>2,即x2＝>2⇒x1>1,此时x1x2>2,与x1x2＝1矛盾,C错. 11.已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)的零点是　　　　　　.  【答案】－1和4 【解析】依题意或 解得x＝－1或x＝4. 12.函数y＝x与函数y＝x·ln x在区间(4,＋∞)上增长较快的一个是　　　　.  【答案】y＝x·ln x 【解析】当x∈(4,＋∞)时,x·ln x－x＝x(ln x－1)>x(ln 4－1)>0,所以函数y＝x·ln x在区间(4,＋∞)上增长较函数y＝x快. 13.已知函数，若在上单调递增，且有两个零点，则满足题意的一个实数的值可以为 ______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】由于函数，若在上单调递增，则，故，由于，整理得，解得或， 故满足的条件的取值范围为，故的值可以为：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 14.研究表明：在一节40分钟的网课中,学生的注意力指数y与听课时间x(单位：分钟)之间的变化曲线如图所示,当x∈[0,16]时,曲线是二次函数图象的一部分；当x∈[16,40]时,曲线是函数y＝log0.8(x＋a)＋80图象的一部分,当学生的注意力指数不高于68时,称学生处于“欠佳听课状态”. (1)求函数y＝f(x)的解析式； (2)在一节40分钟的网课中,学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？(参考数据：0.8－12≈14.6,精确到1分钟) 解　(1)当x∈[0,16]时, 设函数f(x)＝b(x－12)2＋84(b<0), 因为f(16)＝b(16－12)2＋84＝80, 所以b＝－所以f(x)＝－(x－12)2＋84； 当x∈[16,40]时,f(x)＝log0.8(x＋a)＋80, 由f(16)＝log0.8(16＋a)＋80＝80,解得a＝－15, 所以f(x)＝log0.8(x－15)＋80, 综上,f(x)＝ (2)当x∈[0,16]时, 令f(x)＝－(x－12)2＋84≤68, 即(x－12)2≥64,解得x≤4或x≥20(舍去), 所以x∈[0,4]； 当x∈[16,40]时,令f(x)＝log0.8(x－15)＋80≤68,得x≥15＋0.8－12≈29.6,所以x∈[30,40], 所以学生处于“欠佳听课状态”的时长为4－0＋40－30＝14(分钟). 15.已知二次函数f(x)＝x2－bx＋c(c≠0)的单调递增区间为[2,＋∞),且有一个零点为c. (1)证明：f(x＋2)是偶函数； (2)若函数g(x)＝f(x)－mx＋1在(1,3)上有两个零点,求m的取值范围. (1)证明　由二次函数f(x)＝x2－bx＋c(c≠0)的单调递增区间为[2,＋∞), 可得＝2,解得b＝4. 又因为f(x)有一个零点为c,则f(c)＝c2－4c＋c＝0, 解得c＝3或c＝0(舍去), 所以f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1, 因为f(－x＋2)＝x2－1＝f(x＋2),所以f(x＋2)是偶函数. (2)解　由(1)可知g(x)＝x2－4x＋3－mx＋1＝x2－(4＋m)x＋4, 因为g(x)在(1,3)上有两个零点, 则满足解得0<m< 所以实数m的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 函数的应用 一、必备知识整合 知识点一：函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于一般函数y＝f(x),我们把使 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点. (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有 ⇔函数y＝f(x)的图象与 有公共点. (3)函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有 ,那么,函数y＝f(x)在区间 内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得 ,这个c也就是方程f(x)＝0的解. 知识点二：二分法 对于在区间[a,b]上图象连续不断且 的函数y＝f(x),通过不断地把它的零点所在区间 ,使所得区间的两个端点逐步逼近 ,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 知识点三：三种函数模型的性质 函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xα(α>0) 在(0,＋∞)上的增减性 增长速度 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与 平行 随x的增大逐渐表现为与 平行 随α值的变化而各有不同 知识点四：常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 二次函数模型 反比例函数模型 指数函数模型 对数函数模型 幂函数模型 二、考点分类精讲 ►考点01 函数零点所在的区间的判定 【例1】函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【变式1】函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【变式2】函数f(x)＝－2－x－1的零点所在的区间是(　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) ►考点02 函数零点个数的判定 【例2】函数f(x)＝的零点个数为(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 【变式1】函数f(x)＝的零点个数为(　　) A.3 B.2 C.7 D.0 【变式2】函数f(x)＝3x|log2x|－1的零点个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 ►考点03 函数零点的分布问题 【例3】若函数在区间内存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数f（x）=ax-3（a>0，且a≠1），f（x0）=0，若x0∈（0，1），则实数a的取值范围是（　　） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，+） 【变式2】若方程的两实根中一个小于，另一个大于，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． ►考点04 函数零点的应用 【例4】已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)－x－a,若函数g(x)有2个零点,则实数a的取值范围是(　　) A.[－1,0) B.[1,＋∞) C.(－∞,1] D.[2,＋∞) 【变式1】已知函数若函数有2个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】(多选)已知函数f(x)＝令h(x)＝f(x)－k,则下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)的单调递增区间为(0,＋∞) B.当h(x)有3个零点时,k∈(－4,－3] C.当k＝－2时,h(x)的所有零点之和为－1 D.当k∈(－∞,－4)时,h(x)有1个零点 ►考点05 二分法求函数零点 【例5】若函数的部分函数值如下，那么方程的一个近似根（精确到0．1）可以是（    ） A．1．2 B．1．3 C．1．4 D．1．5 【变式1】下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】用二分法求函数f(x)＝ex－x－2的一个正零点的近似值(精确度为0.1)时,依次计算得到如下数据：f(1)≈－0.28,f(1.5)≈0.98,f(1.25)≈0.24,f(1.125)≈－0.04,关于下一步的说法正确的是(　　) A.已经达到精确度的要求,可以取1.1作为近似值 B.已经达到精确度的要求,可以取1.125作为近似值 C.没有达到精确度的要求,应该接着计算f(1.187 5) D.没有达到精确度的要求,应该接着计算f(1.062 5) ►考点06 用函数图像刻画变化过程 【例6】设f(x)＝x2,g(x)＝2x,h(x)＝log2x,当x∈(4,＋∞)时,对这三个函数的增长速度进行比较,下列结论正确的是(　　) A.f(x)的增长速度最快,h(x)的增长速度最慢 B.g(x)的增长速度最快,h(x)的增长速度最慢 C.g(x)的增长速度最快,f(x)的增长速度最慢 D.f(x)的增长速度最快,g(x)的增长速度最慢 【变式1】为了能在规定时间T内完成预期的运输量Q0,某运输公司提出了四种运输方案,每种方案的运输量Q与时间t的关系如图(四个选项)所示,其中运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的选项是(　　) 【变式2】(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时,该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后,体内血药浓度及相关信息如图所示： 根据图中提供的信息,下列关于成人服用该药物的说法中,正确的是(　　) A.首次服用1单位该药物,约10分钟后药物发挥治疗作用 B.每次服用1单位该药物,两次服药间隔小于2小时时,一定会产生药物中毒 C.首次服用1单位该药物,约5.5小时后第二次服用1单位该药物,可使药物持续发挥治疗作用 D.首次服用1单位该药物,3小时后再次服用1单位该药物,不会发生药物中毒 ►考点07 已知函数模型的实际问题 【例7】2024年1月5日,第40届中国·哈尔滨国际冰雪节在哈尔滨冰雪大世界园区开幕,现场流光溢彩,游客如潮,充满热情与活力.该园区为了倡导绿色可循环的理念,配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量N(mg/L)与时间t(小时)的关系为N＝N0e－kt(N0为最初污染物数量).如果前2个小时消除了20%的污染物,那么前6个小时消除了污染物的(　　) A.51.2% B.48.8% C.52% D.48% 【变式1】青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(　　) A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6 【变式2】我国量子计算机“悟空”预计到2025年可以操控的超导量子比特达到1 024个.已知1个超导量子比特共有2种叠加态,2个超导量子比特共有4种叠加态,3个超导量子比特共有8种叠加态,…,每增加1个超导量子比特,其叠加态的种数就增加一倍.若N＝a×10k(1≤a<10,k∈N),则称N为k＋1位数,已知1 024个超导量子比特的叠加态的种数是一个m位的数,则m等于(参考数据：lg 2≈0.301)(　　) A.308 B.309 C.1 023 D.1 024 ►考点08 构造函数模型的实际问题 【例8】李冶(1192—1279)，真定栾城(今属河北石家庄市)人，金元时期的数学家、诗人，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：如求圆的直径、正方形的边长等.其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为y亩，若方田的四边到水池的最近距离均为20步，则y关于水池半径r(步)的函数关系式为y＝________，水池的边缘与方田之间的面积与水池半径比值最小时，r＝________(注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算). 【变式1】某工厂拟建一个平面图形为矩形，且总面积为400 m2的三级污水处理池，如图所示，已知池外墙造价为200元/m，中间两条隔墙造价为250元/m，池底造价为80元/m2(池壁的厚度忽略不计，且污水处理池无盖).若使污水处理池的总造价最低，那么污水处理池的长和宽分别为(　　) A.40 m，10 m B.20 m，20 m C.30 m， m D.50 m，8 m 【变式2】某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇，开发生产一智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产x万件该产品，需另投入成本ω(x)万元，其中ω(x)＝若该公司一年内生产该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业每年利润的最大值为(　　) A.720万元 B.800万元 C.875万元 D.900万元 三、课后作业 1.函数y＝(x－2)(2x＋1)的零点是(　　) A.2 B.(2,0) C.－2 D.2或－1 2.下列函数图像与x轴都有公共点，其中不能用二分法求图中函数零点近似值的是（    ） A． B． C． D． 3.在下列区间中，函数的零点所在的区间为（       ） A． B． C． D． 4.若函数y＝f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,则“f(a)·f(b)<0”是“函数y＝f(x)在开区间(a,b)内至少有一个零点”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5．下列函数中，是偶函数且不存在零点的是（　　） A． B． C． D． 6.一组实验数据及对应散点图如图所示,则体现这些数据关系的最佳函数模型是(　　) x 10 20 29 41 50 58 70 y 1 2 3.8 7.4 11 15 21.8 A.y＝Alogax＋p B.y＝A·ax＋p C.y＝ax2＋bx＋c D.y＝kx＋b 7.根据调查统计,某市未来新能源汽车保有量基本满足模型y＝其中y(单位：万辆)为第x年年底新能源汽车的保有量,p为年增长率,N为饱和度,y0为初始值.若2023年年底该市新能源汽车的保有量是20万辆,以此为初始值,以后每年的增长率为12%,饱和度为1 300万辆,那么2033年年底该市新能源汽车的保有量约为(结果四舍五入保留整数,参考数据：ln 0.887≈－0.12,ln 0.30≈－1.2)(　　) A.65万辆 B.64万辆 C.63万辆 D.62万辆 8.已知，分别是方程，的根，则（    ） A．1 B．2 C． D． 9.（多选）给出下列命题： ①已知函数，则 ②当且时，函数的图像必过定点 ③用二分法求函数在区间内的零点近似值，至少经过3次二分后精确度达到0.1 ④函数的零点有2个以上命题错误的有（    ）． A．① B．② C．③ D．④ 10.(多选)已知x1,x2分别是函数f(x)＝2x－和g(x)＝log2x－的零点,则(　　) A.－x2＝0 B.log2x1＋log2x2＝0 C.x2>2 D.·log2x2＝1 11.已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)的零点是　　　　　　.  12.函数y＝x与函数y＝x·ln x在区间(4,＋∞)上增长较快的一个是　　　　.  13.已知函数，若在上单调递增，且有两个零点，则满足题意的一个实数的值可以为 ______． 14.研究表明：在一节40分钟的网课中,学生的注意力指数y与听课时间x(单位：分钟)之间的变化曲线如图所示,当x∈[0,16]时,曲线是二次函数图象的一部分；当x∈[16,40]时,曲线是函数y＝log0.8(x＋a)＋80图象的一部分,当学生的注意力指数不高于68时,称学生处于“欠佳听课状态”. (1)求函数y＝f(x)的解析式； (2)在一节40分钟的网课中,学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？(参考数据：0.8－12≈14.6,精确到1分钟) 15.已知二次函数f(x)＝x2－bx＋c(c≠0)的单调递增区间为[2,＋∞),且有一个零点为c. (1)证明：f(x＋2)是偶函数； (2)若函数g(x)＝f(x)－mx＋1在(1,3)上有两个零点,求m的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $