第10讲 函数的单调性和最值（八大题型+思维导图+知识归纳+课后提升练）（秋季讲义）高一数学人教A版必修第一册

第10讲 函数的单调性和最值 【人教A版】 模块二 函数的单调性 【知识点1 函数的单调性】 1．单调递增、单调递减 名称 定义 图形表示 几何意义 单调递增 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是上升的. 单调递减 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是下降的. 2．函数的单调性及单调区间 (1)当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数. (2)如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单 调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间. 3．常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数y=ax+b (a≠0) a>0时，在R上单调递增； a<0时，在R上单调递减. 反比例函数 a>0时，单调递减区间是(,0)和(0,)； a<0时，单调递增区间是(,0)和(0,). 二次函数y=a(x-m)²+n (a≠0) a>0时，单调递减区间是(,m]，单调递增区间是[m,)； a<0时，单调递减区间是[m,)，单调递增区间是(,m]. 4．单调函数的运算性质 若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： (1)f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性. (2)若a为常数，则当a>0时，f(x)与a f(x)具有相同的单调性；当a<0时，f(x)与a f(x)具有相反的 单调性. (3)若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a>0时，f(x)与具有相反的单调性；当a<0时， f(x)与具有相同的单调性. (4)若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性. (5)在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论： f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 (6)当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x)· g(x)在区间D上也是单 调递增(减)的；若两者都恒小于零，则f(x)· g(x)在区间D上单调递减(增). 5．复合函数的单调性 对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a,b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调. t=g(x) y=f(t) y=f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 【知识点2 函数单调性的判断】 1．函数单调性的判断方法 (1)定义法； (2)图象法； (3)利用已知函数的单调性. 2．复合函数单调性的判断方法 复合函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】 【例1】（25-26高一上·青海·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一上·全国·课后作业）设，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 【变式1-2】（25-26高一上·贵州贵阳·期中）已知函数的图象经过点. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义加以证明. 【变式1-3】（25-26高一上·重庆·期中）已知函数. (1)求实数a值； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； (3)求函数的单调区间． 【题型2 利用函数的单调性求参数】 【例2】（25-26高一上·江西赣州·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数． (1)若函数的单减区间是，求实数a的值； (2)若函数在区间上是单减函数，求实数a的取值范围． 【变式2-3】（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若在区间上单调递减，求实数的取值范围． 【题型3 利用函数的单调性比较大小】 【例3】（2026高三·全国·专题练习）已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）已知，且在上单调递减，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高一上·江苏苏州·期中）设则（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高一上·江苏宿迁·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递减，则，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【题型4 利用函数的单调性解不等式】 【例4】（25-26高一上·山西晋中·期中）已知函数是定义在上的减函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高一上·陕西安康·阶段检测）已知定义域为的函数满足对任意，，都有，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一上·宁夏银川·期中）已知函数. (1)用函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； (2)若函数定义域为，且，求实数的取值范围. 【变式4-3】（25-26高一上·云南·期中）已知函数在上满足，且当时，；当时，． (1)求的值； (2)判断并证明函数的单调性； (3)求关于的不等式的解集． 模块三 函数的最值 【知识点3 函数的最大（小）值】 1．函数的最大（小）值 (1)函数的最大（小）值： 名称 定义 几何意义 函数的最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)∀x∈1，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈1，使得f(x0)=M. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值. 函数的最大值对应图象最高点的纵坐标. 函数的最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足： (1)∀x∈1，都有f(x)≥m； (2)∃x0∈1，使得f(x0)=m. 那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值. 函数的最小值对应图象最低点的纵坐标. (2)利用函数单调性求最值的常用结论： ①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最大值f(b)，如图(1)所示； ②如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x), x∈[a,c]在x=b处有最小值f(b)，如图(2)所示. 2．求函数最值的三种基本方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 【题型5 求函数的最值或值域】 【例5】（25-26高一上·浙江温州·阶段检测）函数在区间上的最大值、最小值分别为（    ） A．最大值为，最小值为 B．最大值为，最小值为 C．最大值为1，最小值为 D．最大值为，最小值为 【变式5-1】（25-26高一上·云南昆明·期中）函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知函数. (1)求关于的不等式的解集； (2)设函数，求在上的最小值. 【变式5-3】（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）已知函数过点 (1)求的解析式； (2)用定义证明在区间上单调递增； (3)求函数在上的最大值和最小值． 【题型6 根据函数的最值求参数】 【例6】（25-26高二下·宁夏石嘴山·阶段检测）若函数在区间上的最大值为3，则实数（   ） A． B．1 C．3 D． 【变式6-1】（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知函数在上的最大值为，则（    ） A． B．2 C．5 D．7 【变式6-2】（25-26高一上·北京·期中）已知函数，若函数存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高一上·安徽亳州·阶段检测）若函数在上的最大值为，则（   ） A． B．1 C． D． 【题型7 根据函数图象判断单调性、最值】 【例7】（25-26高一上·广东潮州·阶段检测）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 【变式7-1】（2026高三·全国·专题练习）已知函数的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为（    ）    A． B．和 C． D．和 【变式7-2】（25-26高一上·贵州铜仁·期中）函数的图象如图所示，则以下描述正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．此函数在定义域内既不是增函数也不是减函数 D．对于任意的，都有唯一的自变量与之对应 【变式7-3】（25-26高一上·安徽马鞍山·阶段检测）如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．在和上单调递减 B．在区间上的最大值为3，最小值为-2 C．在上有最大值2，有最小值-1 D．当直线与函数图象有交点时 【题型8 函数不等式恒（能）成立问题】 【例8】（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数的定义域为，对于任意的，都有．若，且对于恒成立，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（26-27高一上·四川成都·期中）已知函数的定义域为，对任意，，都有，且当时，，． (1)求； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若，恒成立，求实数的取值范围． 【变式8-3】（26-27高一上·天津滨海新区·阶段检测）函数满足方程，且， (1)求. (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. (3)，若存在，对任意，都有，求的取值范围. 模块四 课后提升练（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·湖南湘潭·阶段检测）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 2．（2026高一·全国·专题练习）函数的最小值为（    ） A． B．2 C．0 D．不存在 3．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·期中）设函数是定义在R上的单调递增函数，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段检测）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）已知函数在上的最大值、最小值分别为1，0，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·湖北孝感·期中）已知定义域为的函数满足对任意，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·广东·阶段检测）设的定义域为，对任意，都有，且当时，，又．则下列结论中，错误的是（ ） A． B． C．在上为增函数 D．解集为或 二、多选题 9．（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）下列函数中最小值为4的是（ ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D． 11．（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）已知函数的定义域是，且，当时，，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．函数在区间上单调递减 C． D．若，满足不等式的取值范围是 三、填空题 12．（25-26高一上·重庆·期中）函数的单调递减区间是___________． 13．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知函数在上单调递减，则的取值范围是___________. 14．（25-26高一上·甘肃张掖·阶段检测）已知定义在的减函数满足，且，则不等式的解集为___________． 四、解答题 15．（25-26高一上·广东肇庆·期中）已知函数的图象过点，且. (1)求实数a和b的值； (2)判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论. 16．（25-26高一上·河南郑州·期中）已知函数是二次函数，且，． (1)求的解析式并且写出的单调递增和单调递减区间； (2)求出在区间上的最大值和最小值． 17．（25-26高一上·天津武清·阶段检测）已知定义在上的函数，且， (1)求的值； (2)利用定义证明函数在区间上单调递减； (3)求函数在区间的最大值和最小值. 18．（25-26高一上·四川·阶段检测）已知函数的定义域为，对任意实数x，y，都有，且当时，. (1)求的值； (2)证明：在上单调递增； (3)解不等式：. 19．（25-26高一上·江苏·阶段检测）已知函数，函数. (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最小值； (3)已知函数，对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 函数的单调性和最值 【人教A版】 模块二 函数的单调性 【知识点1 函数的单调性】 1．单调递增、单调递减 名称 定义 图形表示 几何意义 单调递增 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是上升的. 单调递减 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是下降的. 2．函数的单调性及单调区间 (1)当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数. (2)如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单 调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间. 3．常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数y=ax+b (a≠0) a>0时，在R上单调递增； a<0时，在R上单调递减. 反比例函数 a>0时，单调递减区间是(,0)和(0,)； a<0时，单调递增区间是(,0)和(0,). 二次函数y=a(x-m)²+n (a≠0) a>0时，单调递减区间是(,m]，单调递增区间是[m,)； a<0时，单调递减区间是[m,)，单调递增区间是(,m]. 4．单调函数的运算性质 若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： (1)f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性. (2)若a为常数，则当a>0时，f(x)与a f(x)具有相同的单调性；当a<0时，f(x)与a f(x)具有相反的 单调性. (3)若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a>0时，f(x)与具有相反的单调性；当a<0时， f(x)与具有相同的单调性. (4)若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性. (5)在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论： f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 (6)当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x)· g(x)在区间D上也是单 调递增(减)的；若两者都恒小于零，则f(x)· g(x)在区间D上单调递减(增). 5．复合函数的单调性 对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a,b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调. t=g(x) y=f(t) y=f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 【知识点2 函数单调性的判断】 1．函数单调性的判断方法 (1)定义法； (2)图象法； (3)利用已知函数的单调性. 2．复合函数单调性的判断方法 复合函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】 【例1】（25-26高一上·青海·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先确定函数的定义域，继而根据复合函数的单调性进行判断，即可得答案. 【解答过程】由题意知函数满足，解得或， 即函数定义域为， 令，则的图象开口向上，且对称轴为直线， 则在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增， 故的单调递减区间是. 故选：B. 【变式1-1】（25-26高一上·全国·课后作业）设，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 【答案】A 【解题思路】根据正比例函数、反比例函数的单调性，结合函数单调性的性质、定义逐一判断即可. 【解答过程】因为函数在区间上均单调递增，所以当时，单调递增，所以A正确，B错误； 令，任取， 则， 当时，，，故在区间内单调递减； 当时，，故在上单调递增，C错误，D错误． 故选：A. 【变式1-2】（25-26高一上·贵州贵阳·期中）已知函数的图象经过点. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义加以证明. 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 【解题思路】（1）代入点于解析式中，求得的值，则的解析式可知； （2）通过取值、作差、变形、判断符号，可证明在上的单调性； 【解答过程】（1）因为的图象经过点， 所以，解得， 所以； （2）在上单调递减，证明： 设，且， 则 ， 因为，所以，， 所以，则， 即，所以在上单调递减. 【变式1-3】（25-26高一上·重庆·期中）已知函数. (1)求实数a值； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； (3)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)函数在上单调递增，证明见解析 (3)增区间是，单调递减区间是和 【解题思路】（1）代入，即可求解； （2）根据函数单调性的定义，作差，即可证明； （3）根据（2）的过程和结果，再分区间讨论. 【解答过程】（1）由条件可知，，得； （2）函数在上单调递增，证明：， 设， ， ， 因为，所以，，且，则， 所以， 所以，即， 所以函数在上单调递增； （3）由（2）可知， ， 当时，，，，则， 所以，，即， 所以函数在上单调递减， 当，，，，则， 所以，，即， 所以函数在上单调递减， 综上可知，函数的增区间是，单调递减区间是和. 【题型2 利用函数的单调性求参数】 【例2】（25-26高一上·江西赣州·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据内函数的单调性结合非负性可求参数的取值范围. 【解答过程】设，则该函数在上单调递增且在上恒成立， 故，则在上单调递增，且恒成立，符合题设； 若，则，故， 综上，， 故选：C. 【变式2-1】（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用分段函数为增函数的性质并结合一次函数与二次函数性质列出不等式求解即可． 【解答过程】因为函数在上是增函数， 所以，，解得，所以实数的取值范围是． 故选：A. 【变式2-2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数． (1)若函数的单减区间是，求实数a的值； (2)若函数在区间上是单减函数，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据函数的单调性及二次函数的性质即可求解； （2）根据函数的单调性及二次函数的性质即可求解. 【解答过程】（1）依题意，， 由二次函数的性质知，的对称轴方程为，开口向上， 所以的单减区间是， 因为函数的单减区间是， 所以. （2）依题意，， 由二次函数的性质知，的对称轴方程为，开口向上， 所以的单减区间是， 因为函数在区间上是单减函数， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为. 【变式2-3】（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若在区间上单调递减，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2) 【解题思路】（1）代入可得，根据二次函数性质即可得单调区间； （2）分，，三种情况讨论，分别验证是否在上单调递减，即可得到的取值范围. 【解答过程】（1）当时，，其图象的开口向上，对称轴为. 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）①若，则，且，. 从而在的同时有，故在上并不单调递减，不满足条件； ②若，则对任意，都有. 第一个不等号和最后一个不等号两边不能同时取等（分别需要和），故， 从而 ， 故在上单调递减，满足条件. ③若，则，且，. 从而在的同时有，故在上并不单调递减，不满足条件. 综合①②③，可知的取值范围是． 【题型3 利用函数的单调性比较大小】 【例3】（2026高三·全国·专题练习）已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分析可知是上的减函数，结合单调性比较函数值的大小. 【解答过程】因为，，，则， 且，可得，即， 可知是上的减函数，且，所以． 故选：B. 【变式3-1】（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）已知，且在上单调递减，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用已知的函数性质，把比较函数值的大小转化到同一个单调区间上的函数值比较大小的问题来解决. 【解答过程】因为，所以，， 因为在上单调递减，所以. 故选：A. 【变式3-2】（25-26高一上·江苏苏州·期中）设则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】构造函数，利用函数单调性比较大小. 【解答过程】设，当时，，则在单调递减， 所以在单调递减，所以，即. 故选：B. 【变式3-3】（25-26高一上·江苏宿迁·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递减，则，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件可得，再利用单调性比较大小即得. 【解答过程】依题意，，由在上单调递减，，得， 所以. 故选：C. 【题型4 利用函数的单调性解不等式】 【例4】（25-26高一上·山西晋中·期中）已知函数是定义在上的减函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意所求变为或，求解即可得答案． 【解答过程】因为是定义在上的减函数，且， 所以当时，，当时，， 由， 得或， 即或， 解得或，所以解集为． 故选：C． 【变式4-1】（25-26高一上·陕西安康·阶段检测）已知定义域为的函数满足对任意，，都有，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】变形给定不等式并构造函数，利用函数单调性定义确定单调性，进而求解不等式. 【解答过程】对任意， 恒成立，令， 则对任意，，因此函数在上单调递增， 由，得，不等式 ，则，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：B. 【变式4-2】（25-26高一上·宁夏银川·期中）已知函数. (1)用函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； (2)若函数定义域为，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解题思路】（1）利用单调性的定义法来证明即可； （2）利用函数的定义域和单调性来求解不等式即可. 【解答过程】（1）证明：因为 ，且， 则， 因为，则，， 则，即，故在上单调递减； （2）由（1）在上单调递减，函数定义域为， 所以 ，解得， 所以所求实数的范围是. 【变式4-3】（25-26高一上·云南·期中）已知函数在上满足，且当时，；当时，． (1)求的值； (2)判断并证明函数的单调性； (3)求关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 (3) 【解题思路】（1）令，代入计算，可得，分别讨论和两种情况，代入检验，分析即可得答案. （2）由（1）知，当时，可得，代入化简，可得，根据单调性的定义，可得的单调性，同理当，可得的单调性，综合即可得证. （3）由（2）可得的单调性，根据题意，可得，根据一元二次不等式的解法，即可得答案. 【解答过程】（1）令.，则， 故，可得， 令，则， 当时，则，即，与题设不符， 当时，则，符合题意， 所以． （2）在上单调递减，证明如下： 因为当时，，当时，， 由（1）知， 所以， 当，即， 所以， 即在上单调递减，则； 当，则， 所以， 即在上单调递减，则， 综上，易知在上单调递减，得证． （3）由（2）知在上单调递减， 因为， 所以，即， 可得或， 所以不等式解集为． 模块三 函数的最值 【知识点3 函数的最大（小）值】 1．函数的最大（小）值 (1)函数的最大（小）值： 名称 定义 几何意义 函数的最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)∀x∈1，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈1，使得f(x0)=M. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值. 函数的最大值对应图象最高点的纵坐标. 函数的最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足： (1)∀x∈1，都有f(x)≥m； (2)∃x0∈1，使得f(x0)=m. 那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值. 函数的最小值对应图象最低点的纵坐标. (2)利用函数单调性求最值的常用结论： ①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最大值f(b)，如图(1)所示； ②如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x), x∈[a,c]在x=b处有最小值f(b)，如图(2)所示. 2．求函数最值的三种基本方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 【题型5 求函数的最值或值域】 【例5】（25-26高一上·浙江温州·阶段检测）函数在区间上的最大值、最小值分别为（    ） A．最大值为，最小值为 B．最大值为，最小值为 C．最大值为1，最小值为 D．最大值为，最小值为 【答案】B 【解题思路】将函数解析式变形为，可得其在上的单调性，利用单调性求出最值. 【解答过程】因为， 由反比例函数性质可得在上单调递增， 当时，，当时，. 故选：B. 【变式5-1】（25-26高一上·云南昆明·期中）函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】运用换元法，令，再结合对勾函数的性质，即可得解. 【解答过程】令，则，， 令，由对勾函数的性质可知， 在上单调递减，在上单调递增， 在处取得最小值， 又因为， 因此在上的值域为， 故的值域为， 即函数在区间上的值域为， 故选：C. 【变式5-2】（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知函数. (1)求关于的不等式的解集； (2)设函数，求在上的最小值. 【答案】(1) 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为； (2). 【解题思路】（1）应用分类讨论解含参一元二次不等式即可； （2）由题设，结合二次函数的性质，讨论对称轴与已知区间的位置关系求最小值. 【解答过程】（1）由题设， 当时，，则解集为， 当时，无解，则解集为， 当时，，则解集为； （2）由题设，其图象开口向上且对称轴为， 当，即时，在上单调递增，则最小值， 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，则最小值， 当，即时，在上单调递减，则最小值. 综上，. 【变式5-3】（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）已知函数过点 (1)求的解析式； (2)用定义证明在区间上单调递增； (3)求函数在上的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)最小值为，最大值为 【解题思路】（1）把点代入函数解析式，求出的值，可得的解析式； （2）利用定义法证明函数单调性； （3）利用函数单调性，可求函数在区间内的最值. 【解答过程】（1）由函数过点，有， 解得， 所以的解析式为：． （2）证明：，且， ． 由，得． 则，即． 所以在区间上单调递增． （3）由在上是增函数， 所以在区间上的最小值为，最大值为. 【题型6 根据函数的最值求参数】 【例6】（25-26高二下·宁夏石嘴山·阶段检测）若函数在区间上的最大值为3，则实数（   ） A． B．1 C．3 D． 【答案】C 【解题思路】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类研究即可. 【解答过程】函数， 当时，，不合题意； 当时，在上单调递减，最大值为； 当时，在上单调递增，最大值为，解得，不合题意， 所以实数. 故选：C. 【变式6-1】（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知函数在上的最大值为，则（    ） A． B．2 C．5 D．7 【答案】C 【解题思路】求得二次函数的对称轴，分和两种情况讨论，求解即可. 【解答过程】由，可得， 所以函数的对称轴为， 当时，， 又函数在上的最大值为， 所以，解得（舍去）， 当时，，所以， 所以，所以，解得或（舍去）. 故选：C. 【变式6-2】（25-26高一上·北京·期中）已知函数，若函数存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】首先分析函数在各段的单调性，即可求出的取值范围，结合函数存在最小值得到不等式，解得即可. 【解答过程】因为， 当时，所以在上单调递减，则； 当时，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 要使函数存在最小值，则，解得， 即实数的取值范围为. 故选：B. 【变式6-3】（25-26高一上·安徽亳州·阶段检测）若函数在上的最大值为，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解题思路】分、和三种情况讨论，研究其单调性，根据最大值建立方程求解即可. 【解答过程】因为，所以当时，在上单调递减， 则，解得 ，与矛盾，不符合题意； 当时，根据对勾函数单调性可知， 函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，函数在上单调递增，则在上单调递减， 所以，解得 ，符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得 ，与矛盾，不符合题意； 综上所述， . 故选：D. 【题型7 根据函数图象判断单调性、最值】 【例7】（25-26高一上·广东潮州·阶段检测）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 【答案】D 【解题思路】利用函数的图象逐项判断即可. 【解答过程】对于A，由图象可知：的单调递减区间为，A正确； 对于B，当时，，B正确； 对于C，当时，，C正确； 对于D，由图象可知：的单调递增区间为和，但并非严格单调递增，不能用“”连接，D错误. 故选：D. 【变式7-1】（2026高三·全国·专题练习）已知函数的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为（    ）    A． B．和 C． D．和 【答案】B 【解题思路】根据函数图象直接确定递增区间即可. 【解答过程】由图象知，该函数的单调递增区间为和， 故选：B． 【变式7-2】（25-26高一上·贵州铜仁·期中）函数的图象如图所示，则以下描述正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．此函数在定义域内既不是增函数也不是减函数 D．对于任意的，都有唯一的自变量与之对应 【答案】C 【解题思路】根据函数的图象和性质分别进行判断即可. 【解答过程】由图象知函数的定义域为，故A错误， 函数的值域为，故B错误， 函数在定义域内既不是增函数也不是减函数，故C正确， 对任意的，存在两个不同的自变量与之对应，故D错误， 故选：C. 【变式7-3】（25-26高一上·安徽马鞍山·阶段检测）如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．在和上单调递减 B．在区间上的最大值为3，最小值为-2 C．在上有最大值2，有最小值-1 D．当直线与函数图象有交点时 【答案】A 【解题思路】根据函数图象，结合函数的基本性质，逐项判断，即可得出结果. 【解答过程】A选项，由函数图象可得，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故A正确； B选项，由图象可得，函数在区间上的最大值为，无最小值，故B错； C选项，由图象可得，函数在上有最大值，有最小值，故C错； D选项，由图象可得，为使直线与函数的图象有交点，只需，故D错. 故选：A. 【题型8 函数不等式恒（能）成立问题】 【例8】（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数的定义域为，对于任意的，都有．若，且对于恒成立，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】构造函数，且判断函数的单调性；结合的定义域和的单调性求解的取值范围. 【解答过程】因为，所以由，可得， 即． 令，可得，则可知在上单调递减． 由得：， 因为的定义域为，所以，, 故，即. 由得，，因此，所以即， 该式对所有恒成立，因此，即， 又，得的取值范围为. 故选：B. 【变式8-1】（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意得出，求出两个函数的最大值，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【解答过程】因为函数，， 若，，使得，只需， 因为函数在时单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，，故； 因为函数在时单调递增，故. 由得，解得， 故实数的取值范围是. 故选：A. 【变式8-2】（26-27高一上·四川成都·期中）已知函数的定义域为，对任意，，都有，且当时，，． (1)求； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)函数在上是单调递增函数，证明见解析 (3) 【解题思路】（1）将代入已知关系式求函数值即可； （2）由已知得，任取，且，则，根据条件及单调性的定义证明即可； （3）问题化为 对恒成立，结合二次函数的性质求参数范围. 【解答过程】（1）因为对任意，都有，且， 令，得 ； （2）函数在上是单调递增函数，证明如下： 令，得，解得， 任取，且，则， 由题意知，当时，，所以， 则 ， 因为，所以， 即，所以， 故在上是单调递增函数； （3）由（2）知在上单调递增， 当时，的最大值为， 因为，恒成立， 所以只需 对恒成立， 即，亦即对恒成立， 构造关于的一次函数，， 要使恒成立，只需满足区间两端点的值均大于等于0， 即，即，得或， 所以，实数的取值范围是. 【变式8-3】（26-27高一上·天津滨海新区·阶段检测）函数满足方程，且， (1)求. (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. (3)，若存在，对任意，都有，求的取值范围. 【答案】(1)（）； (2)； (3). 【解题思路】（1）结合题意建立方程组求解函数解析式即可. （2）利用分离参数法得到，进而求解参数范围即可. （3）结合题意得到，进而利用基本不等式求解参数范围即可. 【解答过程】（1）由题意得， 解得，故（）. （2）对任意，恒成立，即， 解得，令，由，得， 令，由二次函数性质得在区间上单调递减， 得到，要使对任意恒成立， 只需，所以的取值范围为. （3）易知在上单调递增，所以的最大值为， 从而依题意可得对任意恒成立， 将变形得，可得， 所以恒成立， 易知函数在区间上单调递增，且，可得最大值2， 由基本不等式得函数， 当且仅当时取等号，有最小值， 所以，即实数的取值范围是. 模块四 课后提升练（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·湖南湘潭·阶段检测）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】首先求出函数的定义域，然后再利用二次函数的单调性即可求解. 【解答过程】由题意可得，解得或， 又的单调递增区间为， 在上单调递增， 故函数的单调递增区间为. 故选：B. 2．（2026高一·全国·专题练习）函数的最小值为（    ） A． B．2 C．0 D．不存在 【答案】A 【解题思路】先求出函数的定义域，再根据函数单调性的运算判断函数的单调性，从而求得函数的最小值． 【解答过程】由函数表达式可知函数的定义域为， 因为，分别在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 所以最小值为． 故选：A． 3．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·期中）设函数是定义在R上的单调递增函数，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据单调性比较即可. 【解答过程】函数是定义在R上的单调递增函数，且， 所以. 故选：A. 4．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段检测）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据反比例函数、二次函数以及一次函数的性质一一分析即可. 【解答过程】对A，根据反比例函数性质知在区间上单调递增，故A错误； 对B，在上单调递减，故B正确； 对C，在上单调递增，故C错误； 对D，当时，，其在上单调递增，故D错误. 故选：B. 5．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【解答过程】因为函数是上的减函数， 函数在上为减函数，则， 函数在上为减函数，则， 且有，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C. 6．（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）已知函数在上的最大值、最小值分别为1，0，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据二次函数的最值或值域求参数，令，求出相应的的值，即可画出的图象，数形结合求出的最值，即可得解． 【解答过程】由，即，解得或， ∴， 当时，，∴， 当时，令，即，解得，， 则的图象如下所示： ∵函数在上的值域为， 当，（或，）时取得最小值， 即； 当，时取得最大值， 即； ∴的取值范围是． 故选：D． 7．（25-26高一上·湖北孝感·期中）已知定义域为的函数满足对任意，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将变为，结合构造函数，即可判断的单调性，由此将不等式可化为，结合函数单调性，即可得答案. 【解答过程】由题意知对于任意，，，不妨设，则， 由得，即， 结合得，即， 设，则该函数在上单调递增，且， 则即，即， 故，解得，即不等式的解集为， 故选：C． 8．（25-26高二上·广东·阶段检测）设的定义域为，对任意，都有，且当时，，又．则下列结论中，错误的是（ ） A． B． C．在上为增函数 D．解集为或 【答案】C 【解题思路】对于A用赋值法即可求值；对于B对条件进行适当变形即可得结论；对于C根据增函数的定义证明即可；对于D对不等式进行变形，利用单调性即可求解不等式. 【解答过程】对于A，令，则，故A正确； 对于B，，即，故B正确； 对于C，令，则，，即，所以函数为减函数，故C错误； 对于D，由，得，所以， 于是，解得或，故D正确. 故选：C. 二、多选题 9．（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）下列函数中最小值为4的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解题思路】利用二次函数、函数单调性和基本不等式求最小值，即可作出判断. 【解答过程】对于A：，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B：由对勾函数的性质，易知在上单调递增，所以，故B错误； 对于C：当时，， 当且仅当，即取等号，故C正确； 对于D：， 当且仅当，即时取等号，必不可能，故D错误. 故选：AC. 10．（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D． 【答案】ACD 【解题思路】求得函数的定义域可判断A；当时，，判断单调性可判断B；当时，，判断单调性可判断C；代入计算可判断D. 【解答过程】对于A，的定义域为，故A正确. 对于B，当时，， 因为在上单调递减，所以在上单调递增， 所以在上单调递增， 即在上单调递增，故B错误； 对于C，当时，， 因为在上单调递增，所以在上单调递增， 所以在上单调递增， 即在上单调递增，故C正确. 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 11．（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）已知函数的定义域是，且，当时，，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．函数在区间上单调递减 C． D．若，满足不等式的取值范围是 【答案】ACD 【解题思路】利用赋值法计算判断AC；结合函数单调性的定义可判断B，由已知函数值求得，然后由已知式把不等式变形后由单调性可解判断D． 【解答过程】对于A，取得， 因为，所以，故A正确； 对于B，设且，有， 因为时，，所以，于是， 即，所以函数在上单调递增，故B错误； 对于C，取得，所以， 取，，则， 即， 则有， 因此，故C正确； 对于D， 令得， 若，则， 因为，所以， 所以，解得， 故满足不等式的取值范围是，故D正确. 故选：ACD． 三、填空题 12．（25-26高一上·重庆·期中）函数的单调递减区间是___________． 【答案】 【解题思路】利用复合函数的单调性可求得函数的单调递减区间. 【解答过程】由题意得，所以，所以， 解得，所以函数的定义域为， 因为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增， 所以由复合函数的单调性可知的单调递减区间是. 故答案为：. 13．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知函数在上单调递减，则的取值范围是___________. 【答案】 【解题思路】根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【解答过程】由函数在上单调递减， 可得，可得，解得. 故答案为：. 14．（25-26高一上·甘肃张掖·阶段检测）已知定义在的减函数满足，且，则不等式的解集为___________． 【答案】 【解题思路】由已知等式，结合函数的单调性进行求解即可. 【解答过程】在中，令，且， 所以， ， ， 因为函数是定义在上的减函数， 所以有， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高一上·广东肇庆·期中）已知函数的图象过点，且. (1)求实数a和b的值； (2)判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论. 【答案】(1)，. (2)函数在上是减函数，证明见解析 【解题思路】（1）根据函数经过的点坐标计算即可. （2）根据函数单调性的定义证明即可. 【解答过程】（1）由的图象过点，得，即, 又，得， 联立解得：，. （2）由（1）知，函数在上是减函数，证明如下： 设，则 ， 由，得，，，， 因此，即， 所以函数在上是减函数. 16．（25-26高一上·河南郑州·期中）已知函数是二次函数，且，． (1)求的解析式并且写出的单调递增和单调递减区间； (2)求出在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1)，单调递增区间为：，单调减区间为； (2)最大值为13，最小值为． 【解题思路】（1）利用待定系数法，结合代入法、二次函数的单调性进行求解即可； （2）根据二次函数的单调性进行求解即可. 【解答过程】（1）设，由，得， 由可得：， 根据：，可得： 整理得：，可得：，解得， 可得为的解析式． 因为可得：对称轴为 且二次项系数为， 可知：函数的单调递增区间为：，单调减区间为； （2）由二次项系数为，和函数的单调性可得，函数在处最小值，即． 当时，，当时，． 因此函数的最大值为13，最小值为． 17．（25-26高一上·天津武清·阶段检测）已知定义在上的函数，且， (1)求的值； (2)利用定义证明函数在区间上单调递减； (3)求函数在区间的最大值和最小值. 【答案】(1)11； (2)证明见解析； (3)最大值和最小值分别为38和11. 【解题思路】（1）由计算出的值并求出函数解析式，进而求出的值； （2）由（1）的函数，利用减函数的定义推理得证. （3）由（2）可得在指定区间上的单调性，进而求出最值. 【解答过程】（1）函数，且，则，解得， ，所以. （2）证明：由（1）知，，且， 则， 由，得，， 则，即， 所以函数在区间上单调递减. （3）由（2）得函数在区间上单调递减， 则，， 所以函数在区间的最大值和最小值分别为38和11. 18．（25-26高一上·四川·阶段检测）已知函数的定义域为，对任意实数x，y，都有，且当时，. (1)求的值； (2)证明：在上单调递增； (3)解不等式：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）利用赋值法代入求值即可. （2）利用单调性的定义证明函数单调递增； （3）将条件不等式按照函数关系转换成利用单调性求解自变量的范围不等式即可. 【解答过程】（1）令，，代入中得，， 解得； 令，代入原式中得，，取，则； 所以. （2）证明：设，且，则. 当时，，所以. ， 所以，即， 所以在上单调递增. （3）因为， 所以原不等式可化为，即， 又，所以， 又在上单调递增，所以，即， 解得或. 所以该不等式的解集为. 19．（25-26高一上·江苏·阶段检测）已知函数，函数. (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最小值； (3)已知函数，对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用换元法，令，可得，由转化为为自变量的函数，再将自变量换成，从而得到的解析式. （2）求出，其图象的对称轴方程为.按照对称轴在区间的左中右依次讨论求解. （3）由“对任意，总存在，使得”，可得，将进行整理得到，由的范围求出的范围，令，则转化为为自变量的函数，则在的范围上单调递减，可以求出，即.根据的表达式，按照，，这三种情况讨论求解，即可得到实数的取值范围. 【解答过程】（1）令，可得， 由可得， 所以函数的解析式为. （2）由（1）可得， 其图象的对称轴方程为. ①当，即时，函数在上单调递增， 所以； ②当，即时，函数在上单调递减， 所以； ③当，即时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以. 综上，. （3）由“对任意，总存在，使得”，可得 ， 当时，，令， 记，则在上单调递减， 所以，所以. 由（2）可得， ①当时，，解得； ②当时，，解得； ③当时，，解得，则和求交集得到. 综上，实数的取值范围为. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $