第11讲 函数的奇偶性及函数性质综合（九大题型+思维导图+知识归纳+课后提升练）（秋季讲义）高一数学人教A版必修第一册

第11讲 函数的奇偶性及函数性质综合 【人教A版】 模块二 函数的奇偶性 【知识点1 函数的奇偶性】 1．函数的奇偶性 (1)定义： 定义 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数. 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数. 非奇非 偶函数 既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数. 定义域特征 定义域必须是关于原点对称的区间. 等价形式 设函数f(x)的定义域为I，则有f(x)是偶函数⇔∀x∈I，- x∈I，且 f(-x)-f(x)=0；f(x)是奇函数⇔∀x∈I，- x∈I，且f(-x)+f(x)=0.特别地，若f(x)≠0，还可以判断是否成立. (2)奇偶函数的图象特征（几何意义） ①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. ②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. ③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数. (3)奇、偶函数图象对称性的应用 ①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数； ②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. 2．函数奇偶性的判断 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 3．函数奇偶性的应用 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. (2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. 【题型1 函数奇偶性的判断】 【例1】（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）下列函数是奇函数的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据奇函数的定义逐项分析即可. 【解答过程】对于A：的定义域为，不关于原点对称，不可能为奇函数，故A错误； 对于B：的定义域为，关于原点对称，，即为偶函数，故B错误； 对于C：的定义域为，关于原点对称，，则不为奇函数，故C错误； 对于D：的定义域为，关于原点对称.对任意的,有; 对任意的，有，则； 对任意的,有，则; 所以，又因为，因此有，即函数是奇函数，故D正确. 故选：D. 【变式1-1】（25-26高一上·广东江门·阶段检测）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】B 【解题思路】根据函数的奇偶性定义和对称性进行判断即可. 【解答过程】，所以的图像关于直线对称， 设，则是将的图像向左平移1个单位长度得到的， 因为的图像关于直线对称，所以的图像关于轴对称， 所以为偶函数． 因为，记， 因，而 即且，故为非奇非偶函数，即C、D错误. 故选：B. 【变式1-2】（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据函数的奇偶性及单调性逐一判断即可． 【解答过程】对于A，，因为，是偶函数，不是奇函数，故A错误； 对于B，定义域为，关于原点对称， 且，是奇函数， 但函数在上单调递减，在上也单调递减，不是定义域内的增函数，故B错误； 对于C，，，既不等于，也不等于，是非奇非偶函数，故C错误； 对于D，，定义域为，关于原点对称，且，是奇函数，又对任意，有，在上单调递增，故D正确． 故选：D． 【变式1-3】（25-26高一上·辽宁沈阳·阶段检测）定义在上的函数，并且满足，则下列一定正确的是（   ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】B 【解题思路】令，根据为偶函数得，进而判断即可得答案. 【解答过程】由函数为定义在上的函数，故函数的定义域也是， 令， 则，即为偶函数， 所以也是偶函数，即， 所以，即是偶函数， 对于函数无法判断函数的奇偶性. 故选：B. 【题型2 由函数奇偶性求函数值、解析式】 【例2】（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，当时，，那么时，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由是定义在上的奇函数，得，又时，，进而求解. 【解答过程】因为是定义在上的奇函数，所以， 当时，，所以， 所以， 故选：C. 【变式2-1】（25-26高一上·四川达州·期中）已知为定义在上的奇函数，当时，，则（   ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】C 【解题思路】利用函数的奇偶性与函数解析式求函数值. 【解答过程】因为为定义在R上的奇函数， 所以，得， 则当时,， 故， 所以. 故选：C. 【变式2-2】（25-26高一上·江苏苏州·期中）定义在上的奇函数满足时，，则当时的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用奇函数的性质求解即可. 【解答过程】由时，，且是定义在上的奇函数， 则当时，，所以， 所以. 故选：D. 【变式2-3】（25-26高一上·福建宁德·期中）已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（     ） A．1 B．5 C．6 D．4 【答案】C 【解题思路】由奇偶性的定义建立方程组，求解得到，将代入即可得到答案. 【解答过程】因为①，所以②， 又因为分别是定义在上的偶函数和奇函数， 所以②式可化为③， 联立①③得， 所以. 故选：C. 【题型3 由函数奇偶性求参数】 【例3】（25-26高一上·江苏淮安·阶段检测）若函数是定义在实数集上的奇函数，则实数a的值为（   ） A．0 B．1 C．-1 D．3 【答案】D 【解题思路】利用奇函数在原点处的函数值为0，代入计算得到实数的值. 【解答过程】因为函数是上的奇函数，所以. 代入，得，即，解得. 此时，为奇函数，符合题意. 故选：D. 【变式3-1】（25-26高一上·贵州铜仁·期中）已知是定义域为的偶函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据偶函数定义域关于原点对称且对称轴为轴可构造方程组求得，进而求得结果. 【解答过程】是定义域为的偶函数， ，解得：，，. 故选：A. 【变式3-2】（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）函数是定义在上的奇函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【解题思路】根据函数是奇函数，得到，从而可求出，，计算即可. 【解答过程】因为为定义在上的奇函数， 所以，即，则，所以， 所以. 故选：B. 【变式3-3】（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知函数，且为偶函数，则实数的值为（    ） A．1 B． C．5 D．1或 【答案】A 【解题思路】根据为偶函数，得，已知求解析式，根据偶函数的定义域对称得实数的值，并检验奇偶性即可. 【解答过程】若为偶函数，则， 又，所以， 则的定义域满足，解得且， 因为偶函数定义域关于原点对称，所以，即， 当时，，则，符合为偶函数， 故. 故选：A. 【题型4 函数奇偶性的应用】 【例4】（25-26高一上·陕西渭南·期末）已知函数是定义域为的偶函数，且在区间上单调递减，，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数的奇偶性和单调性即可求解. 【解答过程】由函数在区间上单调递减，， 所以当时，，当时，， 又函数是定义域为的偶函数， 当时，，当时，， 由，当时， 所以，解得， 当时，所以，解得， 所以的解集为， 故选：B. 【变式4-1】（25-26高一上·云南曲靖·期中）定义域为的偶函数在上是减函数，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由偶函数得到，然后利用函数的单调性得到结果. 【解答过程】∵，∴，， 又∵在上是减函数，且， ∴，即. 故选：D. 【变式4-2】（25-26高一上·福建厦门·期中）已知函数是定义在上的奇函数， (1)用定义证明在上单调递增； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）对于任意的，且，利用作差法判断的大小关系即可得证； （2）先判断函数的奇偶性，再根据函数的奇偶性结合函数的单调性即可得解. 【解答过程】（1）证明：对于任意的，且， 则， ∵，∴，，∴， ∴，即， ∴函数在上是增函数. （2）因为且定义域关于原点对称，所以是奇函数， 则，即， 所以，解得， 则不等式的解集为． 【变式4-3】（25-26高一上·广东惠州·期末）设函数是定义在上的偶函数，且在上是减函数. (1)比较与的大小关系； (2)判断函数在上的单调性，并用定义法证明你的判断； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)函数在上是增函数，证明见解析 (3) 【解题思路】（1），根据函数的单调性即可得答案； （2）根据单调性证明的方法，结合函数为偶函数且在上是减函数即可证明； （3）根据函数的奇偶性将不等式化为，再根据函数的单调性解不等式即可求出答案. 【解答过程】（1）因为，函数在上是减函数， 所以. （2）函数在上是增函数，证明如下： 任取，则， 因为函数在上是减函数， 故，又因为函数是定义在上的偶函数， 所以， 所以， 所以函数在上是增函数. （3）由，即， 因为函数是定义在上的偶函数， 则， 又因为函数在上是减函数， 所以，解得或， 所以实数的取值范围为. 模块三 函数的图象 【知识点2 函数的图象】 1．函数图象的对称性 (1)图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数. (2)图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数. 2．函数图象的识别、判断 (1)排除法：利用特殊点的值来排除； (2)利用函数的奇偶性、单调性来判断. 3．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 【题型5 函数图象的识别与判断】 【例5】（25-26高一上·湖北孝感·期中）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】易得为奇函数，结合即可判断． 【解答过程】，定义域为， ，则为奇函数，排除BD； 又，排除C，A符合； 故选：A． 【变式5-1】（25-26高一上·浙江湖州·阶段检测）函数的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】分析函数的奇偶性及其图象与轴交点个数，结合排除法可得出合适的选项. 【解答过程】函数的定义域为， ，即函数为奇函数，排除C选项， 由得或，即函数的图象有且只有三个交点，排除AB选项， 故选：D. 【变式5-2】（25-26高一上·云南·期中）函数的大致图象为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【解题思路】利用函数的特殊值及奇偶性排除A，B，D即可得解. 【解答过程】当时，，排除选项A；因为的定义域为，且，所以为奇函数，排除选项B；当时，，排除选项D. 故选：C. 【变式5-3】（25-26高一上·北京顺义·期中）函数的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用奇偶性的定义判断的奇偶性，结合及上的值域，应用排除法确定图象. 【解答过程】令，其定义域为R，且， 所以是偶函数，排除A，又，排除B， 当，则，此时，当且仅当时取等号， 所以，有，则，排除C. 故选：D. 【题型6 函数图象的应用】 【例6】（25-26高一上·天津滨海新区·期中）已知函数是上的奇函数，且当时，函数的部分图象如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题设，将不等式化为，结合奇函数对称性及图象确定其解集. 【解答过程】由题设，即， 当时，， 由图可知，时，时， 当时，， 根据奇函数的对称性，有时，时， 所以，不等式的解集为. 故选：D. 【变式6-1】（25-26高一上·湖北·期中）设奇函数的定义域为，若当时，的图象如图，则不等式的解集是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】结合函数的图像及奇偶性即可解不等式. 【解答过程】根据图像，当时，的解为， 因为函数为奇函数， 所以当时，若，即，则 所以，解得， 综合得不等式的解集是. 故选：C. 【变式6-2】（25-26高一上·甘肃酒泉·期中）如图，给出了偶函数的局部图象，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由函数为偶函数，得到，结合图象，即可求解. 【解答过程】由题意知，函数为偶函数，可得， 结合函数在上的图象，可得， 所以. 故选：A. 【变式6-3】（25-26高一上·四川南充·期中）已知偶函数与奇函数的定义域都是，它们在上的图象分别如图1、图2所示，则使关于的不等式成立的的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】补全两个函数的图象，数形结合可得出不等式的解集. 【解答过程】因为函数为偶函数，函数为奇函数，补全这两个函数的图象如下图所示： 因为，则或， 由图可得，不等式组的解集为， 不等式组的解集为. 综上所述，不等式的解集为. 故选：C. 【题型7 函数的对称性与周期性】 【例7】（25-26高一上·福建厦门·期中）已知函数对称轴为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据所给条件及关于对称，利用赋值求解即可. 【解答过程】因为， 所以当时，，即， 又函数对称轴为，所以， 令，则，解得， 故选：D. 【变式7-1】（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）已知是定义域为的奇函数，满足.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】推导出函数是周期为的周期函数，，以及，计算出的值，结合函数周期性可得出所求代数式的值. 【解答过程】因为是定义域为的奇函数，满足， 即，， 在等式中，用代替得， 所以， 故函数是周期为的周期函数，且， 对任意的，， 所以， 因为， 所以 ， 故选：C. 【变式7-2】（25-26高三下·陕西榆林·阶段检测）已知定义在上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据函数对称性和奇偶性得到的周期为8，化简得到，，，结合函数在上的单调性和奇偶性得到在上递增，从而比较出大小. 【解答过程】因为关于中心对称， 所以对称中心是，故， 因为是偶函数，所以的对称轴是，即， 所以中，将替换为，得到， 故，将替换为，得到， 所以，因此的周期为8. 所以，，， 因为在上递增且是奇函数，所以在上递增， 所以， ∴. 故选：D. 【变式7-3】（25-26高二下·江苏南京·期末）已知定义域为R的函数，满足是奇函数，是偶函数，则下列说法不一定正确的是（   ） A．的图象关于直线对称 B． C．的一个周期为4 D．的图象关于点对称 【答案】B 【解题思路】根据条件中的对称性，变形判断AD，再结合判断C，根据对称性，再判断B. 【解答过程】由是偶函数，可知，则关于对称，故A正确； 因为是奇函数，所以也是奇函数，关于点对称，故D正确； 由AD可知，，即，即， 则，所以是周期函数，周期为4，故C正确； 由可知，，函数关于对称， 但不确定，故B错误. 故选：B. 【题型8 抽象函数的性质】 【例8】（25-26高一上·安徽宿州·期中）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则下列说法错误的是（   ） A． B．为偶函数 C． D．若，则 【答案】C 【解题思路】A选项，先令，可得，再令，可判断选项正误； B选项，令，结合定义域可判断选项正误； C选项，由题可判断在上单调递增，后由B选项分析可判断选项正误； D选项，由ABC选项可解不等式. 【解答过程】A选项，在中，令， 得，解得；再令， 得，解得，故A正确； B选项，令，得，所以， 又的定义域关于原点对称，所以是偶函数，故B正确； C选项，设，则，所以， 所以， 所以在上是增函数，因为是偶函数， 所以在上是减函数，从而，故C错误； D选项，因为是偶函数，则且， 又在上是增函数，所以，解得且，故D错误． 故选：C． 【变式8-1】（25-26高三上·全国·阶段检测）已知函数的定义域为，且，则下列说法错误的是（   ） A．为周期函数 B．为偶函数 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据所给条件，利用赋值法和递推法进行推导判断即可. 【解答过程】在中， 取，可得,解得， 再取，可得,则有，即函数为偶函数，故B正确； 取，得，则有， 两式相减，可得，即,故为以3为一个周期的周期函数，故A正确； 由上分析，由，可得． 因,所以，故D正确； 取，得到：，再取，得，故C错误. 故选：C. 【变式8-2】（25-26高一上·广东汕头·期中）定义在非零实数集上的函数对任意非零实数，满足：，且当时. (1)求及的值； (2)判断的奇偶性并证明； (3)解不等式：. 【答案】(1)，； (2)函数是偶函数，理由见解析； (3). 【解题思路】（1）令可得，令可得； （2）令，结合偶函数的定义即可证明； （3）先用定义证明函数在上单调递增，利用单调性和奇偶性将不等式转化为，解不等式即可得到答案. 【解答过程】（1）在中，令，可得，解得. 令，可得，解得. （2）函数是偶函数，理由如下： 的定义域是，，， 令，可得， 所以函数是偶函数. （3）任意时，，由题意得： ， 所以在上是增函数， 可化为，即， 又由（2）知是偶函数，所以可化为， 又在上是增函数，所以，且， 解得：且， 所以不等式的解集为. 【变式8-3】（25-26高一上·河北·期中）已知是定义在上的函数，且满足，又当时，． (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)求证：在区间上单调递减； (3)若，解不等式． 【答案】(1)函数为奇函数，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）先求得，再令，得到，即可证得为奇函数； （2）由（1）得到，令且，根据题意，证得，即可得证； （3）由（2）求得，根据题意，把不等式转化为，得到不等式，求解即得. 【解答过程】（1）函数为奇函数，理由如下： 因函数的定义域为，关于原点对称， 令，则，可得． 令，则，即， 用代换，可得，所以为奇函数． （2）证明：由（1）知，则，即， 令，且，则且， 可得， 因为当时，，所以，即， 所以函数在上单调递减，所以函数在区间上单调递减． （3）由（2）知，可得， 由题设，可得，又，故原不等式可化为， 由（2）函数在上单调递减，可得，解得， 故不等式的解集为． 【题型9 函数性质的综合应用】 【例9】（26-27高一上·天津南开·期中）已知函数是定义域为的奇函数． (1)求的值； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (3)已知，不等式对恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 (3) 【解题思路】（1）利用奇函数的性质求解. （2）利用函数的单调性定义进行判断. （3）先根据奇函数的性质将不等式进行转化，再结合函数单调性得到关于的不等式，最后根据的取值范围求解的取值范围. 【解答过程】（1）因为是定义域为的奇函数，所以， 所以，即 ， 此时，满足． （2）在上单调递减．证明如下： 由（1）知函数，设 ， 则， ， ， 因为，所以，， 即，， 所以，即，故在上单调递减． （3）因为为奇函数，所以， 由（2）可知，在上单调递减，且， ，所以对恒成立， 即对恒成立，令，， 由对勾函数性质可得：在单调递减，在单调递增， 所以在单调递减，在单调递增， 所以在处取得最小值，，， 又因为，所以，则， 即的取值范围为． 【变式9-1】（25-26高一上·福建三明·阶段检测）已知函数对任意实数恒有，当时，，且. (1)判断的奇偶性并证明； (2)求在区间上的最大值； (3)若对所有的，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)是奇函数，证明见解析 (2) (3)或 【解题思路】（1）赋值得出，再取得出判断； （2）用函数的定义先判断其在上单调递减，然后赋值结合函数奇偶性得到最大值是； （3）先求不等式左边的最大值，然后变换主元，把不等式看成关于的一次函数，结合一次函数性质处理. 【解答过程】（1）是奇函数，证明： 取，则，则； 取，则， 又定义域为，则是奇函数. （2）任取，则， ， 由时，可知， 即，即， 故在上单调递减. 取，则， 取，则， 又是奇函数，则，解得， 结合单调性可知，在区间上的最大值是 （3）由题知，若对所有的，恒成立， 只需， 结合函数的单调性，时，， 则，即， 将不等式左边视作关于的一次函数， 而时恒成立， 故只需，即， 解得或. 【变式9-2】（26-27高一上·湖北·期中）已知函数为奇函数，且． (1)求实数、的值并直接写出的单调区间； (2)设函数，，记在区间（）上的最小值为． ①求的表达式； ②若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，，函数在区间和上单调递增； (2)①；② 【解题思路】（1）根据函数为奇函数可得，由得，根据单调性定义判断可得函数单调性； （2）①作出函数的图象，结合图象分类讨论求解即可；②设的值域为，的值域为，易得，令，得到 ，通过分类讨论与的大小，得出的取值范围. 【解答过程】（1）函数定义域为，， 因为函数是奇函数，所以， 因为不恒为，所以， 因为，所以，解得， 所以， 令，且， 则， 因为且，所以，， 所以，即， 所以函数在区间和上单调递增； （2）①函数，令，得，作出函数图象如下， 当时，由图象可得， 当时，由图象可得， 所以， ②设的值域为，的值域为， 由题意可得，又， 令，则，. 当，，矛盾，舍去； 当，是增函数，则， 因为，则，解得， 当，，矛盾，舍去； 综上，可得的取值范围为. 【变式9-3】（25-26高一上·湖北十堰·期末）我们知道：函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件为函数为奇函数.已知函数. (1)求函数图象的对称中心； (2)若定义在上的函数的图象关于点对称，且，当时，. （i）求的值； （ii）若对，使得恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【解题思路】（1）由为奇函数，根据题意可得解； （2）（i）由的对称点得，令即可求得的值；（ii）由题意得的取值范围是的取值范围的子集，因为单调递增，可得的取值范围，讨论对称轴所在范围，结合对称性与增减性确定的取值范围，进而可求的取值范围. 【解答过程】（1）（1）由，易知为奇函数， 根据题意可知的图象关于点对称. （2）（i）函数图象关于点对称，则有， 令，则有. （ii）依题意有的取值范围为取值范围的子集. 因为.可知在上单调递增， 所以在上的取值范围为. 记的值域为A，且当时. ①当即时，有在上单调递增， 由对称点可得在上单调递增，故在上单调递增， 故，， ， 则，即，解得. ②当即时，在上单调递减，在上单调递增， 由对称性知在上单调递减，在上单调递增， 故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 则有， 由，得，，， 又，， 综合得当时，恒成立. ③当即时，有在上单调递减， 由对称点可得在上单调递减，所以在上单调递减， 故，， ， 则，即，解得. 综上得. 模块四 课后提升练（19题） 一、单选题 1．（25-26高一上·重庆·阶段检测）下列函数中，既是奇函数又在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据函数奇偶性和单调性的判断方法即可求出答案. 【解答过程】函数在区间上为减函数，故A错误； 函数图象的对称轴为，是非奇非偶函数，故B错误； 令，函数的定义域为， ， ，所以函数为奇函数， 因为和在上均为增函数， 故在上为增函数，故C正确； ， 当时，，此时函数在为减函数，故D错误. 故选：C. 2．（25-26高一上·广西贺州·期中）已知函数为奇函数，且当时，，则（   ） A．-9 B．-7 C．-10 D．10 【答案】C 【解题思路】根据奇函数的定义和性质求解计算即可. 【解答过程】因为当时，， 当时，，此时. 因为为奇函数，所以，所以. 即时. 所以. 故选：C. 3．（2026·广东·模拟预测）已知函数，且是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】取代入确定，即得，根据是偶函数及函数的对称轴即可求得的值. 【解答过程】将代入，可得，则， 于是，显然其对称轴， 而是偶函数即曲线关于对称，故得. 故选：C. 4．（25-26高一上·天津武清·阶段检测）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据函数的图象关于原点对称，排除B，C选项，再由，排除A选项，从而得出正确答案. 【解答过程】根据函数的图象关于原点对称，可知函数为奇函数，而B，C选项中的函数为偶函数，不符合题意，排除； 又，对于A选项，当时，，不符合，排除； 对于D选项，当时，，符合条件，所以D选项正确. 故选：D. 5．（25-26高二上·广东揭阳·期末）设是定义在上的奇函数，对任意的满足且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意可设，结合的奇偶性判断的奇偶性，再结合题设判断的单调情况，进而结合不等式，讨论的正负，结合的单调情况，分类求解，即可得答案. 【解答过程】由题意可设，因为是上的奇函数， 则，即是上的偶函数. 对任意，满足，即， ，即函数在上单调递减， 又是偶函数，故在上单调递增，且， 当时，，即，即，； 当时，，即，即，， 综上，不等式的解集为. 故选：C. 6．（25-26高一上·甘肃兰州·期末）已知定义域为的函数满足，且，则（    ） A．24 B．16 C．0 D． 【答案】C 【解题思路】利用条件可得函数的周期性，根据赋值法求得，利用可求得，再由，可得，进而即得. 【解答过程】由可得：， 由可得：， 所以，可得， 所以， 即是一个周期为的周期函数， 则， 又由可得：， 由可得：，即， 所以， 故选：C. 7．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知函数是定义在R上的奇函数，且对于且，都有，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意可知函数为定义在R上的减函数，根据函数的奇偶性和单调性解不等式即可求出答案. 【解答过程】因且，都有， 则，即 则为定义在R上的减函数， 不等式可化为 因为是定义在R上的奇函数， 则， 根据单调性可得，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 8．（25-26高一上·浙江宁波·阶段检测）已知定义域为的函数满足，且，则下列说法错误的是（    ） A．是周期函数 B．是偶函数 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据周期函数、偶函数的定义，结合赋值法逐一判断即可. 【解答过程】A：在中，令， 得 ， 所以是周期函数，因此本选项说法正确； B：在中，令， 得， 在中，令，得 ， 所以是偶函数，因此本选项说法正确； C：在中，令，得 ， 在中，令，得 ，所以本选项说法错误； D：由上可知：， 所以， 在中，令， 得， 所以， 于是，所以本选项说法正确， 故选：C. 二、多选题 9．（25-26高一上·广东东莞·期中）下列函数中，是奇函数的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解题思路】利用奇偶性的定义判断各函数的奇偶性. 【解答过程】A：的定义域为R，且，即为奇函数， B：的定义域为，且，即为奇函数， C：的定义域为R，且，即为奇函数， D：的定义域为，显然定义域不关于原点对称，不为奇函数. 故选：ABC. 10．（25-26高一上·广西贺州·期中）已知定义在上的函数是奇函数，且当时，，则下列叙述正确的是（   ） A．当时， B． C．在区间上单调递减 D．在区间上的最小值为 【答案】BCD 【解题思路】利用奇函数的定义和性质即可判断选项AB，根据判断函数单调性的定义法即可判断选项C，结合基本不等式即可判断选项D. 【解答过程】对于A，由题意知，是奇函数， 当时，则，所以， 故此时，A错； 对于B，因为是上的奇函数，所以，B正确； 对于C，由上述可知时，， 任取，且， 则 ， 因为， 所以，，， 所以，即， 所以在区间上单调递减，C正确； 对于D，当时，， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：BCD. 11．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知对于，，，，且，则下列说法正确的有（    ） A．为偶函数 B．的周期为3 C． D． 【答案】ACD 【解题思路】选项A，利用的对称性推导；选项B，通过递推式推导的周期；选项C，结合与的关系，利用的性质计算；选项D，利用的周期性计算前项和. 【解答过程】选项A，由，得关于对称，故. 由，得， 故为偶函数，A正确. 选项B，由，替换为得， 再替换为得. 联立得，故， 周期为6，B错误. 选项C，，令，得. 由，得. 由，得，故； 结合是偶函数，得，即， 故，. 因此，C正确. 选项D，周期为6，一个周期内和为. ，前2025项和为，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（25-26高一上·天津武清·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则___________. 【答案】 【解题思路】根据给定条件，利用奇函数的性质求出函数值. 【解答过程】函数是定义在上的奇函数，且当时，， 则. 故答案为：. 13．（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知是奇函数，则实数的值为___________． 【答案】/0.5 【解题思路】根据奇函数的定义域具有对称性，则，再代入验证即可. 【解答过程】由题意得， 又因为其为奇函数，则其定义域具有对称性， 则，解得，则， 此时，解得，定义域关于原点对称， 且，则为奇函数，满足题意. 故答案为：. 14．（25-26高一上·河南开封·期末）已知函数的定义域均为，若是偶函数且，则___________． 【答案】2024 【解题思路】首先通过变量代换，消去另一个函数，得到的递推关系，然后得出的周期，最后计算和. 【解答过程】因为是偶函数，所以 又，所以①， 又因为，所以②， 由①②得到③，所以④， 由③④得到，即，所以的一个周期为， 又，由，得到，且，， 所以，则， 故答案为：2024. 四、解答题 15．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知函数是定义在R上的偶函数，当时，. (1)求函数在R上的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据函数是偶函数求解解析式； （2）应用函数图象结合函数单调性列出不等式计算求解. 【解答过程】（1）由题意知是定义在R上的偶函数， 当时，； 故当时，， 故函数在R上的解析式为； （2）由函数，所以函数的单调递增区间为和 又在区间上单调递增， 故，所以. 16．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知函数的定义域为，且在该定义域上为偶函数，，. (1)求，的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，. (2) 【解题思路】（1）由在上是偶函数可得对称轴为轴，即，从中求出的值，根据定义域关于原点对称解出的值，从而得解.     （2）根据奇偶函数的定义求出为奇函数，求出时的单调性，将转化为，从而利用奇函数和单调性，计算得到实数的取值范围. 【解答过程】（1）因为在上是偶函数，所以， 且定义域关于原点对称，， 所以，. （2）由（1）得，因为函数的定义域为，关于原点对称， ，则为奇函数. 当时，，设为对勾函数， 在上为单调递减函数， 在上为单调递增函数， 又，为奇函数，且图象连续，所以在上单调递增. 由，即， 又因为在上单调递增，则，解得， 所以实数的取值范围是. 17．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式： . 【答案】(1) (2)在上单调递增；证明见解析 (3) 【解题思路】（1）利用奇函数的性质即可求出函数的解析式； （2）利用函数单调性的定义证明即可； （3）结合函数的单调性以及奇函数的性质将问题转化为，解不等式即可求解. 【解答过程】（1）是定义在上的奇函数， ，则，                           又，则.                         . （2）在上单调递增.              证明如下：任取且， ， ，且，，， 所以，即，   所以在上单调递增. （3） 在上是奇函数且单调递增， 由得  ，          ，解得：  ，         不等式的解集为. 18．（25-26高一上·福建南平·阶段检测）我们知道函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有的同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. (1)若存在对称中心，求的值 (2)由上述信息，若的图象关于点成中心对称图形，证明：； (3)已知函数，写出图象的对称中心，并求 的值. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)对称中心为，. 【解题思路】（1）根据的对称中心为，构造函数，由奇函数的性质推出求解； （2）设，根据，然后换元，即可证明结论； （3）根据为奇函数，求出，，然后发现规律，即可求解. 【解答过程】（1）设，则为奇函数， 可得，，， ∵， ∴根据奇函数的定义域关于原点对称可得，解得， ∴， 由可得，解得， ∴. （2）证明：设， ∵为奇函数， ∴对定义域内任意都成立，即， 整理得. 令，则，代入上式得， 即； （3）∵， ∴ ， ∵为奇函数， ∴， ∴，解得， ∴图像对称中心为， ∴， 即，，，…，，又， ∴ . 19．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知定义在上的函数，对任意实数，都满足，且当时，． (1)求的值，并判断函数的奇偶性； (2)用定义证明函数在上的单调性； (3)定义：若对任意的，且，都有，则称函数为上凸函数，试证明：函数是上的上凸函数． 【答案】(1)，非奇非偶函数； (2)证明见解析； (3)证明见解析 【解题思路】（1）令可得的值，根据的定义域即可判断其奇偶性；（2）由当时，可联想到利用换元法求解；（3）根据（2）中的单调性，将已知不等式转化为自变量之间的不等关系，分析法证明. 【解答过程】（1）因为， 令可得，解得. 因为是定义在上的函数，而不关于原点对称， 所以是非奇非偶函数. （2）证明：对任意的，且， 令，则， 由知， 所以. 又当时，所以，即，所以， 所以函数在上单调递增. （3）证明：因为 ， 所以要证，即证， 由（2）知函数在上单调递增， 所以即证，根据基本不等式知，该不等式恒成立， 所以函数是上的上凸函数． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 函数的奇偶性及函数性质综合 【人教A版】 模块二 函数的奇偶性 【知识点1 函数的奇偶性】 1．函数的奇偶性 (1)定义： 定义 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数. 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数. 非奇非 偶函数 既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数. 定义域特征 定义域必须是关于原点对称的区间. 等价形式 设函数f(x)的定义域为I，则有f(x)是偶函数⇔∀x∈I，- x∈I，且 f(-x)-f(x)=0；f(x)是奇函数⇔∀x∈I，- x∈I，且f(-x)+f(x)=0.特别地，若f(x)≠0，还可以判断是否成立. (2)奇偶函数的图象特征（几何意义） ①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. ②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. ③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数. (3)奇、偶函数图象对称性的应用 ①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数； ②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. 2．函数奇偶性的判断 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 3．函数奇偶性的应用 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. (2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. 【题型1 函数奇偶性的判断】 【例1】（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）下列函数是奇函数的是（） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一上·广东江门·阶段检测）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【变式1-2】（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高一上·辽宁沈阳·阶段检测）定义在上的函数，并且满足，则下列一定正确的是（   ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【题型2 由函数奇偶性求函数值、解析式】 【例2】（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，当时，，那么时，（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一上·四川达州·期中）已知为定义在上的奇函数，当时，，则（   ） A．0 B． C．1 D．2 【变式2-2】（25-26高一上·江苏苏州·期中）定义在上的奇函数满足时，，则当时的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高一上·福建宁德·期中）已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（     ） A．1 B．5 C．6 D．4 【题型3 由函数奇偶性求参数】 【例3】（25-26高一上·江苏淮安·阶段检测）若函数是定义在实数集上的奇函数，则实数a的值为（   ） A．0 B．1 C．-1 D．3 【变式3-1】（25-26高一上·贵州铜仁·期中）已知是定义域为的偶函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）函数是定义在上的奇函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【变式3-3】（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知函数，且为偶函数，则实数的值为（    ） A．1 B． C．5 D．1或 【题型4 函数奇偶性的应用】 【例4】（25-26高一上·陕西渭南·期末）已知函数是定义域为的偶函数，且在区间上单调递减，，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高一上·云南曲靖·期中）定义域为的偶函数在上是减函数，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一上·福建厦门·期中）已知函数是定义在上的奇函数， (1)用定义证明在上单调递增； (2)解关于的不等式. 【变式4-3】（25-26高一上·广东惠州·期末）设函数是定义在上的偶函数，且在上是减函数. (1)比较与的大小关系； (2)判断函数在上的单调性，并用定义法证明你的判断； (3)若，求实数的取值范围. 模块三 函数的图象 【知识点2 函数的图象】 1．函数图象的对称性 (1)图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数. (2)图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数. 2．函数图象的识别、判断 (1)排除法：利用特殊点的值来排除； (2)利用函数的奇偶性、单调性来判断. 3．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 【题型5 函数图象的识别与判断】 【例5】（25-26高一上·湖北孝感·期中）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一上·浙江湖州·阶段检测）函数的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·云南·期中）函数的大致图象为（   ） A．   B．   C．   D．   【变式5-3】（25-26高一上·北京顺义·期中）函数的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【题型6 函数图象的应用】 【例6】（25-26高一上·天津滨海新区·期中）已知函数是上的奇函数，且当时，函数的部分图象如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高一上·湖北·期中）设奇函数的定义域为，若当时，的图象如图，则不等式的解集是（    ）    A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高一上·甘肃酒泉·期中）如图，给出了偶函数的局部图象，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高一上·四川南充·期中）已知偶函数与奇函数的定义域都是，它们在上的图象分别如图1、图2所示，则使关于的不等式成立的的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【题型7 函数的对称性与周期性】 【例7】（25-26高一上·福建厦门·期中）已知函数对称轴为，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）已知是定义域为的奇函数，满足.若，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高三下·陕西榆林·阶段检测）已知定义在上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（ ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26高二下·江苏南京·期末）已知定义域为R的函数，满足是奇函数，是偶函数，则下列说法不一定正确的是（   ） A．的图象关于直线对称 B． C．的一个周期为4 D．的图象关于点对称 【题型8 抽象函数的性质】 【例8】（25-26高一上·安徽宿州·期中）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则下列说法错误的是（   ） A． B．为偶函数 C． D．若，则 【变式8-1】（25-26高三上·全国·阶段检测）已知函数的定义域为，且，则下列说法错误的是（   ） A．为周期函数 B．为偶函数 C． D． 【变式8-2】（25-26高一上·广东汕头·期中）定义在非零实数集上的函数对任意非零实数，满足：，且当时. (1)求及的值； (2)判断的奇偶性并证明； (3)解不等式：. 【变式8-3】（25-26高一上·河北·期中）已知是定义在上的函数，且满足，又当时，． (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)求证：在区间上单调递减； (3)若，解不等式． 【题型9 函数性质的综合应用】 【例9】（26-27高一上·天津南开·期中）已知函数是定义域为的奇函数． (1)求的值； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (3)已知，不等式对恒成立，求的取值范围． 【变式9-1】（25-26高一上·福建三明·阶段检测）已知函数对任意实数恒有，当时，，且. (1)判断的奇偶性并证明； (2)求在区间上的最大值； (3)若对所有的，恒成立，求实数的取值范围. 【变式9-2】（26-27高一上·湖北·期中）已知函数为奇函数，且． (1)求实数、的值并直接写出的单调区间； (2)设函数，，记在区间（）上的最小值为． ①求的表达式； ②若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围． 【变式9-3】（25-26高一上·湖北十堰·期末）我们知道：函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件为函数为奇函数.已知函数. (1)求函数图象的对称中心； (2)若定义在上的函数的图象关于点对称，且，当时，. （i）求的值； （ii）若对，使得恒成立，求实数的取值范围. 模块四 课后提升练（19题） 一、单选题 1．（25-26高一上·重庆·阶段检测）下列函数中，既是奇函数又在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·广西贺州·期中）已知函数为奇函数，且当时，，则（   ） A．-9 B．-7 C．-10 D．10 3．（2026·广东·模拟预测）已知函数，且是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·天津武清·阶段检测）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（   ）    A． B． C． D． 5．（25-26高二上·广东揭阳·期末）设是定义在上的奇函数，对任意的满足且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·甘肃兰州·期末）已知定义域为的函数满足，且，则（    ） A．24 B．16 C．0 D． 7．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知函数是定义在R上的奇函数，且对于且，都有，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·浙江宁波·阶段检测）已知定义域为的函数满足，且，则下列说法错误的是（    ） A．是周期函数 B．是偶函数 C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·广东东莞·期中）下列函数中，是奇函数的有（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·广西贺州·期中）已知定义在上的函数是奇函数，且当时，，则下列叙述正确的是（   ） A．当时， B． C．在区间上单调递减 D．在区间上的最小值为 11．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知对于，，，，且，则下列说法正确的有（    ） A．为偶函数 B．的周期为3 C． D． 三、填空题 12．（25-26高一上·天津武清·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则___________. 13．（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知是奇函数，则实数的值为___________． 14．（25-26高一上·河南开封·期末）已知函数的定义域均为，若是偶函数且，则___________． 四、解答题 15．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知函数是定义在R上的偶函数，当时，. (1)求函数在R上的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围. 16．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知函数的定义域为，且在该定义域上为偶函数，，. (1)求，的值； (2)若，求实数的取值范围. 17．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式： . 18．（25-26高一上·福建南平·阶段检测）我们知道函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有的同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. (1)若存在对称中心，求的值 (2)由上述信息，若的图象关于点成中心对称图形，证明：； (3)已知函数，写出图象的对称中心，并求 的值. 19．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知定义在上的函数，对任意实数，都满足，且当时，． (1)求的值，并判断函数的奇偶性； (2)用定义证明函数在上的单调性； (3)定义：若对任意的，且，都有，则称函数为上凸函数，试证明：函数是上的上凸函数． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $