第三章圆锥曲线的方程单元卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第三章过关检测圆锥曲线的方程 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知椭圆的一个焦点为，则的值为（ ） A. B. C. D. 2.若一双曲线与椭圆有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 3.已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，以的右焦点为圆心的圆与它的渐近线相切，则双曲线的焦距为（ ） A. B. C. D. 4.设椭圆的左、右焦点分别为，其焦距为，点在椭圆的外部，是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5.若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 6.已知为椭圆的右焦点，为椭圆与圆的一个交点，则等于（ ） A. B. C. D. 7.如图所示，一隧道内设有双行公路，其截面由一个长方形的三条边和抛物线的一段构成.为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有，已知行车道总宽度为，则车辆通过隧道的限制高度为（ ） A. B. C. D. 8.(2024·新课标Ⅱ卷)已知曲线，从上任意一点向轴作垂线，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.若椭圆的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是（ ） A. B.的长轴长为 C.的短轴长为 D.的离心率为 10.椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，现有一个水平放置的椭圆形台球盘，是它的焦点，长轴长为，焦距为，静放在点处的小球（小球的半径不计），从点沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点时，小球经过的路程可以是（ ） A. B. C. D. 11.已知是双曲线的上、下焦点，是该双曲线的一条渐近线上的一点，且以线段为直径的圆经过点，则下列说法正确的有（ ） A.双曲线的渐近线方程为 B.以为直径的圆的方程为 C.点的横坐标为 D.的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知为椭圆的长轴的两个端点，是椭圆上的动点，且的最大值是，则实数的值是________. 13.已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，则实数的值为________. 14.已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，过点向抛物线的准线作垂线，垂足为，若为等边三角形，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知椭圆，为坐标原点，为椭圆上任意一点，分别为椭圆的左、右焦点，且，其离心率为，过点的动直线与椭圆相交于两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)当时，求直线的方程. 16.(15分)已知双曲线过点且与椭圆有相同的焦点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若点在双曲线上，为左、右焦点，且，试判断的形状. 17.(15分)已知抛物线过点，且点到其准线的距离为. (1)求抛物线的方程； (2)直线与抛物线交于两个不同的点，若，求实数的值. 18.(17分)(2024·新课标Ⅰ卷)已知和为椭圆上两点. (1)求的离心率； (2)若过的直线交于另一点，且的面积为，求的方程. 19.(17分)已知椭圆的离心率为，过点的动直线与椭圆相交于两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得线段长为. (1)求椭圆的方程； (2)在轴上是否存在异于点的定点，使得直线变化时，总有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 参考答案 1.D 2.A 3.D 4.C 5.A 6.B 7.B 8.A 9.ACD 10.ACD 11.AD 12. 解析:如图所示， 当点位于短轴的端点时，取得最大值. 因为的最大值是，所以，即，所以，解得. 13. 解析:抛物线的焦点为，双曲线的一条渐近线为，即，故，即. 14. 解析:由题意，抛物线的焦点为，准线方程.因为是抛物线上一点，则，由题意可得. 因为为等边三角形，则有，即有，解得. 15.解:(1)由题意知解得.所以椭圆的标准方程为. (2)当直线的斜率不存在时，，不符合题意. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由得， . 设点，则有 所以， 整理得，解得或， 所以或. 综上，直线的方程为或 16.解:(1)椭圆方程可化为，其焦点在轴上，且. 故设双曲线方程为， 则有解得.所以双曲线的标准方程为. (2)不妨设点在双曲线的右支上， 则有. 又， 解得. 又，因此在中，边最长，而， 所以为钝角，故为钝角三角形. 17.解:(1)因为过点，且点到其准线的距离为， 所以，即，所以抛物线的方程为. (2)由得. 设点，则. 所以. 又， 所以， 所以或. 经检验，当时，直线与抛物线交点中有一点与原点重合，不符合题意， 综上，实数的值为. 18.解:(1)依题意，解得则离心率. (2)由(1)可知，椭圆的方程为，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，易知此时. 点到直线的距离为，则，与已知矛盾；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，设， 联立消去整理可得，，则， 由弦长公式可得 点到直线的距离为，则， 解得或，则直线的方程为或. 19.解:(1)因为，所以，. 椭圆方程化为，由题意知，椭圆过点， 所以，解得， 所以椭圆的方程为. (2)当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由得， . 设点，则有 假设存在定点符合题意，因为，以， 所以 . 因为上式对任意实数恒等于零，所以，即， 所以. 当直线斜率不存在时，两点分别为椭圆的上、下顶点， 显然此时，综上，存在定点满足题意. 学科网（北京）股份有限公司 $