精品解析：吉林省延边朝鲜族自治州延吉市第三高级中学2026-2027学年高三上学期第二次阶段性考试数学试题

延吉市第三高级中学2026-2027学年度第一学期 高三第二次阶段性考试数学试题 考生注意：1、本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 2、第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂写在答题卡对应的方框内；第Ⅱ卷请用黑色笔在答题卡的答案区域内作答，超出区域的答案无效，在草稿纸上作答无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由得，所以． 根据交集的定义，取与的公共元素，得． 2. 已知a＞0，b＞0，a+b=1，+的最小值是（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用1的代换，整理后利用基本不等式求最小值. 【详解】+=, 当且仅当,即时取等号， 故选：C. 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以原不等式等价于， 因为二次函数的图象开口向上， 所以不等式的解为或，对应区间为. 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】和中间值和比较大小，即可判断选项. 【详解】因为，，， 所以. 5. 已知函数为偶函数，则（ ） A. 0 B. 2 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】利用整体是偶函数，分子是奇函数，则分母必为奇函数，这样利用分母是奇函数的性质，求解参数即可. 【详解】因为是奇函数，为偶函数， 所以必为奇函数， 则，即． 整理，得恒成立，所以． 经检验，当时，， 且，符合题意． 故选：D． 6. 已知，则（ ） A. 25 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 【详解】因为，，即，所以． 故选：C. 7. 若在R上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】若在R上单调递增， 则，解得，即的取值范围是. 8. 已知函数，若关于的方程有两个不同的解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出函数的图象，根据题意，转化为与的图象有两个不同的交点，结合图象，即可求解. 【详解】画出函数的图象，如图所示， 要使得方程有两个不同的解，即方程有两个不同的解， 即与的图象有两个不同的交点， 结合图象，可得，所以实数的取值范围为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分. 9. 下列函数中是偶函数，且在上是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】是奇函数，A错； 是偶函数，且在上是减函数，B对； 是偶函数，且在上是增函数，C错； 是偶函数，且在上是减函数，D对. 10. 已知二次函数，则（ ） A. 若，则在上的最小值为2 B. 若在上单调递增，则 C. 若恒成立，则 D. 若方程的两个实根一个大于1，一个小于1，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二次函数的对称轴、单调区间、判别式以及根的分布，逐项判断即可. 【详解】已知二次函数，图象开口向上，对称轴为. A选项：若，则. 对称轴，所以当时，取得最小值.故A正确； B选项：的单调递增区间为. 若在上单调递增，则需满足.故B错误； C选项：若恒成立，则图象与轴无交点，需满足. . 化简得，解得，故C正确； D选项：若方程的两个实根一个大于1，一个小于1， 因为抛物线开口向上，所以必有，即， 化简得，解得.故D正确. 11. 已知定义在上的函数满足，且为奇函数．当时，．则下列说法正确的是（ ） A. B. 的周期为 C. 的图象关于中心对称 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由题意推导出的对称中心是，且周期；A．利用转化，结合已知区间解析式算出；B. 周期，判断 B 错；C.验证不是函数对称中心，C 错误；D. 利用的周期，求出，结合计算. 【详解】由，得关于直线对称，即， 由是奇函数，得，即， 所以关于点中心对称，且， 由，，所以， 得到，周期， 已知，， A选项：由，令得，A 正确； B选项：的周期是 ，B错误； C选项：由得， 由，，得， 即，所以是奇函数， 因为函数的一个对称中心为，且周期为，故函数的一组对称中心为， 又因为函数的一个对称中心为，且周期为，故函数的一组对称中心为， 所以函数的对称中心为， 令，得，不符合，所以不是对称中心，C 错误； D选项：的周期，， 所以，，所以，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的单调递减区间为_____． 【答案】 【解析】 【分析】结合复合函数“同增异减”的单调性规则，先求定义域再推导内层函数的对应单调区间即可 【详解】由题意可知，整理得， 解得定义域为，令， 由于底数，因此外层函数在上单调递减， 要使复合函数单调递减，需内层函数在定义域内单调递增， 是开口向下的二次函数，对称轴为，其单调递增区间为， 将该区间与定义域取交集，得， 因此函数的单调递减区间为. 13. 若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】先将原命题条件转化为全称命题的恒成立问题，再通过分类讨论结合一次函数和二次函数的图象性质，即可求得实数的取值范围. 【详解】由题意，原命题“，使得”是假命题， 则其否命题“，使得恒成立”是真命题， 当时，不等式为，对任意恒成立，符合题意， 当时，要使不等式对任意恒成立， 则需满足，解不等式组可得， 综上所述，实数的取值范围为. 14. 已知函数，不等式的解集为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性及单调性列不等式求解即可. 【详解】的定义域为. 因为，所以是奇函数. 因为，所以在上单调递增. 由，可得，即. 所以，解得， 故不等式的解集为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤. 15. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若，，求c． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理进行求解； （2）先利用同角三角函数关系得到，再使用正弦定理求解即可. 【小问1详解】 变形为：， 所以，因为，所以； 【小问2详解】 因为，且，所以， 由正弦定理得：，即，解得：． 16. 甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表： 一级品 二级品 合计 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计 270 130 400 （1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少? （2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异? 附： 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）75%；60%； （2）能. 【解析】 【分析】根据给出公式计算即可 【详解】（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为, 乙机床生产的产品中的一级品的频率为. （2）, 故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异. 17. 在长方体中，，，，，． （1）求证：面； （2）求面与面的夹角的余弦值； （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1）方法一：如图，过点作//,交于点，则有,. 连接,则四点共面,平面即平面. 由，，可得与相似, 所以，则可得,所以. 长方体中，平面， 因为平面，所以. 又,平面，所以平面. 方法二： 如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系. 则. 所以. 所以， 所以，即. 又,平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可证； （2）方法一：建立空间直角坐标系，根据平面与平面的夹角的定义转化为异面直线所成的角，利用向量法求该角的余弦值可得；方法二：由面面角的向量求法可得；方法三：作辅助线，可证平面，进而可知平面与平面的夹角为，即可得面面夹角余弦值； （3）方法一：由向量法证明，从而求得的面积，由向量法求得点C到平面的距离，再根据棱锥的体积公式求得三棱锥的体积； 方法二：由向量法求得点A到平面的距离，根据棱锥的体积公式可得三棱锥的体积； 方法三：由（2）可知点到平面的距离为，进而可求三棱锥体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一：过点作//,交于点，则有，， 连接，则四点共面，平面即平面. 如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则 ，，所以， 所以. 取的中点P，则，所以， ，所以. 所以异面直线与所成的角等于平面与平面的夹角. 又， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 方法二：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系. 则. 所以， 设平面的法向量为， 则，故可取. 由（1）知平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 方法三：由题意可知：，，， 则，则， 过点作，设，，连接， 由（1）可知：平面，则平面，可得，， 且，平面，可得平面，则， 可知平面与平面的夹角为， 因为，，， 则，可得，， 则，所以平面与平面的夹角的余弦值为； 【小问3详解】 方法一：由，，得， 所以. 所以的面积为. 由（2）知，平面的一个法向量为， 点C到平面的距离为. 所以三棱锥的体积， 所以三棱锥的体积为. 方法二：点A到平面的距离为. 因为//，所以到的距离相等， 所以的面积等于的面积，即. 所以三棱锥的体积为. 方法三：由题意可知：，，，， 则的面积， 由（2）可知点到平面的距离为， 所以三棱锥的体积. 18. 已知和为椭圆上两点. （1）求C的离心率; （2）若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 【答案】（1） （2）直线的方程为或. 【解析】 【分析】（1）代入两点得到关于的方程，解出即可； （2）方法一：以为底，求出三角形的高，即点到直线的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到点坐标，则得到直线的方程；方法二：同法一得到点到直线的距离，再设，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点到直线的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线斜率不存在的情况，再设直线，联立椭圆方程，得到点坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线斜率不存在的情况，再设，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅垂高乘表达面积即可. 【小问1详解】 由题意得，解得， 所以. 【小问2详解】 法一：，则直线的方程为，即， ，由（1）知， 设点到直线的距离为，则， 则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点， 设该平行线的方程为：， 则，解得或， 当时，联立，解得或， 即或， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，联立得， ，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为或. 法二：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，则，解得或， 即或，以下同法一. 法三：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，其中，则有， 联立，解得或， 即或，以下同法一； 法四：当直线的斜率不存在时，此时， ，符合题意，此时，直线的方程为，即， 当线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立椭圆方程有，则，其中，即， 解得或，，， 令，则，则 同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 则，解得， 此时，则得到此时，直线的方程为，即， 综上直线的方程为或. 法五：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当的斜率存在时，设，令， ，消可得， ，且，即， ， 到直线距离， 或，均满足题意，或，即或. 法六：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当直线斜率存在时，设， 设与轴的交点为，令，则， 联立，则有， ， 其中，且， 则， 则，解得或，经代入判别式验证均满足题意. 则直线为或，即或. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求的单调区间； （3）若不等式恒成立，求的最大值. 【答案】（1） （2）单调递增区间为，单调递减区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式方程求解即得； （2）通过导函数的符号判断函数的单调性即可； （3）依题将问题转化为不等式恒成立问题，设，利用求导得出该函数的最大值为，解对数不等式即可求得参数的范围. 【小问1详解】 当时，，则， 得.又， 故曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 当时，，得， 令，得或（舍去）， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 即的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问3详解】 恒成立，即恒成立， 即恒成立. 令，则， 当时，则，函数在上单调递增， 因为，不符合题意； 当时，由，得，则函数在上单调递增， 由，得，则函数在上单调递减， 故的最大值为， 由和，解得. 综上可得，的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 延吉市第三高级中学2026-2027学年度第一学期 高三第二次阶段性考试数学试题 考生注意：1、本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 2、第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂写在答题卡对应的方框内；第Ⅱ卷请用黑色笔在答题卡的答案区域内作答，超出区域的答案无效，在草稿纸上作答无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知a＞0，b＞0，a+b=1，+的最小值是（ ） A. B. 6 C. D. 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数为偶函数，则（ ） A. 0 B. 2 C. D. 1 6. 已知，则（ ） A. 25 B. 5 C. D. 7. 若在R上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于的方程有两个不同的解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分. 9. 下列函数中是偶函数，且在上是减函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数，则（ ） A. 若，则在上的最小值为2 B. 若在上单调递增，则 C. 若恒成立，则 D. 若方程的两个实根一个大于1，一个小于1，则 11. 已知定义在上的函数满足，且为奇函数．当时，．则下列说法正确的是（ ） A. B. 的周期为 C. 的图象关于中心对称 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的单调递减区间为_____． 13. 若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围为____________. 14. 已知函数，不等式的解集为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤. 15. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若，，求c． 16. 甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表： 一级品 二级品 合计 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计 270 130 400 （1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少? （2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异? 附： 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 17. 在长方体中，，，，，． （1）求证：面； （2）求面与面的夹角的余弦值； （3）求三棱锥的体积． 18. 已知和为椭圆上两点. （1）求C的离心率; （2）若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求的单调区间； （3）若不等式恒成立，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $