精品解析：吉林省长春汽车经济技术开发区第三中学2026-2027学年高三上学期期中考试数学试题

汽开三中2026-2027学年度上学期期中考试 高三数学 注意事项： 试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页，总分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】， 所以复数在复平面内对应的点为，在第四象限. 2. 已知集合，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义，结合集合包含关系及集合元素互异性进行判断即可. 【详解】 当时，，，显然满足，即充分性成立； 若，则可得或， 由解得或， 当时，集合中元素的互异性矛盾，故， 经检验，与均满足，即时，不一定等于3，即必要性不成立. 综上，“”是“”的充分不必要条件. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】. 4. 在等差数列中，，则的值为（ ） A. B. 7 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的性质和求和公式，即可求解. 【详解】，则， . 5. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对函数求导，识别 为固定常数，代入 求解该常数的值，再将 代入导函数计算目标值可得出答案. 【详解】 对求导得：，将 代入得： 所以，从而得 ，代入 得，. 故答案为：C. 6. 在同一坐标系中，函数（且）与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】从所过定点和单调性上判断出答案 【详解】函数（且）恒过点，恒过点， 且两函数单调性一致，只有B满足要求 7. 在学习了解三角形的知识后，为了锻炼实践能力，某同学搞了一次实地测量活动．他位于河东岸，在靠近河岸不远处有一小湖，他于点处测得河对岸点位于点的南偏西45°的方向上，由于受到地势的限制，他又选了点，，，使点，，共线，点位于点的正西方向上，点位于点的正东方向上，测得，，，，并经过计算得到如下数据，则其中正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. D. 点在点的北偏西30°方向上 【答案】C 【解析】 【分析】选项A，在中由余弦定理先求，再在中由余弦定理列方程求；选项B，由三角形面积公式，代入与求值；选项C，由到直线的垂直距离结合方向（南偏西）求；选项D，由正弦定理求，将与正西方向的夹角转化为北偏西角度判断. 【详解】在中，已知，，，由余弦定理得： ， 故. 由在的南偏西，，知在的南偏东方向. 在点处，指向北偏西，指向正东，故. 选项A，在中，，，， 由余弦定理， 即， 整理得，解得， 并非，故A错误； 选项B，，并非，故B错误； 选项C，到直线的垂直距离. 方向为南偏西，故，故C正确； 选项D，在中由正弦定理，得， 故.在点处，指向正西，在基础上向北偏转， 故的正西分量为， 正北分量为. 设在的北偏西方向，则，而，二者不相等，故D错误. 8. 如图，是的中线，G为的中点，过点G的直线分别与交于点，且，，其中，则的最小值为（ ） A. 4 B. 9 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算用表示出，由平面向量基本定理可知，其系数和为1，可得到关于的等式，利用基本不等式中“1”的妙用即可求得的最小值. 【详解】因为G为的中点，所以， 又是的中线，即为的中点，所以， 所以. 由，，其中，得，， 所以. 因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正项等比数列的公比为，是其前项和，若，且，则（ ） A. B. 是数列中的项 C. D. ，，成等差数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知结合等比数列的通项公式求出，然后结合等比数列与等差数列的性质及求和公式即可求解． 【详解】正项等比数列的公比为，，且， 则， 即，即或舍，A正确； 因为，则，， 令，则，是数列的第项，B正确； ，C错误； 因为，，则，所以，，成等差数列，D正确． 10. 关于函数的四个结论，其中正确的结论有（ ） A. 最大值为2 B. 在单调递增 C. 图象的对称中心为（） D. 将的图象向左平移个单位长度，向上平移1个单位长度，得到 【答案】BC 【解析】 【分析】选项A，先将化为的标准形式，由振幅与纵向平移量求最大值；选项B，由正弦函数的单调递增区间解不等式，得到的递增区间后与给定区间比较；选项C，由正弦函数对称中心处相位为求横坐标，纵坐标由常数项确定；选项D，按“左加右减、上加下减”的平移规则逐步变换，与比较相位差. 【详解】 选项A，当时，，并非，故A错误； 选项B，由，解得，. 取，得递增区间，与给定区间完全一致，故B正确； 选项C，令，得，此时， 故图象的对称中心为，，故C正确； 选项D，将向左平移个单位长度，得， 再向上平移个单位长度，得，并非，故D错误. 11. 已知是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，下列说法中正确的有（    ） A. 函数的周期是 B. 直线是函数的一条对称轴 C. D. 函数在的零点有个 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据奇偶性可推导得A，根据周期性及函数图象可以判断BCD. 【详解】对于A：由题可知，是定义在上的奇函数，故， 又是偶函数，故有，则. 又， ，因此有， 即是周期为的周期函数，故A正确； 由题可知，有一对称中心为，有一对称轴为， 故根据在上的函数图象及该函数的对称性，周期性，可绘制出的函数图象. 对于B：由周期性可知在处的对称性与在处的对称性相同， 结合图象可知关于点中心对称，故B错误； 对于C：已知的周期为，由的函数解析式可知， 由对称性可知， 故，故C正确； 对于D：求函数的零点个数即求函数与的交点个数. 由图可知，与在共个区间内各有个交点， 即与在有个交点，故D正确. 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点处的切线方程为_____________． 【答案】 【解析】 【详解】由题可得，所以曲线在点处的切线方程为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 13. 已知向量，，且，则在方向上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出的坐标，再根据向量垂直数量积为求出参数的值，再根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，，所以， 又，所以，解得， 所以，则，， 所以在方向上的投影向量为. 故答案为： 14. 已知数列满足，则的前n项和的最小值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】由通项公式变形得出为等差数列，写出等差数列的通项公式，从而得出数列的通项公式，然后分析求出数列的前n项和的最小值即可. 【详解】由，可得， 所以为等差数列，首项为，公差为2， 所以，则，则， 当时，，所以数列的前n项和的最小值为： ， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前n项和为，，． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列基本量的计算可求数列的通项公式； （2）由（1）可推得，进而利用裂项相消法求即可. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为， 由题意得，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，则， 所以， 得. 16. 云南作为中国的旅游大省，以其独特的自然景观和丰富的民族文化吸引着大量游客，加快推动全省旅游高质量发展，坚决守护好云南旅游这块金字招牌成为了云南省人民政府的重要任务.大理市对来旅游的部分游客发起满意度调查，满意度得分采用百分制，统计的综合满意度得分绘制成如下频率分布直方图. （1）求； （2）根据频率分布直方图，估计游客综合满意度得分的第80百分位数； （3）若规定综合满意度得分不低于80分为对大理市非常满意，用样本频率估计总体概率，从进行满意度打分的游客中随机抽取3人，记其中“对大理市非常满意”的人数为，且各满意度得分相互独立.求的分布列并计算数学期望与方差. 【答案】（1） （2） （3） 0 1 2 3 数学期望为，方差为 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1，可求出a的值， （2）利用百分位数的意义可求第80百分位数； （3）由题意可知X服从二项分布，利用二项分布概率公式可求分布列；进而求得期望和方差. 【小问1详解】 由，解得， 故. 【小问2详解】 80分以下的频率为，90分以下的频率为， 所以第80百分位数落在之间，设其为， 则有，解得， 所以游客综合满意度得分的第80百分位数为. 【小问3详解】 通过频率分布直方图计算得“对大理市非常满意”的概率为， 由题意可知X服从二项分布，即. X的可能取值为0，1，2，3，则；； ；，所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望为，方差为 17. 已知的三个内角所对的边分别为的面积为，且． （1）求角的大小． （2）若，求的值． （3）若，点是线段上一点，求内角平分线的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理，三角形面积公式及同角三角函数的关系即可求解； （2）根据三角形面积公式得出，结合及余弦定理即可求解； （3）根据平面向量数量积的定义得出，再根据角平分线的性质及平面向量线性运算得出，由平面向量数量积的运算律即可求解． 【小问1详解】 由余弦定理得，三角形面积， 代入已知等式得， 又 ，故． 【小问2详解】 由，得， 又，则， 由余弦定理得， 解得（负根舍去）． 【小问3详解】 因为， 所以， 因为是的平分线， 所以， 所以， 则， 故． 18. 已知椭圆的方程为，其长轴长为6，且点在上. （1）求的方程； （2）设的左顶点为，动直线的斜率为，且与交于两点，为坐标原点. （i）若，且的重心在轴上，求的方程； （ii）若经过的右焦点，点在第一象限，是关于原点的对称点，且四边形与的面积之比为，求的值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）待定系数法即可求解. （2）（i）由三角形的重心坐标公式求得，直线方程与椭圆方程联立韦达定理即可求解； （ii）设的面积，四边形的面积由面积之比可得，直线与椭圆联立韦达定理即可求解. 【小问1详解】 由长轴长为6，可得，则. 将点的坐标代入椭圆方程，可得， 解得. 故的方程为. 【小问2详解】 （i）由（1）可知，设直线. 联立得可得. 由，可得. 的重心的横坐标为，则， 即，符合， 故直线的方程为. （ii）由（i）可知. 设， 联立得可得， 则 如图，因为的面积， 四边形的面积 所以，得. 故，① ，② 联立①②，得，又在第一象限，所以， 故解得，所以. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若在时恒成立，求k的取值范围； （3）若在时恒成立，求k的最大值． 【答案】（1）时在R上单调递增，时在上单调递减，在上单调递增． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，讨论参数，然后根据参数在不同范围内的情况判断函数的单调性. （2）由恒成立问题可知，，结合（1）中单调性判断. （3）将整理得，结合（1）中结论对进行讨论， 再结合恒成立问题求k的最大值. 【小问1详解】 ， ①时，，在R上单调递增； ②时，当时，单调递减； 当时，单调递增． 综上，时在R上单调递增，时在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 易知，由（1）易得当时或即时，在上单调递增 此时，成立； 当 即时，在上单调递减，因此，矛盾． 综上所述，k的取值范围为． 【小问3详解】 即， 即即，即， 由（1）得时在上单调递减，在上单调递增，此时，即， 因此有， ①当即时，成立； ②当，有，此时若即可证明矛盾， 若则有，令，则有，， 因此在上存在使， 此时， 即与矛盾， 综上，，即k的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汽开三中2026-2027学年度上学期期中考试 高三数学 注意事项： 试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页，总分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 在等差数列中，，则的值为（ ） A. B. 7 C. D. 8 5. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 在同一坐标系中，函数（且）与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 在学习了解三角形的知识后，为了锻炼实践能力，某同学搞了一次实地测量活动．他位于河东岸，在靠近河岸不远处有一小湖，他于点处测得河对岸点位于点的南偏西45°的方向上，由于受到地势的限制，他又选了点，，，使点，，共线，点位于点的正西方向上，点位于点的正东方向上，测得，，，，并经过计算得到如下数据，则其中正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. D. 点在点的北偏西30°方向上 8. 如图，是的中线，G为的中点，过点G的直线分别与交于点，且，，其中，则的最小值为（ ） A. 4 B. 9 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正项等比数列的公比为，是其前项和，若，且，则（ ） A. B. 是数列中的项 C. D. ，，成等差数列 10. 关于函数的四个结论，其中正确的结论有（ ） A. 最大值为2 B. 在单调递增 C. 图象的对称中心为（） D. 将的图象向左平移个单位长度，向上平移1个单位长度，得到 11. 已知是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，下列说法中正确的有（    ） A. 函数的周期是 B. 直线是函数的一条对称轴 C. D. 函数在的零点有个 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点处的切线方程为_____________． 13. 已知向量，，且，则在方向上的投影向量的坐标为______. 14. 已知数列满足，则的前n项和的最小值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前n项和为，，． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 16. 云南作为中国的旅游大省，以其独特的自然景观和丰富的民族文化吸引着大量游客，加快推动全省旅游高质量发展，坚决守护好云南旅游这块金字招牌成为了云南省人民政府的重要任务.大理市对来旅游的部分游客发起满意度调查，满意度得分采用百分制，统计的综合满意度得分绘制成如下频率分布直方图. （1）求； （2）根据频率分布直方图，估计游客综合满意度得分的第80百分位数； （3）若规定综合满意度得分不低于80分为对大理市非常满意，用样本频率估计总体概率，从进行满意度打分的游客中随机抽取3人，记其中“对大理市非常满意”的人数为，且各满意度得分相互独立.求的分布列并计算数学期望与方差. 17. 已知的三个内角所对的边分别为的面积为，且． （1）求角的大小． （2）若，求的值． （3）若，点是线段上一点，求内角平分线的长． 18. 已知椭圆的方程为，其长轴长为6，且点在上. （1）求的方程； （2）设的左顶点为，动直线的斜率为，且与交于两点，为坐标原点. （i）若，且的重心在轴上，求的方程； （ii）若经过的右焦点，点在第一象限，是关于原点的对称点，且四边形与的面积之比为，求的值. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若在时恒成立，求k的取值范围； （3）若在时恒成立，求k的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $