精品解析：浙江省嘉兴市浙北六校2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

2026-2027学年第一学期浙北六校期中联考 九年级数学试题卷（2026年11月） 考生须知：全卷分试卷和答卷，试卷共4页，有3大题，24小题，满分120分，考试时间90分钟． 一、选择题（每小题有4个选项，其中有且只有一个正确选项．每小题3分，共30分） 1. 下列成语或词语所反映的事件中，可能性最小的是（　　） A. 瓜熟蒂落 B. 旭日东升 C. 守株待兔 D. 夕阳西下 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可得出答案． 【详解】解：A选项，瓜熟蒂落，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意； B选项，旭日东升，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意； C选项，守株待兔所反映的事件可能发生也可能不发生，是不确定事件，发生的可能性大于0且小于1； D选项，夕阳西下，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意． 故选C． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查抛物线的顶点坐标，根据其顶点坐标为求解，即可解题． 【详解】解：的顶点坐标是， 故选：A． 3. 已知的半径是6cm，点P到圆心O的距离为4，，则点P与的位置关系是（　　） A. 点在圆外 B. 点在圆上 C. 点在圆内 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断． 【详解】解：∵的半径为6cm,点P到圆心O的距离为4， ∴点P到圆心O的距离小于圆的半径， ∴点P在内． 故选：C． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内 ． 4. 在一个布袋里放有2个红球，1个黄球和3个黑球，它们除了颜色外其余都相同，从布袋中任意摸出一个球是黑球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵布袋中球的总个数为， 又∵黑球有个， ∴从布袋中任意摸出一个球是黑球的概率为． 5. 将二次函数的图象向右平移一个单位长度，再向下平移3个单位长度所得的图象解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象平移的规律：上加下减，左加右减，即可求解． 【详解】解：二次函数的图象向右平移一个单位长度， 可得， 再向下平移3个单位长度， 可得， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握二次函数的平移规律是解题的关键． 6. 如图，为的直径，，是上的两点，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理．连接，由圆周角定理可得，，再由直角三角形锐角互余求解即可． 【详解】解：连接． 是直径， ， ， ， 故选：B． 7. 如图，的两条直径互相垂直，点是弧的中点，连接交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点是弧的中点，得到，根据圆周角定理得到，利用三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：的两条直径互相垂直， ， 点是弧的中点， ， ， ， ． 8. 若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出二次函数的对称轴，根据时，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查比较二次函数的函数值大小．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 9. 一块含角的直角三角板和一块量角器如图摆放（三角板顶点A与量角器0刻度处重合），量角器与三角板交于点D，经测量知，点E为中点，点F为弧上一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点到圆上的最值问题，等腰三角形的判定与性质，勾股定理及垂径定理，设量角器刻度处为点，为半圆的直径，设的中点为，则点为圆心，连接，证明为等腰直角三角形，由当点O，E，F在一条直线上时，取得最小值，即可解答． 【详解】解：设量角器刻度处为点，如图， 则为半圆的直径，设的中点为，则点为圆心，连接， ∵点为中点， ∴ ∵ ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵点F为弧上一动点， ∴当点O，E，F在一条直线上时，取得最小值． ∴的最小值为． 故选：A． 10. 已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（ ） A. 或 B. 3或 C. 或 D. 或3 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，然后分三种情况讨论，即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 当，即时，时，的最小值为， ∴，解得：； 当，即时，时，的最小值为， ∴，解得：（舍去）； 当，即时，的最小值为， ∴，解得：或（舍去）； 综上所述，的值为或． 故选：A 【点睛】本题考查二次函数的性质，对对称轴进行分类讨论是解题关键． 二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，点A，B，C均在上，，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 12. 二次函数的对称轴是___________． 【答案】直线 【解析】 【详解】解：该二次函数的对称轴为直线． 13. 在一个不透明的盒子里有4个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同．若摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率为，则n的值为_______． 【答案】16 【解析】 【分析】根据概率公式列出关于的方程，求解即可得到结果． 【详解】解：摸到红球的概率为，总球数为个，红球共个， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意． 14. 如图，抛物线与直线交于和两点，则不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，由不等式可得，即求抛物线在直线的下方对应的的取值范围，结合图象即可求解，掌握数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 由图象可知，当时，抛物线在直线的下方， ∴不等式的解集是， 故答案为：． 15. 二次函数的部分对应值列表如下： x …… 0 1 3 5 …… y …… 7 7 则一元二次方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出二次函数的对称轴，进而得到当时，，由此可得或，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵当和当时的函数值相同， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵当时，， ∴当时，， ∵， ∴或， ∴或， ∴方程的解为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，正确求出二次函数的对称轴是解题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为的圆与轴交于两点，与轴交于两点，点为上一动点，于点，则点在上运动过程中，线段的长的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，取的中点，说明点F在以为直径的上运动，根据点到圆的距离，求出最小值即可． 【详解】解：连接，连接，取的中点， ， ， 点F在以为直径的上运动， 当点在的延长线上时，即图中点处时，最小， 以点为圆心，半径为的圆与轴交于两点， ， ， ， 以点为圆心，半径为的圆与轴交于两点， ， ， ，即， 的半径为， ， ，即最小值为． 三．解答题（8题共72分，17-21题，每题8分，22-23题，每题10分，24题12分） 17. 已知：如图，、、、是上的点，，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 即． ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查的是弧，弦，圆心角之间的关系定理； （1）先证明即可得到结论； （2）由证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ． 18. 已知二次函数的图象经过点和点． （1）求这个二次函数的解析式． （2）求这个函数的图象与轴的交点坐标． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）令，解方程即可解答． 【小问1详解】 解：把点和点代入二次函数解析式， 可得， 解得， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：令， 解得， ∴二次函数的图象与轴的交点坐标为，． 19. 如图①所示，可以自由转动的转盘被三等分，指针落在每个扇形内的机会均等． (1)现随机转动转盘一次，停止后，指针指向1的概率为________； (2)小明和小华利用这个转盘做游戏，若采用图②中游戏规则，你认为对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由． 【答案】（1）；（2）该游戏不公平． 【解析】 【分析】(1)、根据概率的计算法则得出概率；(2)、根据题意进行列表，然后分别得出小明获胜和小华获胜的概率，从而得出答案. 【详解】(1)、根据题意得：随机转动转盘一次，停止后，指针指向1的概率为； (2)、列表得： 1 2 3 1 （1，1） （2，1） （3，1） 2 （1，2） （2，2） （3，2） 3 （1，3） （2，3） （3，3） 所有等可能的情况有9种，其中两数之积为偶数的情况有5种，之积为奇数的情况有4种， ∴P（小明获胜）=，P（小华获胜）=， ∵＞， ∴该游戏不公平． 考点：概率的计算 20. 已知抛物线 （1）将配方成的形式； （2）当时，则y的取值范围：__________ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用配方法解答即可． （2）根据题意，确定该抛物线的对称轴为直线，函数的最小值为，然后根据函数的增减性解答即可． 【小问1详解】 解： 故． 【小问2详解】 解：根据题意，得， 抛物线的对称轴为直线，函数的顶点坐标为，函数的最小值为，且离对称轴的距离越大，函数值就越大； 在的范围内， 函数有最小值，且最小值为， ， 当时，函数取得最大值，且最大值为， y的取值范围为． 21. 如图，是的直径，点，是直径上方半圆上两点，且，与交于点． （1）求证：为的中点； （2）若，求半径． 【答案】（1）证明：∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵为的弦， ∴平分，即为的中点； （2）5 【解析】 【分析】（1）根据是的直径，可得，从而得到，再由垂径定理，即可解答； （2）设的半径为r，则，，在中，利用勾股定理解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为r，则， ∵， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， 即半径为5． 22. 某文化用品店销售一种进价为每本40元的纪念品，为获得高利润，以不低于进价进行销售，结果发现，每月销售量与销售单价之间的关系可以近似地看作一次函数：． （1）该文具店这种笔记本每月获得利润为元，求每月获得的利润元与销售单价之间的函数关系式； （2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润，最大利润为多少元？ 【答案】（1） （2）当销售单价定为元时，每月可获得最大利润，最大利润为元 【解析】 【分析】（1）根据利润=销售量×单件利润列函数关系式即可； （2）利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题可得；， ∴每月获得的利润元与销售单价之间的函数关系式． 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∵， ∴抛物线开口向下，w有最大值， 当时，， 答：当销售单价定为元时，每月可获得最大利润，最大利润为0元． 【点睛】本题考查二次函数的应用，理解题意，正确列出函数表达式，并熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． 23. 如图，为的外接圆，半径长为，． （1）求的长． （2）作的平分线交于点． ①求证：为等边三角形； ②若，求的长． 【答案】（1） （2） ①证明：∵平分，， ∴， ∵，， ∴，， 即， ∴为等边三角形； ② 【解析】 【分析】（1）过点作交于点，根据等边对等角和三角形内角和定理可得，根据线段垂直平分线的判定可得垂直平分，根据含角的直角三角形的性质可求得的值，根据勾股定理即可求得的值，即可求解； （2）①根据角平分线的定义可得，根据同弧所对的圆周角相等可推得，根据等边三角形的判定即可证明； ②在上取点使得，过点作交的延长线于点，根据等边三角形的判定和性质可得，，推得，，根据同弧所对的圆周角相等可得，根据全等三角形的判定和性质可得，根据直角三角形的两锐角互余求得，根据含角的直角三角形的性质可求得的值，根据勾股定理即可得，，即可求解． 【小问1详解】 解：过点作交于点，如图： ∵，， ∴， ∵，， ∴垂直平分， 即， ∵，， ∴， 在中，， ∴． 【小问2详解】 ① 略 ②解：在上取点使得，过点作交的延长线于点，如图： ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， 则， 故， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 即， 故． 【点睛】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定，含角的直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的定义，同弧所对的圆周角相等，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键． 24. 某俱乐部购进一台如图1的篮球发球机，用于球员篮球训练．该发球机可以以不同力度发射出篮球，篮球运行的路线都是抛物线．出球口离地面高1米，以出球口为原点，平行于地面的直线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系．力度变化时，抛物线的顶点在直线上移动，从而产生一组不同的抛物线（如图2）． （1）若． ①发球机发射出的篮球运行到距发球机水平距离为时，离地面的高度为，该球在运行过程中离地面的最大高度为_______m； ②若发球机发射出的篮球在运行过程中离地面的最大高度为，求此球落地点离发球机的水平距离； （2）球员小刚训练时发现：当篮球运行到离地面高度为至之间（包含端点）是最佳接球区间，若，求出当a满足什么条件时，距发球机水平距离的小刚在前后不挪动位置的前提下，能在最佳区间接到球． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像及性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，读懂题意． （1）①根据二次函数函数性质及题干可知本题答案； ②根据题意得出，求出该球运行路线的解析式为，令，再求解即可． （2）利用题意得，结合二次函数顶点坐标公式求得，再根据题意将点坐标代入即可得到本题答案． 【小问1详解】 解：①∵抛物线的顶点在直线上移动，， ∴抛物线的顶点在直线上移动， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴， ∵发球机发射出的篮球运行到距发球机水平距离为时，离地面的高度为， ∴此时抛物线与轴交点为， ∴根据对称性：， ∴该球在运行过程中离地面的最大高度为； ②∵发球机发射出的篮球在运行过程中离地面的最大高度为， ∴由①知：，即：， ∴解得：， ∴该球运行路线的解析式为：， ∴令，则，解得：或（舍）， ∴此球落地点离发球机的水平距离为； 【小问2详解】 解：若， ， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴，整理得：， ， ∵篮球运行到离地面高度为至之间（包含端点）是最佳接球区间， 又∵距发球机水平距离的小刚在前后不挪动位置的前提下， ∴将代入中得：，解得：， ∴将代入中得：，解得：， ∴当时，距发球机水平距离的小刚在前后不挪动位置的前提下，能在最佳区间接到球． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期浙北六校期中联考 九年级数学试题卷（2026年11月） 考生须知：全卷分试卷和答卷，试卷共4页，有3大题，24小题，满分120分，考试时间90分钟． 一、选择题（每小题有4个选项，其中有且只有一个正确选项．每小题3分，共30分） 1. 下列成语或词语所反映的事件中，可能性最小的是（　　） A. 瓜熟蒂落 B. 旭日东升 C. 守株待兔 D. 夕阳西下 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知的半径是6cm，点P到圆心O的距离为4，，则点P与的位置关系是（　　） A. 点在圆外 B. 点在圆上 C. 点在圆内 D. 无法判断 4. 在一个布袋里放有2个红球，1个黄球和3个黑球，它们除了颜色外其余都相同，从布袋中任意摸出一个球是黑球的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 将二次函数的图象向右平移一个单位长度，再向下平移3个单位长度所得的图象解析式为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，为的直径，，是上的两点，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，的两条直径互相垂直，点是弧的中点，连接交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 9. 一块含角的直角三角板和一块量角器如图摆放（三角板顶点A与量角器0刻度处重合），量角器与三角板交于点D，经测量知，点E为中点，点F为弧上一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. 8 D. 10. 已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（ ） A. 或 B. 3或 C. 或 D. 或3 二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，点A，B，C均在上，，则的度数为______． 12. 二次函数的对称轴是___________． 13. 在一个不透明的盒子里有4个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同．若摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率为，则n的值为_______． 14. 如图，抛物线与直线交于和两点，则不等式的解集是______． 15. 二次函数的部分对应值列表如下： x …… 0 1 3 5 …… y …… 7 7 则一元二次方程的解为______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为的圆与轴交于两点，与轴交于两点，点为上一动点，于点，则点在上运动过程中，线段的长的最小值为___________． 三．解答题（8题共72分，17-21题，每题8分，22-23题，每题10分，24题12分） 17. 已知：如图，、、、是上的点，，． （1）求证：； （2）求的长． 18. 已知二次函数的图象经过点和点． （1）求这个二次函数的解析式． （2）求这个函数的图象与轴的交点坐标． 19. 如图①所示，可以自由转动的转盘被三等分，指针落在每个扇形内的机会均等． (1)现随机转动转盘一次，停止后，指针指向1的概率为________； (2)小明和小华利用这个转盘做游戏，若采用图②中游戏规则，你认为对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由． 20. 已知抛物线 （1）将配方成的形式； （2）当时，则y的取值范围：__________ 21. 如图，是的直径，点，是直径上方半圆上两点，且，与交于点． （1）求证：为的中点； （2）若，求半径． 22. 某文化用品店销售一种进价为每本40元的纪念品，为获得高利润，以不低于进价进行销售，结果发现，每月销售量与销售单价之间的关系可以近似地看作一次函数：． （1）该文具店这种笔记本每月获得利润为元，求每月获得的利润元与销售单价之间的函数关系式； （2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润，最大利润为多少元？ 23. 如图，为的外接圆，半径长为，． （1）求的长． （2）作的平分线交于点． ①求证：为等边三角形； ②若，求的长． 24. 某俱乐部购进一台如图1的篮球发球机，用于球员篮球训练．该发球机可以以不同力度发射出篮球，篮球运行的路线都是抛物线．出球口离地面高1米，以出球口为原点，平行于地面的直线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系．力度变化时，抛物线的顶点在直线上移动，从而产生一组不同的抛物线（如图2）． （1）若． ①发球机发射出的篮球运行到距发球机水平距离为时，离地面的高度为，该球在运行过程中离地面的最大高度为_______m； ②若发球机发射出的篮球在运行过程中离地面的最大高度为，求此球落地点离发球机的水平距离； （2）球员小刚训练时发现：当篮球运行到离地面高度为至之间（包含端点）是最佳接球区间，若，求出当a满足什么条件时，距发球机水平距离的小刚在前后不挪动位置的前提下，能在最佳区间接到球． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $