精品解析：上海师范大学附属虹口中学2026-2027学年第一学期高一期中考试数学试题

上海师范大学附属虹口中学2026学年第一学期 高一年级数学期中考试 一、填空题（本大题共10题，每题3分，共30分） 1. 设全集，若集合，，则________． 2. 已知，则实数___________. 3. 已知，，若是的必要非充分条件，则实数的取值范围是______； 4. 不等式的解集为__________． 5. 利用反证法求证：、、至少有一个为正数，应该假设________． 6. 若幂函数在区间上是严格减函数，则______. 7. 若，则的最小值是___________. 8. 已知关于的方程有两个实数根、，若，则的值为________ 9. 命题甲：集合为空集；命题乙：关于的不等式的解集为．若命题甲、乙中有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是______． 10. 若集合中有且只有3个元素，且这3个元素恰为直角三角形的三边，则________. 二、选择题（本大题共5题，每题4分，共20分） 11. 已知且，则下列不等式一定成立的是（    ） A. B. C. D. 12. 已知幂函数①，②，③，④，其中图象关于y轴对称的函数个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 13. :是:成立的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 若，则的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 3 D. 15. 如果正数满足，那么（　　） A. ，且等号成立时的取值唯一 B. ，且等号成立时的取值唯一 C. ，且等号成立时的取值不唯一 D. ，且等号成立时的取值不唯一 三、解答题（本大题共5题，共6+8+10+12+14=50分） 16. 解不等式：． 17. 已知，． （1）当，求的值； （2）当时，用，表示． 18. 某生产消毒液企业每天能生产30000瓶消毒液，每瓶消毒液的生产成本为3元钱，由于受到疫情影响，该生产消毒液企业迅速组织各方面力量扩大生产规模，每天增加生产（）瓶消毒液，同时每瓶消毒液生产成本增加元，设该企业扩大生产规模后每天投入的总生产成本为元. （1）请用的表达式表示出； （2）试问该生产消毒液企业每天增加生产多少瓶消毒液，才能使得每天投入的生产成本最小？并求出此时的值. 19. 已知函数. （1）当a=2时，求不等式的解集； （2）设函数.当时，，求的取值范围. 20. 已知关于x的不等式，其中； （1）设此不等式的解集为A，若，求实数k的取值范围； （2）当k变化时，试求不等式的解集A； （3）对于不等式的解集A，满足．试探究集合B能否为有限集，若能，求出使得集合B中元素最少的k的所有取值，并用列举法表示此时的集合B；若不能，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海师范大学附属虹口中学2026学年第一学期 高一年级数学期中考试 一、填空题（本大题共10题，每题3分，共30分） 1. 设全集，若集合，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用并集的定义，直接运算可得. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 2. 已知，则实数___________. 【答案】 【解析】 【分析】讨论、，结合集合的性质求参数a即可. 【详解】由题设，当时，则，此时，不符合互异性； 当时，由上不符合，而时，此时集合为. 综上，. 故答案为： 3. 已知，，若是的必要非充分条件，则实数的取值范围是______； 【答案】 【解析】 【分析】根据充分、必要条件分析可知：是的真子集，结合包含关系分析求解. 【详解】由题意可知：是的真子集， 则且等号不同时成立，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 4. 不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式不等式转化为一元二次不等式求解即可. 【详解】因为, 所以，即， 解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 5. 利用反证法求证：、、至少有一个为正数，应该假设________． 【答案】、、全为非正数（即，，） 【解析】 【详解】利用反证法求证：、、至少有一个为正数，应该假设：、、全为非正数（即，，）. 6. 若幂函数在区间上是严格减函数，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据幂函数的定义及其图像与性质，求的值即可. 【详解】因为函数是幂函数，所以，解得：或， 当时，，满足函数在区间上严格减函数， 当时，，不满足函数在区间上严格减函数， 所以. 故答案为：2 7. 若，则的最小值是___________. 【答案】8. 【解析】 【分析】先判断和，再根据基本不等式求的最小值即可. 【详解】解：因为，所以，， 所以 当且仅当即时，取等号， 所以的最小值是8. 故答案为：8 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，是基础题. 8. 已知关于的方程有两个实数根、，若，则的值为________ 【答案】4 【解析】 【分析】将，变形为，根据方程有两个实数根、，得到，再代入上式求解. 【详解】因为方程有两个实数根、， 所以， 因为， 所以， ， 即， 解得或（舍去） 故答案为：4 9. 命题甲：集合为空集；命题乙：关于的不等式的解集为．若命题甲、乙中有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】按照命题甲为真，命题乙为真，得到对应的的取值范围，然后由命题甲、乙中有且只有一个是真命题，分为甲真乙假和甲假乙真两种情况进行讨论，得到答案. 【详解】命题甲：集合为空集， 即方程没有实数解， 当时，方程变为，故无解，符合题意 当时，，即， 综上命题甲为真，则. 命题乙：关于的不等式的解集为 则，解得， 所以命题乙为真，则， 因为命题甲、乙中有且只有一个是真命题， 所以当甲真乙假时，得，此时， 当甲假乙真时，得，即 综上所述，的取值范围为. 【点睛】本题考查复合命题的真假，二次函数的性质和分类讨论的思想，属于中档题. 10. 若集合中有且只有3个元素，且这3个元素恰为直角三角形的三边，则________. 【答案】 【解析】 【分析】先得或，根据判别式，以及集合中元素个数，确定方程有两个根，方程有一个根；求出，以及三个元素，再由三个元素恰为直角三角形的三边，求出，得出，即可得出结果. 【详解】由得或， 方程的判别式为， 方程的判别式为， 显然， 又集合中有且只有3个元素， 所以方程和共三个根， 且只能方程有两个根，方程有一个根； 即，即； 所以方程可化为，解得或， 方程可化为，解得， 则， 又这三个元素恰为直角三角形的三边，所以， 解得， 则，因此. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查由集合中元素个数求参数的问题，属于常考题型. 二、选择题（本大题共5题，每题4分，共20分） 11. 已知且，则下列不等式一定成立的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质判断D；举例说明即可判断ABC. 【详解】A：当时，，故A错误； B：当时，满足，但不成立，故B错误； C：当时，，故C错误； D：由，得，故D正确. 故选：D 12. 已知幂函数①，②，③，④，其中图象关于y轴对称的函数个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义域以及是否满足判断函数是否关于轴对称. 【详解】对于①，，，不关于y轴对称. 对于②，，，满足，关于y轴对称. 对于③，，，不满足，不关于y轴对称. 对于④，，，满足，关于y轴对称. 故图象关于y轴对称的函数为②和④，共个. 13. :是:成立的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】分别判断充分性和必要性得到答案. 【详解】当时，；当时，取，不满足； 故:是:成立的充分非必要条件. 故选：. 【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的推断能力. 14. 若，则的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数的运算性质求解即可 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 故选：B 15. 如果正数满足，那么（　　） A. ，且等号成立时的取值唯一 B. ，且等号成立时的取值唯一 C. ，且等号成立时的取值不唯一 D. ，且等号成立时的取值不唯一 【答案】A 【解析】 【详解】正数满足，∴ 4=，即，当且仅当a=b=2时，“=”成立；又4=，∴ c+d≥4，当且仅当c=d=2时，“=”成立；综上得，且等号成立时的取值都为2，选A． 三、解答题（本大题共5题，共6+8+10+12+14=50分） 16. 解不等式：． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式不等式以及一元二次不等式的性质即可求解. 【详解】由可得，解得， 由可得，解得或， 故原不等式组的解为. 17. 已知，． （1）当，求的值； （2）当时，用，表示． 【答案】（1）; （2）. 【解析】 【分析】（1）利用对数恒等式即可求解； （2）利用对数换底公式和同底对数的加减运算，即可求解. 【小问1详解】 因为，， 所以，，且， 又因为，所以， 则解得：或（舍去） 故当时， ； 【小问2详解】 由，可得，, 而. 18. 某生产消毒液企业每天能生产30000瓶消毒液，每瓶消毒液的生产成本为3元钱，由于受到疫情影响，该生产消毒液企业迅速组织各方面力量扩大生产规模，每天增加生产（）瓶消毒液，同时每瓶消毒液生产成本增加元，设该企业扩大生产规模后每天投入的总生产成本为元. （1）请用的表达式表示出； （2）试问该生产消毒液企业每天增加生产多少瓶消毒液，才能使得每天投入的生产成本最小？并求出此时的值. 【答案】（1）；（2），. 【解析】 【分析】（1）根据题意直接求解即可； （2）运用基本不等式直接求解即可. 【详解】（1）由题意可得：； （2）， 因为， 所以， 当且仅当时，取等号，即当时，有最小值，即. 19. 已知函数. （1）当a=2时，求不等式的解集； （2）设函数.当时，，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）当时；（2）由 等价于 ，解之得. 试题解析： （1）当时，. 解不等式，得. 因此，的解集为. （2）当时，， 当时等号成立， 所以当时，等价于. ① 当时，①等价于，无解. 当时，①等价于，解得. 所以的取值范围是. 考点：不等式选讲. 20. 已知关于x的不等式，其中； （1）设此不等式的解集为A，若，求实数k的取值范围； （2）当k变化时，试求不等式的解集A； （3）对于不等式的解集A，满足．试探究集合B能否为有限集，若能，求出使得集合B中元素最少的k的所有取值，并用列举法表示此时的集合B；若不能，说明理由． 【答案】（1） （2） 当时，；当时，；当时， （3）能；当时，的元素最少，共个， 【解析】 【分析】（1）将代入原不等式求参数范围； （2）按照的符号分类，并比较两个零点的位置； （3）先判断何时有限，再利用端点的取值确定整数元素个数的最小值． 【小问1详解】 由，有即． 因为，所以． 【小问2详解】 当时，原不等式为，解得，故． 当时，原不等式可化为 若，令，则 由于，原不等式等价于，解得，故． 若，由基本不等式得，等号当且仅当时成立． 此时原不等式等价于，解得或，故． 当时，该结果也成立，且不取． 【小问3详解】 由（2）知，当时，包含区间，所以有无限多个元素； 当时，是有界区间，所以是有限集． 设，则． 因此整数必在中，故至少有个元素． 当时，，此时，所以 当且时，基本不等式取严格不等号，即，因而，此时至少有个元素． 所以使中元素最少的只有，此时共有个元素． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $