精品解析：广东省东莞中学2025-2026学年高一上学期第二次段考数学试题

东莞中学2025-2026学年第一学期第二次段考考试试题 高一数学 注意：本卷满分150分，时间120分钟.不准使用计算器. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如果对数函数的图象经过点，那么等于（ ） A. B. C. 2 D. 2. 已知集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 3. 函数的零点所在区间为（ ）. A. B. C. D. 4. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 5. 近年来，“北斗”指路、“天宫”览胜、“墨子”传信、“嫦娥”问月，中国航天硕果累累，令国人倍感自豪.这些航天器的发射中，都遵循“理想速度方程”：，其中是理想速度（单位：），是燃料燃烧时产生的喷气速度（单位：），是火箭起飞时的燃料与火箭质量的总和（单位：），是火箭自身的质量（单位：）.小婷同学所在社团向有关部门申请，准备制作一个试验火箭，得到批准后，她们利用某民用燃料燃烧时产生的喷气速度为，火箭自身的质量为，火箭起飞时燃料的质量为，在不计空气阻力等因素影响的理想状态下发射，该试验火箭的理想速度大约为（ ）（，） A. B. C. D. 6. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象不可能为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数是偶函数，则的最小值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知角的终边有一点，其中，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 10. 下列判断正确的有（ ） A. ， B. ， C. 命题“，”的否定是“，” D. “”是“是第一象限角”的必要不充分条件 11. 甲、乙、丙三个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程关于时间的函数关系式分别为，，，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，乙在最前面 B. 当时，甲在最前面 C. 当时，丙在最前面 D. 当时，甲在最后面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为__________. 13. 已知某扇形的弧长为，面积为，则该扇形的圆心角（正角）为_________. 14. 若定义在上的函数同时满足： ①为奇函数； ②对任意的、，且，都有， 则称函数具有性质. 已知函数具有性质，则不等式的解集为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，且是第一象限角，求的值； （2）若为第二或第三象限角，化简：. 16. （1）求值：； （2）已知，，请用、表示. 17. 如图所示是函数的图象，由函数的图象与函数的图象“拼接”而成. （1）求的解析式； （2）已知，求实数的取值范围； （3）若关于的方程存在实数解，求实数的取值范围. 18. 函数是定义在上的奇函数. （1）求的值； （2）判断的单调性，并证明； （3）若存在，使得成立，求实数的取值范围. 19. 欧拉对函数的发展作出了巨大贡献，他基于初等函数研究了抽象函数的性质、例如，欧拉引入了“倒函数”的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为“倒函数”. （1）已知，，判断和是不是“倒函数”，并说明理由； （2）若是定义在上的“倒函数”，当时，.请问方程是否有整数解?并说明理由； （3）若是定义在上的“倒函数”，其函数值恒大于0，且在上单调递增.记.证明：是的充要条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东莞中学2025-2026学年第一学期第二次段考考试试题 高一数学 注意：本卷满分150分，时间120分钟.不准使用计算器. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如果对数函数的图象经过点，那么等于（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】将点坐标代入，根据指对互化计算. 【详解】由题意得，，则， 因且，则. 故选：A 2. 已知集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式求得集合、，由此求得. 【详解】， ， 所以. 故选：B 3. 函数的零点所在区间为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论. 【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 因为，，则， 故函数的零点所在区间为. 故选：B. 4. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用二次函数与对数函数的性质，结合复合函数的单调性的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，即，解得或， 又由函数在单调递减，在单调递增， 因为在定义域上为单调递增函数， 结合复合函数单调性的判定方法，可得函数的单调递增区间为. 故选：D. 5. 近年来，“北斗”指路、“天宫”览胜、“墨子”传信、“嫦娥”问月，中国航天硕果累累，令国人倍感自豪.这些航天器的发射中，都遵循“理想速度方程”：，其中是理想速度（单位：），是燃料燃烧时产生的喷气速度（单位：），是火箭起飞时的燃料与火箭质量的总和（单位：），是火箭自身的质量（单位：）.小婷同学所在社团向有关部门申请，准备制作一个试验火箭，得到批准后，她们利用某民用燃料燃烧时产生的喷气速度为，火箭自身的质量为，火箭起飞时燃料的质量为，在不计空气阻力等因素影响的理想状态下发射，该试验火箭的理想速度大约为（ ）（，） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知得出，，，代入等式计算即可. 【详解】由题意可得，，， 所以该试验火箭的理想速度为 . 故选：A. 6. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数单调性可得，，即可得结果. 【详解】因为，即； 又因为，即； 综上所述：. 故选：B. 7. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对B选项，根据确定，二次函数开口向下，不满足，其他选项满足类幂函数和二次函数性质，得到答案. 【详解】，当时，二次函数对称轴为， 对选项A：根据确定，二次函数开口向下，对称轴在轴右边，满足； 对选项B：根据确定，二次函数开口向下，不满足； 对选项C：根据确定，二次函数开口向上，对称轴在轴左边，满足； 对选项D：取，则，，满足图像； 故选：B 8. 若函数是偶函数，则的最小值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据为偶函数求出，再利用基本不等式求解. 【详解】由为偶函数可得，即， 所以． 因为，且，，所以， 所以， 则，当且仅当，即时，取最小值4． 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知角的终边有一点，其中，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】分、两种情况讨论，结合三角函数的定义可求出的值. 【详解】当时，由三角函数的定义可得； 当时，由三角函数的定义可得. 综上所述，或. 故选：AB. 10. 下列判断正确的有（ ） A. ， B. ， C. 命题“，”的否定是“，” D. “”是“是第一象限角”的必要不充分条件 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用诱导公式可判断AB选项；利用全称量词命题的否定可判断C选项；利用三角函数值的符号与象限角的关系以及充分条件、必要条件的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，，，A对； 对于B选项，，，B错； 对于C选项，由全称量词命题的否定可知，命题“，”的否定是“，”，C对； 对于D选项，若，由可知为第一象限角， 由可知为第四象限角， 所以“”“是第一象限角”， 若为第一象限角，则，所以， 所以“”“是第一象限角”， 因此“”是“是第一象限角”的必要不充分条件，D对. 故选：ACD. 11. 甲、乙、丙三个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程关于时间的函数关系式分别为，，，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，乙在最前面 B. 当时，甲在最前面 C. 当时，丙在最前面 D. 当时，甲在最后面 【答案】BCD 【解析】 【分析】作出三个函数的图象，求出交点坐标，观察图象，逐项判断即可. 【详解】作出函数的图象如下图所示： 当时，，即甲在最前面，丙在最后面，A错B对； 当时，，即甲在最后面，丙在最前面，CD都对. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由解析式可得，求解即可. 【详解】由题意可得,故，即. 故函数的定义域为. 故答案为:. 13. 已知某扇形的弧长为，面积为，则该扇形的圆心角（正角）为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件求出扇形所在圆的半径即可计算作答. 【详解】设扇形所在圆的半径为，扇形弧长为，即，由扇形面积得：，解得， 所以该扇形的圆心角(正角)为. 故答案为： 14. 若定义在上的函数同时满足： ①为奇函数； ②对任意的、，且，都有， 则称函数具有性质. 已知函数具有性质，则不等式的解集为_____. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，分析该函数的奇偶性及其在上的单调性，将所求不等式变形为，即，可得出，解之即可. 【详解】构造函数，则该函数的定义域为， 因为函数为奇函数，则， 所以，故函数为偶函数， 对任意的、，且，都有， 不妨设，则，即， 所以函数在上为减函数， 由，得，即， 所以，即，整理得，解得， 故原不等式的解集为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，且是第一象限角，求的值； （2）若为第二或第三象限角，化简：. 【答案】（1）； （2）若为第二象限角，则原式； 若为第三象限角，则原式. 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求解即可； （2）对终边的位置进行分类讨论，利用诱导公式以及同角三角函数的基本关系化简计算即可. 【详解】（1）因为，且是第一象限角，所以， 故； （2）原式 ， 若为第二象限角，则原式； 若为第三象限角，则原式. 16. （1）求值：； （2）已知，，请用、表示. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用对数、指数的运算性质计算可得出所求代数式的值； （2）由已知条件得出，结合换底公式、对数的运算性质可将用、表示. 【详解】（1）原式 ； （2）因为，所以，则， 又因为，. 17. 如图所示是函数的图象，由函数的图象与函数的图象“拼接”而成. （1）求的解析式； （2）已知，求实数的取值范围； （3）若关于的方程存在实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出函数的解析式； （2）根据函数的定义域与单调性结合可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围； （3）根据存在实数解，结合图形可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 由题意可得，解得，故. 【小问2详解】 因为函数在定义域上为增函数， 由可得，解得， 故实数的取值范围是. 【小问3详解】 因为关于的方程存在实数解，即存在实数解， 结合图象可得，整理可得，解得或， 故实数的取值范围是. 18. 函数是定义在上的奇函数. （1）求的值； （2）判断的单调性，并证明； （3）若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 函数为上的增函数.证明如下： 任取，且，则 ， ，，即，，， 所以，即， 所以函数为上的增函数. （3）. 【解析】 【分析】（1）由奇函数的性质可得，求出的值，利用函数奇偶性的定义验证即可； （2）判断出函数在上为增函数，然后利用函数单调性的定义证明即可； （3）由（2）知在上单调递增，得，问题转化为，利用函数单调性求出最值得解. 【小问1详解】 由题意，得，结合且不等于1，解得， 当时，，则， 所以函数为奇函数，合题意，故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）得在上单调递增， ， 存在，使得成立，即， 令，易知在上单调递增， 所以， 即，当且仅当，即时等号成立， ，所以实数的取值范围为. 19. 欧拉对函数的发展作出了巨大贡献，他基于初等函数研究了抽象函数的性质、例如，欧拉引入了“倒函数”的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为“倒函数”. （1）已知，，判断和是不是“倒函数”，并说明理由； （2）若是定义在上的“倒函数”，当时，.请问方程是否有整数解?并说明理由； （3）若是定义在上的“倒函数”，其函数值恒大于0，且在上单调递增.记.证明：是的充要条件. 【答案】（1） 函数的定义域为，对任意的，， 所以，函数为倒函数， 函数的定义域为，该函数的定义域不关于原点对称， 故函数不是倒函数； （2） 当时，则，由倒函数的定义可得， 由满足倒函数的定义， 当时，函数、均为增函数，故函数在上为增函数， 当时，，，，当时，， 若函数有整数解，则， 设，则函数在上单调递增， 因为，， 故方程无整数解. （3） 因为函数是上的倒函数，其函数值恒大于，且在上是增函数， 所以，， 任取、且，则，所以，，， 所以， ， 所以，函数为上的增函数， 因为，故函数为上的奇函数. 当时，即，则，所以，， 即“”“”； 若，则，所以，，即. 所以，“”“”. 因此，是的充要条件. 【解析】 【分析】（1）利用“倒函数”的定义判断函数、，可得出结论； （2）分析可知当时，，则方程若存在整数解，则，构造函数，利用零点存在定理可得出结论； （3）推导出函数的奇偶性、单调性，再利用函数的单调性、奇偶性结合充分条件、必要条件的定义证明可得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $