第三十四章 概率初步专题练习 2026～2027学年人教版九年级数学下册

第34章　概率初步　专题题集 2026~2027学年　人教版九年级数学下学期 四大板块概览 板块一 随机事件与概率（11 题） 板块二 用列举法求概率（12 题） 板块三 用频率估计概率（9 题） 板块四 概率的综合应用（10 题） 板块一　随机事件与概率 1．下列事件中，是必然事件的是（　　） A. 掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是 6 B. 打开电视机，正在播放新闻 C. 任意画一个三角形，它的内角和是 180° D. 经过有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯 【答案】C 【解析】必然事件是在一定条件下必然发生的事件．任意三角形的内角和都等于 180°，这件事一定发生，所以 C 是必然事件；A、B、D 都可能发生也可能不发生，都是随机事件．故选 C． 判断事件类型只看「是否一定发生」：一定发生是必然事件，一定不发生是不可能事件，其余都是随机事件． 2．下列事件中，是不可能事件的是（　　） A. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 B. 从只装红球的袋中摸出一个白球 C. 射击运动员射击一次，命中靶心 D. 13 个人中至少有 2 人同月出生 【答案】B 【解析】不可能事件是在一定条件下一定不发生的事件．袋中只有红球，任意摸出一个球一定是红球，不可能摸到白球，所以 B 是不可能事件；A、C 都是随机事件；一年只有 12 个月，把 13 个人按出生月份分类，至少有一个月份有 2 个人，所以 D 是必然事件．故选 B． 「只装有红球」这类结果唯一的描述，往往就是判断不可能事件的突破口． 3．事件 A 发生的概率 P(A) 的取值范围是 ________． 【答案】0≤P(A)≤1 【解析】概率是刻画随机事件发生可能性大小的数值．必然事件的概率为 1，不可能事件的概率为 0，随机事件发生的概率介于 0 与 1 之间，所以 0≤P(A)≤1． 记住三个端点：必然事件 P=1，不可能事件 P=0，随机事件 0<P<1． 4．一个不透明的袋中装有 3 个红球和 2 个白球，这些球除颜色外都相同．从袋中任意摸出一个球，摸到红球的概率是 ________． 【答案】 【解析】袋中共有 5 个球，每个球被摸到的可能性相同，其中红球有 3 个，所以摸到红球的概率为 ． 等可能情形下，概率等于符合条件的结果数除以所有等可能结果数，分母是球的总个数，不是颜色的种数． 5．袋中装有 2 个红球、3 个黄球和 5 个蓝球，这些球除颜色外都相同．从袋中任意摸出一个球，摸到哪种颜色的球的可能性最大（　　） A. 红球 B. 黄球 C. 蓝球 D. 三种颜色的可能性一样大 【答案】C 【解析】袋中共有 10 个球，摸到红球、黄球、蓝球的概率分别为 、、，其中 最大，所以摸到蓝球的可能性最大．故选 C． 比较可能性大小就是比较概率大小；同分母时只看分子即可． 6．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是 3 的倍数的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】掷一枚骰子共有 6 种等可能的结果，其中点数是 3 的倍数的有 3、6 两种，所以概率为 ．故选 B． 先按条件把符合要求的点数一一列出，再数个数，不要凭感觉取 ． 7．从 1 到 10 这 10 个整数中任取一个，取到的数是偶数的概率是 ________． 【答案】 【解析】1 到 10 中有 2、4、6、8、10 共 5 个偶数，每个数被取到的可能性相同，所以取到偶数的概率为 ． 数结果时注意端点：1 到 10 一共 10 个数，不要漏掉 10 或多数出 0． 8．下列说法正确的是（　　） A. 买 100 张中奖率为 1% 的彩票一定中奖 B. 抛硬币 10 次，一定有 5 次正面朝上 C. 降水概率 90% 指 90% 的地区下雨 D. 只装 2 个红球的袋中必定摸到红球 【答案】D 【解析】概率只反映事件发生可能性的大小，并不保证某一次试验中一定出现，买 100 张彩票仍可能都不中奖，抛 10 次硬币正面朝上的次数也不一定是 5 次，降水概率指的是下雨的可能性大小而不是地区的比例，故 A、B、C 都错；袋中只有红球，摸到红球一定发生，是必然事件．故选 D． 「概率大」不等于「一定发生」，「概率小」也不等于「一定不发生」，这是本章概念题最常设的陷阱． 9．从标有 1，2，3，4，5 的五张卡片中随机抽取一张，抽到奇数数字的概率是 ________． 【答案】 【解析】五张卡片被抽到的可能性相同，其中标有奇数的卡片有 1、3、5 共三张，所以抽到奇数的概率为 ． 抽卡片问题中每张卡片是一个等可能结果，与卡片上数字的大小无关． 10．一个不透明的袋中装有除颜色外都相同的红球和白球共 12 个，从袋中任意摸出一个球，摸到红球的概率是 ．求袋中红球的个数． 【答案】3 个 【解析】设袋中红球有 x 个．由等可能情形下概率的计算方法，摸到红球的概率为 ，于是 ，解得 x=3，所以袋中红球有 3 个． 已知概率反求个数，把「个数之比」写成方程即可，分母始终是球的总数． 11．请你设计一个摸球试验，使摸到红球的概率为 ．要求写出袋中球的颜色和个数，并说明理由． 【答案】答案不唯一，例如袋中装 2 个红球和 1 个白球（除颜色外都相同），任意摸出一个球，摸到红球的概率为 【解析】设计的关键是让红球个数占总个数的 ．取红球 2 个、白球 1 个，共 3 个球且除颜色外都相同，每个球被摸到的可能性相同；其中红球有 2 个，所以摸到红球的概率为 ． 这类题答案不唯一，只要满足「红球个数∶球的总个数=2∶3」，并且各球除颜色外都相同即可． 板块二　用列举法求概率 12．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币都正面朝上的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】用列举法，两枚硬币的所有等可能结果为（正，正）（正，反）（反，正）（反，反），共 4 种，两枚都正面朝上的只有 1 种，所以概率为 ．故选 A． 两枚硬币不能按「两正、两反、一正一反」三种结果来算，因为「一正一反」包含两种等可能情况． 13．袋中放着 2 个红球和 1 个白球，这些球除颜色外都相同．从袋中任意摸出一个球，不放回，再任意摸出一个球，两次都摸到红球的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】用树状图列举：第一次有 3 种结果，第一次摸到红球后袋中剩 1 红 1 白，第一次摸到白球后袋中剩 2 红，共 3×2=6 种等可能结果，两次都是红球的结果有 2 种，所以概率为 ．故选 A． 「不放回」会改变第二次的条件：第二次的分支数比第一次少 1，袋中各颜色球的个数也随之变化． 14．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，两枚骰子向上一面的点数之和为 7 的概率是 ________． 【答案】 【解析】用列表法列出所有等可能结果，共有 6×6=36 种，其中点数之和为 7 的有（1，6）（2，5）（3，4）（4，3）（5，2）（6，1）共 6 种，所以概率为 ． 两枚骰子要按有序对列举，（1，6）与（6，1）是两种不同的结果． 15．把两枚质地均匀的骰子同时抛出，向上一面的点数之积为 6 的概率是 ________． 【答案】 【解析】所有等可能结果共 6×6=36 种，其中点数之积为 6 的有（1，6）（2，3）（3，2）（6，1）共 4 种，所以概率为 ． 积为定值的问题先把定值分解因数，再交换两个数的顺序取全，避免漏解． 16．如图，一个可以自由转动的转盘被分成 4 个大小相同的扇形，分别标有数字 1，2，3，4．转动转盘两次（指针指向分界线时重转），两次指针所指数字之和为 5 的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】用列表法，两次转动指针所指数字的所有等可能结果共 4×4=16 种，其中数字之和为 5 的有（1，4）（2，3）（3，2）（4，1）共 4 种，所以概率为 ．故选 A． 转盘被等分成 n 个扇形时，指针指向每个扇形是等可能的，转动两次共有 n×n 种结果． 17．甲、乙、丙三人随机站成一排照相，甲恰好站在中间的概率是 ________． 【答案】 【解析】用列举法，三人的排列有（甲，乙，丙）（甲，丙，乙）（乙，甲，丙）（乙，丙，甲）（丙，甲，乙）（丙，乙，甲）共 6 种等可能结果，其中甲站在中间的只有（乙，甲，丙）（丙，甲，乙）2 种，所以概率为 ． 排队问题要按位置有序列举，不要只数「谁和谁相邻」． 18．一个不透明的盒中装有 3 个分别标有数字 1，2，3 的小球，这些球除数字外都相同．小明先从盒中随机摸出一个小球，记下数字后放回并摇匀，再随机摸出一个小球，记下数字． （1）用列表法或树状图表示两次摸球的所有可能结果； （2）求两次摸到的小球上的数字之和为 4 的概率． 【答案】（1）共有 9 种等可能结果；（2） 【解析】（1）用列表法，两次摸到的数字依次为（1，1）（1，2）（1，3）（2，1）（2，2）（2，3）（3，1）（3，2）（3，3），共 9 种等可能结果． （2）其中数字之和为 4 的有（1，3）（2，2）（3，1）共 3 种，所以概率为 ． 摸后放回，第二次的选择与第一次完全相同，结果数为 n×n；若改为不放回，结果数则是 n×(n-1)． 19．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷三次，恰好有两次正面朝上的概率是 ________． 【答案】 【解析】用树状图列举，所有等可能结果共 2×2×2=8 种，其中恰好两次正面朝上的有（正，正，反）（正，反，正）（反，正，正）共 3 种，所以概率为 ． 三步试验的结果数逐层相乘；「恰好两次」与「至少两次」不同，后者还要加上三次全是正面的情况． 20．小明和小亮用摸球的方式做游戏：袋中放着 2 个红球和 1 个白球，这些球除颜色外都相同．小明先从袋中任意摸出一个球，不放回；小亮再从袋中任意摸出一个球．若两次摸到的球颜色相同，则小明胜；若颜色不同，则小亮胜． （1）用树状图或列表法求小明获胜的概率； （2）这个游戏公平吗？若不公平，请你修改规则，使游戏对双方公平． 【答案】（1）；（2）不公平，可改为颜色相同时小明得 2 分、颜色不同时小亮得 1 分（答案不唯一） 【解析】（1）用树状图，把两个红球分别记为红1、红2，两次摸球共 6 种等可能结果，其中颜色相同的有（红1，红2）（红2，红1）2 种，所以小明获胜的概率为 ． （2）小亮获胜的概率为 1-，两人获胜的概率不相等，所以游戏不公平．因为小亮获胜的概率是小明的 2 倍，可规定颜色相同时小明得 2 分、颜色不同时小亮得 1 分，此时双方平均每次得分相等，游戏公平（也可改为摸后放回等其他方案）． 判断游戏是否公平，只需比较双方获胜的概率是否相等；改规则时让「概率×得分」相等即可． 21．某班有 3 名男生和 2 名女生，现要从中随机抽取 2 名同学参加座谈会． （1）用列表法或树状图表示所有可能的结果； （2）求恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的概率． 【答案】（1）共有 10 种等可能结果；（2） 【解析】（1）把 3 名男生记为男1、男2、男3，2 名女生记为女1、女2，任取 2 名的所有结果为（男1，男2）（男1，男3）（男2，男3）（女1，女2）（男1，女1）（男1，女2）（男2，女1）（男2，女2）（男3，女1）（男3，女2），共 10 种，且每种结果出现的可能性相同． （2）其中 1 男 1 女的有 3×2=6 种，所以概率为 ． 一次抽取 2 人属于「不放回且不计顺序」，列举时按固定顺序书写，避免（男1，女1）与（女1，男1）被重复计数． 22．如图，两个可以自由转动的转盘 A、B 分别被分成 3 个和 2 个大小相同的扇形，转盘 A 的三个扇形上依次标有数字 1，2，3，转盘 B 的两个扇形上依次标有数字 4，5．同时转动两个转盘（指针指向分界线时重转），记指针所指的两个数字之和为 m． （1）用列表法或树状图表示 m 的所有可能取值； （2）求 m 为奇数的概率． 【答案】（1）m 的取值依次为 5，6，6，7，7，8，共 6 种等可能结果；（2） 【解析】（1）用列表法，转盘 A 的 3 种结果与转盘 B 的 2 种结果相互组合，共 3×2=6 种等可能结果，对应的 m 依次为 5，6，6，7，7，8． （2）其中 m 为奇数的有 5，7，7 共 3 种，所以概率为 ． 两个转盘的扇形个数不同时，结果数是两盘扇形个数之积，不能按「和有几个不同取值」来数． 23．同时抛掷一枚质地均匀的硬币和一枚质地均匀的骰子，硬币正面朝上且骰子向上一面的点数为偶数的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】用列表法，所有等可能结果共 2×6=12 种，其中硬币正面朝上且点数为偶数的有（正，2）（正，4）（正，6）共 3 种，所以概率为 ．故选 A． 两个不同对象的试验，结果数相乘；先分别求各自的概率再相乘，结果相同． 板块三　用频率估计概率 24．某射击运动员在同一条件下射击了 500 次，其中有 460 次命中靶心，则他射击一次命中靶心的频率是 ________，由此估计他射击一次命中靶心的概率约为 ________． 【答案】0.92；0.92 【解析】频率等于命中次数与射击总次数的比值，即 =0.92．在大量重复试验中，频率会稳定在某个常数附近，可以用这个稳定值估计概率，所以命中靶心的概率约为 0.92． 频率是由试验结果算出的比值，概率是事件的固有属性；只有试验次数足够多时，才能用频率估计概率． 25．在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（　　） A. 频率就是概率 B. 频率与试验次数无关 C. 试验次数越多，频率越接近概率 D. 概率随机，与频率无关 【答案】C 【解析】频率是某次试验中事件发生的次数与总次数的比值，会随试验不同而波动；概率是事件本身的属性，是一个确定的常数．大量重复试验表明，随着试验次数的增加，频率会在概率附近摆动并逐渐稳定，故 C 正确．故选 C． 记住「频率波动、概率稳定」这一对关系，这是本章概念题的主要考法． 26．袋中装有若干个红球和 8 个白球，这些球除颜色外都相同．每次摸出一个球，记下颜色后放回并摇匀，多次试验后发现摸到红球的频率稳定在 0.2 左右，估计袋中红球有 ________ 个． 【答案】2 【解析】设袋中红球有 x 个，则摸到红球的概率约为 ．由频率稳定在 0.2 左右，得 ，解得 x=2，所以袋中红球约有 2 个． 用频率估计概率后，把「球数之比」写成方程，是这类题的统一解法． 27．某农科所在相同条件下做玉米种子发芽试验，结果发现发芽的频率稳定在 0.95 左右．估计 1000 粒这样的玉米种子中，能发芽的约有 ________ 粒． 【答案】950 粒 【解析】用频率估计概率，一粒这样的种子发芽的概率约为 0.95，所以 1000 粒中能发芽的约有 1000×0.95=950 粒． 「频率稳定值×总数」就是估计的数量，注意题目问的是「约有多少」，答案要带单位． 28．某工厂生产的一种零件，经检验合格率为 0.98．若该厂生产了 5000 个这种零件，估计其中不合格的约有 ________ 个． 【答案】100 【解析】不合格的频率约为 1-0.98=0.02，所以 5000 个零件中不合格的约有 5000×0.02=100 个． 题目问「不合格」而给出「合格率」，先做 1 减再乘总数，这是本题最常见的失分点． 29．掷一枚质地均匀的硬币，前 9 次都是正面朝上，则第 10 次正面朝上的概率（　　） A. 大于 B. 等于 C. 小于 D. 无法确定 【答案】B 【解析】每次抛掷的结果不受前面结果的影响，硬币质地均匀，正面朝上与反面朝上的可能性始终相同，概率都是 ，与前面 9 次的结果无关．故选 B． 已经发生的结果不会改变下一次的可能性，不要被「前 9 次都是正面」干扰． 30．一个不透明的口袋中装有除颜色外都相同的红球、黄球共 20 个．每次从袋中摸出一个球，记下颜色后放回并摇匀，经过多次试验，发现摸到红球的频率稳定在 0.35 左右． （1）估计袋中红球的个数； （2）若袋中黄球有 13 个，再往袋中放入若干个红球（黄球个数不变），使摸到红球的频率稳定在 0.5 左右，求放入的红球个数． 【答案】（1）7 个；（2）6 个 【解析】（1）用频率估计概率，摸到红球的概率约为 0.35，所以红球约有 20×0.35=7 个． （2）设放入红球 x 个，此时袋中共有球 20+x 个，红球有 7+x 个．由 ，解得 x=6，所以放入的红球为 6 个． 放入球后总数与红球数同时变化，方程两边都要带上 x，只改一边是典型错误． 31．某科研小组为了估计一个池塘中鱼的数量，先从池塘中捕捞 200 条鱼，给它们做上标记后放回池塘；经过一段时间，待带标记的鱼与鱼群充分混合后，再从池塘中捕捞 400 条鱼，发现其中有标记的鱼 25 条． （1）估计这个池塘中鱼的数量； （2）若每条鱼平均重 1.5 kg，估计这个池塘中鱼的总质量． 【答案】（1）约 3200 条；（2）约 4800 kg 【解析】（1）设池塘中约有 x 条鱼．再捕的 400 条鱼中有标记的占 ，这个比例可以估计带标记的鱼占全池塘鱼的比例，而带标记的鱼共有 200 条，所以 ，解得 x=3200，即池塘中约有 3200 条鱼． （2）3200×1.5=4800，即鱼的总质量约为 4800 kg． 这类「标记重捕」问题，本质是用样本中带标记鱼的比例估计总体比例，列出比例式即可． 32．小明用计算器产生 1 到 6 的随机整数来模拟掷骰子，共产生 600 个随机数，其中有 104 个是 6，则出现 6 的频率是 ________（精确到 0.001）；若再产生 600 个随机数，出现 6 的次数不一定是 104 次，理由是 ________． 【答案】0.173；频率具有随机性，各次试验的结果一般不同，试验次数越大频率越稳定在 附近 【解析】频率为 ≈0.173．用随机数模拟试验，每一次的结果都是随机的，所以同样产生 600 个随机数，出现 6 的次数不一定相同，频率会在 附近摆动，试验次数越多，摆动的幅度一般越小． 模拟试验只能近似再现随机现象，频率的波动是正常现象，不能据此否定模拟的合理性． 板块四　概率的综合应用 33．如图，转盘被分成三个扇形，其中红色扇形的圆心角为 120°，黄色扇形的圆心角为 90°，其余为蓝色扇形．转动转盘，指针停在某个扇形内（指针指向分界线时重转）． （1）求指针停在红色扇形内的概率； （2）求指针停在蓝色扇形内的概率． 【答案】（1）；（2） 【解析】转盘自由转动时，指针停在某个扇形内的可能性与该扇形的面积成正比，而扇形面积与圆心角成正比． （1）红色扇形的圆心角为 120°，占整个圆的 ，所以概率为 ． （2）蓝色扇形的圆心角为 360°-120°-90°=150°，占整个圆的 ，所以概率为 ． 扇形大小不同时，不能用「三个扇形就是 」，要按圆心角（即面积）所占的比例计算． 34．从 -1，1，2 这三个数中随机取一个作为 b，再从这三个数中随机取一个作为 c（b 与 c 可以相同），得到关于 x 的一元二次方程 x²+bx+c=0． （1）用列表法表示（b，c）的所有可能取值； （2）求所列方程有实数根的概率． 【答案】（1）共 9 种等可能结果；（2） 【解析】（1）用列表法，b 与 c 各有 3 种取值，共 3×3=9 种等可能结果：（-1，-1）（-1，1）（-1，2）（1，-1）（1，1）（1，2）（2，-1）（2，1）（2，2）． （2）一元二次方程有实数根的条件是判别式 Δ=b²-4c≥0．逐一检验：b=-1 时只有 c=-1 满足；b=1 时只有 c=-1 满足；b=2 时 c=-1、c=1 都满足（此时 Δ=0）；其余情况 Δ<0．共 4 种满足条件，所以概率为 ． 与方程结合的概率题，先写清满足条件的判据（这里是 Δ≥0），再逐一检验；Δ=0 也算方程有实数根． 35．甲、乙、丙三人玩「石头、剪刀、布」的游戏，三人同时出手一次． （1）用树状图表示三人出手的所有可能结果； （2）求三人出手的手势都相同的概率． 【答案】（1）共 27 种等可能结果；（2） 【解析】（1）每人有 3 种手势，用树状图逐层展开，共 3×3×3=27 种等可能结果． （2）三人手势都相同的情况有（石头，石头，石头）（剪刀，剪刀，剪刀）（布，布，布）共 3 种，所以概率为 ． 三步试验的结果数按「每步种数相乘」计算；「都相同」只有 3 种，不要误算成 3×3． 36．某中学为了解学生最喜欢的球类运动，随机抽取部分学生进行调查，结果是：喜欢篮球的有 40 人，喜欢足球的有 30 人，喜欢排球的有 20 人，喜欢其他球类的有 10 人（每名学生只选一类）． （1）求这次调查共抽取了多少名学生； （2）若从被调查的学生中随机抽取一名，估计这名学生最喜欢篮球的概率； （3）若该校共有 1200 名学生，估计其中最喜欢篮球的学生人数． 【答案】（1）100 名；（2）0.4；（3）480 名 【解析】（1）40+30+20+10=100，所以这次共抽取 100 名学生． （2）用频率估计概率，最喜欢篮球的频率为 =0.4，所以随机抽取一名学生，最喜欢篮球的概率约为 0.4． （3）1200×0.4=480，估计最喜欢篮球的学生约有 480 名． 统计与概率结合的题目，先用样本频率代替概率，再用「概率×总体数量」估计总体中的具体人数． 37．从 -1，0，1，2 这四个数中随机取两个不同的数，分别作为一个点的横坐标和纵坐标（先取的作横坐标）． （1）用列表法或树状图表示所有可能的点； （2）求这个点在第二象限的概率． 【答案】（1）共 12 个点；（2） 【解析】（1）横坐标有 4 种取法，纵坐标从剩下的 3 个数中取，共 4×3=12 个点，且每个点出现的可能性相同． （2）第二象限内的点横坐标小于 0、纵坐标大于 0．横坐标只能取 -1，纵坐标可取 1 或 2，共 2 个点，所以概率为 ． 横、纵坐标「分别取」是有序的，（-1，2）与（2，-1）是两个不同的点；判断象限只看横、纵坐标的符号． 38．有三张卡片，上面分别写有数字 2，3，5，除数字外都相同．从中随机抽取两张，用抽到的两张卡片上的数字随机排成一个两位数（两张卡片都要用上）． （1）用列举法表示所有可能的两位数； （2）求排成的两位数是奇数的概率． 【答案】（1）23，32，25，52，35，53；（2） 【解析】（1）抽到的两张卡片有三种情况 {2，3}、{2，5}、{3，5}，每种情况可排出两个两位数，共 23，32，25，52，35，53 六个数，且每个数出现的可能性相同． （2）其中个位是 3 或 5 的是奇数，有 23，25，35，53 共四个，所以概率为 ． 用数字组数时个位决定奇偶，先按个位分类再计数，比逐个判断更快． 39．袋中有 3 个红球和 2 个白球，这些球除颜色外都相同．从袋中一次摸出 2 个球． （1）用列举法表示所有可能的结果； （2）求摸到的 2 个球中至少有 1 个白球的概率． 【答案】（1）共 10 种等可能结果；（2） 【解析】（1）把球依次记为红1、红2、红3、白1、白2，一次摸出 2 个的所有结果为（红1，红2）（红1，红3）（红2，红3）（白1，白2）（红1，白1）（红1，白2）（红2，白1）（红2，白2）（红3，白1）（红3，白2），共 10 种． （2）「至少有 1 个白球」的反面是「2 个都是红球」，后者有（红1，红2）（红1，红3）（红2，红3）共 3 种，所以所求概率为 1-． 遇到「至少」先想反面：「至少 1 个」的反面是「一个也没有」，用 1 减去反面概率往往更快． 40．某乒乓球厂对生产的乒乓球进行质量抽检，从中随机抽取 500 个，发现优等品有 480 个． （1）估计这批乒乓球是优等品的概率； （2）若该厂生产了 20000 个这种乒乓球，估计其中优等品的个数； （3）某商店需要购进 2000 个优等品，按上述水平，至少应购进多少个这种乒乓球？ 【答案】（1）0.96；（2）19200 个；（3）2084 个 【解析】（1）优等品的频率为 =0.96，用频率估计概率，这批乒乓球是优等品的概率约为 0.96． （2）20000×0.96=19200，估计优等品约有 19200 个． （3）设应购进 n 个，则 0.96n≥2000，解得 n≥2083.3…，所以至少要购进 2084 个． 第（3）问是「至少」型取整问题，结果必须向上取整，只进 2083 个就凑不够 2000 个优等品． 41．某商场举行促销活动，设计了两种抽奖方案．方案一：在一个不透明的袋中装有 1 个红球和 3 个白球，这些球除颜色外都相同，顾客从中任意摸出一个球，摸到红球中奖；方案二：顾客掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为 6 中奖． （1）分别求两种方案中奖的概率； （2）如果你是顾客，你会选择哪种方案？请说明理由． 【答案】（1）方案一为 ，方案二为 ；（2）选择方案一，因为方案一中奖的概率更大 【解析】（1）方案一中袋中共有 4 个球，红球 1 个，中奖概率为 ；方案二中骰子有 6 种等可能结果，点数为 6 的只有 1 种，中奖概率为 ． （2）因为 >，方案一中奖的可能性更大，所以作为顾客应选择方案一． 比较两种方案的优劣，实质是比较两个事件概率的大小，与奖品的具体形式无关． 42．袋中放着 3 个球，分别标有数字 1，2，3，除数字外都相同．小明从袋中随机摸出一个球，记下数字后放回并摇匀，再随机摸出一个球，记下数字，把两次数字之和记为 S． （1）用列表法或树状图求 S=4 的概率； （2）小亮说：「把袋中标有 3 的球换成标有 4 的球，S=4 的概率会变大．」请判断小亮的说法是否正确，并说明理由． 【答案】（1）；（2）说法不正确，换成标有 4 的球后 S=4 的概率变为 ，比原来的 小 【解析】（1）用列表法，两次摸球共 9 种等可能结果，其中 S=4 的有（1，3）（2，2）（3，1）共 3 种，所以概率为 ． （2）换成标有 4 的球后，两次的数字来自 1，2，4，共 9 种等可能结果，其中和为 4 的只有（2，2）这 1 种，概率为 ．因为 <，所以 S=4 的概率变小了，小亮的说法不正确． 判断概率「变大还是变小」，要重新列举所有结果并逐一计数，不能只凭「数字变大了」就下结论． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第34章　概率初步　专题题集 2026~2027学年　人教版九年级数学下学期 四大板块概览 板块一 随机事件与概率（11 题） 板块二 用列举法求概率（12 题） 板块三 用频率估计概率（9 题） 板块四 概率的综合应用（10 题） 板块一　随机事件与概率 1．下列事件中，是必然事件的是（　　） A. 掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是 6 B. 打开电视机，正在播放新闻 C. 任意画一个三角形，它的内角和是 180° D. 经过有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯 2．下列事件中，是不可能事件的是（　　） A. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 B. 从只装红球的袋中摸出一个白球 C. 射击运动员射击一次，命中靶心 D. 13 个人中至少有 2 人同月出生 3．事件 A 发生的概率 P(A) 的取值范围是 ________． 4．一个不透明的袋中装有 3 个红球和 2 个白球，这些球除颜色外都相同．从袋中任意摸出一个球，摸到红球的概率是 ________． 5．袋中装有 2 个红球、3 个黄球和 5 个蓝球，这些球除颜色外都相同．从袋中任意摸出一个球，摸到哪种颜色的球的可能性最大（　　） A. 红球 B. 黄球 C. 蓝球 D. 三种颜色的可能性一样大 6．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是 3 的倍数的概率是（　　） A. B. C. D. 7．从 1 到 10 这 10 个整数中任取一个，取到的数是偶数的概率是 ________． 8．下列说法正确的是（　　） A. 买 100 张中奖率为 1% 的彩票一定中奖 B. 抛硬币 10 次，一定有 5 次正面朝上 C. 降水概率 90% 指 90% 的地区下雨 D. 只装 2 个红球的袋中必定摸到红球 9．从标有 1，2，3，4，5 的五张卡片中随机抽取一张，抽到奇数数字的概率是 ________． 10．一个不透明的袋中装有除颜色外都相同的红球和白球共 12 个，从袋中任意摸出一个球，摸到红球的概率是 ．求袋中红球的个数． 11．请你设计一个摸球试验，使摸到红球的概率为 ．要求写出袋中球的颜色和个数，并说明理由． 板块二　用列举法求概率 12．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币都正面朝上的概率是（　　） A. B. C. D. 13．袋中放着 2 个红球和 1 个白球，这些球除颜色外都相同．从袋中任意摸出一个球，不放回，再任意摸出一个球，两次都摸到红球的概率是（　　） A. B. C. D. 14．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，两枚骰子向上一面的点数之和为 7 的概率是 ________． 15．把两枚质地均匀的骰子同时抛出，向上一面的点数之积为 6 的概率是 ________． 16．如图，一个可以自由转动的转盘被分成 4 个大小相同的扇形，分别标有数字 1，2，3，4．转动转盘两次（指针指向分界线时重转），两次指针所指数字之和为 5 的概率是（　　） A. B. C. D. 17．甲、乙、丙三人随机站成一排照相，甲恰好站在中间的概率是 ________． 18．一个不透明的盒中装有 3 个分别标有数字 1，2，3 的小球，这些球除数字外都相同．小明先从盒中随机摸出一个小球，记下数字后放回并摇匀，再随机摸出一个小球，记下数字． （1）用列表法或树状图表示两次摸球的所有可能结果； （2）求两次摸到的小球上的数字之和为 4 的概率． 19．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷三次，恰好有两次正面朝上的概率是 ________． 20．小明和小亮用摸球的方式做游戏：袋中放着 2 个红球和 1 个白球，这些球除颜色外都相同．小明先从袋中任意摸出一个球，不放回；小亮再从袋中任意摸出一个球．若两次摸到的球颜色相同，则小明胜；若颜色不同，则小亮胜． （1）用树状图或列表法求小明获胜的概率； （2）这个游戏公平吗？若不公平，请你修改规则，使游戏对双方公平． 21．某班有 3 名男生和 2 名女生，现要从中随机抽取 2 名同学参加座谈会． （1）用列表法或树状图表示所有可能的结果； （2）求恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的概率． 22．如图，两个可以自由转动的转盘 A、B 分别被分成 3 个和 2 个大小相同的扇形，转盘 A 的三个扇形上依次标有数字 1，2，3，转盘 B 的两个扇形上依次标有数字 4，5．同时转动两个转盘（指针指向分界线时重转），记指针所指的两个数字之和为 m． （1）用列表法或树状图表示 m 的所有可能取值； （2）求 m 为奇数的概率． 23．同时抛掷一枚质地均匀的硬币和一枚质地均匀的骰子，硬币正面朝上且骰子向上一面的点数为偶数的概率是（　　） A. B. C. D. 板块三　用频率估计概率 24．某射击运动员在同一条件下射击了 500 次，其中有 460 次命中靶心，则他射击一次命中靶心的频率是 ________，由此估计他射击一次命中靶心的概率约为 ________． 25．在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（　　） A. 频率就是概率 B. 频率与试验次数无关 C. 试验次数越多，频率越接近概率 D. 概率随机，与频率无关 26．袋中装有若干个红球和 8 个白球，这些球除颜色外都相同．每次摸出一个球，记下颜色后放回并摇匀，多次试验后发现摸到红球的频率稳定在 0.2 左右，估计袋中红球有 ________ 个． 27．某农科所在相同条件下做玉米种子发芽试验，结果发现发芽的频率稳定在 0.95 左右．估计 1000 粒这样的玉米种子中，能发芽的约有 ________ 粒． 28．某工厂生产的一种零件，经检验合格率为 0.98．若该厂生产了 5000 个这种零件，估计其中不合格的约有 ________ 个． 29．掷一枚质地均匀的硬币，前 9 次都是正面朝上，则第 10 次正面朝上的概率（　　） A. 大于 B. 等于 C. 小于 D. 无法确定 30．一个不透明的口袋中装有除颜色外都相同的红球、黄球共 20 个．每次从袋中摸出一个球，记下颜色后放回并摇匀，经过多次试验，发现摸到红球的频率稳定在 0.35 左右． （1）估计袋中红球的个数； （2）若袋中黄球有 13 个，再往袋中放入若干个红球（黄球个数不变），使摸到红球的频率稳定在 0.5 左右，求放入的红球个数． 31．某科研小组为了估计一个池塘中鱼的数量，先从池塘中捕捞 200 条鱼，给它们做上标记后放回池塘；经过一段时间，待带标记的鱼与鱼群充分混合后，再从池塘中捕捞 400 条鱼，发现其中有标记的鱼 25 条． （1）估计这个池塘中鱼的数量； （2）若每条鱼平均重 1.5 kg，估计这个池塘中鱼的总质量． 32．小明用计算器产生 1 到 6 的随机整数来模拟掷骰子，共产生 600 个随机数，其中有 104 个是 6，则出现 6 的频率是 ________（精确到 0.001）；若再产生 600 个随机数，出现 6 的次数不一定是 104 次，理由是 ________． 板块四　概率的综合应用 33．如图，转盘被分成三个扇形，其中红色扇形的圆心角为 120°，黄色扇形的圆心角为 90°，其余为蓝色扇形．转动转盘，指针停在某个扇形内（指针指向分界线时重转）． （1）求指针停在红色扇形内的概率； （2）求指针停在蓝色扇形内的概率． 34．从 -1，1，2 这三个数中随机取一个作为 b，再从这三个数中随机取一个作为 c（b 与 c 可以相同），得到关于 x 的一元二次方程 x²+bx+c=0． （1）用列表法表示（b，c）的所有可能取值； （2）求所列方程有实数根的概率． 35．甲、乙、丙三人玩「石头、剪刀、布」的游戏，三人同时出手一次． （1）用树状图表示三人出手的所有可能结果； （2）求三人出手的手势都相同的概率． 36．某中学为了解学生最喜欢的球类运动，随机抽取部分学生进行调查，结果是：喜欢篮球的有 40 人，喜欢足球的有 30 人，喜欢排球的有 20 人，喜欢其他球类的有 10 人（每名学生只选一类）． （1）求这次调查共抽取了多少名学生； （2）若从被调查的学生中随机抽取一名，估计这名学生最喜欢篮球的概率； （3）若该校共有 1200 名学生，估计其中最喜欢篮球的学生人数． 37．从 -1，0，1，2 这四个数中随机取两个不同的数，分别作为一个点的横坐标和纵坐标（先取的作横坐标）． （1）用列表法或树状图表示所有可能的点； （2）求这个点在第二象限的概率． 38．有三张卡片，上面分别写有数字 2，3，5，除数字外都相同．从中随机抽取两张，用抽到的两张卡片上的数字随机排成一个两位数（两张卡片都要用上）． （1）用列举法表示所有可能的两位数； （2）求排成的两位数是奇数的概率． 39．袋中有 3 个红球和 2 个白球，这些球除颜色外都相同．从袋中一次摸出 2 个球． （1）用列举法表示所有可能的结果； （2）求摸到的 2 个球中至少有 1 个白球的概率． 40．某乒乓球厂对生产的乒乓球进行质量抽检，从中随机抽取 500 个，发现优等品有 480 个． （1）估计这批乒乓球是优等品的概率； （2）若该厂生产了 20000 个这种乒乓球，估计其中优等品的个数； （3）某商店需要购进 2000 个优等品，按上述水平，至少应购进多少个这种乒乓球？ 41．某商场举行促销活动，设计了两种抽奖方案．方案一：在一个不透明的袋中装有 1 个红球和 3 个白球，这些球除颜色外都相同，顾客从中任意摸出一个球，摸到红球中奖；方案二：顾客掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为 6 中奖． （1）分别求两种方案中奖的概率； （2）如果你是顾客，你会选择哪种方案？请说明理由． 42．袋中放着 3 个球，分别标有数字 1，2，3，除数字外都相同．小明从袋中随机摸出一个球，记下数字后放回并摇匀，再随机摸出一个球，记下数字，把两次数字之和记为 S． （1）用列表法或树状图求 S=4 的概率； （2）小亮说：「把袋中标有 3 的球换成标有 4 的球，S=4 的概率会变大．」请判断小亮的说法是否正确，并说明理由． / 学科网（北京）股份有限公司 $