32.2.1 解直角三角形-【课课练】2026-2027学年九年级下册数学同步训练（人教版·新教材）

课课练同步训练数学九年级下册J 自具 32.2解直角三角形及其应用 32.2.1解直角三角形 999 ©学习日标 1.理解直角三角形中边与边之间的关系、角与角之间的关系、边与角之间的关系. 2.能运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余以及锐角三角函数解直角三角形 三十二 夯实五分钟 难度：☆ 1.在Rt△ABC中，BC=3,AC=√3，∠C=90°，则 B地，再从B地向正南方向走200m到C地， ∠A的度数是 此时恒恒同学离A地 () A.30° B.40° C.45° D.60° A.50m B.100W3m 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=28°，AB= C.150m D.100m 10,则AC的长是 ( )4.在△ABC中，AB=6,BC=8,∠B=60°求 △ABC的面积 A.10cos28° B.10sin28° C.10tan 28 D.、10 sin28° 3.恒恒同学从A地沿北偏西60°方向走100m到 素养稳提升 难度：☆☆ 5.如图，四边形ABCD的对角线AC,BD相交于6.如图，在边长相等的小正方形组成的网格中， 点0，∠AOD=60°，AC=BD=2,则这个四边形 点A,B,C都在格点上，则sin∠ACB的值为 ABCD的面积是 ( D A. 5 A. D.1 C.3 D.23 2 5 2 30 《第三十二章锐角三角函数 7.如图，在△ABC中，AB=√5，BC=3,cosB=10.如图，在△ABC中，AD⊥BC,BE=AE=AC= ,则LC的度数为 25 10,c0sC= 3 (1)求BC的长； (2)求sinB的值. B A.75° B.60° C.45° D.30° 8在A1c中，已知snB-受，4B=10,2,AC 5√5.求△ABC的面积 第三十二章 9.如图，将边长为2cm的两个互相重合的正方 11.如图，在△ABC中，∠B=120°，AB=4,BC=2, 形纸片中的一个按住不动，另一个绕点B旋转 求AC的长 定的角度，使重登部分的面积为？3m 求旋转角度 0 31 课课练同步训练数学九年级下册 12.如图，在正方形ABCD中，E,F分别是边AD, (2)当0，M,D三点共线时，请直接写出 BC上的动点，且EF始终与以AB为直径的 tanLOFE的值. ⊙0相切于点M,连接OE,OF (1)求证：0E⊥0F; 中考一点通 难度：☆☆☆ 第 13.如图，在平面直角坐标系中，用12个以点014.如图，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，CD 为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图 是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD,AE 十二章 案.若OA=1,∠OAB=90°，求点E的坐标 与CD,CB分别相交于点H,E,AH=2CH: (1)求证：AC·BC=AH·AB; (2)求sinB的值； (3)若CD=√5，求BE的长. 32、·。=x,解得r=22. 在Rt△PMO中， 0M=√0p2-PM=√P-y= √(22)2-(5)2=√3， .点P的坐标为(-√3,5)， ∴tana=y-5-I5 x-/3 3 32.21 解直角三角形及其应用 32.2.1解直角三角形 夯实五分钟 1.D 2.B 【解析】在Rt△ABC中，：∠C= 90°，AB=10,∠B=28°， ·sinB=ACAC AB10' ∴.AC=10sinB=10sin28°. 3.B【解析】由题意画出示意图，如图 所示 北 B100m A 西 →东 200m 南 .AD=AB·sin60°=50W3m, BD=AB·cos60°=50m, .CD=BC-BD=150 m. 在Rt△ADC中，AC=√AD+CD2= 参考答案及解析 √(503)+1502=1003(m). 4.解：如图，过点A作AD⊥BC于点D. D 在Rt△ABD中，sinB=AD AB' 即sin60=AD-3 62, 解得AD=3√3， 则SAC=BC·AD= 1 ×8×33= 2 123. 素养稳提升 5.C【解析】如图，过点D作DG⊥AC 于点G,过，点B作BH⊥AC于点H. .·∠A0D=60°， .∠B0C=60°， DG=D0·sin LAOD-3D0 同里可得，B服=B0·sinLBOC=5 B0, S四边形ABCD=S△ADC+S△ABC=)AC·DC+ 24C·Bm 25 课课练同步训练数学九年级下册 1 (DO+BO) 2 =√3. 6.C【解析】如图，过点B作AC的垂 线，垂足为M.设小正方形的边长 为a. 在边长相等的小正方形组成的网 格中， 点A,B,C都在格点上， .AB=√a2+(3a)2=√10a, BC=√a2+(3a)2=√10a, AC=√(2a)2+(2a)2=22a, .∴.AB=BC. .BM⊥AC, .M是AC的中点， CM=2AC-zx2/2a-/2a. 在Rt△BCM中，BM=√JBC2-CM2= √(10a)-(√2a)=22a, sin/ACB= M_22a2√5 C√10a5 7.C【解析】如图，过点A作AD⊥BC 于点D. B 26 RJ 在Rt△ADB中， AB=√5，cosB= BD 25 AB 5' BD=AB·c0sB=V5x25 2, .AD=√AB2-BD2=√(5)2-22=1. .BC=3, ∴.CD=BC-BD=3-2=1, 在Rt△ADC中，tanC= AD =1, CD .∠C=45. 8.解：如图1，当△ABC为锐角三角形 时，过点A作AD⊥BC于点D. 在Rt△ABD中，AD=AB·sinB= 102x =10, 2 .BD=√AB2-AD=10. 在Rt△ACD中，CD=√AC2-AD2= √(55)2-102=5， .∴.BC=BD+CD=15, Sa4@-2BC·A0=x15x10=75 1 如图2，当△ABC为钝角三角形时， 过点A作AD⊥BC交BC的延长线 于点D. 在Rt△ABD中，AD=AB·sinB= 102x号10， .BD=√AB2-AD2=10. 在Rt△ACD中， CD=√AC2-AD2=√(5V5)2-102=5, ∴.BC=BD-CD=5, ∴.S△ABc= 2BC·AD=2×5x10=25. 综上，△ABC的面积为75或25. D B 图1 图2 9.解：在Rt△A'BE和Rt△CBE中， (BA'=BC, BE=BE, .Rt△A'BE≌Rt△CBE(HL), 14323 .S AA'BE=S△cE=2X33 (cm2). BC=A'B=2 cm,Scm=BG.EC, S△A'aB=2A'B·A'E, 2√3 .EC=A'E= 3 cm. 在Rt△A'BE中，am∠A'BE=A'E_V3 A'B 3' ∴.∠A'BE=∠CBE=30°， .∴.∠A'BC=60°， ∴.∠ABA'=90°-∠A'BC=30°， 即旋转角度为30. 10解：(1)osC=,4D1C,Be AE=AC=10, .∴.∠ADE=∠ADC=90°，DE=CD, 参考答案及解析 CD 3 AC5’ .DE=CD=6. .BC=BE+DE+CD=10+6+6=22. (2).∠ADE=∠ADC=90°， BE=AC=10,DE=CD=6, .BD=16, AD=√AC2-CD2=√102-62=8， .AB=√AD2+BD2 =√82+162 =85, ..sin B=AD=8 5 AB855 11.解：如图，过点C作CD⊥AB,交AB 的延长线于点D. B 0 :∠ABC=120°， .∴.∠CBD=180°-120°=60°. .BC=2, ·sinL CBD=CD_CD.V3 BC221 BD 1 cos∠CBD= BC 2' .CD=3,BD=1. .AB=4, ∴.AD=AB+BD=4+1=5, .AC=√AD+CD=√52+(3)2=27. 27 课课练同步训练数学九年级下册 12.(1)证明：如图1，连接0M. 0 F( 图1 :四边形ABCD是正方形， .∴.∠BAD=∠ABC=90° AB是⊙O的直径， .AD,BC是⊙O的切线. 又EF始终与以AB为直径的⊙O相 切于点M, 1 LM0B=2∠A0M, LMOF-2ZBOM, .∴∠EOF=∠MOE+∠MOF 2∠AOM+∠BOM 1 =×180°=90°， 21 .OE⊥OF (2)tanLOFE=/5-1 2 提示：当O,M,D三点共线时，延长 OM必经过点D,如图2. 图2 设OA=x,则AD=2x, 28 RJ 六tanLAD(0=2 设AE=y,则EM=y, DM=- EM nLADO=2y. 在Rt△DME中， DE=√EM2+DM=√5y. .·AE+DE=AD, .y+W5y=2x, y=5-1 x2 在Rt△OME中， tan∠EoM= EM y 5-1 0Mx-2 ·.·∠EOM+∠OEM=∠OFE+∠OEM= 90°， ∴.∠EOM=∠OFE, 六tan∠OFE=tanLEOM=V5-l 2 中考一点通 13.解：题图中的12个直角三角形是 相似三角形， 360° ∴.∠AOB= =30°. 12 在Rt△AOB中，coS∠AOB= OA√3 0B2’ 3 0A=2 0B. 同理可得0B: 30C,0C=2 0D, 0=(0c,0M=()0m 3 .0A=1, 83 ∴.OD= 9, DE=0D·tan30=8 、点E的坐标为(-9,9） 88√3 14.（1)证明：.∠ACB=90°，CD是斜边 AB上的中线， .AD=CD, .∴.∠CAB=∠HCA. .·AE⊥CD, .∴.∠ACB=∠CHA=90°， ..△ABC∽△CAH, BC AB ∴AHCA' .AC·BC=AH·AB. (2)解：∠ACB=90°，CD是斜边AB 上的中线， .CD=BD, .∠B=∠BCD AE⊥CD, .∴.∠CAH+∠ACH=90°. 又∠ACB=90°， ∴.∠BCD+∠ACH=90°， .∴.∠B=∠BCD=∠CAH. .·AH=2CH, ∴.由勾股定理，得AC=√A+CH= √5CH, CH√5 AC 5' 《参考答案及解析 ∴.sinB=sin∠CAH= CH√5 AC 5 (3)解：sinB=5 .AC√5 ·AB5 又AB=2CD=25, ∴.AC=2 设CE=x(x>0),则AE=√5x. 在Rt△ACE中，CE+AC=AE, .x2+22=(5x), 解得x=1, ∴.CE=1. 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2, .22+BC2=(25)2, 解得BC=4, ∴.BE=BC-CE=3. 32.2.2应用举例 夯实五分钟 1.C 2.C【解析】设山高AB为xm.由题 意得，∠ACB=30°，∠ADB=45°， ∠ABC=90°. tan 30=3x m. 在Rt△ACB中，有CB=,X 在Rt△ADB中，有BD=,Y tan45。=xm, CD=CB-BD, ..√3x-x=50, 解得x=25(3+1). 29