精品解析：黑龙江省绥化市第八中学校2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

初四期中试题 一、单选题 1. 关于反比例函数，下列说法错误的是（ ） A. 图象位于第二、四象限 B. y随x的增大而增大 C. 图象与坐标轴不相交 D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】从反比例函数的值符号入手，结合其图象与性质判断各选项，注意增减性的适用范围． 【详解】解：∵反比例函数的解析式为， ∴， ∴该函数的图象位于第二、四象限，每个象限内随的增大而增大，图象与坐标轴不相交， 故A、C正确，B错误； 当时，图象在第二象限，，故D正确． 2. 已知点，都在反比例函数的图象上，且，则，的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用反比例函数横纵坐标乘积为定值的性质，先判断定值的符号，再结合两点纵坐标的符号推导横坐标的符号，即可比较大小． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ ，； ∴． 3. 一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，下图是从三个不同方向看到的三视图，则搭成这个几何体所用的小正方体的个数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【详解】解：组合体的俯视图正方形个数分布情况如下： 则正方体的个数为 4. 反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，过点作轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点．当点的横坐标逐渐变大时，四边形的面积（ ） A. 逐渐变大 B. 逐渐变小 C. 不变 D. 先变小再变大 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的解析式和矩形、三角形的面积公式把四边形的面积用含的代数式表示出来，即可得到结果． 【详解】解：点在的图象上， ， ， 设点的坐标为，则点的横坐标为，点的纵坐标为， 点、都在函数上， 点的坐标为，点的坐标为， ，， ， 点的横坐标逐渐变大时，四边形的面积不变． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 矩形都是相似图形 B. 正方形都是相似图形 C. 各边对应成比例的多边形是相似多边形 D. 相似多边形对应角的比叫作相似比 【答案】B 【解析】 【分析】判断相似需同时满足对应角相等、对应边成比例两个条件； 【详解】解：∵ 矩形的对应边不一定成比例， ∴ A错误； ∵ 正方形的对应角相等，对应边成比例， ∴ B正确； ∵ 各边对应成比例的多边形对应角不一定相等， ∴ C错误； ∵ 相似比是对应边的比， ∴ D错误； 6. 如图，边长分别为，，的三个正方形拼接在一起，它们的一边在同一直线上，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】两组角分别相等的两个三角形相似，三角形相似，对应边成比例． 【详解】解：给图中顶点标字母，如下图所示， 四边形、、是正方形， ， ， ，， ， ， 即， ， ， ， ， ，， ， 即， ， ， 所以，图中阴影部分的面积为：． 7. 如图，在菱形中，分别是的中点，连接，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，由菱形性质得出及长，利用勾股定理求，由三角形中位线性质得出，进而求解． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， 在中，， ∵O、E分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴． 8. 如图所示的是一个几何体的三种视图，俯视图是菱形，根据图中数据（单位：），可得它的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】该几何体的主视图以及左视图都是矩形，俯视图也为一个菱形，可确定这个几何体是一个四棱柱． 【详解】解：依题意可求出该几何体的体积为． 9. 比较，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了锐角三角函数值的比较，掌握锐角三角函数的增减性是做题的关键． 利用三角函数的关系将转化为，再根据余弦函数在锐角范围内的递减性，比较和，最后利用正切函数的递增性和特殊值比较与即可． 【详解】解：， 又在锐角范围内，余弦函数递减，且， ， 即． ，且正切函数在锐角范围内递增，， ， 又∵（余弦函数递减，）， ， 综上，． 故选：D． 10. 如图，已知，，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题目所给条件可推出，结合公共角可推出，从而，再由三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：，， ， ，， ，， ， 又， ， ， ， ． 11. 如图，A是反比例函数图象上一点，B是反比例函数图象上一点，连接交y轴于点C，若，，则k的值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】作轴于点，于点，可证得，从而将转化为，再利用反比例函数几何意义列式求出k的值． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点． 轴，轴， ， 与互为对顶角， ， 又， ， ， 点在反比例函数图象上， 由反比例函数几何意义可得， ， ，， ， ， ， ， ， 点在第一象限内反比例函数的图象上， ， ， ， 解得． 12. 如图，在矩形中，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形ADCB；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，…，按照此规律作下去，则边的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知和矩形的性质可分别求得，利用相似多边形的性质可发现规律，根据规律即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∵按逆时针方向作矩形的相似矩形， ∴矩形的边长和矩形的相似比为， ∴矩形的对角线和矩形的对角线的比为， ∵矩形的对角线为， ∴矩形的对角线， 依此类推，矩形的对角线和矩形的对角线的比为， ∴矩形的对角线， ∴矩形的对角线， 按此规律第个矩形的对角线 ． 二、填空题 13. 如图，由若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，该几何体的表面积是________． 【答案】38 【解析】 【分析】本题考查了几何体的组成及表面积计算．先分析几何体各个方向的面的情况，从上下方向，面积之和为，从前后方向，面积之和为，从左右方向，面积之和为，最后再依次计算几何体的表面积并相加即可． 【详解】解：该几何体的表面积是：， 故答案为：38． 14. 如图，直线y ＝kx(k＞0)与双曲线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2－7x2y1＝___________． 【答案】20 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点找出A、B两点坐标的关系，再根据反比例函数图象上点的坐标特点，即可求解． 【详解】解，观察图象得：直线y=kx（k＞0）过原点和一、三象限，且与双曲线交于两点， ∴这两点关于原点对称， ∴x1=-x2，y1=-y2， 又∵点A、点B在双曲线上， ∴x1×y1=4，x2×y2=4， ∴x1×y2=-4，x2×y1=-4， ∴2x1y2-7x2y1=2×（-4）-7×（-4）=20． 故答案为：20 【点睛】本题主要考查了正比例函数与反比例函数交点坐标的性质，属于一般性的题目，掌握两交点坐标关于原点对称是解题的关键． 15. 已知、两点在反比例函数的图像上，且，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据反比例函数的性质判断的增减性，再由且，判断出，两点分别位于不同象限，根据象限内点的坐标特征列不等式组求解． 【详解】解：反比例函数中，， 该反比例函数图像在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ， ， 又， 点，不在同一象限，即在第三象限，在第一象限， ∴ ， ∴的取值范围为． 16. 如图，中，，，；_______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，构造直角三角形，在中，利用锐角三角函数定义及勾股定理求出和的长；在中，利用特殊角的三角函数值求出的长；进而求出的长，最后利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过点作于点， 在中，，，， ， 根据勾股定理，得， 在中，，， ， 为等腰直角三角形， ， ， ． 17. 计算：_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 18. 如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为______. 【答案】4 【解析】 【分析】取的中点，连接，根据三角形中位线性质得， ，再证明 ，得，从而求得，然后根据 ，代入即可求解. 【详解】解：取的中点，连接 ， ∵是的中点，是的中点 ， ∴是的中位线 ， ∴，  ， ∴  ， ∴ ， ∴ ，  ∴ ， ∵ ，  ∴  ， ∴. 19. 教学楼前有一棵树，小明想利用树影量树高．在阳光下他测得一根长为的竹竿的影长是，但当他马上测量树高时，发现树的影子不全在地面上有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），经过思考，他认为继续测量也可以求出树高，他测得，落在地面上的影长是，落在墙壁上的影长是，则这棵数的实际高度为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据同一时刻物高与影长成比例求出落在地上的影长对应的树的高度，再加上落在墙上的影长就是树的高度． 【详解】解：因为同一时刻物高与影长成比例， 所以：， 即：， 解得落在地上的影长对应的树的高， 所以树的高度为：． 20. 如图所示，三个边长为1的正方形ABCD，ABEF，EFHG拼在一起，则，，这三个角的度数之和等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】先通过两边对应成比例且夹角相等证明，得到，然后利用三角形外角性质可得，即可求解． 【详解】解：四边形，，都是边长为1的正方形， ，，，， ，， ． 又， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形外角定理，勾股定理的应用，掌握以上基础知识是解本题的关键． 21. 在中，，外接圆的半径为2，则______度． 【答案】60或120 【解析】 【分析】分两种情况：为锐角三角形和为钝角三角形，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】解：如图1所示，当为锐角三角形时， 设外接圆的圆心为点O，连接并延长交于点D，连接， ，， ∴， ， ∴； 如图2所示，当为钝角三角形时， 设外接圆的圆心为点O，连接并延长交于点D，连接， 同理可得， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 22. 如图，在x轴的正半轴依次截取，过点，，分别作x轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得，，，并设其面积分别为，以此类推，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，，根据题意可得，又，则有，，，，从而可得． 【详解】解：如图，连接，，， ∵，，，是反比例函数的图象上的点，都垂直于轴， ∴， ∵， ∴，，， ， ∴． 三、解答题 23. 在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置并直接写出点P的坐标为________； （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）的面积________． 【答案】（1），； （2） （3）10 【解析】 【分析】（1）连接三组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心； （2）延长、，并使，，再连接即可； （3）利用割补法求面积． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：的面积． 24. 消防车是救援火灾的主要装备．图是一辆登高云梯消防车的实物图，图是其工作示意图，起重臂（米米）是可伸缩的，且起重臂可绕点在一定范围内上下转动，张角（）；转动点距离地面的高度为米． （1）当起重臂的长度为米，张角时，云梯消防车最高点距离地面的高度的长为________米． （2）某日—栋大楼突发火灾，着火点距离地面的高度为米，该消防车在这栋楼下能否实施有效救援？请说明理由（参考数据：，，）（提示：当起重臂伸到最长且张角最大时，云梯顶端可以达到最大高度） 【答案】（1） （2）解：该消防车在这栋楼下能实施有效救援． 理由：当米，时，云梯顶端可以达到最大高度，如（1）图， 由（1）知：四边形是矩形， ∴，， 此时， 在中，， ∴（米）（米）， ∴该消防车在这栋楼下能实施有效救援． 【解析】 【分析】（1）过点作于点，先在中求出，再根据可得答案； （2）先计算当长米且时救援的高度，再判断该消防车能否实施有效救援． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， ∴， 由题意知：，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， 在中，， ∴（米）， ∴云梯消防车最高点距离地面的高度的长为米； 【小问2详解】 略． 25. 如图，有一段水库拦水坝，坝高，坝长，．沿水库拦水坝的背水坡将坝顶加宽，坡度由原来的变成． （1）求加宽部分横断面的面积． （2）完成这一加宽工程需要多少立方米的土？ 【答案】（1）加宽部分横断面的面积为平方米 （2）完成这一工程需要立方米的土 【解析】 【分析】（1）过点作于，过点作于，易得， 然后在和中， 解直角三角形可求得与的长，继而求得加宽部分横断面的面积； （2）根据坝长米，即可求得完成这一工程需要多少方土． 【小问1详解】 解：过点作于，过点作于，则． ∵，则， ∴四边形是矩形， ∴， 根据题意得：， 在和中， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 答：加宽部分横断面的面积为平方米； 【小问2详解】 解：完成这一项工程需要的土方：， 答：完成这一工程需要立方米的土． 26. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与反比例函数的图象交于点D及点，与x轴交于点B． （1）求m的值； （2）若直线与反比例函数（）的图象在第三象限交于点C，求点C的坐标及的面积； （3）在第三象限内的反比例函数（）的图象上，是否存在点E，使得为直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）8 （2），24 （3）或 【解析】 【分析】（1）把代入可求出a的值，然后把A的坐标代入求解即可； （2）根据待定系数法求出直线解析式，然后联立直线解析式与反比例函数解析式，求出方程组的解，即可求出点C的坐标，根据求解即可； （3）先判断，然后分，两种情况讨论，然后构建相似三角形求解即可． 【小问1详解】 解：把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得， 解得； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 则， 解得， ∴， 由（1）知反比例函数解析式为， 联立方程组， 解得（舍去）或， ∴， 对于，当时，， 解得， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：联立方程组， 解得（舍去）或， ∴， 设， 连接 并延长至点F，如图， 则，， ∴，即， 又， ∴， 当时，如图，过A作轴，过E作于M，过D作于N， 则，，，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 当时，如图，过D作轴，过E作于M，过A作于N， 则，，，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 综上，当点E的坐标为或时，为直角三角形． 27. 如图，是的直径，点为上一点（不与，重合），点为的延长线上一点，连接并延长至点，且平分． （1）求证：； （2）求证：； （3）若与相切于点，，，求的值． 【答案】（1）证明： 平分， ， 是的直径， ， ，， ； （2）证明：如下图所示，连接， ， ， ，，， ， ， ， ，即， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，，再根据等角的余角相等可证结论成立； （2）连接，可证，根据相似三角形对应边成比例可证结论成立； （3）根据切线的性质可证，设，，则有，，根据可得关于的方程，解方程可以求出，，，，利用勾股定理即可求出，根据正切的定义即可求出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：与相切于点， ， ， ， ， 设，， ， ，， ， ， 解得：（不符合题意，舍去），， ，， ，， 在中，， ． 28. 综合与实践 将矩形和按如图1的方式放置，已知点在上（），，连接，． 特例研究 （1）如图1，当，时，线段与之间的数量关系是_______；直线与直线之间的位置关系是_______； （2）在（1）条件下中，将矩形绕点旋转到如图2的位置，试判断（1）中结论是否仍然成立，并说明理由； 探究发现 （3）如图3，当，时，试判断线段与之间的数量关系和直线与直线之间的位置关系，并说明理由； 知识应用 （4）如图4，在（3）的条件下，连接，，若，请直接写出的值． 【答案】（1），；（2）（1）中结论仍然成立，理由见解析；（3），，理由见解析；（4）的值为． 【解析】 【分析】（1）先证，便可证得BF=DE，∠BFC=∠CED，再根据直角三角形两锐角互余及直角三角形判定不难证得BF⊥DE； （2）方法同（1），问题易证； （3）利用∽证得∠BFC=∠CED，再根据直角三角形两锐角互余及、对顶角相等及直三角形的判定即可证得结论成立； （4）延长ED交BF于点G，根据勾股定理求出EB2，FD2，FE2，不难求出结果． 【详解】解：（1）在矩形中，∠BCD =90 ，BC=CD， 在，∠FCE=90，FC=CE， ∴∠BCD=∠FCE， ∴， ∴，∠BFC=∠DEC ∵∠BFC+∠FBC=90， ∴∠FBC+∠DEC=90， ∴ 故答案为：BF=DE， （2）（1）中结论仍然成立． 理由如下：如图，延长交于点，交于点， 四边形是矩形，，， ， ，， ． ，， 在和中，，，， ． ，． ，， ，，， ． （1）中结论仍然成立． （3），． 如图，延长交于，交于． 四边形是矩形，，， ，， ． ，， ． ，． ． ，． ，． ． ． （4）如图， 延长ED交BF于点G，则EG⊥BF于G， ∵，， ∴CD=1，CF=4，BC=2， ∵在RtFGD中，GF2+GD2=FD2， 在RtGBE中，GE2+GB2=BE2， ∴BE2+FD2=（GF2+GE2）+（GB2+GD2）= 连接BD，则BD2= ， ∵在Rt△FCE中，EF2= ∴BE2+FD2=20+5=25． 【点睛】本题考查了正方形的性质，直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质及旋转变换等知识，侧重考查了对知识的综合应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初四期中试题 一、单选题 1. 关于反比例函数，下列说法错误的是（ ） A. 图象位于第二、四象限 B. y随x的增大而增大 C. 图象与坐标轴不相交 D. 当时， 2. 已知点，都在反比例函数的图象上，且，则，的关系是（ ） A. B. C. D. 3. 一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，下图是从三个不同方向看到的三视图，则搭成这个几何体所用的小正方体的个数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，过点作轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点．当点的横坐标逐渐变大时，四边形的面积（ ） A. 逐渐变大 B. 逐渐变小 C. 不变 D. 先变小再变大 5. 下列说法正确的是（ ） A. 矩形都是相似图形 B. 正方形都是相似图形 C. 各边对应成比例的多边形是相似多边形 D. 相似多边形对应角的比叫作相似比 6. 如图，边长分别为，，的三个正方形拼接在一起，它们的一边在同一直线上，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在菱形中，分别是的中点，连接，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示的是一个几何体的三种视图，俯视图是菱形，根据图中数据（单位：），可得它的体积是（ ） A. B. C. D. 9. 比较，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知，，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，A是反比例函数图象上一点，B是反比例函数图象上一点，连接交y轴于点C，若，，则k的值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 12. 如图，在矩形中，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形ADCB；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，…，按照此规律作下去，则边的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 13. 如图，由若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，该几何体的表面积是________． 14. 如图，直线y ＝kx(k＞0)与双曲线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2－7x2y1＝___________． 15. 已知、两点在反比例函数的图像上，且，则的取值范围为__________． 16. 如图，中，，，；_______． 17. 计算：_________． 18. 如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为______. 19. 教学楼前有一棵树，小明想利用树影量树高．在阳光下他测得一根长为的竹竿的影长是，但当他马上测量树高时，发现树的影子不全在地面上有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），经过思考，他认为继续测量也可以求出树高，他测得，落在地面上的影长是，落在墙壁上的影长是，则这棵数的实际高度为______． 20. 如图所示，三个边长为1的正方形ABCD，ABEF，EFHG拼在一起，则，，这三个角的度数之和等于_____． 21. 在中，，外接圆的半径为2，则______度． 22. 如图，在x轴的正半轴依次截取，过点，，分别作x轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得，，，并设其面积分别为，以此类推，则的值为______． 三、解答题 23. 在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置并直接写出点P的坐标为________； （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）的面积________． 24. 消防车是救援火灾的主要装备．图是一辆登高云梯消防车的实物图，图是其工作示意图，起重臂（米米）是可伸缩的，且起重臂可绕点在一定范围内上下转动，张角（）；转动点距离地面的高度为米． （1）当起重臂的长度为米，张角时，云梯消防车最高点距离地面的高度的长为________米． （2）某日—栋大楼突发火灾，着火点距离地面的高度为米，该消防车在这栋楼下能否实施有效救援？请说明理由（参考数据：，，）（提示：当起重臂伸到最长且张角最大时，云梯顶端可以达到最大高度） 25. 如图，有一段水库拦水坝，坝高，坝长，．沿水库拦水坝的背水坡将坝顶加宽，坡度由原来的变成． （1）求加宽部分横断面的面积． （2）完成这一加宽工程需要多少立方米的土？ 26. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与反比例函数的图象交于点D及点，与x轴交于点B． （1）求m的值； （2）若直线与反比例函数（）的图象在第三象限交于点C，求点C的坐标及的面积； （3）在第三象限内的反比例函数（）的图象上，是否存在点E，使得为直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由． 27. 如图，是的直径，点为上一点（不与，重合），点为的延长线上一点，连接并延长至点，且平分． （1）求证：； （2）求证：； （3）若与相切于点，，，求的值． 28. 综合与实践 将矩形和按如图1的方式放置，已知点在上（），，连接，． 特例研究 （1）如图1，当，时，线段与之间的数量关系是_______；直线与直线之间的位置关系是_______； （2）在（1）条件下中，将矩形绕点旋转到如图2的位置，试判断（1）中结论是否仍然成立，并说明理由； 探究发现 （3）如图3，当，时，试判断线段与之间的数量关系和直线与直线之间的位置关系，并说明理由； 知识应用 （4）如图4，在（3）的条件下，连接，，若，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $