重难点专题21 直线与圆的位置关系中的相关计算（7大题型）数学新教材人教版九年级上册

重难点专题21直线与圆的位置关系中相关计算 重难点一 根据直线与圆的位置关系求半径 先找准圆心到直线的距离d，分三种位置关系列出不等或等量关系； 相交时r＞d；相切时r＝d；相离时r＜d； 注意题目有无公共点个数限制，检验结果是否符合题意，多解情况不要遗漏 1．已知直线l与相离，圆心O到直线l的距离为3，则的半径可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知直线l与相交，圆心O到直线l的距离为4，则的半径可能是（） A．2 B．3 C．4 D．5 4．在中，，，，以点C为圆心，r为半径作圆，若与直线相离，则r的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，．以点C为圆心，r为半径作圆．若与斜边所在直线有且只有一个公共点，则r的值为（     ） A． B．3 C．4 D．5 6．已知，，之间的距离是3cm，圆心O到直线的距离是1cm．如果与直线，共有三个公共点，那么的半径为（    ） A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．3cm或6cm 7．在中，，若以点C为圆心，r为半径的与直线相切，则r的值为（     ） A．2.4 B．3 C．4.8 D．5 8．在同一平面内，已知点O到直线的距离为．以点O为圆心，为半径画圆．当上有且只有2个点到直线的距离等于时，则r的取值范围是_____． 9．如图，在梯形中，，，，，，点是边上一点，以为圆心，为半径的，与边只有一个公共点时，则的取值范围是____________． 重难点二 求圆心到直线的距离 过圆心向这条直线作垂线段，垂线段长度就是距离；有切线条件时直接利用切线垂直过切点半径得到垂直关系，结合勾股定理、面积法计算垂线段长度；注意区分点到点距离和点到直线距离。 1．若半径为的与直线l相离，则圆心O到直线l的距离可以是（   ） A． B． C． D． 2．若直线l与半径为5的相离，则圆心O与直线l的距离d为（     ） A． B． C． D． 3．已知与直线无公共点，若半径为，则圆心到直线的距离可以是（    ） A． B． C． D． 4．如果直径为的圆与一条直线有两个公共点，则圆心到该直线的距离满足（   ） A． B． C． D． 5．已知的半径为3，圆心O到直线l的距离为d．若直线l与相切，则d的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知的半径为5，直线与相切，圆心到直线距离等于__________． 7．在同一平面内，半径为4的与直线相离，则圆心P到直线的距离d需满足的条件是________． 8．如图，在直角梯形中，，E是上一定点，．点P是BC上一个动点，以P为圆心，PC为半径作⊙P．若⊙P与以E为圆心，1为半径的⊙E有公共点，且⊙P与线段AD只有一个交点，则PC长度的取值范围是__． 重难点三 圆与平移相关问题 抓住平移只改变位置、圆半径不变的特点； 先确定平移前后圆心坐标或圆心位置，算出圆心平移距离； 结合直线和圆位置关系，对比半径与平移后圆心到直线的距离，列不等式或等式求解平移距离范围。 1．已知：的半径为，圆心到直线l的距离为，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与相切，则平移的距离是（　　） A． B． C． D．或 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，的半径为2，点P的坐标为，若将沿y轴向下平移，使得与x轴相切，则向下平移的距离为（    ） A．1 B．5 C．3 D．1或5 3．如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作，当与直线AB相切时，点P的坐标是（） A． B．或 C． D．或 4．如图，⊙O的半径OC=10cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB=16cm，则l沿OC所在直线向下平移_________cm时与⊙O相切． 5．如图所示，的半径为，直线，垂足为，则直线沿射线方向平移________时与相切． 6．已知：直线经过点. （1）求的值； （2）将该直线向上平移个单位，若平移后得到的直线与半径为6的相离（点为坐标原点），试求的取值范围. 重难点四 圆的切线的条件及证明 圆的切线的条件及证明：两种思路， ①已知直线和圆有公共点：连接圆心与公共点，证明这条半径和直线垂直； ②不确定公共点：过圆心作直线的垂线，证明垂线段长度等于半径； 证明垂直常用角度互余、平行线性质、全等、勾股逆定理。 1．如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（    ） A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线 C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则 2．如图，和直线，直线在同一平面内，是的直径，直线是的切线，直线经过点，下列条件不能判定直线与相切的是（        ） A． B． C．与只有一个公共点 D．点到上某点的距离等于半径 3．如图，点C在以为直径的半圆上，，点D在线段上运动，点E与点D关于对称，于点D，并交的延长线于点F，当长度为__________________时，与半圆相切． 4．如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于________度时，AC才能成为⊙O的切线． 5．如图，内接于，过点作直线，已知，根据弦的位置变化，试探究直线与的位置关系． 甲：如图①，当弦过点时，与相切． 乙：如图②，当弦不过点时，也与相切． 你认为________的判断正确． 6．如图，直线经过上的点，且，，．求证：直线是的切线． 7．如图，与相切于点，点在上，连接、，且．求证：是的切线． 8．如图，在中，，O是底边的中点，与腰相切于点D，求证：与相切． 9．如图，是的直径，点是线段的中点，． (1)求证：； (2)求证：是的切线． 10．学完圆的切线知识后，爱好数学的小明想尝试“过圆上一点作圆的切线”，下面是他设计的“过圆上一点作这个圆的切线”的尺规作图过程． 已知：如图1，及圆上一点． 求作：的切线为切点． 作法步骤：①连接并延长到点，如图2；②分别以点为圆心，大于长的一半为半径作弧，两弧交于点（点在直线上方）；③以点为圆心，的长为半径作；④连接并延长，交于点，作直线．直线就是所求作的切线． 使用直尺和圆规，依上述作法补全图形（保留作图痕迹）． 重难点五 利用切线长定理求线段的长 先找出从圆外一点引出的两条切线，得到切线长相等； 标记相等线段，把未知线段转化为已知线段； 常结合勾股定理、方程思想设未知数建立等式求解，留意多条切线组合的线段等量关系。 1．如图，是的内切圆，，，为切点，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，是的切线，为切点，与相切于点，分别交于点．若的周长为，则切线长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，已知以为直径的半圆O与四边形的另外三边都相切，切点分别为D，C，E，若半圆O的半径为2，长为5，则四边形的周长为（   ） A．9 B．10 C．12 D．14 4．如图所示，P是外一点，分别和切于两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交于．若的周长为12，则的长为（     ） A．12 B．6 C．8 D．4 5．如图，⊙O是的内切圆，，交于点D，交于点E，且是⊙O的切线．若的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 6．如图，、切于点、，，则________；切于点，交、于、两点，则的周长是________． 7．如图，，是的切线，A，B为切点，延长交的延长线于点D，若，求的长． 8．如图，在中，，以为直径作．为上一点，且，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：直线与相切； (2)若，求的长． 9．如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)连结，若，，求和的长． 重难点六 切线长定理中的求角度问题 利用切线长相等得到等腰三角形，利用等腰三角形底角相等； 切线与半径垂直得到90°角； 结合四边形内角和、三角形内角和、角平分线性质推导角度； 注意圆心和圆外点连线平分两条切线的夹角。 1．如图，，是的切线，A，B为切点，为的直径，连接，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，，是的切线，，是切点，点在上，且，则（     ） A． B． C． D． 3．如图，为外一点，连接，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，以为圆心，为半径作圆，交于点，，连接，，．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 4．如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，若，则___________． 5．如图，是的内切圆，与，，的切点分别为，，，若，则的度数是________． 6．如图，为的直径，，分别与相切于点，，．求的度数． 7．如图，是外的一点，、分别与相切于点、，是上的任意一点，过点的切线分别交、于点、． (1)若，求的周长； (2)若，求的度数． 重难点七 利用切线长定理进行证明 优先找出同一圆外点引出的两条切线，写出切线长相等、连线平分夹角； 以此作为等量条件，去证明线段相等、角相等、三角形全等或者直线平行； 推理时写清切线长定理使用前提，不要直接套用没有依据的结论。 1．如图，中，D为AC边上一点，为内切圆，G、E、F为切点．求证：； 2．如图，四边形的各边与分别相切于点．求证：． 3．如图，射线，与相切，切点分别为，，连接并延长，交于点，连接，．求证． 4．如图，在中，，以上的点O为圆心，的长为半径的圆与交于点E，与切于点D． (1)求证：； (2)求证：； (3)设，，求直径的长． 5．如图，在中，，以为直径的半圆交于D，过D作圆的切线交于E．    求证： (1)； (2)． 1/10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题21直线与圆的位置关系中相关计算 重难点一 根据直线与圆的位置关系求半径 先找准圆心到直线的距离d，分三种位置关系列出不等或等量关系； 相交时r＞d；相切时r＝d；相离时r＜d； 注意题目有无公共点个数限制，检验结果是否符合题意，多解情况不要遗漏 1．已知直线l与相离，圆心O到直线l的距离为3，则的半径可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】解：∵直线l与相离， ∴圆心到直线的距离半径， 已知， ∴． 观察选项中只有A．，满足条件． 故选：A． 2．如图，直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵直线l与半径r的相交，且点O到直线l的距离为6， ∴， 故选：A． 3．已知直线l与相交，圆心O到直线l的距离为4，则的半径可能是（） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】解：直线l与相交，圆心O到直线l的距离为4， 的半径大于4， 故选：． 4．在中，，，，以点C为圆心，r为半径作圆，若与直线相离，则r的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意画图如下， 过点作于点， ，，， ， 以点C为圆心，r为半径作圆，且与直线相离， ， ， 解得， 故选：C． 5．如图，在中，，，．以点C为圆心，r为半径作圆．若与斜边所在直线有且只有一个公共点，则r的值为（     ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】解：在中，，，． ， 过点作于点， ， ， 与斜边所在直线有且只有一个公共点， 与相切， ． 6．已知，，之间的距离是3cm，圆心O到直线的距离是1cm．如果与直线，共有三个公共点，那么的半径为（    ） A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．3cm或6cm 【答案】C 【分析】根据题意可以画出相应的图形，圆与两条平行直线有三个公共点，需与其中一条直线相切且与另一条直线相交．根据圆心到直线的距离关系，计算可能的半径值． 【详解】解：设圆的半径为cm， 如图一所示， 则，得cm， 如图二所示， 则，得cm， 综上，cm． 故选：C． 7．在中，，若以点C为圆心，r为半径的与直线相切，则r的值为（     ） A．2.4 B．3 C．4.8 D．5 【答案】C 【详解】解：如图，过点C作， ∵在中，，，， ∴， ， ， 解得：， ∵以点C为圆心，r为半径的与直线相切， ∴， 故选：C． 8．在同一平面内，已知点O到直线的距离为．以点O为圆心，为半径画圆．当上有且只有2个点到直线的距离等于时，则r的取值范围是_____． 【答案】 【详解】解：以点O为圆心的圆上只有两点到直线l的距离为，则两个交点在到直线l的距离是的直线l上． 则直线l到圆心O的距离是：或． 圆O与直线l相交，因而该圆的半径r的取值范围是． 故答案为：． 9．如图，在梯形中，，，，，，点是边上一点，以为圆心，为半径的，与边只有一个公共点时，则的取值范围是____________． 【答案】 【详解】解：作于E，则，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵ ∴， 当点运动到点E时，，此时与相切， ∴， 当经过点A时，    设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：； ∴以为圆心，为半径的，与边只有一个公共点时，则的取值范围是； 故答案为：． 重难点二 求圆心到直线的距离 过圆心向这条直线作垂线段，垂线段长度就是距离； 有切线条件时直接利用切线垂直过切点半径得到垂直关系，结合勾股定理、面积法计算垂线段长度；注意区分点到点距离和点到直线距离 1．若半径为的与直线l相离，则圆心O到直线l的距离可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，一个圆的圆心到直线的距离为d，圆的半径为，则当时，直线与圆的位置关系为相离；当时，直线与圆的位置关系为相切，当时，直线与圆的位置关系为相交，由题意可得圆心O到直线l的距离大于，据此可得答案． 【详解】解：∵半径为的与直线l相离， ∴圆心O到直线l的距离大于， ∴四个选项中，只有D选项符合题意， 故选：D． 2．若直线l与半径为5的相离，则圆心O与直线l的距离d为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一条直线与一个圆相离，那么该圆的圆心到该直线的距离大于该圆的半径，据此可得答案． 【详解】解：∵直线与半径为5的相离， ∴圆心与直线的距离． 3．已知与直线无公共点，若半径为，则圆心到直线的距离可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键． 由直线与圆无公共点可知两者相离，圆心到直线的距离大于半径，据此判断即可． 【详解】解：根据题意得，与直线无公共点， 则直线与相离， 因此圆心到直线的距离大于， 选项中只有， 故选：A． 4．如果直径为的圆与一条直线有两个公共点，则圆心到该直线的距离满足（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵圆的半径为 ∴当直线与圆相交时，直线与圆心的距离， 故选：C． 5．已知的半径为3，圆心O到直线l的距离为d．若直线l与相切，则d的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据直线l与⊙O相切，则求解即可． 【详解】解：∵直线l与⊙O相切， ∴， 故选：C． 6．已知的半径为5，直线与相切，圆心到直线距离等于__________． 【答案】5 【详解】解：∵的半径为5，直线与相切， ∴圆心到直线距离等于5； 故答案为：5． 7．在同一平面内，半径为4的与直线相离，则圆心P到直线的距离d需满足的条件是________． 【答案】 【详解】解：∵半径为4的与直线相离， ∴圆心到直线的距离大于圆的半径， 即； 故答案为：． 8．如图，在直角梯形中，，E是上一定点，．点P是BC上一个动点，以P为圆心，PC为半径作⊙P．若⊙P与以E为圆心，1为半径的⊙E有公共点，且⊙P与线段AD只有一个交点，则PC长度的取值范围是__． 【答案】或 【分析】根据题意可得的最小值为圆P与相切，切点为M；最大值为圆与圆E内切，切点为Q，由直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系即可解决问题． 【详解】解：根据题意可知：的最小值为圆P与相切，切点为M，如图所示： ∴， 在直角梯形中， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 最大值为圆与圆E内切，切点为Q， ∴， 当时，此时圆P与线段开始有2个交点，不符合题意， 设，则， ∴， ∴， 则长度的取值范围是或． 故答案为：或． 重难点三 圆与平移相关问题 抓住平移只改变位置、圆半径不变的特点； 先确定平移前后圆心坐标或圆心位置，算出圆心平移距离； 结合直线和圆位置关系，对比半径与平移后圆心到直线的距离，列不等式或等式求解平移距离范围。 1．已知：的半径为，圆心到直线l的距离为，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与相切，则平移的距离是（　　） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】解：如图，当l经过点B时，，则； 当l移动到时，则； 即平移的距离是或． 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，的半径为2，点P的坐标为，若将沿y轴向下平移，使得与x轴相切，则向下平移的距离为（    ） A．1 B．5 C．3 D．1或5 【答案】D 【分析】分圆P在轴的上方与轴相切和圆P在轴的下方与轴相切两种情况分别求解即可． 【详解】解：当圆P在轴的上方与轴相切时，平移的距离为， 当圆P在轴的下方与轴相切时，平移的距离为， 综上所述，向下平移的距离为1或5． 故选：D． 3．如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作，当与直线AB相切时，点P的坐标是（） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】由题意根据函数解析式求得A（-4，0），B（0，-3），得到OA=4，OB=3，根据勾股定理得到AB=5，设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，则PD⊥AB，PD=1，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵直线交x轴于点A，交y轴于点B， ∴令x=0，得y=-3，令y=0，得x=-4， ∴A（-4，0），B（0，-3）， ∴OA=4，OB=3， ∴AB=5， 设⊙P与直线AB相切于D， 连接PD， 则PD⊥AB，PD=1， ∵∠ADP=∠AOB=90°，∠PAD=∠BAO， ∴△APD∽△ABO， ∴， ∴， ∴AP=， ∴OP=或OP=， ∴P或P， 故选：B． 4．如图，⊙O的半径OC=10cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB=16cm，则l沿OC所在直线向下平移_________cm时与⊙O相切． 【答案】4 【详解】解：∵直线l⊥OC，AB=16cm， ∴，， ∵， 在中，由勾股定理得 ， ∴， 若l与⊙O相切， 则点到直线l的距离等于OC=10cm， ∴l沿OC所在直线向下平移的距离等于 即l沿OC所在直线向下平移时与⊙O相切． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，直线与圆的位置关系，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 5．如图所示，的半径为，直线，垂足为，则直线沿射线方向平移________时与相切． 【答案】 【分析】根据直线和圆相切，需要满足OD=5．又此时OD=0，则需要沿射线OD方向平移5cm． 【详解】∵直线l与⊙O相切， ∴OD=5， 又∵此时l过圆心，故需平移5cm． 故答案为5． 6．已知：直线经过点. （1）求的值； （2）将该直线向上平移个单位，若平移后得到的直线与半径为6的相离（点为坐标原点），试求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）因为直线经过点， 所以， 即， 故答案为 （2）由（1）及题意知，平移后得到的直线所对应的函数关系式为，设直线与轴、轴分别交于点、（如图所示）， 当时，；当时，. 所以，，即，. 在中，. 过点作于， 因为， 所以， 因为，解得. 依题意得：， 解得， 即的取值范围为. 重难点四 圆的切线的条件及证明 圆的切线的条件及证明：两种思路， ①已知直线和圆有公共点：连接圆心与公共点，证明这条半径和直线垂直； ②不确定公共点：过圆心作直线的垂线，证明垂线段长度等于半径； 证明垂直常用角度互余、平行线性质、全等、勾股逆定理。 1．如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（    ） A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线 C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则 【答案】A 【分析】根据AB=AC，连接AD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以证明DE是⊙O的切线，可判断B选项正确； 若DE是⊙O的切线，同上法倒推可证明AB=AC，可判断D选项正确； 根据CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切线，可判断C选项正确； 若，没有理由可证明DE是⊙O的切线． 【详解】解：当AB=AC时，如图：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∴CD=BD， ∵AO=BO， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线，所以B选项正确； 当DE是⊙O的切线时，如图：连接AD， ∵DE是⊙O的切线， ∴DE⊥OD， ∵DE⊥AC， ∴OD∥AC， ∴OD是△ABC的中位线， ∴CD=BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∴AD是线段BC的垂直平分线， ∴AB=AC，所以D选项正确； 当CD=BD时，又AO=BO， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线，所以C选项正确． 若，没有理由证明DE是⊙O的切线，所以A选项错误． 故选：A． 2．如图，和直线，直线在同一平面内，是的直径，直线是的切线，直线经过点，下列条件不能判定直线与相切的是（        ） A． B． C．与只有一个公共点 D．点到上某点的距离等于半径 【答案】D 【详解】解：是的直径，且是的切线 又 直线与相切 故选项A、B可以判定，不符合题意； C、根据圆的切线的定义，可知与圆仅有一个公共点的直线是切线，选项C可以判定，不符合题意； D、根据与圆心的距离等于半径的直线为圆的切线，选项D不可判定，符合题意； 故选：D． 3．如图，点C在以为直径的半圆上，，点D在线段上运动，点E与点D关于对称，于点D，并交的延长线于点F，当长度为__________________时，与半圆相切． 【答案】/1.5 【详解】解：当时，与半圆相切． 连接，， ∵为直径， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点E与点D关于对称， ∴， ∴， ∴， ∵是半的半径， ∴与半相切， ∴当时，与半圆相切． 故答案为：． 4．如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于________度时，AC才能成为⊙O的切线． 【答案】60 【详解】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°， ∴， ∵当OA⊥AC即∠OAC=90°时，AC才能成为⊙O的切线， ∴当∠CAB的度数等于60°，即OA⊥AC时，AC才能成为⊙O的切线． 故答案为：60． 5．如图，内接于，过点作直线，已知，根据弦的位置变化，试探究直线与的位置关系． 甲：如图①，当弦过点时，与相切． 乙：如图②，当弦不过点时，也与相切． 你认为________的判断正确． 【答案】甲、乙 【分析】甲：根据直径推出，推出，根据切线判定推出即可； 乙：作直径，连接，推出，求出，根据切线的判定推出即可． 【详解】解：甲：∵是的直径， ， ， ， ， ， 是半径， 是的切线； 乙：作直径，连接， ∴（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等）， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 是半径， 是的切线； ∴甲、乙的判断都正确． 6．如图，直线经过上的点，且，，．求证：直线是的切线． 【答案】证明：连接 ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵点在上， ∴为半径， ∴直线是的切线． 7．如图，与相切于点，点在上，连接、，且．求证：是的切线． 【答案】 证明：∵与相切于点， ∴， ∵点、在上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵点在上， ∴是的切线． 8．如图，在中，，O是底边的中点，与腰相切于点D，求证：与相切． 【答案】 连接，过点O作于E， ∵，O是底边的中点， ∴. ∵与相切于点D， ∴. ∵， ∴. ∵为的半径， ∴与相切． 9．如图，是的直径，点是线段的中点，． (1)求证：； (2)求证：是的切线． 【答案】(1) 证明：∵点是线段的中点，， ∴，， ∴， 在和， ， ∴； (2) 证明：∵点是线段的中点，， ∴， ∵是的直径， ∴是的切线． 10．学完圆的切线知识后，爱好数学的小明想尝试“过圆上一点作圆的切线”，下面是他设计的“过圆上一点作这个圆的切线”的尺规作图过程． 已知：如图1，及圆上一点． 求作：的切线为切点． 作法步骤：①连接并延长到点，如图2；②分别以点为圆心，大于长的一半为半径作弧，两弧交于点（点在直线上方）；③以点为圆心，的长为半径作；④连接并延长，交于点，作直线．直线就是所求作的切线． 使用直尺和圆规，依上述作法补全图形（保留作图痕迹）． 【答案】 如图，直线即为所求， ． 重难点五 利用切线长定理求线段的长 先找出从圆外一点引出的两条切线，得到切线长相等； 标记相等线段，把未知线段转化为已知线段； 常结合勾股定理、方程思想设未知数建立等式求解，留意多条切线组合的线段等量关系。 1．如图，是的内切圆，，，为切点，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是的内切圆，，，为切点， ∴，， ∵，， ∴． 2．如图，是的切线，为切点，与相切于点，分别交于点．若的周长为，则切线长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，，，根据切线长定理可知，，，再由的周长为，即可求解． 【详解】解：连接，，， ，分别与相切， ， 同理，， 的周长为， ， ， ， ， ， ． 3．如图，已知以为直径的半圆O与四边形的另外三边都相切，切点分别为D，C，E，若半圆O的半径为2，长为5，则四边形的周长为（   ） A．9 B．10 C．12 D．14 【答案】D 【详解】解：∵半圆O与四边形的边相切，切点分别为D，E，C， ∴， ∴， ∵， ∴四边形的周长． 4．如图所示，P是外一点，分别和切于两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交于．若的周长为12，则的长为（     ） A．12 B．6 C．8 D．4 【答案】B 【详解】解；∵分别和切于两点， ∴， ∵过C作的切线分别交于． ∴， ∴， ∴的周长为12， ∴， ∴ 5．如图，⊙O是的内切圆，，交于点D，交于点E，且是⊙O的切线．若的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设与⊙O相切于点M，N，F，与⊙O相切于点G． ∴． ∴． ∵的周长是， ∴． ∴． ∴的周长为 6．如图，、切于点、，，则________；切于点，交、于、两点，则的周长是________． 【答案】 【分析】由切线长定理可得，，，，则的周长为． 【详解】解：∵、切于点、， ∴， 又∵切于点 ∴，， ∴， ∴的周长为． 7．如图，，是的切线，A，B为切点，延长交的延长线于点D，若，求的长． 【答案】 【分析】证明，设，进一步利用勾股定理列方程计算即可． 【详解】解：∵，是的切线，A，B为切点， ， 设， ， ， 在中，， 即， 解得， ． 8．如图，在中，，以为直径作．为上一点，且，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：直线与相切； (2)若，求的长． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵点在圆上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为半径， ∴直线与相切； （2）解：设， ∵， ∴， 在中，，， 即， 解得， ∴； ∵是圆的切线， ∴设， 在中，， 即， 解得， ∴， 在中，． 9．如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)连结，若，，求和的长． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 又为的半径， ∴是的切线； （2）连接， ∵， ∴， ∵是的直径，， ∴是的切线，， ∴， ∵是的切线 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， 设，在中，， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 重难点六 切线长定理中的求角度问题 利用切线长相等得到等腰三角形，利用等腰三角形底角相等； 切线与半径垂直得到90°角； 结合四边形内角和、三角形内角和、角平分线性质推导角度； 注意圆心和圆外点连线平分两条切线的夹角。 1．如图，，是的切线，A，B为切点，为的直径，连接，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵、是的切线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 2．如图，，是的切线，，是切点，点在上，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接，延长，交于，连接，则为的直径， ∵为的直径， ∴， ∵和都是所对的圆周角，， ∴， ∴， ∵，是的切线，，是切点， ∴，， ∴，， ∴． 3．如图，为外一点，连接，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，以为圆心，为半径作圆，交于点，，连接，，．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，由题意得点，在以为直径的上，连接， ∴， ∵和都是的半径， ∴和都是的切线， ∴， ∴． 4．如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，若，则___________． 【答案】/42度 【详解】解：∵是的切线，A为切点，， ∴， ∴， ∵，是的切线，，为切点， ∴， ∴， ∴． 5．如图，是的内切圆，与，，的切点分别为，，，若，则的度数是________． 【答案】/40 【详解】解：∵是的内切圆，与，，的切点分别为，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴． 6．如图，为的直径，，分别与相切于点，，．求的度数． 【答案】． 【详解】解：连接，如图， ∵，分别与相切于点，， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即的度数为． 7．如图，是外的一点，、分别与相切于点、，是上的任意一点，过点的切线分别交、于点、． (1)若，求的周长； (2)若，求的度数． 【答案】(1)的周长为8； (2)的度数为． 【详解】（1）解：，都是圆的切线， ， 同理， 是外的一点，、分别与相切于点、 ， 三角形的周长， 即三角形的周长是8； （2）解：连接， ， ， ， ， ∵切于点B，为直径， ∴，， ∴， ， ． 重难点七 利用切线长定理进行证明 优先找出同一圆外点引出的两条切线，写出切线长相等、连线平分夹角； 以此作为等量条件，去证明线段相等、角相等、三角形全等或者直线平行； 推理时写清切线长定理使用前提，不要直接套用没有依据的结论。 1．如图，中，D为AC边上一点，为内切圆，G、E、F为切点．求证：； 【答案】证明：∵为内切圆，、、为切点， ∴， ∵， ∴即 ∴． 2．如图，四边形的各边与分别相切于点．求证：． 【答案】证明：∵四边形的各边与分别相切于点， 根据切线长定理：， ∴ ， ∴． 3．如图，射线，与相切，切点分别为，，连接并延长，交于点，连接，．求证． 【答案】 证明：连接， ∵射线，与相切，切点分别为A，B， ∴，平分， ∴垂直平分， ∵的延长线交于点C， ∴． 4．如图，在中，，以上的点O为圆心，的长为半径的圆与交于点E，与切于点D． (1)求证：； (2)求证：； (3)设，，求直径的长． 【详解】（1）证明：， ． 是的半径， 为的切线． 又切于点， ． （2）证明：是的直径， ． ． 又， ． 由（1）得， ． ． （3）由（2）得，，， ． ， ． ． 的直径长为． 5．如图，在中，，以为直径的半圆交于D，过D作圆的切线交于E．    求证： (1)； (2)． 【详解】（1）证明：连接；    ∵是圆的直径， ∴， ∵， ∴是圆的切线； 又∵是圆的切线， ∴， ∴， ∴（等角的余角相等）， ∴， ∴． （2）在与中, ∴ ∴ 即； ∵由（1）得， ∴． 1/10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $