精品解析：天津市第一0二中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试卷

2026—2027学年第一学期初三数学10月统练试卷 一．单选题（每小题5分，共12小题，共60分） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据二次函数的定义，二次函数必须满足表达式为整式，自变量最高次数为2且二次项系数不为0，根据能否满足这些条件进行判断． 【详解】解：A选项：中含分式，表达式不是整式，不是二次函数，不符合题意； B选项：化简，得，自变量最高次数为1，不是二次函数，不符合题意； C选项：符合二次函数定义，是二次函数，符合题意； D选项：自变量最高次数为1，不是二次函数，不符合题意． 2. 将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 3，， B. 3，，1 C. 3，2，1 D. 3，2， 【答案】D 【解析】 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再分别确定二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【详解】解：将原方程移项整理为一般形式， 移项可得， 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 3. 关于的一元二次方程的一个根为，那么它的另一个根为（ ） A. B. 1 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】已知根代入方程求出参数，再解一元二次方程即可得到另一个根． 【详解】解：∵ 是一元二次方程 的根， ∴ 将 代入原方程得：， 解得 ， ∴ 原方程为 ， ， 解得方程的两个根为 ，. ∴ 方程的另一个根为 ． 4. 已知关于的方程是一元二次方程，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，需同时满足未知数最高次数为2、二次项系数不为0、是整式方程三个条件，据此列方程和不等式求解． 【详解】解：方程是一元二次方程， 由得或，解得或，由得， ． 5. 某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了条．则这个航空公司共有飞机场（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设共有个飞机场，根据题意得，然后解方程并检验是否符合题意即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设共有个飞机场， 根据题意得，， 解得：，（舍去）， 答：这个航空公司共有飞机场个． 故选：． 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】计算根的判别式，判定，解答即可． 【详解】解：∵一元二次方程为， ∴，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴方程有两个不相等的实数根． 7. 已知二次函数，下列说法：其图象的开口向下；其图象的对称轴为直线；其图象顶点坐标为；当时，y随x的增大而增大．其中说法正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以解答本题 ． 【详解】二次函数， 该函数图象的开口向下，故正确； 其图象的对称轴为直线，故正确； 其图象顶点坐标为，故错误； 当时，y随x的增大而增大，故正确， 综上所述：共有3个正确， 故选：B． 8. 根据如表中二次函数的自变量x与函数值y的对应值，判断方程（，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ） x 6.17 6.18 6.19 6.20 0.02 0.04 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系．根据二次函数的函数值的正负情况即可方程的根的范围． 【详解】根据表中数据得到时，，时，则x取6.18到6.19之间的某个数时，使，于是可判断方程为常数)的一个解的范围是． 故选：C． 9. 将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（ ） A. 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B. 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D. 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】B 【解析】 【分析】将抛物线平移问题转化为其顶点的平移问题求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， 将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线． 10. 已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次函数的对称性，通过比较点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：函数的图象开口向下，对称轴为直线， 点，，到对称轴的距离分别为，，， ∵， ∴． 11. 已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的最值，根据表达式求出对称轴，对的正负进行分类讨论，求出每种情况的最小值即可，掌握二次函数的性质及分类讨论是解题的关键． 【详解】解：由题意得，的对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，在， ∵的最小值为， ∴， ∴； 当时，在， ∴当时函数有最小值， ∴， 解得：, 综上所述：的值为或， 故选：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，D的坐标分别为，，则二次函数与矩形有交点时m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象，二次函数图象与线段的交点问题，二次函数图象的几何变换，运用数形结合的思想是解决问题的关键． 先将二次函数的解析式化成顶点式，则可得出图象的形状不变，顶点在的直线上运动，当二次函数与矩形第一次相交时，二次函数的经过点，此时取最小值，当二次函数与矩形最后一次相交时，二次函数的顶点在矩形与轴的交点，此时取最大值，然后将已知点坐标分别代入函数式建立关于m的方程求解，最后总结得出m的范围即可． 【详解】解：将配成顶点式：， 此二次函数的顶点坐标是，，开口向上，开口大小一定， 则此二次函数的顶点在直线的直线运动， 如图，当二次函数与矩形第一次相交时，此时二次函数的经过点，此时取最小值， 将代入得： ， 解得：，（舍去）， 则的最小值是， 如图，当二次函数与矩形最后一次相交时，此时二次函数的顶点在矩形与轴的交点，此时取最大值， 将代入得： ， 解得：，（舍去） ∴， 故选：B． 二．填空题（每小题5分，共6小题，共30分） 13. 二次函数开口向下，则a的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数图象开口向下时，二次项系数小于0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数开口向下， ∴， 解得． 14. 已知方程的解是，则方程的解是___________． 【答案】， 【解析】 【分析】利用整体换元的思想，将看作整体，对应已知方程中的值，得到关于的一元一次方程，求解即可得到结果． 【详解】解：∵方程的解是，， ∴方程的解为或， 解得：，． 15. 若二次函数的图象与x轴有两个交点，则实数k的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数图象与轴有两个交点，对应一元二次方程有两个不相等的实数根，因此判别式大于0，代入二次函数系数，解不等式即可得到的取值范围。 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有两个交点， 故一元二次方程有两个不相等的实数根， 即判别式， 将，，代入得：， 化简得， 解得． 16. 在二次函数中，当时，y随x的增大而增大，则实数m的值可以是______．（写出一个满足条件的m值） 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，确定对称轴位置得到的取值范围，任取一个范围内的值即可． 【详解】解：二次函数中，二次项系数为，因此抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴右侧，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴， ∴的值可以是（答案不唯一，满足即可）． 17. 如图，在中，，，．点P从A出发沿以的速度向B移动，点Q从B出发沿以的速度向C移动．若两点同时出发，则当的面积为时，运动时间______秒． 【答案】2或3 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据题意得，易得；再根据的面积为列关于t的一元二次方程求解即可． 【详解】解：根据题意得， 所以面积为： 当的面积为时，即， 解得：或3． 所以当的面积为时，运动时间或3． 故答案为：2或3． 18. 抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法： ①； ②； ③； ④关于的一元二次方程的两根为，； ⑤不等式的解集是； ⑥当时，二次函数有最大值．其中正确的有________（填写序号）． 【答案】①③④⑤ 【解析】 【分析】利用对称轴公式确定a、b的关系，利用特殊点坐标建立a、b、c的等量关系，并结合图象的交点位置判断判别式和根的情况以及不等式的解集． 【详解】解：①∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴． ∵抛物线开口向下， ∴， ∴， ∴．故①正确． ②∵抛物线经过点， ∴即， ∴，即， ∴．故②不正确． ③∵抛物线与x轴有两个交点，即方程有两个不相等的实数根， ∴判别式，故③正确． ④∵抛物线经过点，对称轴为直线，且点关于的对称点为， ∴抛物线与x轴的交点的横坐标为，1， ∴方程的两根为，，故④正确． ⑤不等式指的是抛物线在直线上方的部分，观察图象可知，解集是，故⑤正确． ⑥∵直线经过点， ∴，即． ∵，即， ∴，即， ∴． ∵， ∴当时，二次函数有最大值．故⑥不正确． 综上所述，正确的说法有①③④⑤． 三．解答题（本大题共7小题，共60分） 19. 解方程： （1） （2） （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）方程无实数根 【解析】 【分析】（1）移项，二次项系数化为1，开平方求解； （2）移项，提取公因式，转化为两个一元一次方程求解； （3）二次项系数化为1，配方，开平方求解； （4）确定各项系数，计算判别式判断根的情况． 【小问1详解】 解： ， 【小问2详解】 解： 或 ， 【小问3详解】 解： 或 ， 【小问4详解】 解： ，，， 所以此方程无实数根． 20. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）一元二次方程有两个不相等实数根，则判别式，代入系数解不等式得到的范围； （2）先由一元二次方程根与系数关系写出两根和、两根积，展开进行代换，得到关于的一元二次方程，求出解后结合第（1）问的取值范围舍去不符合的解． 【小问1详解】 解：∵该一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得； 【小问2详解】 解：由一元二次方程的根与系数的关系，得 ，． ， ， 整理，得， 解得或． 又， ． 21. 已知二次函数图像经过点． （1）求出值，并判断这个函数图像的开口方向； （2）点在这个函数图像上，求的值． （3）点在这个函数图像上，求的值． 【答案】（1），函数图像开口向上． （2）． （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、待定系数法求解析式、函数图像上点的坐标特征以及平方根的计算．掌握待定系数法、二次项系数与开口方向的关系、以及平方根的运算是解题的关键． （1）将已知点代入，得到方程，解得；再由直接判断开口向上． （2）将点的横坐标代入已求得的解析式，计算得 ． （3）将点代入解析式得，整理得，开平方时注意正负两个解，即． 【小问1详解】 已知二次函数的图像经过点． 将点的坐标代入解析式，得， 解得， ， 函数图像的开口方向向上． 【小问2详解】 点在函数的图像上． 将代入解析式， 解得 ． 【小问3详解】 点在函数的图像上． 将，代入解析式， 解得 或． 22. 丹东草莓是丹东市的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对草莓种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，年草莓平均每株产量是千克，年达到了千克，每年的增长率基本相同． 素材二 草莓一般用长方体包装盒包装后进行售卖． （1）任务：依题意列方程，求草莓产量的年平均增长率； （2）任务：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图），折成无盖长方体纸盒（如图）．为了放下适当数量的草莓，需要设计底面积为的纸盒，设此时纸盒的高为，则可列方程为____________________，________． 【答案】（1）草莓产量的年平均增长率为 （2），10 【解析】 【分析】（1）根据“2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同”列出方程求解即可； （2）根据长方体纸盒的底面积列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设草莓产量的年平均增长率为x， 依题意列方程得：， 解得，（舍去）， 答：草莓产量的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：设此时纸盒的高为， 则可列方程为：， 解得，（舍去）． 所以，． 23. 已知：二次函数，与的一些对应值如表： （1）根据表格中的数据，确定二次函数解析式为_______________； （2）表格中空白处的值________，________； （3）用五点作图法，在给定坐标系里画出二次函数的图象，并回答：当________时，函数有最________值，是________； （4）当时，，则的取值范围为________． 【答案】（1）； （2），； （3）如图， ，，小，； （4）． 【解析】 【分析】利用待定系数法求解析式即可； 分别把、代入解析式求出，的值即可； 根据列表、描点、连线画出函数图象即可； 根据图象和取值范围，运用数形结合思想进行分析，即可作答． 【小问1详解】 解：由表格可知二次函数图象经过点，，， ∴， 解得， ∴二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：由得二次函数解析式为， 当时，； 当时，； 【小问3详解】 解：列表， 描点， 连线， 图略； 当时，函数有最小值，是； 【小问4详解】 解：由的图象可知，当时， ∵当时，， ∴结合图象可知的取值范围为． 24. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）轴上是否能找到一点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）点是轴上的一个动点，当的值最小时，直接写出的值． 【答案】（1）抛物线的解析式为， （2）或或 （3） 【解析】 【分析】（1）把代入解析式求出的值，然后配成顶点式即可求出顶点的坐标； （2）求、的坐标，进而可得，然后分类讨论求解即可； （3）作出点关于轴的对称点，则，连接，，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，当、、三点共线时，的值最小，利用待定系数法求得直线的解析式，然后把代入直线解析式即可得解． 【小问1详解】 解：∵抛物线图象过点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为， ， ∴顶点； 【小问2详解】 解：存在点，使得是以为腰的等腰三角形， 由抛物线得，令，得， ∴， 令，得， 解得或， ∴， ∴， 当时，则或， 当时，关于轴对称，此时， 综上，点的坐标为或或； 【小问3详解】 解：如图，作出点关于轴的对称点，则，连接，， 则，，当且仅当、、三点共线时取等，如图，即当为直线与轴交点时，有最小值， 设直线的解析式为， 则有， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， 即的值为． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点C，与抛物线交于点A，此抛物线与x轴的正半轴交于点，且． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线上方抛物线上的一点．过点P作垂直于x轴于点D，交线段于点E，使． ①求点P的坐标； ②在直线上是否存在点M，使为以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）①点P的坐标为；②存在，点M的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据题意，分别求出点C的坐标，利用求出点A的坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）①设点P的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式，用含a的式子表示出点E的坐标，用含a的式子表示出和的长度，由，得到关于a的方程，求得a的值，即可得到点P的坐标； ②设点M的坐标为，分别求得、、的长度，根据是以为直角边的直角三角形，所以可分为两种情况：一是为斜边，二是为斜边，利用勾股定理列出关于m的方程，求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线与轴交于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵直线与抛物线交于点， ∴点坐标为， 把点、坐标代入解析式 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 解：①∵是直线上方的抛物线上一点 ∴设点的坐标为 设直线解析式： 将点、坐标代入解析式，得 解得： ∴ ∵轴于，交于点，如图， ∴点坐标为 ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去）， 当时， ∴点坐标是 ②∵点M在直线上， ∴设点M的坐标为 ∵点，点， ∴， ∵为以为直角边的直角三角形， Ⅰ：当为斜边时，可得：， ∴， ∴， ∴点M的坐标为， Ⅱ：当为斜边时，可得：， ∴， ∴ ∴点M的坐标为 综上所述，符合题意的点M的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期初三数学10月统练试卷 一．单选题（每小题5分，共12小题，共60分） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 3，， B. 3，，1 C. 3，2，1 D. 3，2， 3. 关于的一元二次方程的一个根为，那么它的另一个根为（ ） A. B. 1 C. 3 D. 4. 已知关于的方程是一元二次方程，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 5. 某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了条．则这个航空公司共有飞机场（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 7. 已知二次函数，下列说法：其图象的开口向下；其图象的对称轴为直线；其图象顶点坐标为；当时，y随x的增大而增大．其中说法正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 8. 根据如表中二次函数的自变量x与函数值y的对应值，判断方程（，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ） x 6.17 6.18 6.19 6.20 0.02 0.04 A. B. C. D. 9. 将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（ ） A. 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B. 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D. 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 10. 已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 11. 已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 12. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，D的坐标分别为，，则二次函数与矩形有交点时m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每小题5分，共6小题，共30分） 13. 二次函数开口向下，则a的取值范围是___________． 14. 已知方程的解是，则方程的解是___________． 15. 若二次函数的图象与x轴有两个交点，则实数k的取值范围是__________． 16. 在二次函数中，当时，y随x的增大而增大，则实数m的值可以是______．（写出一个满足条件的m值） 17. 如图，在中，，，．点P从A出发沿以的速度向B移动，点Q从B出发沿以的速度向C移动．若两点同时出发，则当的面积为时，运动时间______秒． 18. 抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法： ①； ②； ③； ④关于的一元二次方程的两根为，； ⑤不等式的解集是； ⑥当时，二次函数有最大值．其中正确的有________（填写序号）． 三．解答题（本大题共7小题，共60分） 19. 解方程： （1） （2） （3）； （4）． 20. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 21. 已知二次函数图像经过点． （1）求出值，并判断这个函数图像的开口方向； （2）点在这个函数图像上，求的值． （3）点在这个函数图像上，求的值． 22. 丹东草莓是丹东市的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对草莓种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，年草莓平均每株产量是千克，年达到了千克，每年的增长率基本相同． 素材二 草莓一般用长方体包装盒包装后进行售卖． （1）任务：依题意列方程，求草莓产量的年平均增长率； （2）任务：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图），折成无盖长方体纸盒（如图）．为了放下适当数量的草莓，需要设计底面积为的纸盒，设此时纸盒的高为，则可列方程为____________________，________． 23. 已知：二次函数，与的一些对应值如表： （1）根据表格中的数据，确定二次函数解析式为_______________； （2）表格中空白处的值________，________； （3）用五点作图法，在给定坐标系里画出二次函数的图象，并回答：当________时，函数有最________值，是________； （4）当时，，则的取值范围为________． 24. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）轴上是否能找到一点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）点是轴上的一个动点，当的值最小时，直接写出的值． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点C，与抛物线交于点A，此抛物线与x轴的正半轴交于点，且． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线上方抛物线上的一点．过点P作垂直于x轴于点D，交线段于点E，使． ①求点P的坐标； ②在直线上是否存在点M，使为以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $