精品解析：北京市延庆区2026--2027学年第一学期期中试卷（一）八年级数学

2026-2027学年第一学期期中试卷（一） 八年级数学 考 生 须 知 1．本试卷共6页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上正确填写学校名称、姓名和考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答． 一、选择题（共16分，每小题2分） 第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 在代数式，，，，中，分式的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 不改变分式的值，下列各式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果把分式中的、同时扩大为原来的2倍，那么该分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大为原来的2倍 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的 4. 如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于 A. 60° B. 70° C. 80° D. 90° 6. 一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（ ） A. 17 B. 15 C. 13 D. 13或17 7. 现有四根木条，长度分别为2 cm，3 cm，4 cm，5 cm．选用其中的三根木条首尾相接，组成一个三角形，一共有几种不同的组法（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 8. 在中，，，是边上的两点，且，有下列四个推断： 若是的高，则可能是的中线； 若是的中线，则不可能是的高； 若是的角平分线，则可能是的中线； 若是的高，则不可能是的角平分线． 上述推断中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④ 二、填空题（共16分，每小题2分） 9. 若分式有意义，则x的取值范围是______． 10. 计算：_______． 11. 若分式的值为0，则的值是_______． 12. 如图，中，，分别是，的中点，的面积是，则阴影部分的面积是______． 13. 如图，是等边三角形的中线，，则______． 14. 如图，的角平分线，交于点，，则_____． 15. 如图，点，分别在线段，上，，不添加新的线段和字母，要使，需添加的一个条件是_______（只写一个条件即可）． 16. 一个33人的旅游团到一家酒店住宿，酒店的客房只剩下4间一人间和若干间三人间，住宿价格是一人间每晚100元，三人间每晚130元（说明：男士只能与男士同住，女士只能与女士同住，三人间客房可以不住满，但每间每晚仍需支付130元）． （1）若该旅游团一晚的住宿房费为1530元，则他们租住了_______间一人间； （2）若该旅游团租住了3间一人间，且共有19名男士，则租住一晚的住宿房费最少为______元． 三、解答题（共68分，17题8分，18题10分，第19-26题，每小题5分，27题6分，28题4分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 计算： （1）； （2）． 19. 计算：． 20. 解方程：． 21. 已知，求代数式的值． 22. 列方程解应用题： 某校组织八年级学生到距离学校的八达岭长城参加综合实践活动．一部分学生乘大巴车先出发，过了分钟，其余学生乘中巴车沿相同路线行进，结果他们同时到达目的地．已知中巴车的平均速度是大巴车平均速度的倍，求大巴车的平均速度． 23. 如图，，．求证：． 24. 如图，，，，四点在一条直线上，且，，．求证：． 25. 如图，是上一点，和都是等边三角形，分别连接，，求证：． 26. 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，是边上的中线，若，，求边的取值范围．小奇同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至，使，连接．请根据小奇的方法思考： （1）由已知和作图得到，依据是________； （A）SSS （B）SAS （C）AAS （2）由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是________________； 小奇的题后反思是：题目中出现“中点”“中线”等条件，可以考虑构造全等三角形，把分散的条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中解决问题，请你结合小奇的题后反思，尝试解决（3）的问题； （3）如图2，是的中线，交于点，交于点，． 求证：． 27. 在中，，，点D在边上（不与点B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接． （1）根据题意补全图形，并证明：； （2）过点C作的平行线，交于点F，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 28. 若两个分式与的和为一个分式，且分式的分子为常数，分母为关于的整式，且次数为1，则称与是“和定分式”，这个常数称为与的“和定值”． 例如：分式，，，则与是“和定分式”，与的“和定值”是3． （1）若分式，，判断，是否是“和定分式”__________；（填是或否） （2）若分式，是“和定分式”，则与的“和定值”是__________； （3）若分式（是常数），是“和定分式”，且与的“和定值”是分式方程的解，则的值是__________； （4）若分式（是常数，且），，与是“和定分式”，且与的“和定值”为2，则常数的值是__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期期中试卷（一） 八年级数学 考 生 须 知 1．本试卷共6页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上正确填写学校名称、姓名和考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答． 一、选择题（共16分，每小题2分） 第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 在代数式，，，，中，分式的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】解：，的分母均不含字母，故二者不是分式， ，，的分母均含字母，三者是分式， ∴ 分式共有3个． 2. 不改变分式的值，下列各式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A选项，，变形错误； B选项，，变形错误； C选项，，变形正确； D选项，，变形错误． 3. 如果把分式中的、同时扩大为原来的2倍，那么该分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大为原来的2倍 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的性质即可求解． 【详解】解：x，y同时扩大为原来的2倍， 则有， ∴该分式的值是原分式值的，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，给分子分母同时乘以一个整式（不为0），不可遗漏是解答本题的关键． 4. 如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】经过一个顶点作对边所在的直线的垂线段，叫做三角形的高，根据概念即可得出． 【详解】根据定义可得A选项是作BC边上的高，符合题意， B选项作的不是三角形ABC的高，不符合题意， C选项是作AB边上的高，不符合题意， D选项是作AC边上的高，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形高线的作法，熟练掌握定义是解题关键． 5. 如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于 A. 60° B. 70° C. 80° D. 90° 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，知∠ACD=∠A+∠B 【详解】∵∠ACD=∠A+∠B ∴∠A=∠ACD﹣∠B=120° ﹣40°=80°． 故选C． 【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，解决此题的关键是要认真细致，不要算错． 6. 一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（ ） A. 17 B. 15 C. 13 D. 13或17 【答案】A 【解析】 【详解】当等腰三角形的腰长为3时，3+3=6＜7，不能构成三角形， 当等腰三角形的腰长为7，底为3时，则周长为：7+7+3=17. 故选：A. 7. 现有四根木条，长度分别为2 cm，3 cm，4 cm，5 cm．选用其中的三根木条首尾相接，组成一个三角形，一共有几种不同的组法（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 【答案】C 【解析】 【详解】解：从四根木条中任选三根， 所有组合为：；；；， ∵ 只需验证较小两边之和大于最大边，即可判断能否组成三角形， ∴ ，该组合能组成三角形； ，该组合不能组成三角形； ，该组合能组成三角形； ，该组合能组成三角形； 符合条件的组法共3种． 8. 在中，，，是边上的两点，且，有下列四个推断： 若是的高，则可能是的中线； 若是的中线，则不可能是的高； 若是的角平分线，则可能是的中线； 若是的高，则不可能是的角平分线． 上述推断中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】由可得边上的高、角平分线的对应点均在中点靠近的一侧，结合比更靠近的条件逐一判断． 【详解】解：设中点为，则． ， 比更靠近点. ①若是的高， ， ， ． ， ，即. ， ，即， ． 取为中点，满足，此时是中线， 故①正确． ②若是的中线，则， ， ． 若是的高，同理①可得，矛盾， 不可能是的高， 故②正确. ③若是的角平分线，过作于，于， 由角平分线的性质得. ，，， ． 设点到的距离为， 则，， ，即． 取为中点，满足，此时是中线， 故③正确． ④若是的高，举反例：设中，，，，则． 过作于，由面积法得， 在中，由勾股定理得． 作的平分线交于，同理③可得， 结合，解得． 此时，满足，且是高，是角平分线， 可能是的角平分线， 故④错误． 综上，正确结论为①②③，故答案为B． 二、填空题（共16分，每小题2分） 9. 若分式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义分母为零；（2）分式有意义分母不为零；（3）分式值为零分子为零且分母不为零．分式有意义，则要求分式分母不为0，即可求得答案． 【详解】解：∵要使分式有意义，即分式分母不能为0， ∴， 解得：． 故答案为：． 10. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】需运用积的乘方、分式乘方的运算法则化简，注意偶次幂的符号处理. 【详解】解：根据积的乘方运算法则，将括号内各因式分别乘方后再相乘， ∵，， ∴代入化简可得原式. 11. 若分式的值为0，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】分式值为0需同时满足分子为0、分母不为0两个约束，先求解分子为0的值，再验证该值下分母不为0即可得到结果. 【详解】解：∵ 分式的值为0， ∴ 需同时满足两个条件， 分子的值为0，即，解得， 分母的值不为0，即，也就是， 将代入分母验证，得，满足分式有意义的要求， ∴ 符合条件的的值为. 12. 如图，中，，分别是，的中点，的面积是，则阴影部分的面积是______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据三角形的中线将三角形面积分为相等的两部分可知，，，根据的面积是解答即可． 【详解】解：中，、分别是，的中点， 是的中线，是的中线， ，， ， 的面积是， 的面积为， 即阴影部分的面积是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的面积和中线的性质：三角形的中线将三角形分为相等的两部分，知道中线将三角形面积分为相等的两部分是解题的关键． 13. 如图，是等边三角形的中线，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的三线合一定理、等边对等角、三角形内角和定理，根据等腰三角形的三线合一定理可知，，根据等腰三角形的两个底角相等可以求出，根据角之间的关系可以求出的度数． 【详解】解：是等边三角形， ， 是等边三角形的中线， ，， ， ， ． 故答案为：． 14. 如图，的角平分线，交于点，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线定义即可求出答案． 【详解】解：∵，， ， 的角平分线，交于点， ， ， ， ． 15. 如图，点，分别在线段，上，，不添加新的线段和字母，要使，需添加的一个条件是_______（只写一个条件即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：由题意得，，（公共角），可选择利用、、进行全等的判定，答案不唯一： 添加，可由判定； 添加或可由判定； 添加或，可由判定． 16. 一个33人的旅游团到一家酒店住宿，酒店的客房只剩下4间一人间和若干间三人间，住宿价格是一人间每晚100元，三人间每晚130元（说明：男士只能与男士同住，女士只能与女士同住，三人间客房可以不住满，但每间每晚仍需支付130元）． （1）若该旅游团一晚的住宿房费为1530元，则他们租住了_______间一人间； （2）若该旅游团租住了3间一人间，且共有19名男士，则租住一晚的住宿房费最少为______元． 【答案】 ①. 1 ②. 1600 【解析】 【分析】（1）设它们租住了x间1人间，y间三人间，且x、y均为自然数，根据题意列出不等式组求解即可； （2）33人中共有19名男士，则女士有14名，根据，，再结合该团已经租住了3间1人间，可得：安排2名女士和1名男士住1人间，剩下的18名男士和12名女士住三人间，即可最节省，据此解答即可． 【详解】解：（1）设它们租住了x间1人间，y间三人间，且x、y均为自然数， 根据题意有：，解得：， ∵且x、y均为自然数， ∴可以取0和1， 当时，，不为自然数，舍去， 当时，，即他们租住了1间一人间． 故答案为：1． （2）33人中共有19名男士，则女士有14名， ∵，，该团已经租住了3间1人间， ∴安排2名女士和1名男士住1人间，剩下的18名男士和12名女士住三人间，即可最节省， 即：（元）． 故答案为：1600． 【点睛】本题主要考查不等式组的应用、有理数的运算的应用，明确题意列出不等式组是解答本题的关键． 三、解答题（共68分，17题8分，18题10分，第19-26题，每小题5分，27题6分，28题4分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将分式通分计算即可． （2）按照分式的乘除法则计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 20. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】通过移项、去分母将分式方程转化为整式方程，再代入检验排除增根即可得到方程的解． 【详解】解：， 移项得， 去分母得， 移项得，即， 解得． 检验：当时，，， 因此原方程的解为． 21. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ， ， ， 原式． 22. 列方程解应用题： 某校组织八年级学生到距离学校的八达岭长城参加综合实践活动．一部分学生乘大巴车先出发，过了分钟，其余学生乘中巴车沿相同路线行进，结果他们同时到达目的地．已知中巴车的平均速度是大巴车平均速度的倍，求大巴车的平均速度． 【答案】大巴车的平均速度为． 【解析】 【分析】核心等量关系：大巴行驶时间 − 中巴行驶时间 = 提前出发的时间． 这类题容易出错点：时间单位不统一，题目给的是分钟，平均速度单位是千米每小时，必须先把 分钟转化为小时；两车路程相同、平均速度不同，时间存在差值，适合用分式方程建模． 【详解】解：设大巴车的平均速度为，则中巴车平均速度为． 大巴行驶时间： 小时，中巴行驶时间： 小时． 大巴比中巴多用 小时，列方程： 化简： 解得： 检验：把代入最简公分母不为零，所以是原分式方程的解，且符合实际意义． 答：大巴车的平均速度为． 23. 如图，，．求证：． 【答案】证明：在和中， ∴， ∴． 【解析】 【分析】证明，利用全等三角形的对应角相等可得结论． 【详解】略 24. 如图，，，，四点在一条直线上，且，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即， 在和中， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】证明，即可求证． 【详解】略 25. 如图，是上一点，和都是等边三角形，分别连接，，求证：． 【答案】∵ 和  都是等边三角形， ∴ ，， ． ∴ ， 即 ．​ ∴ ， ∴ ． 【解析】 【分析】因为要证明两条线段，所以优先考虑证明这两条线段所在的三角形全等．因为和都是等边三角形，所以可得到对应边相等、对应角为的基础条件．因为点在上，所以可通过角的和差关系，推导得到包含、的两个三角形的夹角相等．最后利用三角形全等的判定定理，证明两个三角形全等，进而得到对应边相等． 【详解】略． 26. 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，是边上的中线，若，，求边的取值范围．小奇同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至，使，连接．请根据小奇的方法思考： （1）由已知和作图得到，依据是________； （A）SSS （B）SAS （C）AAS （2）由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是________________； 小奇的题后反思是：题目中出现“中点”“中线”等条件，可以考虑构造全等三角形，把分散的条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中解决问题，请你结合小奇的题后反思，尝试解决（3）的问题； （3）如图2，是的中线，交于点，交于点，． 求证：． 【答案】（1）（B） （2） （3）延长至点G，使，连接． ∵是的中线， ∴； 又， ∴． ∴，． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴； ∴． 【解析】 【分析】（1）因为是中线，所以；又作图得，且对顶角，所以结合两边及夹角相等，匹配全等判定定理． （2）由，所以；已知，所以；在中，已知，根据三角形三边关系，推导的取值范围，即得的取值范围． （3）因为是中线，所以；借鉴小奇的倍长中线法，延长至点G，使，连接，构造．由全等得，结合已知，所以，进而推导角相等；再通过角的等量代换，得到中两角相等，从而证明． 【小问1详解】 ∵是中线， ∴． 由作图得． 又∵， ∴， 故选B． 【小问2详解】 由（1）知，， ∴，且． 在中，根据三角形三边关系， 得， 代入、， 得， 也就是． 【小问3详解】 略． 27. 在中，，，点D在边上（不与点B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接． （1）根据题意补全图形，并证明：； （2）过点C作的平行线，交于点F，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 补全的图形如图所示：     证明：∵， ∴， 由旋转的性质可知，即， ∴； （2）， 证明：如图，作于点M，与直线交于点N，     ∴， 由旋转的性质可知， 由（1）可知， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的方向和角度补全图形，再根据已知和旋转的性质求出，，进而可得结论； （2）作于点M，与直线交于点N，利用证明，可得，，然后求出，可得，再利用证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了画旋转图形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，能够作出合适的辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 28. 若两个分式与的和为一个分式，且分式的分子为常数，分母为关于的整式，且次数为1，则称与是“和定分式”，这个常数称为与的“和定值”． 例如：分式，，，则与是“和定分式”，与的“和定值”是3． （1）若分式，，判断，是否是“和定分式”__________；（填是或否） （2）若分式，是“和定分式”，则与的“和定值”是__________； （3）若分式（是常数），是“和定分式”，且与的“和定值”是分式方程的解，则的值是__________； （4）若分式（是常数，且），，与是“和定分式”，且与的“和定值”为2，则常数的值是__________． 【答案】（1）是 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）计算两分式的和并化简，对照定义判断； （2）化简两分式的和，取最简分式的分子为和定值； （3）先得到和定值的表达式，解分式方程得和定值，再求参数； （4）根据和定分式的定义，分析分子的因式，结合和定值列方程求． 【小问1详解】 解：    ∵ 分子为常数，分母是关于的一次整式 ∴ ，是“和定分式”； 【小问2详解】      ∴ 与的“和定值”是； 【小问3详解】     ∴ 与的“和定值”为，    ， 解得：， 检验：当时， ， 故方程的解为， ∴ ， 解得：； 【小问4详解】    ∵ 与是“和定分式”，和定值为  ∴ 化简后的分式分子为常数，分母为关于的一次整式， ∵ ，分子为一次式， ∴ 分子需与分母的一个一次因式约分， 若约去因式，则，与矛盾， ∴ 约去因式，即， ， 解得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $