精品解析：北京市延庆区2025--2026学年八年级上学期期中数学试卷

延庆区2025-2026学年第一学期期中试卷 八年级数学 一、选择题（共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 在代数式中，其中分式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的定义，根据分式的定义，形如，中含有字母，这样的式子叫作分式，进行判断即可． 【详解】解：在代数式中，其中分式有，共4个； 故选D． 2. 若分式的值为0，则x的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的值为零，根据分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， ∴； 故选A． 3. 分式与的最简公分母是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简公分母，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母．当各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里． 【详解】解：分式与的最简公分母是； 故选A． 4. 图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴，， ∴， 故选：． 5. 计算的结果是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的约分，根据分式的基本性质，进行约分即可． 【详解】解：； 故选B． 6. 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，由作图过程可得，，再加上公共边可利用定理判定． 【详解】解：在和中 ， ∴， ∴， 故选：C． 7. 某校八年级学生到距学校的延庆民俗博物馆参观．一部分学生骑自行车先走，出发后，其余学生乘汽车沿相同的路线行进，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求自行车的速度．设自行车的速度为．根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据一部分学生骑自行车先走，出发后，其余学生乘汽车沿相同的路线行进，结果他们同时到达，结合时间等于路程除以速度，列出方程即可． 【详解】解：设自行车的速度为，则汽车的速度为，，由题意，得： ； 故选D． 8. 阅读所给的材料．并解决问题： 3 0 分式的值（其中为常数） 无意义 0 4 则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的值，分式无意义的条件，熟练掌握分式的值求法是解题的关键． 根据分式有意义的条件可求出的值，将代入求出的值，进而可求的值． 【详解】解：∵时分式无意义， ∴， 即， 将，代入得：， 解得：， 将，代入，则分式为：． 将代入得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解； 将代入得：， 解得：， 则C结论错误， 故选：C． 二、填空题（共16分，每小题2分） 9. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的乘法运算，根据乘法法则进行计算，约分化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 已知等腰三角形的两边长为和，则该三角形的周长为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，掌握其定义，三角形三边数量关系是解题的关键． 根据三角形三边数量关系，等腰三角形的定义确定等腰三角形的三边的长，由此即可求解． 【详解】解：等腰三角形的两边长为和， 当腰长是5时，，符合题意， 此时周长为：； 当腰长是9时，，符合题意， 此时周长为； ∴该三角形的周长为或， 故答案为：或 ． 11. 因式分解x3－9x=__________． 【答案】x（x+3）（x－3） 【解析】 【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解． 【详解】解：x3－9x， =x（x2－9）， =x（x+3）（x－3）． 【点睛】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分解，分解因式要彻底． 12. 将一副三角板按如图方式叠放，那么等于______． 【答案】##105度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，三角板中角度计算问题，由题意得，，，求出，然后通过三角形外角性质即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，，， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，与交于点．且．只添加一个条件使得，则添加的条件是___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法，添加条件即可． 【详解】解：∵， ∴当时，； 故答案为：（答案不唯一） 14. 方程的解为______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式方程的解法可直接进行求解． 【详解】解： ， ∴， 经检验：是原方程的解． 故答案为：x=3． 【点睛】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 15. 是物理学中的一个公式，表示并联电路中，有两个支路时电路的总电阻与分支电阻的关系，其中表示总电阻，表示分支电阻．若用表示，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的加减法，根据异分母分式的加减法则，求出，再取倒数即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为： 16. 如图，射线平分，点是上一点，过点作于点，在射线上任取一点，连接，在上取一点，连接，使得．给出下列结论：；；；．上述结论中，所有正确结论的是______．（只填写序号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，三角形内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 过作于点，由角平分线性质可得，证明，可判断；由，则，证明，所以，通过线段和差即可判断；由，则，从而判断；由，则，通过角度和差得出，然后通过三角形内角和定理即可判断． 【详解】解：如图，过作于点， ∵，射线平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴，故错误； ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴，， ∴，即， ∴，故正确； 综上，所有正确结论有． 故答案为：． 三、解答题（共68分，17题9分，18题8分，19-20题，每小题4分，21题6分，22-23题，每小题4分，24题6分，25-26题，每小题5分，27题7分，28题6分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键． （1）利用同分母分式减法运算法则计算，并且因式分解、约分，即可求解； （2）先把括号内的分式通分，然后再按照分式的混合运算法则计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，是解题的关键． （1）去分母，将分式方程化为整式方程，求解后进行检验即可； （2）去分母，将分式方程化为整式方程，求解后进行检验即可； 【小问1详解】 解：去分母，得， 解得； 检验，当时，， ∴原方程的解为； 【小问2详解】 去分母，得， ， 解得； 检验：当时，， ∴是原方程的增根，舍去； ∴原方程无解． 19. 如图，，．求证：． 【答案】 证明：在和中， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明两个三角形全等是解决本题的关键． 证明即可求证． 【详解】略 20. 如图，点、、、在同一条直线上，，，．求证：； 【答案】 证明：， ， 即， ，． 在和中， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、平行线的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．利用定理证明，根据全等三角形的对应角相等得到，根据平行线的性质证明． 【详解】略 21. 已知：，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，利用整体代入法进行计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴， ∴原式． 22. 如图，中，，过点作，垂足为点．求证：． 【答案】 证明：过点作交于， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直定义，直角三角形性质，掌握知识点的应用是解题的关键．过点作交于，由等腰三角形性质可得，然后由，，故有，，进而得，然后即可求证． 【详解】略 23. 比较与的大小（其中）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式的大小比较，通过计算两式的差，并利用完全平方公式，判断差的正负，从而比较大小． 【详解】解：设，，则： ， ∵， ∴， ∵， ∴且， ∴， ∴， 即． 24. 在中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点． （1）如图，当，在直线的同一侧时， 求证：； 求证：； （2）如图，当，在直线的异侧时，直接用等式表示，，之间的量关系：___________． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴，， ∴； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直定义，直角三角形的性质，同角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，，得，然后通过同角的余角相等得，然后通过“”证明即可； 由，得，，然后通过线段和差即可求证； （）由，，得，然后通过同角的余角相等得，然后通过“”证明，再由全等三角形性质，线段和差即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，理由， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 25. 为增强学生体质，某校准备购买一批短跳绳用于学生大课间锻炼，已知甲种跳绳比乙种跳绳的单价低5元，且用3000元购买甲种跳绳与用3750元购买乙种跳绳的数量相同．该校有105名学生，若计划用2000元购买甲种跳绳，是否能保障每名学生一根？请通过计算说明． 【答案】不能保障每名学生一根跳绳 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设甲种跳绳的单价为x元，根据用3000元购买甲种跳绳与用3750元购买乙种跳绳的数量相同，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设甲种跳绳的单价为x元，则乙种跳绳的单价为元． 根据题意，得 ． 解得； 经检验是原方程的解， （根）， ∵， ∴不能保障每名学生一根跳绳． 26. 在几何的学习中，我们常常在学习了图形的性质后，通过研究其逆命题得到图形的判定方法．在学习完等腰三角形的判定之后，小明根据“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角的平分线互相重合”这个性质定理，有了这样的思考：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？ 小明画出图形，经过分析找到了两种解决问题的方法． 如图，在中，平分，且点是的中点．求证：． 方法一 方法二 证明：过点分别作的垂线，垂足分别为点． 证明：延长到，使得，连接． 请你从两种方法中任选一个，完成证明． 【答案】 方法一：证明：过点分别作的垂线，垂足分别为点． ∴， ∵平分， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴， ∴； 方法二：证明：延长到，使得，连接． ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，是解题的关键： 方法一：角平分线的性质，得到，中线得到，证明，得到，进而得到，即可得证； 方法二：证明，得到，，进而求出，进而得到，进而得到，即可． 【详解】略 27. 如图，在中，，，点是上任意一点，作射线，在上取一点，使得，连接：过点作于点． （1）依题意补全图形； （2）并求出的度数（用含的式子表示）； （3）用等式表示，，之间的数量关系．并证明． 【答案】（1） 画图如下 （2） （3） 证明：． 在上截取，连接． ， 是的垂直平分线， ， ． ． ， ． ． 即． 在和中， ， ， ． ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，全等三角形的判定和性质．掌握等腰三角形是关键 （1）依题意作垂线； （2）由三角形内角和及直角三角形两锐角互余可求出的度数； （3）在上截取，连接．由等腰三角形三线合一得出，，则，可得，由三角形全等可得，则可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ． ，， ． ，，，， ． ， ． ． ． 【小问3详解】 略 28. 给出定义：如果两个分式与的和为一个常数，则称与是“和常分式”，这个常数称为与的“和常值”．例如：分式，则与是“和常分式”，与的“和常值”为4．解决下面的问题： （1）已知分式，判断与是不是“和常分式”，若不是，请说明理由：若是，求出与的“和常值”； （2）已知分式，其中与是“和常分式”，与的“和常值”为2，求的值； （3）已知分式，其中与是“和常分式”，与的“和常值”为．若为整数，且的值也为整数，直接写出满足条件的的值． 【答案】（1）与是“和常分式”，且与的“和常值”为 （2）3 （3）0或2 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的加法计算，正确理解“和常分式”的定义是解题的关键． （1）根据分式的加法计算法则求出的结果即可得到结论； （2）根据“和常分式”的定义得到，则可推出，据此可得答案； （3）根据“和常分式”的定义得到，则；再由的值也为整数，可以得到，其中k为整数，则可推出，进而得到为整数，则，即可求出或． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ， ∴与是“和常分式”，且与的“和常值”为； 【小问2详解】 解：∵，且与是“和常分式”，与的“和常值”为2， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，其中与是“和常分式”，与的“和常值”为， ∴， ∴； ∵的值也为整数， ∴是整数， ∴，其中k为整数， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵k为整数， ∴为整数， ∴为整数， ∴， ∴或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 延庆区2025-2026学年第一学期期中试卷 八年级数学 一、选择题（共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 在代数式中，其中分式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 若分式的值为0，则x的值等于（ ） A. B. C. D. 3. 分式与的最简公分母是（ ） A. B. C. D. 4. 图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 计算的结果是（ ） A. 2 B. C. D. 6. 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（ ） A. B. C. D. 7. 某校八年级学生到距学校的延庆民俗博物馆参观．一部分学生骑自行车先走，出发后，其余学生乘汽车沿相同的路线行进，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求自行车的速度．设自行车的速度为．根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 阅读所给的材料．并解决问题： 3 0 分式的值（其中为常数） 无意义 0 4 则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共16分，每小题2分） 9. 计算：___________． 10. 已知等腰三角形的两边长为和，则该三角形的周长为___________． 11. 因式分解x3－9x=__________． 12. 将一副三角板按如图方式叠放，那么等于______． 13. 如图，与交于点．且．只添加一个条件使得，则添加的条件是___________． 14. 方程的解为______________． 15. 是物理学中的一个公式，表示并联电路中，有两个支路时电路的总电阻与分支电阻的关系，其中表示总电阻，表示分支电阻．若用表示，则___________． 16. 如图，射线平分，点是上一点，过点作于点，在射线上任取一点，连接，在上取一点，连接，使得．给出下列结论：；；；．上述结论中，所有正确结论的是______．（只填写序号） 三、解答题（共68分，17题9分，18题8分，19-20题，每小题4分，21题6分，22-23题，每小题4分，24题6分，25-26题，每小题5分，27题7分，28题6分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解下列方程： （1）； （2）． 19. 如图，，．求证：． 20. 如图，点、、、在同一条直线上，，，．求证：； 21. 已知：，求代数式的值． 22. 如图，中，，过点作，垂足为点．求证：． 23. 比较与的大小（其中）． 24. 在中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点． （1）如图，当，在直线的同一侧时， 求证：； 求证：； （2）如图，当，在直线的异侧时，直接用等式表示，，之间的量关系：___________． 25. 为增强学生体质，某校准备购买一批短跳绳用于学生大课间锻炼，已知甲种跳绳比乙种跳绳的单价低5元，且用3000元购买甲种跳绳与用3750元购买乙种跳绳的数量相同．该校有105名学生，若计划用2000元购买甲种跳绳，是否能保障每名学生一根？请通过计算说明． 26. 在几何的学习中，我们常常在学习了图形的性质后，通过研究其逆命题得到图形的判定方法．在学习完等腰三角形的判定之后，小明根据“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角的平分线互相重合”这个性质定理，有了这样的思考：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？ 小明画出图形，经过分析找到了两种解决问题的方法． 如图，在中，平分，且点是的中点．求证：． 方法一 方法二 证明：过点分别作的垂线，垂足分别为点． 证明：延长到，使得，连接． 请你从两种方法中任选一个，完成证明． 27. 如图，在中，，，点是上任意一点，作射线，在上取一点，使得，连接：过点作于点． （1）依题意补全图形； （2）并求出的度数（用含的式子表示）； （3）用等式表示，，之间的数量关系．并证明． 28. 给出定义：如果两个分式与的和为一个常数，则称与是“和常分式”，这个常数称为与的“和常值”．例如：分式，则与是“和常分式”，与的“和常值”为4．解决下面的问题： （1）已知分式，判断与是不是“和常分式”，若不是，请说明理由：若是，求出与的“和常值”； （2）已知分式，其中与是“和常分式”，与的“和常值”为2，求的值； （3）已知分式，其中与是“和常分式”，与的“和常值”为．若为整数，且的值也为整数，直接写出满足条件的的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $