期中复习压轴专题02 解答题分类训练（7种类型35道）（压轴题专项训练）数学新教材苏科版七年级上册

画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期中复习压轴专题02解答题分类训练 (新苏科版七年级，7种类型35道) 范围：第1章一第3章 知识点一 绝对值的几何意义 1.同学们都知道， 2-(1川表示2与一1的差的绝对值，实际上也可理解为在数辅上正数2对应的点与负数 -1对应的点之间的距离，试探索： 2-(川=一：如果-小=2 则x= 2求-2+-4 的最小值，并求此时的取值范围： (⊙)由以上探索及猜想，计算K-+k-2+-3++x-2017+k-2018】 的最小值 2.阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个 有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义， 若在数轴上有理数“对应的点为A,有理数b对应的点为B,则A,B两点之间的距离可表示 a-i或 b-d,记为M=口-小=b-4.如武子K-的儿何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点 之间的距离 LLL -5-4-3-2-1012345→ 根据上述材料，回答下列问题： (1)-2与3的距离是 2)式子x+2+x-3到 的最小值是多少？ 1/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)应用：某一直线沿街有2014户居民（相邻两户居民间隔相同）： A44A.A,…h,某 餐饮公司想为这2014户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P,点P选在 ,才能使这 2014户居民到点P的距离总和最小. 3.【背景知识]数轴上表示数“的点与原点的距离叫做微数“的绝对值，记作口，数轴上表示数“的点与表 示数b的点的距离记作a- 如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为5-7=2,5+7=5-(-7) 表示数轴上表示数的点与表示数7的点的距离， a-5 表示数轴上表示数“的点与表示数的点的距离. 根据以上材料回答下列问题： (1)【初步应用】 ①数轴上表示数-2的点与表示数3的点的距离为， ②若a-=3 则a= (2)找出满足 x-3+x+=6 的x的所有值是 3)【深入探究】求x+2+k-3到 的最小值，以下是小明的解答过程： 解：记点P,1,B分别表示数”，2,3，点P、点1的距离 PA=K+2,点P、点B的距离 PB=k-3列当点P在点4的左边，即x<-2时，如图O,此时PA>0,PB>5. :PA+B>5.即+2-5.当点P在线段4B上.即2≤x53时，如图②，此时PH+B=5.即 K+2+K-3=5,当点P在点B的右边时，即x>3时，如图@，此时PA>5,PB>0.PA+PB>5,即 x+2+x-3>5 当2≤x≤3时， x+2+x-3 有最小值，最小值为5. 2125 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A P B P -2 3 -2x 3 ① ② ③ 请根据小明的解答过程，完成下列问题：求式子 x+3+x+1+x-2 的最小值。 4.探索材料1： (1)数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于m-川 2-5 例如数轴上表示数2和5的两点距离为 数轴上表示数3和-1的两点距离为3-（川 则k+4 的意义可理解为数轴上表示数 这两点的距离； 探索材料2： (2)①如图1、在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B,要在流水线上设一个材料供应点P往两个加 工点输送材料，材料供应点P应设在何处才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？在图中画出一个 满足条件的点即可 B 图1 ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A,B,C,要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工 点输送材料，材料供应点P应设在何处才能使P到A,B,C三点的距离之和最小？在图中画出满足条件的 点即可， A B 图2 ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A,B,C,D,要在流水线上设一个材料供应点P往四个 加工点输送材料，材料供应点P应设在何处才能使P到A,B,C,D四点的距离之和最小？在图中画出一 个满足条件的点即可。 A B D 图3 结论应用（填空）： x-3+x-4 (3)①代数式 的最小值是一，此时x的所有整数值是 @f代数式K++k+3+k-2 的最小值是， 此时x的值为； 3/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ③f代数式x+7+-+x-4+x-6 的最小值是」 一，此时x的所有整数值是 a 5. 【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作 数轴上表示数a的点与表 示数b的点的距离记作口- ,如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为 -7=25+7=5-(-7) 表示数轴上表示数5的点与表示数7 的点的距离， a-5 表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离. 根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 (1)①数轴上表示数-2的点与表示数3的点的距离为一： ②若0-=3 【深入探究】 (2求k+2+-3 的最小值.以下是小明的解答过程： 解：记点P,A,B分别表示数x,-2,3,点卫、点A的距离 PA=x+2 点卫、点B的距离 B=x-3 当点P在点A的左边，即x<-2时，如图①，此时PA>0,PB>5 PM+PB>5,即K+2Hx-3>5 当点P在线段AB上，即-2≤x≤3时，如图②，此时PA+PB=5, 即K+2+x-3-=5 当点P在点B的右边时，即x>3时，如图③，此时PA>5,PB>0. PA+PB>5,即K+2Hx-3>5 “当2≤x≤3时， x+2+x-3 有最小值，最小值为5. P B B P 3 -2X 3 ① ② 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 4/25 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 求式子K+3+x+1+-2的最小值， 【解决问题】 (3)某公司办公楼有6层，公司要召开会议，从1层到6层每层参会人数分别为1,2,1,2,3,3.由于 电梯出了故障，要使所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和最短，请你直接写出会议地点应设在第几层？ 知识点二 有理数加减的应用 6.“无人机协同”需按数轴模拟轨迹完成连贯任务：以数轴原点O为指挥中心，A站（对应数一5）、B 站（对应数4）为任务补给点： (1)无人机M作为先导机，从数轴原点O出发，第1次沿正方向飞行5个单位，第2次沿负方向飞行10个 单位…每次飞行单位数比前一次多5且方向交替变化，第5次飞行结束后无人机M在数轴上的位置为校 准位置，求校准位置在数轴上对应的数. (2)无人机N从校准位置出发，先以每秒2个单位的速度沿正方向飞行t秒，再以每秒3个单位的速度沿负 方向飞行2t秒，最终需抵达“到A站距离是到B站距离2倍”的位置，求t的值. (3)无人机M从校准位置出发，先以每秒2个单位的速度沿负方向飞行5秒，再以每秒3个单位的速度继续 沿负方向飞行：同时，无人机P从原点出发，速度始终为每秒2个单位，先沿负方向飞行5秒，若此时P 与A站的距离不超过3个单位，则转向沿正方向飞行，否则继续保持负方向飞行.当飞行总时长为2s秒时， M与P的距离恰好为5个单位，求所有可能的s值(s>0)· 7.钟表中蕴含着有趣的数学运算，不用负数也可以作减法.例如现在是10时，4小时以后是几时？虽然 10+4=14,但在表盘中看到的是2时.如果用符号“⊕”表示钟表上的加法，则10⊕4=2.若问3时之 前5小时是几时，就得到钟表上的减法概念，用符号“©”表示钟表上的减法.（注：此处用0时代替12 时.) 根据材料解决下列问题： ()9⊕8=， 3⊙5= (2)在有理数运算中相加得0的两个数互为相反数.如果在钟表运算中沿用这个概念，那么5的相反数是 有理数减法法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”，在钟表运算中是否仍然成立，你能举 例说明吗？ 3)规定在钟表运算中也有0<1<2<3<4<5<6<7<8<9<10<I1,对于钟表上的任意数字，b,c,若 a<b,判断a⊕c<b©c是否一定成立.若一定成立，请说明理由；若不一定成立，请举出反例并加以说 5/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 明. 8幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1)·“洛书”是一种关于天地空间变 化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合.“洛书”用今天的数学符号 翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）·三阶幻方又名九宫格，是一种将数字(1至9，数字不重复使用) 安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等 3 ,00-0-0-0-0-0-0-0● a 12 -9 图1 图2 图3 图4 (1)根据“洛书”中表达的意思，x= (2)改变图2幻方中数字的位置，可以得到一个新的三阶幻方（如图3），则a=,b=一，c= (3)如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“O”,将 -11、9、-7、-5、-3、-124681012这12个数填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4 个顶点处“O”中的数的和都为2.则m=,n= 9.平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换 B B式 (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的 位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是一 A.(4)+(=+5B.(4)+(-)=3 c、（4)-(+)=-5D.（4)+(+=-3 ②一机器人从原点0开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位， 6/25 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第4次向右跳4个单位，·，依此规律跳，当它跳2023次时，落在数轴上的点表示的数是 (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示-1的点与表示3的点重合，则表示2023的点与表示的点重合： ②若数轴上AB两点之间的距离为2024(A在B的左侧，且折痕与①折痕相同)，且AB两点经折叠后 重合，则A点表示一，B点表示 (3)一条数轴上有点A、B、C,其中点A、B表示的数分别是-17、8，现以点C为折点，将数轴向右对折， 若点A对应的点A落在数轴上，并且AB=2,求点C表示的数. 10.如图，在一张纸上画出一条水平的数轴，在数轴上放置一枚黑棋、一枚白棋，黑棋和白棋在数轴上的 位置所对应的数分别是-5,5，甲、乙两人做沿数轴移动棋子的游戏（甲移动黑棋，乙移动白棋）· 6543210123456→ 两人先同时出示“石头、剪刀、布”三种手势中的一种，再根据获胜或平局的结果进行移动（石头胜剪刀， 剪刀胜布，布胜石头；若手势相同，则结果为平局)，移动规则如下： ①若甲赢，则甲将黑棋向右移动2个单位长度，同时乙将白棋向右移动1个单位长度： ②若乙赢，则甲将黑棋向左移动1个单位长度，同时乙将白棋向左移动2个单位长度： ③若平局，则甲将黑棋向右移动1个单位长度，同时乙将白棋向左移动1个单位长度. 前四局的部分情况如下表所示. 局次 第一局 第二局 第三局 第四局 甲的手势 石头 剪刀 布 布 乙的手势 石头 布 石头 ()从起始位置开始，第一局后黑棋所对应的数是 白棋在数轴上的位置所对应的数是 (②)规定每局结束时，若黑棋的位置离原点更近，则甲获胜，若白棋的位置离原点更近，则乙获胜，那么第 三局结束时获胜的是谁？请说明理由， (3)若第四局结束后，黑棋和白棋在数轴上的位置相距5个单位长度，请通过分析回答：乙第四局的手势是 什么？ 知识点三 数轴上的动点问题 11.七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”. 探索“折线数轴”：素材1如图，将一条数轴在原点O,点B,点C处折一下，得到一条“折线数轴” 7/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图中点A表示-9，点B表示12，点C表示24，点D表示36，点A与点D在数轴上的距离为45个单位长 度，并表示为AD=45 B 12 -9 24 素材2动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动.当运动到 点O与点B之间时速度变为初始速度的一半，当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的两倍.经过 点C后立刻恢复初始速度 问题解决： (I)探索1：动点P从点A运动至点B需要多少时间？ (2)探索2：动点P从点A出发，运动18秒至点B和点C之间时，求点P表示的数？ (3)探索3：动点P从点A出发，运动至点D的过程中某个时刻满足PB+PC=I6时，求动点P运动的时间. 12.如图，数轴上，点0与点C对应的数分别是0,60，将一根质地均匀的直尺AB放在数轴上（点A在点 B的左边)，若将直尺在数轴上水平移动，当点A移动到点B的位置时，点B与点C重合，当点B移动到 点A的位置时，点A与点O重合 OA B C 0 C 60 60 备用图 (I)直尺AB的长为 个单位长度： (2)若直尺AB在数轴上，且满足点B与点C的距离等于点B与点O距离的3倍时，求此时点A对应的数： (3)当点A对应的数为20时，作为起始位置，直尺AB以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点 P从点A出发，以每秒m个单位长度的速度也沿数轴向右运动，设运动时间为秒 ①若B、P、C三点恰好在同一时刻重合，求m的值： ②当1=15时，B、P、C三个点中恰好有一个点到另外两点的距离相等，若点P不与点B、C重合，请 直接写出所有满足条件的m的值. 13.如图所示，在数轴上点A,B,C表示的数分别为-2,1,6，点A与点B之间的距离表示为AB,点B 与点C之间的距离表示为BC,点A与点C之间的距离表示为AC. 8/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B C 3克-101234567 (I)则AB=,BC=,AC= (2)点A,B,C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B、点C分别以每 秒2个单位长度和5单位长度的速度向右运动.请问： ①运动t秒后，点A与点B之间的距离AB为多少？（用含t的代数式表示) ②BC-AB的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由：若不变；请求其值： (3)由第(I)小题可以发现，AB,BC,AC三条线段的长度之间满足AB+BC=AC的数量关系.若点C以每 秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点A和点B分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向 右运动，请问：随着运动时间t的变化，AB,BC,AC三条线段的长度之间又存在怎样的数量关系，请直接 写出答案。 14.阅读以下材料解决问题，如图，数轴上点A表示的数是-2，点B表示的数是3，若在数轴上存在一点 P,使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n,则称点P为点A、B的“n格距点”·例如： 在图1中，点P表示的数是-1，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为1+4=5，则称点P为点A、 B的“5格距点”. A P B -5-4-3-2-1012345 (图1) 54321012}45 (备用图) (I)若点P表示的数是0，则n的值为 (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为点A、B的“5格距点”，则这样的整点P对应的点的值分 别是 (3)若点P在数轴上运动，满足点P到点B的距离等于点P到点A的距离的3倍，且此时点P为点A、B的 “n格距点”，求点P表示的数及n的值. 15.己知数轴上有不重合的三个点A,B,C,点A表示的数为-5，点B与点A到原点的距离相等，点C在 原点的左侧，且到点B的距离为7 9125 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (①)求点B,C表示的数. (②)假设动点M,N分别从点B,C同时出发，动点M的速度为每秒2个单位长度，动点N的速度为每秒1个 单位长度，当动点M与动点N距离为1个单位长度时，设运动时间为，求： ①动点M与动点N应同时向一（填“左”或“右”）运动： ②动点M与动点N相遇前的时间t及此时动点M表示的数： ③动点M与动点N相遇后的时间t及此时动点M表示的数， (3)在数轴上，有一个动点P,从点A出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点A出发向左运动1个单 位长度到点2，第二次从点2向右运动2个单位长度到点2，第三次从点巴向左运动3个单位长度到点 92 L,第四次从点2向右运动4个单位长度到点Q…按照此规律不断地左右运动，当第2025次运动到点 时，请直接写出点 2025 所对应的数、 知识点四 乘方的应用 16.利用图形来表示数量或数量关系，也可以利用数量或数量关系来描述图形特征或图形之间的关系，这 种思想方法称为数形结合，我们刚学过的《从面积到乘法公式》就很好地体现了这一思想方法，你能利用 数形结合的思想解决下列问题吗？ 3 8 16 图① 图② 1111 ()如图①，一个边长为1的正方形，依次取正方形的2,4,8，，2”，根据图示我们可以知道： 10/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 1 第一次取走)后还剩)，即212： 前两次取走方十有后还利好：即2好1-： 11 111 4: 111 1n1+l+=1- 前三次取走2+48后还剩8，即2+4+8-8：…， 前n次取走后，还剩一，即-。 2 222 2 (2)如图②，一个边长为1的正方形，依次取剩余部分的3，根据图示计算：3+g27 一十一十 十十 3”; 12,4,8,,2 3)求3+号+27+81+…+3”的值. 17.当前计算机常用的数据形式是二进制，二进制数与十进制数之间的转化问题、二进制数的计算问题十 10101)2 分常见.为了区分二进制与十进制的数，我们一般在二进制数的右下角标注2，例如 (1)类比十进制的计数原理：12306=1×104+2×103+3×102+0×10+6，把一个二进制数转化为十进制数的 (10110)2=1×24+0×23+1×22+1×2+0=22 方法为： ①将二进制数 1002转化为十进制数为 ②一个字长为7位的二进制数能表示的十进制数值的最大值为 ； (2)①把十进制数39转化为二进制数； ②把二进制数 0100)2转化为八进制数. (3)二进制的四则运算与十进制的四则运算原理相同，不同的是十进制的数位有十个数码0,1,2,3,4， 5,6,7,8,9,满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一. 二进制的四则运算口诀如下： 加法：0+0=0,0+1=11+0=11+1=(102 减法：0-0=0,1-0=，1-1=0，(10：-11（侗一数位不够减时，向商一位借1当2）. 乘法：0×0=0,1×0=0,0×1=0,1×1=1. 除法：0÷1=0,1÷1=1， 11/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 请根据以上信息和所学的竖式计算相关知识，填空： o10110%+101%=(2 ②10102-(110)，=-( )2 ®0101，×01，+01015×01)，-（方 18.请根据图1中A,B两点的位置，回答问题： B A 54321012345→ 图1 (1)分别写出它们所表示的有理数：A::B: (2)观察数轴，与点A的距离为4的点表示的数是 (3)若将数轴折叠，使得点A与表示数-2的点重合，则点B与表示数的点重合. (4)若数轴上M,N两点之间的距离为2024（点M在点N的左侧)，且M,N两点经过(3)中折叠后互相 重合，则M,N两点表示的数分别是 (⑤)《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”意思是：一根一尺长的木棍，如果每 1111 天截取它的一半，永远也取不完.如图2，求2十27+2+… 210的值. 图2 19.在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的 方法求出248 26的值. 【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图1，将一个边长为1 的正方形纸片分成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积 1.1.1. 1 的一半，第③部分是第②部分面积的一半，…，依次类推，则图1中空白部分的面积为2十4十8++2。 “位浪”小至是这样思考的：设-甘 ,1 26, 12/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 1+ 将等式两边同时乘以2得：2S=4十8 11 2627, 将上式减+下式组S=。-7,即S=1-。6=m二+++163 +。+… 26=64,即2+4+8 +25=64: ② ③ ④ ① ⑤ 图1 图2 【过程思考】 1L+t 1 (1)图1中阴影部分的面积是_，248 27=. 1111 (②)请你利用图2，再设计能求2十4+8++25的值的几何图形.（只画出图形即可） (3)根据以上规律， 111 1 ①2十4十8++2”=(n为正整数) ②2+4+8+16+…+2”=_.(n为正整数) 20.综合探究 数形结合和归纳法是解决数学问题的重要思想方法和策略. ④ ⑥ ② (5 ③ 2=3 =3 ① 3 图1 图2 探究一：如图1所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面 积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，以此类推… (1)根据图形填写下表： 13/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ① ② ③ 阴影面积 1 1 面积 4 8 11 (2)计算： 2+4+8+1 26;(请写出计算过程) 111 探究二：小华在计算3十京++…+ +3…时，类比探究一利用如图2所示的正方形模型.设正方形的面积 为1，第1次分割，把正方形的面积三等分，阴影部分的面积为3；第2次分割，把上次分割图中空白部 22 分的面积三等分，阴影部分的面积之和为3+3：第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分， 2.2.2 阴影部分的面积之和为：3+3+；… (3)第n次分割后，空白部分的面积是 111，，1 (4)由此计算3十3+3++30的值.（请写出计算过程） 111 1 (5)通过以上探究，小华得出结论：m十m+m++m m” 知识点五 含乘方有理数的混合运算的应用 21.综合与探究： 【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如 22+2,(-3到(-3)(-3)(-3)等，类比有理数的乘方，我们把2*2÷2写作2°，读作“2的图3次方”， (3)(-3):(-3)(3)写作（-3)°，读作(-3到的图4次方”. 一般地Q÷aa÷÷aa≠0写作a,读作“a的图”次方”。 n个a (1)【初步探究】直接写出计算结果：2®= 14/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理 数的除方运算也可以按如图所示的方式转化为乘法运算. 除方 2@ =2÷2÷2÷2=2x×1×1x1」 乘方 222 形式 (②)【探究应用】试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：(-3)®= 5 22.【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2， （-3)*(-3列*(-3列(-3)等，类比有理数的乘方，我们3)*(-3到*(-3列+(-3)写作(-3，读作（-3)的圈 a÷a÷a÷…÷a 4次方”，一般地把m个a (a≠0)写作。①，读作“a的圈n次方”. 【初步探究】 ()直接写出计算结果：2②= (-3)= (2)下列关于除方说法中，不正确的是()· A.任何非零数的圈2次方都等于1： B.任何非零数的圈3次方都等于它的倒数： c.（-2)>(-4) D.1和-l的圈n次方都等于它本身. 2÷2÷2,(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3) 23.规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如 等.类比有理数的乘方，我们E242÷2记作2读作“2的3次商”，（-3)列+(-3)(-3)(3》记作（-3% 读作。3的4次商”，一般地，把n个a≠0记作”读作“a的刀次商” 15/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【初步探究】 (1)直接写出计算结果： 23= (（-3)4= (2)关于除方，下列说法错误的是 （-1)n=-134=43 ①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数n, ；③ :④负数的奇数次商结果是 负数，负数的偶数次商结果是正数， 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数 的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 1)2 例如： 2,=2*22÷2=2×x5x{= 222 2: (3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式. (-3)4= 05(+母对 24.背景介绍： 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统.约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制： 即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几. 一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式.在十进制中，使用09十个数字进行记 数，基数是10.如十进制数3721表示为： 3×103+7x102+2×10'+1×10°（规定当a≠0时，a°=1）. 某兴趣小组在学完“进位制的认识与探究”后，打算对六进制数开展研究，他们规划了下列研究任务： 说明：为区分六进制数与十进制数的表示，在六进制数的右下角标记6，如六进制数3245记为 （3245)6 任务一：六进制数与十进制数的转换 (1 (204)转化为十进制数为 (2)7转化为六进制数为 任务二：六进制数的乘法和除法运算 16/25 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 他们在逢六进一的约定下，设计了“五五乘法表”（以下表中的数都为六进制数）： 1×1=1, 1×2=2,2×2=4, 1×3=3,2×3=10,3×3=13, 1×4=4,2×4=12,3×4=20,4×4=24 1×5=5,2×5=14,3×5=23,4×5=32,5×5=41. 根据乘法表，计算： (1) (52。×2:2)13。÷3。 任务三：探究六进制数的整除规律 设”位六进制数各数位上的数从最高位到个位依次为： a,aya,44(其中 an≠0，n≥2 ).试 探究该”位六进制数能被13 整除所要满足的条件，并说明理由。 25.综合与实践 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制， 也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几.为了区分不同的进位制，常在数的右下角标 明基数，十进制数一般不标注基数。 材料一：十进制数3721中的3表示3个千，7表示7个百，2表示2个十，1表示1个一，于是我们得到了 下面的式子（规定当a≠0时，a°=1）： 3721=3×103+7×102+2×10+1×10° 例如，二进制数 1011) ,转换为十进制数为：1×2+0×2+1x2+1×2°=11 材料二：将十进制数转化为二进制数可以用除2取余法，例如，将十进制数25转换为二进制数的除法算式 如图： 2 25 余数 低位 2 12 2 6 0 23 0 21 1 0 高位 17/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 将上式中各步所得的余数按照逆序排列，即可 25=(110012. 此方法可推广为把十进制数转换为k进制 数的算法（除k取余法）· 根据上述材料解答下列问题： 【任务一】 (1)十进制数13对应的二进制数为 【任务二】 (2)中国古代的十二地支，十二生辰，十二生肖等都属于十二进制的应用.十二进制使用0,1,2,3， 4,5,6,7,8,9,X,Y来记数，其中X代表10，Y代表11.请结合以上材料计算十进制数982对应的十 二进制数为 【任务三】 (3)有一种密钥破解方式，先将二进制明码数转成十进制数x后，再按以下规则获得密码：当x为奇数时， 3-x 破解公式为 2 当x为偶数时，破解公式为2x+3·试破解二进制明码(101101101)，表示的密码. 知识点六 整式的加减运算 26.“分类讨论”是解决数学问题的一种重要思想方法，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的 过程，请仔细阅读，并解答问题. 【知识背景】 当a>0时，4=a:当a=0时，4=0，当<0时，4= a b (①已知a,b是有理数，当a=-2,b=3时，求46的值： a b (2)已知ab<0,求4|b的值： 【类比探究】 (3)已知m= 3b+d+2a+d+a+0 b +。2,且a+b+e=0求m的最小值. 18/25 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 27.有这样一类题：代数式x-y+2+3x-5y的值与x的取值无关，求k的值；通常的解题方法：把x,y 看作字母，k看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式 =(k+3)x-6y+2 2,所以k+3=0,即k=-3 B S S2 图1 图2 (1)若关于x的多项式3mx+2m2-m-4x+1的值与x的取值无关，求m的值： (2)如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b,有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形 ABCD S S2 内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为°2， 当AB S1-S2 的长变化时， 的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系. 28.定义一种新运算，观察下列各式： 1⑧3=1×5+3=8： 3⑧(-1)=3×5-1=14 6⑧5=6×5+5=35： 4⑧(-3)=4×5-3=17 (I)用代数式表示a⑧b的结果为： (②)若a≠b,则a⑧b_b⑧a(填“=”或“≠”)； a)若mr-3)®(4+10x 的值与x无关，求m-2)8(2m+3) 的值 29.【知识回顾】 在学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式-y+6+3x-5y-l的值与x的取值无关，求a的值”. 通常的解题方法是：把x,y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含 19/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x项的系数为0，即原式-(a+3)r-6y+5 ,所以a+3=0,则a=-3 【理解应用】 A=2x2+5xy-7y-3B=x2-xy+2 已知代数式 4A-（3A+2B) (1)化简： (2)若A-2B的值与Y的取值无关，求x的值. 【能力提升】 (3)有7张如图1的小长方形，长为a,宽为b,按照如图2的方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大 长方形中未被覆盖的两个部分《图中阴影部分)，设有上角的阴影部分面积为8，周长为S,左下角的阴 C 影部面积为5，周长为C,设4B=, S, ①当七-10. S+S2 时，求 ②当AB的长变化时，下列代数式值不变的是( S+S B.G+C C.S-5,D.G-C B S S2 D 图1 图2 30.综合实践：某班综合实践小组开展“制作长方体形纸盒”的实践活动. 20/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ② ③ ④ ⑤ 20 20 ⑦ ⑧ 【知识准备】 (1)如图①~⑥图形中，是正方体的表面展开图的有 (只填写序号). 【制作纸盒】 (②)综合实践小组利用边长为20©m的正方形纸板，按以下两种方式制作长方体形盒子.如图⑦，先在纸板 四角剪去四个同样大小且边长为3cm的小正方形，再沿虚线折合起来，可制作一个无盖长方体形盒子.如 图⑧，先在纸板四角剪去两个同样大小边长为3cm的小正方形和两个同样大小的小长方形.再沿虚线折合 起来，可制作一个有盖的长方体形盒子.则制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的 倍。 【拓展探究】 (3)若有盖长方体形盒子的长、宽、高分别为2.5,2,1.5，将它的表面沿某些棱剪开.展成一个平面图形， ①请直接写出你剪开 条棱； ②当该长方体形盒子表面展开图的外围的周长最小时，此时该长方体形盒子表面展开图的外围的最小周长 为 知识点七 探索与表达规律 1 111111 31.观察下列各式： 81×2=1-2,2×323,3×437,. (1)请根据以上式子填空： 21/25 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 ①8x9 1 ②n(n+1） 一； (n是正整数) 1,1,1,1,1, (②)由以上几个式子及你所找到的规律计算：2+622030 9900 11,1 1 (3)计算：2×4+4×66×82024×2026· 十十 32.在学习了有理数的加减法之后，老师讲解了例题-1+2-3+4..-2017+2018的计算思路为：将两个 加数组合在一起作为一组，其和为1，共有1009组，所以结果为+1009.根据这个思路学生改编了下列问 题： (1)计算： ①1-2+3-4+..+2023-2024=_： ②1-3+5-7++2025-2027=_ (2)蚂蚁在数轴的原点O处，第一次向左爬行1个单位，第二次向左爬行2个单位，第三次向右爬行3个单 位，第四次向右爬行4个单位，第五次向左爬行5个单位，第六次向左爬行6个单位，第七次向右爬行7 个单位…按照这个规律，第2026次爬行后蚂蚁在数轴上对应的数是什么？ 33.完成以下小题 (n-1)×n 1x22x3 3×4 4×5 2 3 4 5 6 5 图1 图2 ()【发现问题】自然数的平方可以用正方形的面积表示. 观察图1，由6个正方形组成的图形，其空白部分从下到上每一层长方形的面积可以表示为： 1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,1+2+3+4+5,… AB 这样，图1中所有空白部分的面积之和为一，粗线上方 阴影部分面积是空白部分面积的一倍：像这样，如果有8个正方形，那么空白部分的面积之和为 (2)【解决问题】如图2，粗线AB上方的阴影图形和空白图形的面积和为一·（结果用含的代数式表 示)·根据图2中粗线AB上方的阴影部分与空白部分的面积之间的关系，试推导：1？+2+32++n2. 22125 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (结果用含n的代数式表示) 1×2+2×3+…+2025×2026 (3)【拓展应用】根据以上发现，计算：12+22+32++20262 34.《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”意思是说：一尺长的木棍，每天被截掉一半， 永远也截不完.我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，探究课上，同学们运用此数学思想 研究下列问题.“聪慧组”的同学将一个边长为1的正方形纸片分割成若干个部分，并用数形结合的思想 解决下列问题： (①)请按照“聪慧组”同学的思路填空： 24 1+1+1=1- 2482 1111 =1- 24816 1111 1 猜想：24816 ++ 2n =1- (2)为了证明“聪慧组”同学得到的结论，“明辨组”的同学采用了以下方法进行证明，请将证明过程补充 完整. 2 2 14 1 1 4 16 + 2 测2s=26+ 24816 即2S=2x)+2x+2x+2x 1 1 2 4 8 +…+2x2 16 1,1.1.1 化简得2S=1+号+++ 24816 20 4 8 23/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即S= (3)通过阅读，你一定学到了多种解决问题的方法. 111 ①计算2可+2西+2西++20的值， 2,2,2,, ②请选择“聪慧组”的作图法或“明辨组”的代数法进行计算：了十子+分+ 3.（只选一种解法，若 选择作图，请标注出各部分图形的面积，下图是边长为1的正方形) 期紧下列高南1片4 1 -+5+=1--3 将以上三个等式两边分别相加得：x2个2女3+3女4=122334 144 1 111 1 归纳猜想计算：n(n+) 1x2+2x3+3x4+.…+n+可 利用上述结论，解决以下问题： (1)初步应用 1 ①把6拆成两个分子为1的真分数之差，即6一： 6+22 2 2 ②1×22x33×4 +.+ 9×10 ②深入探究：定义“◆”是一种新的运算，若12=)3=t+.◆4=+++1 26’2 61220,4 20304256, 则3◆9计算的结果是 (3)拓展延伸 0 第一次用一条直径将圆周分成两个半圆（如图），在每个分点标上质数飞，记2个数的和为；第二次将 24125 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 两个半圆都分成4圆，在新产生的分点标上相邻的己标的两数和的)，记4个数的和为4，：第三次将四个 1 4圆分成8圆，在新产生的分点标上相邻的已标的两个数的和的3，记8个数的和为a,:第四次将八个8 圆分成16圆，在新产生的分点标上相邻的己标的两个数的和的4，记16个数的和为a,如此进行了n 次 ①a”= (用含k、n的代数式表示)； 您。=四袋安女女的点 1 25/25 期中复习压轴专题02 解答题分类训练 （新苏科版七年级，7种类型35道） 范围：第1章—第3章 知识点一 绝对值的几何意义 1．同学们都知道，表示与的差的绝对值，实际上也可理解为在数轴上正数对应的点与负数对应的点之间的距离，试探索： (1) ______；如果，则______． (2)求的最小值，并求此时的取值范围； (3)由以上探索及猜想，计算的最小值． 【答案】(1)3，3或； (2)当时，的值有最小值，最小值为2； (3)最小值为． 【分析】本题考查了绝对值，读懂题目信息，理解绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据绝对值的意义直接计算即可； （2）把理解为：在数轴上表示到和的距离之和，根据两点间的距离公式，点在线段上，则有最小值，从而得结论； （3）观察已知条件可以发现，表示到的距离，要使题中式子取得最小值，则应该找出与最小数和最大数距离相等的的值，此时式子得出的值则为最小值． 【详解】（1）解：， ， 或， 或， 故答案为：，或； （2）解：理解为：在数轴上表示到与的距离之和， 当在与之间的线段上（即）时，有最小值，最小值为，此时的取值范围为：； （3）解：由已知条件可知，表示到的距离，原式代表到，2，3，，2018共2018个点的距离之和， 当时，式子取得最小值． 取， 此时， ． 即最小值为． 2．阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数轴上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则，两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题： (1)与3的距离是_________； (2)式子的最小值是多少？ (3)应用：某一直线沿街有2014户居民（相邻两户居民间隔相同）：，，，，，，某餐饮公司想为这2014户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在_________，才能使这2014户居民到点的距离总和最小． 【答案】(1)5 (2)5 (3)到之间（包括，两点） 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离、绝对值的几何意义，解题的关键是采用数形结合的思想． （1）根据题意，直接列式计算即可； （2）根据的几何意义是数轴上表示有理数x的点到及到3的距离之和，即可得到答案； （3）当有两户居民，时，可知，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这2户居民到点P的距离总和最小．当有四户居民，，，时，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这4户居民到点P的距离总和最小．依次类推，即可得出答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：5． （2）解：∵的几何意义是数轴上表示有理数x的点到及到3的距离之和， 数轴如下， ∴当时，式子取得最小值，最小值为． （3）解：当有两户居民，时，可知，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这2户居民到点P的距离总和最小． 当有四户居民，，，时，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这4户居民到点P的距离总和最小． 那么由题意可知，2014户居民，，，，，中， 点P选在到之间（包括，两点），才能使这2014户居民到点P的距离总和最小． 故答案为：到之间（包括，两点）． 3．【背景知识】数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记作，如数轴上表示数的点与表示数的点的距离为，表示数轴上表示数的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数的点的距离．根据以上材料回答下列问题： (1)【初步应用】 ①数轴上表示数的点与表示数的点的距离为________； ②若，则________； (2)找出满足的的所有值是________． (3)【深入探究】求的最小值，以下是小明的解答过程： 解：记点，，分别表示数，，，点、点的距离，点、点的距离．当点在点的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即．当点在线段上，即时，如图②，此时．即，当点在点的右边时，即时，如图③，此时，．∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为． 请根据小明的解答过程，完成下列问题：求式子的最小值． 【答案】(1)①；②或； (2)， (3) 【分析】（1）①利用数轴两点距离公式，代入数字直接计算．②根据绝对值的定义，去掉绝对值符号得到两个一元一次方程，求解 （2）表示数轴上到和两点距离之和，分，，三段讨论，列方程求解． （3）参照题干示例，记点表示，表示，表示，表示；式子表示．分四段：、、、分别分析距离之和大小，找到最小值． 【详解】（1）解：①； ②， 或， 或； （2）解：当时，， 解得； 当时，， ，不成立，故此时无解； 当时，， 解得； 满足的的所有值是，． （3）解：记点、、、分别表示数，，，， ，，，，，， 当时，如图， 此时，，， ∴，即； 当时，如图， 此时，，， ∴，即； 当时，如图， 此时，，，， ∴，即， 当时，如图， 此时，，， ∴，即， 当时，如图， 此时，，， ∴，即； 当时，有最小值，最小值为． 4．探索材料1： （1）数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于，例如数轴上表示数2和5的两点距离为_____，数轴上表示数3和的两点距离为_____；则的意义可理解为数轴上表示数_____这两点的距离； 探索材料2： （2）①如图1、在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在何处才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？在图中画出一个满足条件的点即可． ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在何处才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？在图中画出满足条件的点即可． ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在何处才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小？在图中画出一个满足条件的点即可． 结论应用(填空)： （3）①代数式的最小值是______，此时x的所有整数值是______； ②代数式的最小值是______，此时x的值为______； ③代数式的最小值是______，此时x的所有整数值是______． 【答案】（1）3，4，x，； （2）探索材料2（填空）： ①如图： 则当材料供应点P应设在A与B之间，P到A的距离与P到B的距离之和最小为； ②材料供应点P应设在B处时，P到A，B，C三点的距离之和为最小； ③材料供应点P应设在之间，才能使P到A，B，C，D四点的距离之和为最小， 故答案为：①A与B之间；②B处；③之间． （3）①1；3、4；②8，；③16；1、2、3、4． 【分析】本题主要考查数轴上两点间的距离的意义、绝对值化简等知识点，灵活运用数形结合思想求最小的距离之和是解决本题的关键． （1）根据两点间的距离以及绝对值的意义求解即可； （2）①通过观察，比较可得点P设在A与B之间时，可P到A的距离与P到B的距离之和最小，为线段长即可；②通过观察，比较可得点P应设在B处时，P到A，B，C三点的距离之和最小，为线段的长；③通过观察，比较可得点P应设在之间，才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小，为的长； （3）①结合（2）中的①，可得最小距离为3和4之间的距离；②结合（2）中的②，可得最小距离为和2之间的距离；③结合（2）中的③，可得最小距离为和6与1和4的距离之和． 【详解】解：（1）探索材料1（填空）： ，， 的意义可理解为数轴上表示数x和这两点的距离． 故答案为：3，4，x，． （2） 略 （3）结论应用（填空）： ①代数式表示x到3的距离与x到4的距离之和， ∴的最小值是，所有x的整数值为3、4． 故答案为：1；3、4； ②代数式表示x到的距离与x到与x到2的距离之和， ∴的最小值是，此时x的值为． 故答案为：8，； ③代数式表示x到的距离与x到4与x到1与x到6的距离之和， ∴最小值是．此时x的所有整数值是1到4之间的整数，即1、2、3、4． 故答案为：；1、2、3、4． 5．【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 （1）①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 （2）求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边时，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 【解决问题】 （3）某公司办公楼有6层，公司要召开会议，从1层到6层每层参会人数分别为1，2，1，2，3，3．由于电梯出了故障，要使所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和最短，请你直接写出会议地点应设在第几层？ 【答案】（1）①5；②2或8；（2）5；（3）会议地点应设在第4或5层 【分析】本题主要考查有理数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的几何意义是解题的关键． （1）①直接利用A、B两点间的距离公式进行计算即可得到答案； ②根据绝对值几何意义解答即可； （2）根据绝对值几何意义分类讨论即可； （3）将所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和转化为绝对值的表示形式，再利用绝对值的几何意义解答即可． 【详解】解：（1）①由条件可知距离是． 故答案为：5． ②表示数轴上表示a的点到5的距离为3， ∴或， 解得：或， 故答案为：8或2． （2）记点P，A，B，C分别表示数x，，，2，点P、点A的距离，点P、点B的距离，点P、点C的距离． 当点P在点A的左边，即时，此时，，． ∴，即； 当点P与点A重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点B重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点C重合时，，即； 当点P在点C的右边时，即时，此时，，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 故答案为：5． （3）设会议地点应设在第x层， 由题意可得所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和为， 可以拆分为，即x到这个数的距离和最小，这个数正中间的两个数为4和5， ∴当时，有最小， 又∵x为正整数， ∴当或时有最小． 故答案为：会议地点应设在第4或5层． 知识点二 有理数加减的应用 6．“无人机协同”需按数轴模拟轨迹完成连贯任务：以数轴原点O为指挥中心，A站（对应数）、B站（对应数4）为任务补给点： (1)无人机M作为先导机，从数轴原点O出发，第1次沿正方向飞行5个单位，第2次沿负方向飞行10个单位……每次飞行单位数比前一次多5且方向交替变化，第5次飞行结束后无人机M在数轴上的位置为校准位置，求校准位置在数轴上对应的数． (2)无人机N从校准位置出发，先以每秒2个单位的速度沿正方向飞行t秒，再以每秒3个单位的速度沿负方向飞行2t秒，最终需抵达“到A站距离是到B站距离2倍”的位置，求t的值． (3)无人机M从校准位置出发，先以每秒2个单位的速度沿负方向飞行s秒，再以每秒3个单位的速度继续沿负方向飞行；同时，无人机P从原点出发，速度始终为每秒2个单位，先沿负方向飞行s秒，若此时P与A站的距离不超过3个单位，则转向沿正方向飞行，否则继续保持负方向飞行．当飞行总时长为秒时，M与P的距离恰好为5个单位，求所有可能的s值（）． 【答案】(1)15 (2)或 (3)；；； 【分析】本题考查的是数轴上的动点问题，涉及数轴上的点的表示、两点间的距离及一元一次方程的应用， （1）由题意列式计算即可； （2）表示出无人机N在数轴上对应的数是，再根据题意分情况列方程解决即可； （3）先求出无人机M在数轴上对应的数是，再分情况：当或当时，分别求出，再根据M与P的距离恰好为5个单位列方程解决即可． 【详解】（1）解：， 则校准位置在数轴上对应的数是15； （2）解：∵校准位置在数轴上对应的数是15，无人机N从校准位置出发，先以每秒2个单位的速度沿正方向飞行t秒，再以每秒3个单位的速度沿负方向飞行2t秒， ∴此时无人机N在数轴上对应的数是， ∵无人机N到A站距离是到B站距离2倍， ∴当无人机N在点B右侧时，， 解得：； 当无人机N在点之间时，， 解得：； 综上所述，或； （3）解：由题意得：当飞行总时长为秒时，无人机M在数轴上对应的数是； 无人机P沿负方向飞行s秒时在数轴上对应的数是， 此时， ①当时，即， 解得：， ∴飞行总时长为秒时，无人机P在数轴上对应的数是， ， ∵M与P的距离恰好为5个单位， ， 解得：或； ②当时，即， 解得：或， ∴飞行总时长为秒时，无人机P在数轴上对应的数是， ， ∵M与P的距离恰好为5个单位， ， 解得：或； 综上所述，或或或． 7．钟表中蕴含着有趣的数学运算，不用负数也可以作减法．例如现在是10时，4小时以后是几时？虽然，但在表盘中看到的是2时．如果用符号“⊕”表示钟表上的加法，则．若问3时之前5小时是几时，就得到钟表上的减法概念，用符号“⊖”表示钟表上的减法．（注：此处用0时代替12时．） 根据材料解决下列问题： (1)______，______． (2)在有理数运算中相加得0的两个数互为相反数．如果在钟表运算中沿用这个概念，那么5的相反数是______．有理数减法法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”，在钟表运算中是否仍然成立，你能举例说明吗？ (3)规定在钟表运算中也有，对于钟表上的任意数字a，b，c，若，判断是否一定成立．若一定成立，请说明理由；若不一定成立，请举出反例并加以说明． 【答案】(1)5；10 (2)7；有理数减法法则在钟表运算中仍然成立， 如：，钟表运算中5的相反数是7， ， 所以； (3) 解：不一定成立， 如：钟表运算中，， 但，， 所以． 【分析】本题主要考查有理数运算的应用，解题的关键是理解“⊕”“⊖”表示的意义． （1）根据钟表的定义及钟表上的加减法定义即可求解； （2）根据钟表运算中相反数的定义即可求解； （3）根据钟表运算的定义举出反例即可验证． 【详解】（1）解：，， 故答案为：5，10； （2）解：， 所以在钟表运算中沿用这个概念，那么5的相反数是7； （3）略 8．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）．三阶幻方又名九宫格，是一种将数字（1至9，数字不重复使用）安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等． (1)根据“洛书”中表达的意思，______，______； (2)改变图2幻方中数字的位置，可以得到一个新的三阶幻方（如图3），则______，______，______； (3)如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．将这12个数填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点处“〇”中的数的和都为2．则______，______． 【答案】(1)9，3 (2)6，5，4 (3)；或 【分析】本题考查的是有理数的加减法，注重考查学生的思维能力和运算能力． （1）第3行上的数字和等于，因此，； （2）根据第（1）问，每行、列和对角线上的数字和都等于15，、、即可求得； （3）因为每个正方形的4个顶点处“〇”中的数的和都为2，易得；将中间的正方形的未知顶点设为，则；从而得到或． 【详解】（1）解：（1）第3行上的数字和等于， 因此，, 故答案为：9，3； （2）解：根据题意，每行、列和对角线上的数字和都等于15， 因此，，， 故答案为：6，5，4； （3）解：根据题意，，解得； 将中间的正方形的未知顶点设为，则，解得； 因此或， 故答案为：；或． 9．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换    (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是______． A、    B、 C、    D、 ②一机器人从原点开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，，依此规律跳，当它跳2023次时，落在数轴上的点表示的数是______． (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示2023的点与表示______的点重合； ②若数轴上两点之间的距离为2024（在的左侧，且折痕与①折痕相同），且两点经折叠后重合，则点表示______，点表示______． (3)一条数轴上有点，其中点表示的数分别是、8，现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在数轴上，并且，求点表示的数． 【答案】(1)①D；② (2)①；②，1013 (3)点表示的数或 【分析】（1）①读懂题意，根据移动过程列式计算即可；②读懂题意，根据跳动过程列算式，在算式中发现规律，利用规律计算即可； （2）①先通过折叠重叠在一起的两个数，确定折叠的中心点对应的数，再找到与表示2023的点重合的点即可；②根据①可得出折痕处表示的数为1，再根据两点之间的距离进行计算即可得到答案； （3）分两种情况：当点在的左侧时；当点在的右侧时；分别进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：①根据移动过程得：， 故选：D； ②向左为，向右为， 机器人跳动过程可以用算式表示为： ， 当它跳2023次时，落在数轴上的点表示的数是：， 故答案为：； （2）解：①表示的点与表示3的点重合， 折痕处的点表示的数为， 与表示2023的点重合的点为：， 表示2023的点与表示的点重合， 故答案为：； ②由①得折痕处的点表示的数为1， 数轴上两点之间的距离为2024，且两点经折叠后重合， 两点到1的距离都是， 点表示，点表示， 故答案为：，1013； （3）解：当点在的左侧时， ，点表示的数为8， 表示的数为， 以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在数轴上， 点表示的数为：， 当点在的右侧时， ，点表示的数为8， 表示的数为， 以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在数轴上， 点表示的数为：， 综上所述：点表示的数或． 【点睛】本题主要考查了数轴，折叠与对称，有理数的加减运算，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 10．如图，在一张纸上画出一条水平的数轴，在数轴上放置一枚黑棋、一枚白棋，黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是，5，甲、乙两人做沿数轴移动棋子的游戏（甲移动黑棋，乙移动白棋）． 两人先同时出示“石头、剪刀、布”三种手势中的一种，再根据获胜或平局的结果进行移动（石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头；若手势相同，则结果为平局），移动规则如下： ①若甲赢，则甲将黑棋向右移动2个单位长度，同时乙将白棋向右移动1个单位长度； ②若乙赢，则甲将黑棋向左移动1个单位长度，同时乙将白棋向左移动2个单位长度； ③若平局，则甲将黑棋向右移动1个单位长度，同时乙将白棋向左移动1个单位长度． 前四局的部分情况如下表所示． 局次 第一局 第二局 第三局 第四局 甲的手势 石头 剪刀 布 布 乙的手势 石头 布 石头 (1)从起始位置开始，第一局后黑棋所对应的数是_____，白棋在数轴上的位置所对应的数是_____； (2)规定每局结束时，若黑棋的位置离原点更近，则甲获胜，若白棋的位置离原点更近，则乙获胜，那么第三局结束时获胜的是谁？请说明理由． (3)若第四局结束后，黑棋和白棋在数轴上的位置相距5个单位长度，请通过分析回答：乙第四局的手势是什么？ 【答案】(1)，4 (2)第三局结束时获胜的是甲，此时黑棋在数轴上的位置所对应的数是0． (3)石头或剪刀 【分析】本题主要考查了数轴上表示有理数、数轴上动点问题，有理数的加减的应用等知识点，理解题意、灵活运用数形结合思想是解题的关键． （1）根据移动规则，向右移动则运用加法，向左移动则运用减法，计算即可解答； （2）根据移动规则，向右移动则运用加法，向左移动则运用减法，计算第二、三局，黑棋对应点数即可求解； （3）由（2）可得第三局结束时，黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是0，6；然后分甲赢、乙赢、平局三种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是，5，第一局是平局， ∴， ∴第一局后黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别为和4． 故答案为：，4． （2）解：∵第一局结束时黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是，4，第二局是甲赢， ∴，， ∵第二局结束时黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是，5，第三局是甲赢， ∴， 答：第三局结束时获胜的是甲，此时黑棋在数轴上的位置所对应的数是0． （3）解：由（2）可得，第三局结束时，黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是0，6， ∵黑棋和白棋在数轴上的位置相距5个单位长度， ①若甲赢（甲出布，乙出石头），则黑棋表示的数2，白棋表示的数7，则，符合题意；即乙出石头； ②若乙赢（甲出布，乙出剪刀），则黑棋表示的数，白棋表示的数4，则，符合题意；即乙出剪刀； ③若平局（甲出布，乙出布），则黑棋表示的数1，白棋表示的数5，则，不符合题意． 综上，乙第四局的手势是石头或剪刀． 知识点三 数轴上的动点问题 11．七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴”：素材1如图，将一条数轴在原点，点，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示12，点表示24，点表示36，点与点在数轴上的距离为45个单位长度，并表示为． 素材2动点从点出发，以2个单位长度／秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的两倍．经过点后立刻恢复初始速度． 问题解决： (1)探索1：动点从点运动至点需要多少时间？ (2)探索2：动点从点出发，运动18秒至点和点之间时，求点表示的数？ (3)探索3：动点从点出发，运动至点的过程中某个时刻满足时，求动点运动的时间． 【答案】(1)秒 (2)表示的数为18 (3)动点运动的时间为秒或秒 【分析】（1）首先求出，，然后根据点P在段和段的速度求解即可； （2）求出，然后结合点B表示的数求解即可； （3）设秒后，根据题意分三种情况讨论，分别列式求解即可． 【详解】（1）解：点表示，点表示， ∴，， 在段初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的一半， ∴在段速度为个单位长度/秒， ∴从点运动至点的时间为：（秒）； （2）解：∵的初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的两倍， ∴在段速度为个单位长度/秒， 由（1）可得：在段运动时间为：（秒）， ∴， 点表示， ∴表示的数为：； （3）解：设秒后， ①当在上时， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴（秒）； ②当在上时， ， ∴， ， ∴， ∴（秒）， ③当在上时， 此时不可能等于16，不符合题意舍去． 综上：动点运动的时间为秒或秒． 12．如图，数轴上，点与点对应的数分别是，将一根质地均匀的直尺放在数轴上（点在点的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当点移动到点的位置时，点与点重合，当点移动到点的位置时，点与点重合． (1)直尺的长为__________个单位长度； (2)若直尺在数轴上，且满足点与点的距离等于点与点距离的倍时，求此时点对应的数； (3)当点对应的数为时，作为起始位置，直尺以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度也沿数轴向右运动，设运动时间为秒． ①若、、三点恰好在同一时刻重合，求的值； ②当时，、、三个点中恰好有一个点到另外两点的距离相等，若点不与点、重合，请直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1) (2)或 (3)①；②或或 【分析】（）根据题意可得，进而即可求解； （）分点在上和点的左侧两种情况解答即可求解； （）①求出、、三点重合的时间，再表示出点在数轴上对应的数，进而列出方程解答即可求解；②当时，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，再分点是两点中点，点是两点中点，点是两点中点三种情况解答即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴或， ∵， ∴或， ∴点对应的数是或， 即点对应的数是或； （3）解：①当点对应的数为时，点运动前表示的数是， ∵直尺以个单位秒的速度沿数轴匀速向右运动， ∴两点重合时秒， ∵点从点出发，以个单位秒的速度也沿数轴匀速向右移动， ∴点在数轴上对应的数为， 若三点恰好在同一时刻重合，则， 解得； ②当时，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，点对应的数为， 当点是两点中点时，则， 解得； 当点是两点中点时，则， 解得； 当点是两点中点时，则， 解得； 综上，的值为或或． 13．如图所示，在数轴上点表示的数分别为，，，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为 (1)则______，______，______； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点、点分别以每秒个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动秒后，点与点之间的距离为多少？用含t的代数式表示 ②的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变；请求其值； (3)由第（1）小题可以发现，三条线段的长度之间满足的数量关系．若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，三条线段的长度之间又存在怎样的数量关系，请直接写出答案． 【答案】(1) (2)①；②不变；值为 (3)当时，，当时，，当时， 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题： （1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）①由点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒2个单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，再根据两点间的距离公式即可得到答案； ②由点以每秒单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，从而得到，再计算出，即可得到答案； （3）分别表示出的长度，然后分情况讨论得出之间的关系，即可得到答案． 【详解】（1）解：在数轴上点表示的数分别为，，， ，，， 故答案为：； （2）①点以每秒个单位长度的速度向左运动，点以每秒个单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：， 点与点之间的距离为：； ②点以每秒单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：， ， ， 的值不会随着时间的变化而改变； （3）点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：，点表示的数为：， ，，， 当时，， 当时，， 当时，， 随着运动时间的变化，之间存在类似于（1）的数量关系． 14．阅读以下材料解决问题，如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是3，若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“5格距点”． (1)若点表示的数是0，则的值为____________； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“5格距点”，则这样的整点对应的点的值分别是____________； (3)若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的3倍，且此时点为点、的“格距点”，求点表示的数及的值． 【答案】(1)5 (2)，，0，1，2，3； (3)点P表示的数为： ，此时；点P表示的数为：，此时 【分析】本题考查了新定义，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，理解题意，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由题意可求出点到点的距离与点到点的距离之和为5，即可求解； （2）根据题意可得出，即说明点在线段上，从而得出整点所表示的数即可； （3）分两种情况讨论，当在之间时和当在点的左边时，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵点P表示的数为0， ∴点P到点A距离与点P到点B的距离之和为， ∴点P为点A、B的“5格距点”， ∴ ， 故答案为：5； （2）∵整点P为点A、B的“5格距点”， ∴ ，即P在线段上， ∴整点P所表示的数是，，0，1，2，3， 故答案为：，，0，1，2，3； （3）①当P在之间时，， ∵点到点的距离等于点到点的距离的3倍， ∴， ，点P表示的数为：，此时； ②当P在点A左边时，，， 点P表示的数为：，此时． 综上所述，点P表示的数为： ，此时；点P表示的数为：，此时． 15．已知数轴上有不重合的三个点，点表示的数为，点与点到原点的距离相等，点在原点的左侧，且到点的距离为7． (1)求点表示的数． (2)假设动点分别从点同时出发，动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒1个单位长度，当动点与动点距离为1个单位长度时，设运动时间为，求： ①动点与动点应同时向______（填“左”或“右”）运动； ②动点与动点相遇前的时间及此时动点表示的数； ③动点与动点相遇后的时间及此时动点表示的数． (3)在数轴上，有一个动点，从点出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点出发向左运动1个单位长度到点，第二次从点向右运动2个单位长度到点，第三次从点向左运动3个单位长度到点，第四次从点向右运动4个单位长度到点……按照此规律不断地左右运动，当第2025次运动到点时，请直接写出点所对应的数． 【答案】(1)B表示的数为：5；C表示的数为 (2)①左；②6秒，此时点M表示的数为；③8秒，此时点M表示的数为； (3) 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，用数轴表示有理数，有理数的四则运算： （1）根据数轴上两点距离计算公式得到点到原点的距离为，再由点A和点B不重合，点B表示的数为5，再用点B表示的数减去点C到点的距离即可求出点C表示的数，最后在数轴上表示出点A，点B，点C即可； （2）①设运动时间为t，由于，且点M的运动速度大于点N的运动速度，故只有当M、N同时向左运动时，动点M与动点N的距离才可能为1个单位长度；②二者相遇前运动距离为，再算出时间进而可求出M表示的数；③二者相遇后运动距离为，再算出时间进而可求出M表示的数； （3）根据题意可得动点P每相邻的两次运动相当于向右移动1个单位长度，据此求出2024次运动后点P表示的数，再由第2025次点P是向左运动2025个单位长度进行求解即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，点与点到原点的距离相等， ∴点到原点的距离为， ∵点A和点B不重合， ∴点B表示的数为5， ∵点在原点的左侧，且到点的距离为7， ∴点C表示的数为， （2）解：①设运动时间为t， ∵，且点M的运动速度大于点N的运动速度， ∴只有当M、N同时向左运动时，动点M与动点N的距离才可能为1个单位长度， 故答案为：左 ②当M、N相遇前二者相距1个单位长度时，则，此时点M表示的数为； ③当M、N相遇后二者相距1个单位长度时，则，此时点M表示的数为； （3）解：有一个动点，从点出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点出发向左运动1个单位长度到点，第二次从向右运动2个单位长度到点，第三次从向左运动3个单位长度到点，第四次从向右运动4个单位长度到点……， ∴动点P每相邻的两次运动相当于向右移动1个单位长度， ∴第2024次运动后点P向右运动个单位长度，即此时点P表示的数为， ∵第2025次点P是向左运动2025个单位长度， ∴表示的数为． 知识点四 乘方的应用 16．利用图形来表示数量或数量关系，也可以利用数量或数量关系来描述图形特征或图形之间的关系，这种思想方法称为数形结合．我们刚学过的《从面积到乘法公式》就很好地体现了这一思想方法，你能利用数形结合的思想解决下列问题吗？ (1)如图①，一个边长为1的正方形，依次取正方形的，，，…，，根据图示我们可以知道： 第一次取走后还剩，即； 前两次取走后还剩，即； 前三次取走后还剩，即；…， 前n次取走后，还剩______，即______． (2)如图②，一个边长为1的正方形，依次取剩余部分的，根据图示计算：； (3)求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了图形类变化规律问题，乘方的应用，数形结合思想， 对于（1），根据前三次变化规律可得答案； 对于（2），仿照（1）分别求出第n次截取后剩余，再用总数1减去剩余可得答案； 对于（3），仿照（2）解答即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：∵第1次截取后剩余， 第2次截取后剩余， 第3次截取后剩余， …， 第n次截取后剩余， ∴； （3）解：如图 ∵第1次截取后剩余， 第2次截取后剩余， 第3次截取后剩余， …， 第n次截取后剩余， ∴． 17．当前计算机常用的数据形式是二进制，二进制数与十进制数之间的转化问题、二进制数的计算问题十分常见．为了区分二进制与十进制的数，我们一般在二进制数的右下角标注2，例如． (1)类比十进制的计数原理：，把一个二进制数转化为十进制数的方法为： ①将二进制数转化为十进制数为________； ②一个字长为7位的二进制数能表示的十进制数值的最大值为________； (2)①把十进制数39转化为二进制数； ②把二进制数转化为八进制数． (3)二进制的四则运算与十进制的四则运算原理相同，不同的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一． 二进制的四则运算口诀如下： 加法：，，，． 减法：，，，（同一数位不够减时，向高一位借1当2）． 乘法：，，，． 除法：，． 请根据以上信息和所学的竖式计算相关知识，填空： ①； ②； ③． 【答案】(1)①25；②127 (2)①；② (3)①100011；②10111；③11010100 【分析】本题考查了乘方的应用，二进制与十进制之间的转化问题，理解它们的表示方法及其转化原理是解本题的关键． （1）①根据题意将二进制数转化为十进制数即可；②先理解一个7位的二进制数，每一位可以是0或1，最大值出现在所有位都是1时．最大值为，再将其转化为十进制即可； （2）①先将十进制数的每一位写成的幂次方的和的形式，再从左到右写出每一位数字即可；②先将二进制数转化为十进制数，再将十进制数转化为八进制数即可； （3）根据二进制的四则运算法则计算即可求解． 【详解】（1）解：①； ②一个字长为7位的二进制数最大值为， ； 一个字长为7位的二进制数能表示的十进制数值的最大值为127； 故答案为：①25；②127； （2）解：①， 把十进制数39转化为二进制数为； ②二进制数转化为十进制数为 ， ， 十进制89写成8进制为， 即二进制数转化为八进制数为． （3）解：①； ②； ③ ． 故答案为：①100011；②10111；③11010100． 18．请根据图1中A，B两点的位置，回答问题： (1)分别写出它们所表示的有理数：A：______；B：______ (2)观察数轴，与点A的距离为4的点表示的数是______． (3)若将数轴折叠，使得点A与表示数的点重合，则点B与表示数______的点重合． (4)若数轴上M，N两点之间的距离为2024（点M在点N的左侧），且M，N两点经过（3）中折叠后互相重合，则M，N两点表示的数分别是______、______． (5)《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是：一根一尺长的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完．如图2，求的值． 【答案】(1)1， (2)5或 (3)1.5 (4)， (5) 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，图形类规律探究，一元一次方程的应用，数形结合是解答本题的关键． （1）根据点在数轴位置写出即可； （2）有两种情况，在点A的左侧或在点A的右侧； （3）先找出折合点的对应的数，然后再利用数轴上两点间距离计算即可； （4）直接利用数轴上两点间距离计算即可； （5）根据图形找规律找规律，然后进行计算． 【详解】（1）解：点A表示的数是：1，点，B表示的数是：． 故答案为：1，； （2）∵， ∴点A的距离为4的点表示的数是：5或． 故答案为：5或； （3）∵点A点与表示的点重合， ∴， ∴折合点表示的数是：， 设与点B重合的点表示的数为x，由题意得， ， ∴， ∴点B点与数1.5表示的点重合． 故答案为：1.5； （4）∵， ， ， 又∵M在N的左侧 ∴M，N两点表示的数分别是，； （5）根据图形可知，． 19．在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，，依次类推，则图1中空白部分的面积为． “破浪”小组是这样思考的：设， 将等式两边同时乘以得：， 将上式减去下式得，即，即． 【过程思考】 (1)图1中阴影部分的面积是 ，= ． (2)请你利用图2，再设计能求的值的几何图形．（只画出图形即可） (3)根据以上规律， ① ．（为正整数） ② ．（为正整数） 【答案】(1)， (2)如图所示（标序号部分）即为所求： (3)①；② 【分析】（1）阴影部分的面积等于部分⑥的面积； （2）依照题目的示范作图即可； （3）①利用数形结合的思想，用整个正方形的面积减去阴影部分的面积即可确定答案；②利用整体思想，令将等式两边同时乘以得：，两式子相减，即可得出答案． 【详解】（1）由题知， 正方形每次被分割的部分是前一部分面积的一半， 所以图中阴影部分的面积与部分⑥的面积相等． 又因为部分①的面积为：， 部分②的面积为：， 部分③的面积为：， …， 依次类图，部分n的面积为． 当时， ． 所以阴影部分的面积为． ∵， ∴． 故答案为：；． （2）如图所示（标序号部分）即为：求的值的几何图形 （3）①根据（2）中的发现可知， ． 故答案为：． ②令 将等式两边同时乘以得：， 将②式减去①式得，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查图形变化的规律，数形结合思想以及整体思想的巧妙运用是解题的关键． 20．综合探究 数形结合和归纳法是解决数学问题的重要思想方法和策略． 探究一：如图1所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，以此类推… （1）根据图形填写下表： ① ② ③ 阴影面积 面积 （2）计算：；(请写出计算过程) 探究二：小华在计算时，类比探究一利用如图2所示的正方形模型．设正方形的面积为1，第1次分割，把正方形的面积三等分，阴影部分的面积为；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为；；… （3）第次分割后，空白部分的面积是___________； （4）由此计算的值．(请写出计算过程) （5）通过以上探究，小华得出结论：___________． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 【分析】本题考查了有理数的乘方、图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）根据图1分别求出部分①⑥的面积，再根据阴影部分的面积等于部分⑥的面积即可得； （2）将转化为，再去括号，计算即可得； （3）根据第次分割后，空白部分的面积归纳类推出一般规律，由此即可得； （4）根据①中的规律求出，再将所求出式子的转化为，代入计算即可； （5）类比前面的方法，推导式子的结果． 【详解】（1）解：观察图形可知：部分①的面积为， 部分②的面积为， 部分③的面积为， 阴影部分的面积是， 故答案为：； （2）解：根据图形规律可得：； （3）解：根据题意：设正方形的面积为1，第1次分割，把正方形的面积三等分， 阴影部分的面积为，空白部分面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分， 阴影部分的面积之和为，空白部分面积为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分， 阴影部分的面积之和为，空白部分面积为， 则第n次分割后，阴影部分的面积和为，空白部分的面积是， 故答案为：； （4）解：根据第n次分割阴影部分的面积和为，空白部分的面积是， ，两边同除以2，得算． （5）解：根据（4）可得 ． 故答案为：． 知识点五 含乘方有理数的混合运算的应用 21．综合与探究： 【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”． 一般地写作，读作“的圈次方”． (1)【初步探究】直接写出计算结果：_______；_______． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理数的除方运算也可以按如图所示的方式转化为乘法运算． (2)【探究应用】试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：______，______； (3)算一算：． 【答案】(1)； (2)， (3)0 【分析】（1）根据题目中的例子计算即可得解； （2）根据题目中的例子计算即可得解； （3）先求出、、，再结合有理数的运算法则计算即可得解． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ， ； （3）解：，， 原式 ． 22．【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们写作，读作“的圈4次方”，一般地把（）写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______；______； (2)下列关于除方说法中，不正确的是（ ）． A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； C． D．1和的圈n次方都等于它本身． (3)算一算： 【答案】(1)1， (2)D (3)12 【详解】（1）解：由题意可得：； （2）A．任何非零数的圈2次方都等于1，，故正确； B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，，故正确； C．，，且，则，故正确； D．，或1，故错误；故选D； （3） 23．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作读作“2的3次商”，记作，读作“的4次商”，一般地，把n个记作读作“a的n次商”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______，______； (2)关于除方，下列说法错误的是______； ①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数n，；③；④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：； (3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式． ______；______； (4)求． 【答案】(1)，； (2)②③； (3)； (4)． 【分析】（1）根据新定义直接计算即可求解； （2）理解除方运算，利用除方运算的法则和意义解决初步探究，通过除方的法则，把深入思考的除方写成幂的形式，即可求解； （3）根据法则计算即可求解； （4）根据法则结合有理数的混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：①任何非零数的2次商都等于1，故①正确； ②对于任何正整数，当为奇数时，，当为偶数时，，故②不正确； ③， ∴故③不正确； ④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，故④正确； （3）解：， ； （4）解： ． 24．背景介绍： 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．在十进制中，使用0-9十个数字进行记数，基数是10．如十进制数3721表示为： （规定当时，）． 某兴趣小组在学完“进位制的认识与探究”后，打算对六进制数开展研究，他们规划了下列研究任务： 说明：为区分六进制数与十进制数的表示，在六进制数的右下角标记6，如六进制数3245记为． 任务一：六进制数与十进制数的转换 （1）转化为十进制数为___________； （2）7转化为六进制数为___________； 任务二：六进制数的乘法和除法运算 他们在逢六进一的约定下，设计了“五五乘法表”（以下表中的数都为六进制数）： 根据乘法表，计算： （1）（2）； 任务三：探究六进制数的整除规律 设位六进制数各数位上的数从最高位到个位依次为：（其中）．试探究该位六进制数能被整除所要满足的条件，并说明理由． 【答案】任务一：（1）76；（2） 任务二：（1）；（2） 任务三： 所要满足的条件是该n位六进制数最后两位组成的六进制数能被整除（或等价于是9的正整数倍，其中为从右数第二位数字，为个位数字）． 理由如下： 由题意得，该n位六进制数 ， ∵， ∴该n位六进制数能被整除所要满足的条件是最后两位组成的六进制数能被整除（或等价于是9的非负整数倍，其中为从右数第二位数字，为个位数字）． 【分析】本题主要考查了六进制数与十进制数的转化，理解进制数的记数规则是解题的关键． 任务一：根据转换方法进行十进制与六进制的转换即可求解； 任务二：利用“五五乘法表”进行计算即可求解； 任务三：按六进制数的特征即可求解． 【详解】解：任务一：（1）． 故答案为：76． （2）∵， ∴． 故答案为：． 任务二：（1）； （2）． 任务三：略 25．综合与实践 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，十进制数一般不标注基数． 材料一：十进制数3721中的3表示3个千，7表示7个百，2表示2个十，1表示1个一，于是我们得到了下面的式子（规定当时，）： 例如，二进制数，转换为十进制数为：． 材料二：将十进制数转化为二进制数可以用除2取余法，例如，将十进制数25转换为二进制数的除法算式如图： 将上式中各步所得的余数按照逆序排列，即可得．此方法可推广为把十进制数转换为k进制数的算法（除k取余法）． 根据上述材料解答下列问题： 【任务一】 （1）十进制数13对应的二进制数为______． 【任务二】 （2）中国古代的十二地支，十二生辰，十二生肖等都属于十二进制的应用．十二进制使用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，X，Y来记数，其中X代表10，Y代表11．请结合以上材料计算十进制数982对应的十二进制数为_____． 【任务三】 （3）有一种密钥破解方式，先将二进制明码数转成十进制数x后，再按以下规则获得密码：当x为奇数时，破解公式为，当x为偶数时，破解公式为．试破解二进制明码表示的密码． 【答案】（1）；（2）；（3）二进制明码表示的密码为181． 【分析】本题考查了数字规律，有理数的乘方运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干解题过程，得，即可作答； （2）理解题意，先模仿题干解题过程，即可作答； （3）先将转换成十进制数，再根据题意求解即可． 【详解】解：（1）依题意， ∴十进制数13对应的二进制数为； 故答案为：； （2）依题意，（最低位为10）， （次低位为9）， （最高位为0）， ∴． 故答案为：； （3）依题意， ， 由于365是奇数，代入公式得 ∴二进制明码表示的密码为181． 知识点六 整式的加减运算 26．“分类讨论”是解决数学问题的一种重要思想方法，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【知识背景】 当时，；当时，；当时，． (1)已知a，b是有理数，当，时，求的值； (2)已知，求的值； 【类比探究】 (3)已知，且，求m的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3)的最小值为 【分析】（1）将、的取值代入式子，结合绝对值的性质计算； （2）由得异号，分两种情况讨论计算； （3）先利用化简的表达式，再根据的符号分类讨论，比较各情况的值得最小值． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴异号． 当，时，，， ∴． 当，时，，， ∴． 综上所述，的值为或． （3）解：由题意得，，． ∵， ∴，，， ∴，，， ∴． ∵， ∴不可能全正或全负，只能为两正一负或一正两负． ①两正一负：若，，，则． 若，，，则． 若，，，则． ②一正两负：若，，，则． 若，，，则． 若，，，则． ∵， ∴的最小值为． 27．有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求k的值；通常的解题方法：把x，y看作字母，k看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）合并同类项：将多项式合并为，再由多项式与x无关，可得，即可求解； （2）设，表示面积，计算面积差：，系数为0：因面积差与x无关，含x项系数为0，即可求出a、b关系． 【详解】（1）解：关于x的多项式的值与x的取值无关， ， ， 解得：． （2）解：设， 由图可知：， ， 当的长变化时，的值始终保持不变， 含x项的系数为0， 即， ． 28．定义一种新运算，观察下列各式： ； ； ： ． (1)用代数式表示的结果为 ； (2)若，则 （填“”或“”）； (3)若的值与x无关，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查定义新运算中数字变化的规律问题，整式的加减与代数式求值； （1）由已知可知； （2）写出和的算式，可得结果； （3）写出，计算的值，再求即可． 【详解】（1）解：由； ； ； ； 可知：； （2）解：由题意得：，， 若，则， 即：； （3）解：∵ ， ∵的值与x无关，即的值与x无关， ∴， 解得． 当时， ． 29．【知识回顾】 在学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把，看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． 【理解应用】 已知代数式，． （1）化简：； （2）若的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 （3）有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的阴影部分面积为，周长为，左下角的阴影部面积为，周长为，设． ①当时，求． ②当的长变化时，下列代数式值不变的是( ) A．    B．    C．    D． 【答案】（1） （2）   （3）①  ②D 【分析】本题考查整式的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． （1）将，，代入中，化简即可； （2）的值与的取值无关，即的系数为0，由此解答即可； （3）①先将表示出来，再将代入求解即可； ②分别计算，，，，判断哪一项与的取值无关即可． 【详解】解：（1） ． （2） 又的值与的值无关   ，． （3）①∵阴影部分的面积=大长方形的面积－7个小长方形的面积， ． 当时，． ②由①得，； ； ； ； 与的取值无关． 故选：D． 30．综合实践：某班综合实践小组开展“制作长方体形纸盒”的实践活动． 【知识准备】 (1)如图①⑥图形中，是正方体的表面展开图的有_________________________（只填写序号）． 【制作纸盒】 (2)综合实践小组利用边长为的正方形纸板，按以下两种方式制作长方体形盒子．如图⑦，先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，可制作一个无盖长方体形盒子．如图⑧，先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形．再沿虚线折合起来，可制作一个有盖的长方体形盒子．则制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的_______________倍． 【拓展探究】 (3)若有盖长方体形盒子的长、宽、高分别为，，，将它的表面沿某些棱剪开．展成一个平面图形， ①请直接写出你剪开__________条棱； ②当该长方体形盒子表面展开图的外围的周长最小时，此时该长方体形盒子表面展开图的外围的最小周长为__________． 【答案】(1)①⑤⑥ (2) (3)①；② 【分析】（1）根据正方体展开图所得的面数和上下底与侧面关系即可解答； （2）结合图形分别求得各自的长宽高即可得到体积； （3）①只要沿着一条侧棱和下底的三条棱剪开即可； ②根据长方体形盒子的长宽高求得其表面展开图的外围周长的代数式，结合代数式的特点再进行计算． 【详解】（1）解：②正方体有个面，但图中却有个正方形，故②错误； ③正方体的表面展开图缺失上底面或下底面，侧面有一个面重合，故③错误； ④正方体有个面，但图中却有个正方形，故④错误； ∴如图①⑥图形中，是正方体的表面展开图的有①⑤⑥； （2）解：方法1：如图⑦， 底边长为，高为， 无盖盒子的体积为：； 方法2：如图⑧， 有盖盒子的长：，宽为：，高为， 有盖盒子的体积为：， ∴制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的倍数为：（倍）； （3）解：①如图， ∵长方体共有条棱，展开后还有条棱没有剪开， ∴剪开了条棱； ②设长方体长为，宽为，高为， 则长方体形盒子展开图的周长为：， 想要周长最小，只需要最大，最小， 此时，，， 则最小周长为：． 知识点七 探索与表达规律 31．观察下列各式：，，，… (1)请根据以上式子填空： ①______； ②______；（n是正整数） (2)由以上几个式子及你所找到的规律计算：． (3)计算：． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）根据题干给出等式模仿归纳直接得到裂项结果； （2）先将原式每一项写成的形式，使用裂项相消，中间项全部抵消，只保留首尾两项进行计算． （3）分母两因数差值为，先提取公因数，再裂项相消消去中间项，剩余首尾部分，通分约分得到最简答案． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解： ； （3）解： ． 32． 在学习了有理数的加减法之后，老师讲解了例题的计算思路为：将两个加数组合在一起作为一组，其和为1，共有1009组，所以结果为+1009．根据这个思路学生改编了下列问题： (1)计算： ① ； ② ． (2)蚂蚁在数轴的原点O处，第一次向左爬行1个单位，第二次向左爬行2个单位，第三次向右爬行3个单位，第四次向右爬行4个单位，第五次向左爬行5个单位，第六次向左爬行6个单位，第七次向右爬行7个单位…按照这个规律，第2026次爬行后蚂蚁在数轴上对应的数是什么？ 【答案】(1)、 (2) 【分析】（1）①由每两个数为一组、其和为，共1012组，据此可得；②由每两个数为一组、其和为，共507组，据此求解可得； （2）剩余两次是2025、2026次，对应周期前两步向左，即，那么第2026次爬行后蚂蚁在数轴上的位置可列式为：，即可求解． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：由题意得，，…… ∴剩余两次是2025、2026次，对应周期前两步向左，即 ∴第2026次爬行后蚂蚁在数轴上的位置可列式为： ． 33．完成以下小题 (1)【发现问题】自然数的平方可以用正方形的面积表示． 观察图1，由6个正方形组成的图形，其空白部分从下到上每一层长方形的面积可以表示为：．这样，图1中所有空白部分的面积之和为_____，粗线上方阴影部分面积是空白部分面积的_____倍；像这样，如果有8个正方形，那么空白部分的面积之和为_____． (2)【解决问题】如图2，粗线上方的阴影图形和空白图形的面积和为_____．（结果用含的代数式表示）．根据图2中粗线上方的阴影部分与空白部分的面积之间的关系，试推导：．（结果用含的代数式表示） (3)【拓展应用】根据以上发现，计算：． 【答案】(1)；； (2)； . (3) 【分析】（1）结合图形面积公式直接计算即可； （2）先求解，利用面积差与规律进行计算即可； （3）先推导，进一步计算即可. 【详解】（1）解：图1中所有空白部分的面积之和为： ， 粗线上方阴影部分面积是： ； ∴粗线上方阴影部分面积是空白部分面积的倍； 如果有8个正方形，那么空白部分的面积之和为： ； （2）解：∵， ∴粗线上方的阴影图形和空白图形的面积和为： ； （3）解：由（2）得：粗线上方的阴影图形面积为： ， ∴， ∴ . 34．《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天被截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，探究课上，同学们运用此数学思想研究下列问题．“聪慧组”的同学将一个边长为1的正方形纸片分割成若干个部分，并用数形结合的思想解决下列问题： (1)请按照“聪慧组”同学的思路填空； _________； 猜想：________． (2)为了证明“聪慧组”同学得到的结论，“明辨组”的同学采用了以下方法进行证明，请将证明过程补充完整． 设 则 即 化简得 ②－①得： 即_____； (3)通过阅读，你一定学到了多种解决问题的方法． ①计算的值． ②请选择“聪慧组”的作图法或“明辨组”的代数法进行计算：．（只选一种解法，若选择作图，请标注出各部分图形的面积，下图是边长为1的正方形） 【答案】(1)； (2) (3)①②； 【分析】（1）根据图形求解； （2）根据题中的等式类比求解； （3）根据题中的图形类比作图． 【详解】（1）解：， ； （2）解：设 则 即 化简得 得： 即： （3）解：①设 两边乘以2得： 下式减上式得： 所以，； ②设， 则： ∴ ∴． 作图法见答案． 35．观察下列等式：，，， 将以上三个等式两边分别相加得：． 归纳猜想计算：______；______． 利用上述结论，解决以下问题： (1)初步应用 ①把拆成两个分子为1的真分数之差，即______； ②______； (2)深入探究：定义“◆”是一种新的运算，若，，，则计算的结果是_____． (3)拓展延伸 第一次用一条直径将圆周分成两个半圆（如图），在每个分点标上质数k，记2个数的和为；第二次将两个半圆都分成圆，在新产生的分点标上相邻的已标的两数和的，记4个数的和为；第三次将四个圆分成圆，在新产生的分点标上相邻的已标的两个数的和的，记8个数的和为；第四次将八个圆分成圆，在新产生的分点标上相邻的已标的两个数的和的，记个数的和为；……如此进行了次． ①=__________（用含k、n的代数式表示）； ②若，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)； 【分析】归纳猜想：， ； （1）按照猜想归纳的结果计算即可； （2）寻找等号左边与右边的联系，，共有两项相加，分母是连续整数的乘积，，共有三项相加，首项分母是，，共有四项相加，首项分母是，根据这个规律可知，； （3）根据题意得到，，，，探索规律求出，求出k的值，代入求解即可． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：； （3）解：①，，，， ，，，， 由此归纳可知：， ②， ， ， 是质数， ， 解得：， 将代入得， ， ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $