期中复习压轴专题01 选填题分类训练（13种类型65道）（压轴题专项训练）数学新教材苏科版七年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期中复习压轴专题01选填题分类训练 (新苏科版七年级，13种类型65道) 范围：第1章一第3章 知识点一 绝对值的几何意义 1.la+2+a-2+a-3+a-5的最小值为() A.6 B.7 C.8 D.9 m-n=m+n. 2.某数学兴趣小组成员在讨论两个实数，n满足关系 “时，有以下两种观点：①若与n的 和为正数，则，n都为正数；②若m与n的差为0，则l,n都为0.则下列判断正确的是(). A.①错②对 B.①对②错 C.①②都对 D.①②都错 3.如图，数轴上点A、B表示的数分别是a、b,b-a=8；M为数轴上一点，其表示的数为m,当点 M在数轴上移动时，若 -a+m-b 的值始终保持不变，则 当m-d-3m-时，m- 的值为() A B a 0b A.2 B.2.5 C.3 D.4 4.同学们都知道， 5-(-2) 表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两 点之间的距离，试探索：当 x-1+x+3=5 时， 5.我们知道，“表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义.比如：K-2 的几何意义是数轴上表示 数的点与表示数2的点的距离，K+川 的几何意义是数轴上表示数的点与表示数1的点的距离.当x= 1/17 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 时， x+5+x-3+x-6 的值最小，最小值是 知识点二 数轴上点的平移 6.一个跳蚤在一条数轴上，从0开始，第1次向右跳1单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右 跳3个单位，第4次向左跳4个单位，依此规律下去，当它跳第2025次落下时，落点在数轴上表示的数是 7.如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为O,点D表示的 数为-1. CB -5-4-3-2-1012345 (I)将正方形ABCD从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段AD再次落在数轴上），则 点D表示的数是— (2)将正方形ABCD从如图所示位置沿数轴向右滚动，则数2025表示的点与点 重合 8.如图，将一条数轴在原点O,点B,点C处折一下，得到一条“折线数轴”.图中点A表示-9，点B 表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表 示为D=45,点4与点B在数辅上的“友好距离”为21个单位长度，并表示为孤=21，以此类推 己知动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，当运动到点O 与点B之间时速度变为初始速度的一半，当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的3倍.经过点C PB+PC=16 后立刻恢复初始速度.动点P从点A出发运动至点D的过程中，某个时刻满足 此时动点P 运动的时间是 B D 24 36 9.如图，长方形OABC的边OA在数轴上，O为原点，长方形OABC的面积为12，OC边长为3，将长方 形OABC沿数轴水平移动，移动后的长方形记为OAB'C',移动后的长方形OAB'C与原长方形OABC重 叠部分的面积恰好等于原长方形OABC面积的一半时，数轴上点A'表示的数为一 2/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 01 10,一个小球落在数销上的莱点乃，第一次从点尸向左联1个单位长度到点”，第二次从点”向右跳2个 P P 单位长度到点，第三次从点5向左跳3个单位长度到点5，第四次从点B向右跳4个单位长度到点月 P P 。·,按以上规律联了10次时，它落在数辅上的点“所表示的数恰好是2025，则这个小球的初始 位置点所表示的数是 知识点三 绝对值的非负性 11.己知x,y, 2均为整数，且满足-+少-，则- 的值为() A.1 B.0 C.2 D.3 12.规定：f=x+2,8)-4,例如4)-=4+2-2.8(4)-4-4=8 下列结论正确的 是：①能使)-5.成立的产的值为3成7，@若<-2，则+8(=2-2x,®若 f)+8)=0,则2x-3y=-16,④r()+g(x+ 的最小值是4.() A.①②③ B.①②④ c.①③④ D.①②③④ 13.设气为整数且清足-+-0=，测代数式-+-式-的值为 b 14.①若a+b=0:则6-1；②若a+6<0且日>0，则a+36=-a-3动：③若关于x的方程 2kx+a2+x-bk m-3=2x+b有无数解，则a+2b的值为8；④若无论k为何值，关于x的方程3 6的解总 3/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 是x=1,则代数式2a+b=9,⑤关于x的绝对值方程a-K-=2有三个不相同的解，则a=2.正确的序 号是： 15.已知la-l+(ab-2}=0 则关于x的方程 ab+(a+1lb+1+(a+2)6+2+…+(a+20216+202 =2022 的解是 知识点四 有理数加减混合运算的应用 16.同学们喜欢玩的幻方游戏，老师创新改成了“幻圆”游戏，如图所示，现在将-3,4，-5,6，-7， 8,-9,10填入如图所示的圆圈内，使横、纵以及内外两圈上的4个数字之和都相等，老师己经帮助同学 们完成了部分填空，则a+b的值为() 4 10 A.-1或-12 B.-1或3 C.-10或-12 D.-1或-10 17。我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作冈，又把” 一-闪称为的小数部分，记作 .则有=+冈.如.几3到=1,3}=03,13=-3]+3到 下列说法中正确的有()个 o2.=2 ②53]=5 @若1k2.且{树=04，则x=14度=-14 @方程4+1=(+3 的解为=0.25或x=2.75 4/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.0 B.1 C.2 D.3 18.钟表中蕴含着有趣的数学运算，不用负数也能作减法.例如：现在是10时，4小时后是几时？虽然 10+4=14,但在表盘上看到的是2时.若用符号“田”表示钟表上的加法，则10⑧4=2.若问3时之前5 小时是几时，就得到钟表上的减法概念，用符号“⊙”表示钟表上的减法.（注：此处用0时代替12 时.)现给出以下说法： ①7⊕6=1,4O11=2, ②在有理数运算中，相加为0的两个数互为相反数.若在上述钟表运算中沿用此概念，则有理数减法法则 “减去一个数等于加上这个数的相反数”在钟表运算中仍然成立： ③现规定在钟表运算中也有0<1<2<3<4<5<6<7<8<9<10<11，对于钟表上任意数字a,b,c,若a<b, 则a⊕c<b⊕c: ④表盘上的每个数字总可由若干个7作⊕得到（注：7可被认为是由一个7作⊕得到），其中正确的有 ()个. A.1 B.2 C.3 D.4 19.某车间加工三种零件，甲、乙两工人合作完成.加工要求：每种零件需先由甲工人车削，结束后再由 乙工人打磨；每人同一时间只能加工一种零件.每人完成各自工序所需时间（单位：min)如下表： 零件① 零件② 零件③ 甲 2min 5min 6min 5min 4min 3min (1) 若按照零件③→零件②→零件①的顺序加工，总时长最少为， min (2)若要求加工三种零件的总时长不超过17mi,则满足条件的加工顺序共有_种. 20.某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A,B,C,D四家经销商销售，当一家经销商将分配到 的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与的对应关系如下表： n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 A 36 54 28 51 69 82 90 93 18 36 54 63 72 81 5/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 12 32 52 72 92 112 如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出 后企业获得的总利润最大，应向经销商 分配2台设备（填“A“B“C或“D”);如果企业将7 台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么7台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值 为 万元 知识点五 有理数四侧混合运算的实际应用 21,对于正致·规定网=出如间= 31 3=3,计算/3 1+x /(207+f06+f[00+®+fo++2o1o+eo7)+e 的结果是( A.2017 B.2016.5 C.2018 D.2017.5 22.在货物运输过程中常希望付出的总运输成本最小，以下问题中单价均为每吨货物运输1km需100元. 运输成本可由公式：“运输成本=货物量×距离×单价”进行计算，总运输成本为所有运输成本之和. 5 B 2 4 M D 5 图1 图2 (1)如图1，若有三个货运站L,M,N,初始货物量分别为L:1吨，M:10吨，N:1吨，运输距离 LM=4km,MN=4km,从M处分别运3吨货物至L与N,此货运过程中总运输成本为 元 (2)如图2，现有五个货运站A,B,C,D,E,它们的初始货物量分别为A:2吨，B:8吨，C:3吨， D:2吨，E:5吨，每两个货运站之间的运输距离分别为AB=5km,BD=2km,CD=5km,AC=2km, AE=3km,BE=1km,CE=4km,DE=3km,运输时仅能通过图中所示的边，若想经过若干次运输使 各货运站的货物量相等，则最小总运输成本为 元 6/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 23.在环形自行车赛场内，甲、乙、丙三人骑自行车进行训练，他们的速度是：甲每分钟3圈，乙每分钟 4圈，丙每分钟2圈，他们同时出发，起点如下图所示（甲、乙、丙分别从4点、B点、C点出发），沿 环形赛场顺时针运动，则出发后第！ 分钟甲、丙第一次相遇；出发后第 分钟三人第一 次相遇， B 圈 C日丙 6圈 甲 24.下列说法中，说法正确的序号是一 -ad=3 则a=3 11 ②若aa,则a≥0： ⑧若> ,则有a+ba-b)是正数： ，则有 ④A、B、C三点在数轴上对应的数分别是-2、x、6,若相邻两点的距离相等，则x=2; b+c a+c,a+b ⑤a+b+c=0,abc<0,则4T4的值为-1. M=abcd(a≥4) 25.一个四位正整数 各个数位数字均不为0，若M除以千位数字的余数为3，且满足千位 数字与百位数字之差等于十位数字，则称这个正整数M为“光彩数”.例如：四位数5323，因为 5323÷5=1064…3,且5-3=2，所以5323是“光彩数”.按照这个规定，最大的“光彩数”是 一个“光彩数”M=abcd 取其千位数字与百位数字组成两位数=而，取其十位数字与个位数字组成两 a+b2+2 位数1=ca,若，与，的差除以11的余数为8.且b+d-2是整数，则满足条件的M的最大值与最小值的差 7/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为 知识点六 数轴上的翻折 26.如图，一条数轴上有点A、B,点C在线段AB上，其中点A、B表示的数分别是6,4，现以点C为 折点，将数轴向右对折，若点A落在数轴上且与点B距离3个单位长度，则C点表示的数是() A A.1 B.-2.5或0.5 C.0.5或-3 D.1或-3 27.正六边形ABCDEF(每条边都相等)在数轴上的位置如图所示，点A,F表示的数分别为-2和-1.现 将正六边形ABCDEF绕着顶点顺时针在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所表示的数为0.连续翻转多 次后，数轴上2026所对应的点是() A.C B.D C.E D.A 28.如图，数轴上从左到右有A、C、B三点，其中点A、B表示的数分别是-4,10，现以点C为折点， 将数轴向右对折，若点A落在射线CB上且在点B左侧，到点B的距离为6，则点C表示的数是 B 29.如图，在一条可以折叠的数轴上，A,B两点表示的数分别是-7,4，以点C为折点，将此数轴向右 对折，若对折点A在点B的右边，且A,B两点相距1，则点C表示的数是一 A B→CBA→ 30.数轴是一种可以将抽象的数字具体为数轴上的点的重要数学工具.如图，小明在纸上画下一条数轴（纸 条近似看为数轴)，现剪下数轴上10个单位长度（从-7到3），并把这条线段沿某处折叠，在重叠部分某处剪 8/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一刀，展开后得到三条线段，若这三条线段的长度比为：2：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是 折痕 折痕 剪断处 ②三段从左到右为 :端点为 剪断处折痕剪断处 4,2,4 -7,-7+4=-3,-3+2=-1,3 剪断处剪断处 3 ③三段从左到右为 :端点为 折痕 4,4,2 -7,-7+4=-3,-3+4=1,3 31=1 剪断点在-3和1，折痕为2 知识点七 乘方的应用 x八Z y2z3=2250 x+y+z的结果有 31.若 为互不相等的正整数，且 , A.5种 B.6种 C.7种 D.8种 32.二进制即“逢二进一”，如 1101) 表示二进制，将它化为十进制数为1×2'+1×22+0×2+1×2°=13 (注：2°=1)，把二进制数 111山（注：里面有2024个1）化为十进制数后，此十进制数的个位 数字是 33.观察下列等式：7°=1,7=7,72=49,73=343,74=2401,7=16807，…根据其中的规律可得 7°+7+72+.+72025 的结果的个位数字是 34.已知，数轴上A,B,C三点对应的有理数分别为a,b,C.其中点A在点B左侧，A,B两点间的距离 9/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a+b+(c-2022)2=0 为2，且a,b,c满足 则=一·对数轴上任意一点P,点P对应数x,若存在x 使r-a4+r-6+k- 的值最小，则x的值为 35.将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第1次对折后得到的图形面积为S,第2次对折 后得到的图形面积为S,…,第n次对折后得到的图形面积为S,则S++S+..+S222= S; S4 S1 S2 知识点八 含乘方的有理数的混合运算 36.观察下面三行数： 1,-2,4,-8,16,-32…；① 3,0,6-6,18,-30,.…② 1,0,2,-2,6,-10,.…③ 设a、b、c分别为第①②③行的第100个数，则a+b-6c的值为() A.4 B.4 C.2 D.-2 37.己知三个数3x,6,y将其中任意两个数相减后取绝对值再加上第三个数，因不同的选择可得到三个结果 4,A9,称为第一次操作：将44,9按照上述的方法再进行一次操作，可得到三个结果4,6,9，以此类 推，第”次操作后的得到的三个结果记为 nbn2 ”，下列说法： x=-4,y=1a,b,G ①若 ,则 三个数中最大的数是11： ②若y=0,且4，，6中最小值为8，则x=或3： =y=3,则4+6+61=18+2 ③若 其中正确的个数是() 10/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.0 B.1 C.2 D.3 38.以下是小明同学数学笔记的一部分，请仔细阅读并完成相应任务 我们在数学学习中所用的数都是十进制数，一共有十个数码：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，其进位规 则是“逢十进一”，比如数字254=2×10+5×10'+4×10°，而二进制数是用0和1两个数码来表示的数， 它的进位原则是“逢二进一”，二进制数可以转化为十进制数，转化如下：比如： (1011)2-1?23+0?22+1?2+1?2°-11 任务：已知abc,cba 是两个不相等的十进制数，且c-c6a-9,若三位二进制数的三个数位均为 a-c) 将其转化为十进制数为() A.1 B.7 C.13 D.111 39.观察等式：2+22=2-2；2+2+2=24-2；2+22+2+24=2-2；….己知按一定规律排列的一 组数： 22,2292.老2=5.期则2+2+2++2”+20 (用含有S的式子表 示). 40.《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.意思是：一尺长的木棍，每天截取它的一半， 11.1 永远也截不完。如下图，求2十2+2可用以下两种方法： 1 8 D EB 1+1+1=1+1+1=42+1=7 方法一（正向思考）：2+22+2=2488888 11,1 法三（逆向思考》：22+方-111 121-88 请用适当的方法求解下列问题： 1,1,1,1,1 (1)2+2+2+2+2 121024. (注：210=1024） 11/17 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点九 用代数式表示数、图形的规律 41.将全体正整数排成一个三角形数阵，根据上述排列规律，数阵中第22行从左至右的第5个数是 ) 1 2 3 4 5 6 78 10 A.235 B.236 C.237 D.238 42.数学实践课研究“低多边形风格”，小漳将五边形区域分割成若干个三角形.他在五边形内取一定数 量的点，连同五边形的5个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所 有区域都变成三角形.如当五边形内有1个点时，可分得5个三角形；当五边形内有2个点时，可分得7 个三角形（不计被分割的三角形）.当五边形内有2026个点时，可分得三角形个数为() A.22026 B.20262 C.4057 D.4055 43.观察下列一组代数式：6，；一片，，，根据这些式子的变化规律，可得第”个式子为 44.如图，在平面直角坐标系中，有若干个整点，按图中→方向排列，即 （0,0)→0,1)→，1)→(22)→(2,3)-→(3,3)→(4,4)，则按此规律排列下去第2026个点的坐标为 6 4.4 (2,3)3,3) 3 12/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 45.若干个“△”和“★”按照一定规律排列成如图所示的图形.设第n个图中有x个“△”，y个 “★”，则x与y之间的数量关系为 第1个图 第2个图 第3个图 知识点干 求代数式的值 46.已知a+b=7a+c=-2,那么代数式b-c-2(c-b)-的是() A.-1 B.0 C.3 D.9 4.已知（：++-4=0，那么2+y+2024的值为() A.2025 B.2021 C.2025或2021 D.不能确定 48.若m=2,M=3,则2m+m的值不可能为（). 11 B.-2 c.2 > D.2 49.当x=1时，整式ax+bx-2的值为2026，则当x=-1时，整式a+bx-2的值是 50。如图所示，两个正方形的冰池，面积分别是和，两个泳池的面积之和8+8=36 S S2 ,点B是线段 CG上一点，设CG=8,在阴影部分铺上防滑瓷砖，则所需防滑瓷砖的面积为 4 S B S2 13/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点十一 多项式的顶、次数 51.已知关于x,y的多项式 y+(m-3列ry+y-(m,n为正整数且的指数不相同)是按*的降幂 排列的五次四项式，则〈←” 的值为() A.-8 B.-4 C.1 D.9 52.已知整 M=a+0K++4+4,其中”为自然数，a之a12…≥a≥ ,其中为正整数， 44a均为整数，若”-64…0=6 下列说法正确的个数有() 13 ①没有满足条件的单项式M:②=2时，M有最小值为一4：③所有满足条件的整式有10个. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 53.已知整式 M=a,x+a++a+,其中以，0为正整数， ,2,,4,“每个数只 能取1,0，-1中的一个，且”+a,+a++0,=4 下列说法： ①当n=1时，满足条件的整式M有：2x+1,3x,4x-1: ②当n=2时，满足条件的整式M共有8种： ③若4-1 且当x=l时，M=-l16,则4+a,++a6=-15 其中正确的个数为() A.0 B.1 C.2 D.3 54.已知多项式 x+(2-k)x- 是关于x的二次三项式，则《的值为 1 5.已知多项式5"y+2y-4r+1是六次四项式，单项式262”y的次数与该多项式的次数相同，则 (-m)3+2n 的值是 14/17 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点十三 整式加减中的无关型问题 56.已知，有7个完全相同的边长为m、的小长方形（如图1）和两个阴影部分的长方形拼成1个宽为10 的大长方形（如图2），小明把这7个小长方形按如图所示放置在大长方形中.下列说法正确的是() 6 177 A 图1 图2 ①大长方形的长是m+4n;②阴影A的面积是10m-3mn; ③阴影A与阴影B的周长的和与m的取值无关；④阴影B的面积是40n-4m. A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④ 57.对于多项式：x-2,3x+5,5x-1,7x+6,用任意两个多项式求和后所得的结果，再与剩余两个多 项式的和作差，并算出结果，称之为“和差操作” 例创如： (x-2)+(3x+5)=4x+3(5x-1)+(7x+6)=12x+5(4x+3)-(12x+5)=-8x-2 称为一次操作. 下列说法正确的个数是() ①不存在任何“和差操作”，使其结果为单项式： ②只有一种“和差操作”，其结果与x的取值无关： ③所有的“和差操作”共有6种不同的结果. A.0 B.1 C.2 D.3 58.如果整式A与整式B的差为整数a,我们称A,B为4的“和睦整式”，例如：x-3与x-4为1的 “和睦整式”；2ab+5与2ab+2为3的“和睦整式”，若关于x的整式3mx2+c+5与3x2-2x+k-1为n 的“和睦整式”，则-m广的值为 59.已知P=-r+4r-20=3x2-2y+3 (1)当y=2时，化简：P+=」 15/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若3P+的值与x的值无关，则代数式3P+的值为 60.下列说法正确的序号是 b+c,a+c,a+b ①已知a,b,c,是有理数，且a+b+c=0,abc<0时，则4bA的值为-1或3； ②四个数w,x,y,z满足x-2002=y+2003=z-2004=w+2005,则最小的数是w,最大的数是z: ③适合K+4+x-2=6 整数x的值有7个； 2y2+my-2x+3,2y2-6y+5x-1 ④若多项式 与 的和的值与'所取的值无关，则m”的值是5： a+b(a>b) ⑤如果定义a,6}=0(a=b) 6-a(a<b)'当 b<0'a+h<0'M>h时a.4的值为 -a 知识点十三 整式加减的应用 61.将图①中周长为40的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图②的 方式放入周长为58的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长是() 3 2 4 0 ① ② A.42 B.44 C.48 D.50 62.整式M:a,r+a++ax+ 6,其中”，0为正整数. an-1 4,“均为整数。满足 a2+a2+…+an2+an2≤301≤a,-a≤3(i=l1,2,3,…,n ,下列说法： ①满足条件的整式中，n的最大值为6： ②当”=3a,=4 时，满足条件的整式共有22个： 16/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ③满足条件的所有二次二项式M的和为43x2+12x-18, 其中正确的个数为() A.0 B.1 C.2 D.3 63.若关于x的多项 A=anx”+an-1x"+…+a2x2+ax+a ,其中”为正整数，，4，…， a-为整数， 为非零整数，下列说法： 1+38 ①已知A=(x-2”,当n=8时，则a+a。+…+a+a= 2 ②当0，>a1>>4>4>4,≥ 时，若84 则符合条件的所有整式共有5个： n>am->…>a2>a1>a≥ ③当 时，若%，+a1++4+a=8 则符合条件的所有整式共有1个 其中正确的个数是() A.3 B.2 C.1 D.0 64.已知一个三位数a6c,ac≠0且a=h+c,若bc能被3整除，且 c+bc+C能被？整除，则a0C的最 abc 大值与最小值的差是 65.如图①所示的“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之 和相等.现有如图②所示的“幻方”，则(-m广 的值是 4 m 图① 图② 17/17 期中复习压轴专题01 选填题分类训练 （新苏科版七年级，13种类型65道） 范围：第1章—第3章 知识点一 绝对值的几何意义 1．的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，分类讨论是解题的关键．设点A表示的数为a，点B、C、D、E表示的数分别为，2，3，5，由绝对值的几何意义可知的值即为线段、、、的长度之和，然后根据点A的位置分类讨论即可解答． 【详解】解：设点A表示的数为a，点B、C、D、E表示的数分别为，2，3，5， 则的值即为线段、、、的长度之和， 如图所示，当点A在点B左侧时， 则 ； 如图所示，当点A在点B与C之间时， 则 ； 如图所示，当点A在点C与D之间时， 同理， ； 如图所示，当点A在点D与E之间时， 则 ； 如图所示，当点A在点E的右侧时， 则 ； 综上所述，最小值为8． 故选：C． 2．某数学兴趣小组成员在讨论两个实数m，n满足关系时，有以下两种观点：①若m与n的和为正数，则m，n都为正数；②若m与n的差为0，则m，n都为0．则下列判断正确的是（   ）． A．①错②对 B．①对②错 C．①②都对 D．①②都错 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的意义以及绝对值方程，举反例：，，即可判断①；由结合可得 ，即可判断②． 【详解】解：对于观点①：当，时，符合，，但不符合m，n都为正数，故①错误． 对于观点②：若，即， 又， 则， ∴，故②正确． 故选：A． 3．如图，数轴上点、表示的数分别是、，；为数轴上一点，其表示的数为，当点在数轴上移动时，若 的值始终保持不变，则当时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，根据 的值始终保持不变，可知，所以可得：，又因为，可得：，等式两边同时除以即可得到． 【详解】解： 的值始终保持不变， ， ， 又， ， ． 故选：A． 4．同学们都知道，表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：当________时，． 【答案】或1.5 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，表示x与1的距离，表示x与的距离，因此表示x到1和的距离之和，当x在和1之间时，距离之和为4；当或时，距离之和大于4，通过解方程求解x的值． 【详解】解：当时，， 令， 解得； 当时，， 令， 解得； 当时，，不等于5， 故答案为：或1.5． 5．我们知道，表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义．比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离．当______时，的值最小，最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查数轴与实数，由绝对值的意义，当表示与数，3，6三个数的距离和，当时，到三个数的距离和最小是． 【详解】表示数轴上表示与的距离，与的距离，与的距离，这三个距离的和， 当时，， 故答案为：；． 知识点二 数轴上点的平移 6．一个跳蚤在一条数轴上，从0开始，第1次向右跳1单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，依此规律下去，当它跳第2025次落下时，落点在数轴上表示的数是______． 【答案】1013 【分析】本题主要考查了正负数的应用，有理数的加减混合运算，解题的关键是根据题意列出算式． 规定向右为正方向，根据题意列出算式进行求解即可． 【详解】解：根据题意得，规定向右为正方向， ， 故答案为：1013． 7．如图所示，已知正方形的边长为1，在数轴上的位置如图所示，点表示的数为0，点表示的数为． （1）将正方形从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点表示的数是______； （2）将正方形从如图所示位置沿数轴向右滚动，则数2025表示的点与点______重合． 【答案】 【分析】此题主要考查数轴的特点，解题的关键是根据题意得到正方形滚动一周，正方形的顶点移动4个单位． （1）根据正方形滚动1周后点的位置得出点对应的数； （2）根据正方形滚动的规律，得到经过数轴上的数的点． 【详解】（1）由题可得，正方形向左滚动一周，正方形的顶点向左移动4个单位， 所以正方形向左滚动一周后，点对应的数为：， 故答案为：； （2）∵ 所以将正方形从如图所示位置沿数轴向右滚动，数2025表示的点与点B重合； 故答案为：． 8．如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为；点A与点B在数轴上的“友好距离”为21个单位长度，并表示为，以此类推． 已知动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的3倍．经过点C后立刻恢复初始速度．动点P从点A出发运动至点D的过程中，某个时刻满足，此时动点P运动的时间是_______．    【答案】14.5或19.5秒 【分析】本题考查了数轴动点问题，确定满足时，点P所在的位置是解题的关键．分点P在上和点P在上两种情况进行讨论求解，设P点所对应的数为x，根据，求出x的值，再根据点P的运动速度，求出相应的运动时间． 【详解】解：设P点所对应的数为， ①当点P在上， ∵，， 又∵， ∴， 解得，， ∵动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度运动，点A表示， ∴动点P从点A到点O，所用时间为（秒）， ∵当动点P运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半，初始速度为2个单位长度/秒， ∴动点P运动到点O与点B之间时，速度为1个单位长度/秒， ∴动点P运动从点O运动到10时，所用时间为（秒）， ∴满足，此时动点P运动的时间是（秒）； ②当点P在上， ∵，， 又∵， ∴， 解得，， ∵动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度运动，点A表示， ∴动点P从点A到点O，所用时间为（秒）， ∵当动点P运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半，初始速度为2个单位长度/秒， ∴动点P运动到点O与点B之间时，速度为1个单位长度/秒， ∴动点P从点O运动到B时，所用时间为（秒）， ∵当动点P运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的3倍，初始速度为2个单位长度/秒， ∴动点P运动到点B与点C之间时，速度为6个单位长度/秒， ∴动点P从点B运动到C时，所用时间为（秒）， ∴动点P从点C运动到26时，所用时间为（秒）， ∴满足，此时动点P运动的时间是（秒）； 综上，满足，此时动点P运动的时间是14.5秒或19.5秒． 故答案为：14.5或19.5秒． 9．如图，长方形的边在数轴上，为原点，长方形的面积为，边长为，将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分的面积恰好等于原长方形面积的一半时，数轴上点表示的数为______． 【答案】或 【分析】分为左移和右移，由重合部分的面积求出重合部分的边长，进而求出点A移动的距离，得出点所表示的数． 【详解】解：根据题意可得， ∵等于原长方形面积的一半， ∴， 当向左运动时，如图1， 即，解得， ∴， ∴表示的数为2； 当向右运动时，如图， ， 表示的数为． 故答案为或． 10．一个小球落在数轴上的某点，第一次从点向左跳1个单位长度到点，第二次从点向右跳2个单位长度到点，第三次从点向左跳3个单位长度到点，第四次从点向右跳4个单位长度到点，．．．，按以上规律跳了100次时，它落在数轴上的点所表示的数恰好是2025，则这个小球的初始位置点所表示的数是_______． 【答案】1975 【分析】此题考查数字的变化规律，数轴的认识、有理数的加减，根据题意列出算式，找出简便计算方法是解题的关键． 根据向左为负，向右为正，列出算式计算即可． 【详解】解：设所表示的数是，则， 则 ， 解得：． 点表示的数是1975． 故答案为：1975． 知识点三 绝对值的非负性 11．已知，，均为整数，且满足，则的值为（    ） A．1 B．0 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的性质．由绝对值的性质及整数条件，可知和中一个为，另一个为，从而推导出的值． 【详解】，且，，均为整数， 和均为非负整数，且和为， 可能情况为： ①且，则， ； ②且，则， ． 综上，． 故选：A． 12．规定：，，例如，；下列结论正确的是：能使，成立的的值为或；若，则；若，则；的最小值是．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值表示的几何意义及绝对值非负数的性质是解题关键．结论通过解绝对值方程验证；结论根据的范围进行化简；结论利用绝对值非负性求和；结论通过绝对值表示的几何意义求最小值即可． 【详解】解：， 或， 解得或，故正确； ， ，， ，故正确； ， ，， ，， ，故正确； ，该式表示数轴上表示数的点到表示数和的两点的距离之和， 当时，最小值为，故错误； 综上，正确的结论有． 故选：A． 13．设x、y、z为整数且满足，则代数式的值为____________ 【答案】2 【分析】由整数满足：，得出一个为0，一个为1，从而分情况求解后代值求解即可得到答案，将题中条件转化为解方程问题是解决问题的关键． 【详解】整数满足：， 一个为0，一个为1， ①当，即， 则， 则， ； ②当，即， 则， 则， ； 综上，代数式的值为2． 14．①若，则；②若，且，则；③若关于x的方程有无数解，则的值为8；④若无论k为何值，关于x的方程的解总是，则代数式；⑤关于x的绝对值方程有三个不相同的解，则．正确的序号是：________． 【答案】②④⑤ 【分析】本题主要考查了解绝对值方程，解一元一次方程，根据，满足，可判断①；根据题意可得，据此可判断②；根据题意可得，据此求出a、b的值即可判断③；根据题意可推出，进而得到，则，据此求出a、b的值即可判断④；根据题意可得或，讨论a的取值范围，确定方程和的解的个数即可得到答案． 【详解】解：①当时，满足，但无意义，原说法错误； ②∵，且， ∴， ∴， ∴，原说法正确； ③∵， ∴， ∵关于x的方程有无数解， ∴， ∴， ∴，原说法错误； ④∵， ∴， ∵关于x的方程的解总是， ∴， ∴， ∵方程的解总是，与k的取值无关， ∴， ∴， ∴，原说法正确； ⑤∵， ∴， ∴或， 当时，，此时方程和方程都无解，不符合题意； 当时，方程无解，方程有1个解或2个解，不符合题意； 当时，方程的解为或，方程的解为，符合题意； 当时，方程的解为或，方程的解为或，此时原方程有4个不同的解，不符合题意； 综上所述，，原说法正确； 故答案为：②④⑤． 15．已知，则关于x的方程的解是______． 【答案】2023 【分析】本题考查绝对值与偶次方的非负性，一元一次方程，由非负数的性质求出a和b的值，代入方程后，利用裂项相消法求和，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴且， 解得，， ∴ 即 解得：， 故答案为：． 知识点四 有理数加减混合运算的应用 16．同学们喜欢玩的幻方游戏，老师创新改成了“幻圆”游戏，如图所示，现在将，，，，，，，填入如图所示的圆圈内，使横、纵以及内外两圈上的个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则的值为(   ) A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的加减法，知道横竖以及两圈的和都是2是解题的关键．设小圈上的数为，大圈上的数为，根据题意得出两个圈的和都是2，横、纵的和也是2，然后利用有理数的加减法计算a，b，然后代入求解即可． 【详解】设小圈上的数为，大圈上的数为， ， 横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等， 两个圈的和是，横、竖的和也是， 则，得， ，得， ，， 当时，，则， 当时，，则， 故选：A． 17．我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有．如：，，，下列说法中正确的有（    ）个 ①； ②； ③若，且，则或； ④方程的解为或． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查新定义，有理数的运算，方程的解．根据新定义判断①和②，求出或时的判断③，根据新定义得到，赋值法求方程的解判断④；本题的难度较大，属于选择题中的压轴题． 【详解】解：由题意，得：，故①正确； ，故②错误； 当时，，， 当时：，；故③错误； ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时， 当时，，，此时； 综上：的解为或或或；故④错误． 故选B． 18．钟表中蕴含着有趣的数学运算，不用负数也能作减法．例如：现在是10时，4小时后是几时？虽然，但在表盘上看到的是2时．若用符号“”表示钟表上的加法，则．若问3时之前5小时是几时，就得到钟表上的减法概念，用符号“”表示钟表上的减法．（注：此处用0时代替12时．）现给出以下说法： ①，； ②在有理数运算中，相加为0的两个数互为相反数．若在上述钟表运算中沿用此概念，则有理数减法法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”在钟表运算中仍然成立； ③现规定在钟表运算中也有，对于钟表上任意数字，若，则； ④表盘上的每个数字总可由若干个7作得到（注：7可被认为是由一个7作得到），其中正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，掌握钟表上的运算方法是解题的关键． 根据钟表的定义及钟表上的加减法运算的方法进行计算即可判定①； 根据钟表运算中相反数的定义进行计算即可判定②； 根据钟表运算的定义，举出反例即可验证运③； 用钟表中加减运算方法进行验证即可判定④． 【详解】解：①根据题意可知， ，，故①不正确； ②在钟表中，设，分别表示钟表中的数字，由相加得0的两个数互为相反数，可得， 即， ，即的相反数为， 当时，，，此时 当时，，，此时 ∴，即有理数减法法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”在钟表运算中仍然成立，故②正确， ③如：当，，时，， ，则， 当时， 不一定成立，故③不正确． 通④过多次操作可生成所有钟表数字：，，，，，，，，，，，，故最终覆盖0到11，故④正确。 综上，符合题意的有②④共2个． 故选：B． 19．某车间加工三种零件，甲、乙两工人合作完成．加工要求：每种零件需先由甲工人车削，结束后再由乙工人打磨；每人同一时间只能加工一种零件．每人完成各自工序所需时间（单位：）如下表： 零件① 零件② 零件③ 甲 乙 （1）若按照零件③→零件②→零件①的顺序加工，总时长最少为________； （2）若要求加工三种零件的总时长不超过，则满足条件的加工顺序共有________种． 【答案】 20 3 【分析】（1）根据题目所给的顺序制作，计算总时长即可； （2）根据题意，列出所有的情况，分别计算总时长，再与17比较大小即可得出结论． 【详解】解：（1）按零件③→零件②→零件①顺序加工，总时长计算如下： 甲依次加工：零件③→ 零件②→ 零件①，累计耗时． 乙需等待甲完成对应零件后方可打磨： 零件③：乙从第开始打磨，耗时，完成于第． 零件②：甲于第完成，乙从第开始打磨，耗时，完成于第． 零件①：甲于第完成，乙从第开始打磨，耗时，完成于第． 因此，总时长为 ； （2）已知：按照零件③→零件②→零件①的顺序加工，总时长最少为； 按照零件①→零件②→零件③的顺序加工，总时长为； 按照零件①→零件③→零件②的顺序加工，总时长为； 按照零件②→零件①→零件③的顺序加工，总时长为； 按照零件②→零件③→零件①的顺序加工，总时长为； 按照零件③→零件①→零件②的顺序加工，总时长为； 顺序①→②→③：总时长 ， 顺序①→③→②：总时长 ， 顺序②→①→③：总时长 ， 满足总时长的加工顺序共有 3 种． 20．某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售，当一家经销商将分配到的台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与的对应关系如下表： … A 36 54 B 28 51 69 82 90 93 C 18 36 54 63 72 81 … D 12 32 52 72 92 112 … 如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商___________分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）；如果企业将7台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么7台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为___________万元． 【答案】 【分析】5台分给四家且每家至少1台，仅一家分2台，比较各经销商第二台的利润增量即可得到结果；7台按分配经销商数量分类，计算各情况最大总利润后比较得到最终最大值； 【详解】解： 5台设备分给四家经销商，每家至少1台，因此仅有一家分得2台，其余三家各分得1台. 计算各经销商第二台的利润增量： A的增量：万元 B的增量：万元 C的增量：万元 D的增量：万元 应向经销商分配2台设备； 按分配经销商的数量分类计算最大总利润： 当分配给1家经销商时：最大利润为D分配7台，总利润为万元； 当分配给2家经销商时：最大利润为A分配1台加D分配6台，总利润为万元； 当分配给3家经销商时：最大利润为A分配1台，B分配2台，D分配4台，总台数和为，总利润为万元； 当分配给4家经销商时：四家各分1台，剩余3台选增量最大的3个，总利润为万元； 比较得，因此总利润最大值为万元； 知识点五 有理数四则混合运算的实际应用 21．对于正数，规定，例如，计算，计算的结果是（   ） A．2017 B．2016.5 C．2018 D．2017.5 【答案】D 【分析】本题考查了定义新运算在有理数的混合运算中的应用，读懂定义，发现规律，是解题的关键． 按照定义式，发现规律，首尾两两组合相加，剩下中间的，最后再求和即可． 【详解】 = = = = 故选：D． 22．在货物运输过程中常希望付出的总运输成本最小，以下问题中单价均为每吨货物运输需100元．运输成本可由公式：“运输成本货物量距离单价”进行计算，总运输成本为所有运输成本之和． （1）如图1，若有三个货运站L，M，N，初始货物量分别为吨，吨，吨，运输距离，，从M处分别运3吨货物至L与N，此货运过程中总运输成本为________元． （2）如图2，现有五个货运站A，B，C，D，E，它们的初始货物量分别为吨，吨，吨，吨，吨，每两个货运站之间的运输距离分别为，，，，，，，，运输时仅能通过图中所示的边，若想经过若干次运输使各货运站的货物量相等，则最小总运输成本为________元． 【答案】 2400 1600 【分析】（1）根据题意进行计算即可； （2）先计算各货运站的货物量相等时的货物量，再按照就近原则，将货物数量多余平均值的运往货物数量低于平均值的货运站即可． 【详解】解：（1）根据题意可得：（元）， （2）， ∵初始货物量分别为吨，吨，吨，吨，吨， ∴从B运2吨到D，费用元， ∵B到A距离为5，B先到E再到A距离为， ∴从B运2吨到E，费用为元， 从E运2吨到A，费用为元， 从E运1吨到C，费用为元， 元． 23．在环形自行车赛场内，甲、乙、丙三人骑自行车进行训练，他们的速度是：甲每分钟圈，乙每分钟圈，丙每分钟圈，他们同时出发，起点如下图所示（甲、乙、丙分别从点、点、点出发），沿环形赛场顺时针运动，则出发后第__________分钟甲、丙第一次相遇；出发后第__________分钟三人第一次相遇． 【答案】 1 7 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有一定难度，关键是读懂题意，先找出甲乙第一次相遇的时间． 正确设未知数，根据图中所示的甲乙丙的位置及所行驶的方向，然后列方程求出相遇时间，进而分析求解即可得出答案． 【详解】解：①设出发后第x分钟甲、丙第一次相遇, 则，解得， 即出发后第1分钟甲、丙第一次相遇， ②设出发后第y分钟乙、丙第一次相遇， 则，解得， 即出发后第3分钟乙、丙第一次相遇； ③设出发后第z分钟甲、乙第一次相遇， 则，解得， 即出发后第7分钟甲、乙第一次相遇； ∵（分钟），（分钟）， ∴甲、丙第一次相遇后每隔6分钟相遇一次，乙、丙第一次相遇后每隔4分钟相遇一次， ∴出发后第7分钟，甲、丙再次相遇，此时甲、乙第一次相遇，即此时三人第一次相遇， 故答案为：1；7． 24．下列说法中，说法正确的序号是_____． ①，则； ②若，则； ③若，则有是正数； ④、、三点在数轴上对应的数分别是、、，若相邻两点的距离相等，则； ⑤，，则的值为． 【答案】①③⑤ 【分析】本题考查绝对值的性质，数轴上两点间的距离，有理数的运算，根据相关知识点逐一进行判断即可． 【详解】解：若，则；故①正确； 若，则；故②错误； ∵，由， 两边平方得，即，所以.故③正确； ∵三点在数轴上对应的数分别是、、，若相邻两点的距离相等， ∴A是的中点或B是的中点或C是的中点， ∴或或， ∴或或， 解得：或或，故④错误； ∵，， ∴中有两个正数一个负数， ，，， 不妨设，，， 则，故⑤正确； 故答案为：①③⑤ 25．一个四位正整数各个数位数字均不为0，若除以千位数字的余数为3，且满足千位数字与百位数字之差等于十位数字，则称这个正整数为“光彩数”．例如：四位数，因为，且，所以是“光彩数”．按照这个规定，最大的“光彩数”是_________；一个“光彩数”，取其千位数字与百位数字组成两位数，取其十位数字与个位数字组成两位数，若与的差除以的余数为8．且是整数，则满足条件的的最大值与最小值的差为__________． 【答案】 【分析】本题考查数的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．由题意，，根据题意可得需满足余数为3，因为要求最大的“光彩数”，故取开始推导即可；因为与的差除以的余数为8，可推出需满足余数为8，故，根据题意还需满足是整数，故从的最大数和最小数分别推导，求出满足题意的最大和最小“光彩数”，求其差值即可． 【详解】解：由题意，，代入得： ， ， ∵除以千位数字的余数为3， ， 故需满足余数为3， ∵求最大的“光彩数”， ∴从最大数字开始试， 当时， ∵，且各数字皆为小于9的正整数， ∴b最大取8，此时， 此时，， 故需满足余数为3， ∴， ∴最大的“光彩数”是； 由题意 且， ∴， ， ， ， ∵与的差除以的余数为8， ∵ ∴需满足余数为8 故， ∵除以千位数字的余数为3， ， 故需满足余数为3， 先从最大数开始试， 当时， 满足余数为3的要求， 此时， ∵是整数， 即是整数， 当时，不是整数， 当时，不是整数， 当时，不是整数， 当时，是整数， ∴满足上述条件的最大取5，此时， ∴满足上述条件的最大“光彩数”是， 再对从最小数开始试， 当时，满足，且是整数， 即是整数， 当时，不是整数， 当时，不是整数， 当时，不是整数， 故当时，没有满足题意的“光彩数”， 当时，满足，且要取满足条件的最小“光彩数”， ∴取, 此时是整数且的余数为3，均满足题目要求， ∴满足上述条件的最小“光彩数”是， ∴最大值与最小值的差为． 故答案为：，． 知识点六 数轴上的翻折 26．如图，一条数轴上有点、，点在线段上，其中点、表示的数分别是，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在数轴上且与点距离3个单位长度，则点表示的数是（    ） A．1 B．或 C．或 D．1或 【答案】B 【分析】设点C表示的数为，根据题意折叠的意义，结合点A、B表示的数分别是，4，分类解答即可． 本题考查了数轴上的点表示数，数轴上两点间的距离计算，有理数的加减混合运算，折叠的计算，解方程，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：设点C表示的数为，点A折叠后的对应点表示的数， 由点、表示的数分别是， 根据折叠的性质，得， 解得， 当在点B的左侧时，根据题意，得， 故； 当在点B的右侧时，根据题意，得， 故； 故点C表示的数为或； 故选：B． 27．正六边形（每条边都相等）在数轴上的位置如图所示，点，表示的数分别为-2和-1．现将正六边形绕着顶点顺时针在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所表示的数为0．连续翻转多次后，数轴上2026所对应的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】翻转后数轴上右侧的点表示的数是，对应的点为，由，根据规律进行判定即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得，连续翻转后，数轴上对应的点是，数轴上对应的点是，数轴上对应的点是，数轴上对应的点是，数轴上对应的点是，数轴上对应的点是，……， ∴每次一个循环． ∵， ∴连续翻转多次后，数轴上2026所对应的点是． 28．如图，数轴上从左到右有、、三点，其中点、表示的数分别是，10，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上且在点左侧，到点的距离为6，则点表示的数是________． 【答案】 【分析】根据题意求出折叠后点A表示的数，再根据数轴上两点间的中点公式求解即可． 【详解】解：由题意得，折叠后点A表示的数为， ∵折叠前点A表示的数为， ∴点表示的数是． 29．如图，在一条可以折叠的数轴上，，两点表示的数分别是，，以点为折点，将此数轴向右对折，若对折点在点的右边，且，两点相距，则点表示的数是______． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、折叠的性质，关键是熟练应用知识点解题； 先求出折叠后表示的数，由折叠可得是中点，即可求得它表示的数． 【详解】解：由题意得， ∵点表示的数为，点在点的右边，且， ∴折叠后的点表示的数为． ∵折叠前点表示的数为， ∴， 即点表示的数为． 故答案为：． 30．数轴是一种可以将抽象的数字具体为数轴上的点的重要数学工具．如图，小明在纸上画下一条数轴(纸条近似看为数轴)，现剪下数轴上10个单位长度(从到3)，并把这条线段沿某处折叠，在重叠部分某处剪一刀，展开后得到三条线段，若这三条线段的长度比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是______________． 【答案】或或 【分析】由线段总长度及三条线段的长度之比，可得三条线段的长度，再分情况讨论即可． 【详解】解：这条剪下的线段总长度为， ∵三段长度比为， ∴三段长度分别为，，， 按最短段2的位置分三种情况讨论： ①三段从左到右为 ：端点对应数轴上的数为 、、、， 折痕是剪断处对应两个重合点的中点，剪断位置在和处，折痕为； ②三段从左到右为：端点为， 剪断点在和，折痕为； ③三段从左到右为：端点为， 剪断点在和，折痕为； ∴折痕表示的数为或或． 知识点七 乘方的应用 31．若为互不相等的正整数，且，则（　　） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数乘方的应用，由的因数有1，2，3，5，9，10，15，18，25，，125，225，，结合已知条件和，，，，可得出一共有5种情况，则5种． 【详解】解：的因数有1，2，3，5，9，10，15，18，25，，125，225，， ∵为互不相等的正整数，且，，，，且， ∴当取1时， y取3，则， y取5，则， y取15，则， 当取5时， y取3，则， y取1，则， 综上，一共有5种情况，则5种， 故选：A． 32．二进制即“逢二进一”，如表示二进制，将它化为十进制数为，（注：），把二进制数（注：里面有2024个1）化为十进制数后，此十进制数的个位数字是___________． 【答案】5 【分析】本题考查了数字类规律探索、有理数乘方的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先利用二进制与十进制之间的转换公式、有理数乘方法则可得，再归纳类推出的个位数字是以为一个循环，（其中为正整数），然后求出的个位数字，由此即可得． 【详解】解：由题意得： ， ∵，，，，，， ∴的个位数字是以为一个循环，（其中为正整数）， ∵， ∴的个位数字与的个位数字相同，即为6， ∴的个位数字为， 即把二进制数（注：里面有2024个1）化为十进制数后，此十进制数的个位数字是5， 故答案为：5． 33．观察下列等式：，，，，，，…根据其中的规律可得的结果的个位数字是__________． 【答案】8 【分析】本题考查了有理数乘方的规律型问题．熟练掌握个位数字的变化规律，确定循环组及组数，是解题关键． 观察发现个位数字是以1、7、9、3为一个循环组，再根据即可得的个位数是7，计算即得个位数字． 【详解】∵，，，，，，… ∴每4个数为一个循环组， ∵， ∴的个位数是7， ∴， 故的个位数字为：8． 34．已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B两点间的距离为2，且a，b，c满足，则a＝____．对数轴上任意一点P，点P对应数x，若存在x使的值最小，则x的值为_________． 【答案】 －1 1 【分析】根据绝对值和平方的非负性即可求第一空；根据绝对值与数轴的关系可以解出第2问． 【详解】∵， ∴ 即 ∵点A在点B左侧，A，B两点间的距离为2， ∴ ∵表示x与-1，1和2022三个数的距离之和， ∴当x取中间值1时，和为最小值为2023； 故答案为：-1,1 【点睛】本题考查了数轴上的点之间的距离与绝对值的关系、绝对值和平方的非负性，根据绝对值的定义得出表示x与-1，1和2022三个数的距离之和是解题的关键． 35．将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第1次对折后得到的图形面积为S1，第2次对折后得到的图形面积为S2，…，第n次对折后得到的图形面积为Sn，则S1+S2+S3+…+S2022＝_______． 【答案】 【分析】根据翻折变换表示出所得图形的面积，再根据各部分图形的面积之和等于正方形的面积减去剩下部分的面积进行计算即可得解. 【详解】解：由题意可知，S1=，S2=，S3=，…，S2022=， 剩下部分的面积= S2022=， ∴S1+S2+S3+…+S2022=1－， 故答案为：1－. 【点睛】本题考查图形的变化规律，发现各部分图形的面积之和等于正方形的面积减去剩下部分的面积是解题关键． 知识点八 含乘方的有理数的混合运算 36．观察下面三行数： ；① 设分别为第①②③行的第100个数，则的值为（   ） A．4 B．-4 C．2 D．-2 【答案】D 【分析】本题考查数字规律的探索，掌握数字成固定倍数增长变化是解题的关键． 通过观察可知第①行后面一个数是前面一个数的倍，第②行是第①行对应数加2，第③行是第②行对应数除以3，根据规律求出第100个数a、b、c的值，代入表达式计算得到结果． 【详解】解： 第①行第n个数为 ， ； 第二行第n个数为第一行第n个数加2，； 第三行第n个数为第二行第n个数除以3，； 代入得 ． 故选：D． 37．已知三个数将其中任意两个数相减后取绝对值再加上第三个数，因不同的选择可得到三个结果，称为第一次操作；将按照上述的方法再进行一次操作，可得到三个结果，以此类推，第次操作后的得到的三个结果记为，下列说法： ①若，则三个数中最大的数是11； ②若，且中最小值为8，则或； ③若，则． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值的运算以及规律探究，熟练掌握绝对值的性质和通过分析前几次操作结果找规律的方法是解题的关键． 分别对三个说法进行分析，通过计算每次操作的结果，结合绝对值的性质和规律探究来判断对错． 【详解】解：∵ ，，三个数为，，． ∴ 第一次操作：；；． ∴ 中最大的数是，故①正确． ∵ ，三个数为，，． ∴ 第一次操作：；；． 当时，或，解得或． 当时，或，解得或． 当时，，解得． 当时，，不满足； 当时，，不满足； 当时，，，满足最小值为． 故仅满足，故②错误． ∵ ，三个数为，，． ∴第一次操作：；；． 第二次操作：；；． 第三次操作：；；． 第四次操作：；；． ……， ∴第11次操作：；；． ∴，故③错误． 综上，正确的个数为． 故选：． 38．以下是小明同学数学笔记的一部分，请仔细阅读并完成相应任务． 我们在数学学习中所用的数都是十进制数，一共有十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，其进位规则是“逢十进一”，比如数字 ，而二进制数是用0和1两个数码来表示的数，它的进位原则是“逢二进一”，二进制数可以转化为十进制数，转化如下：比如： ． 任务：已知是两个不相等的十进制数，且，若三位二进制数的三个数位均为，将其转化为十进制数为（   ） A．1 B．7 C．13 D．111 【答案】B 【分析】本题考查了二进制数转十进制数，理解二进制和十进制的互换规则是解题关键． 由已知推出，得到三位二进制数为111，再根据转化方法计算即可． 【详解】由题意得，，解得。 ∵三位二进制数的三个数位均为 ∴三位二进制数为111， ∴． 故选：B． 39．观察等式：；；；…．已知按一定规律排列的一组数：，若，则____．（用含有S的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查数的运算规律，含乘方的有理数的混合运算，掌握知识点是解题的关键． 通过观察给定的等式，得出规律：，然后将所求的和表示为从 到 的和与从 到 的和的差，利用规律代入计算． 【详解】解：根据规律， ， ， ∴， 已知 ，且 ， ∴原式． 故答案为：． 40．《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．意思是：一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．如下图，求可用以下两种方法： 方法一（正向思考）： 方法二（逆向思考）： 请用适当的方法求解下列问题： （1）______． （2）______．（注：） 【答案】 【分析】本题考查图形及数字的变化规律， （1）根据方法二进行计算，即可得出答案． （2）先将等式拆项为整数与分数的和，再根据（1）的方法进行计算即可求解． 【详解】解：（1）， 故答案为：． （2） ． 故答案为：． 知识点九 用代数式表示数、图形的规律 41．将全体正整数排成一个三角形数阵，根据上述排列规律，数阵中第行从左至右的第个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先找到数的排列规律，求出第行结束的时候一共出现的数的个数，再求第行从左向右的第个数，即可解答． 【详解】解：由排列的规律可得，第行结束的时候排了个数， 第行从左向右的第个数为， 第行从左向右的第个数为． 42．数学实践课研究“低多边形风格”，小漳将五边形区域分割成若干个三角形．他在五边形内取一定数量的点，连同五边形的5个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形．如当五边形内有1个点时，可分得5个三角形；当五边形内有2个点时，可分得7个三角形（不计被分割的三角形）．当五边形内有2026个点时，可分得三角形个数为（    ） A． B． C．4057 D．4055 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现三角形个数变化的规律是解题的关键． 根据所给图形，依次求出图形中三角形的个数，发现规律当五边形内有n个点时，可分得的三角形的个数为个，即可求解． 【详解】解：由所给图形可知， 当五边形内有1个点时，可分得的三角形的个数为：； 当五边形内有2个点时，可分得的三角形的个数为：； 当五边形内有3个点时，可分得的三角形的个数为：； ……； 所以当五边形内有n个点时，可分得的三角形的个数为个， 所以当五边形内有2026个点时，可分得的三角形的个数为． 故选：D． 43．观察下列一组代数式：，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第n个式子为____________． 【答案】 【分析】观察代数式可得分子的规律是，分母的规律是，正负交替出现的规律为，由此即可得出结果． 【详解】解：分子的规律是，分母的规律是，正负交替出现的规律为． ∴可表示为． 44．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整点，按图中→方向排列，即…，则按此规律排列下去第2026个点的坐标为______． 【答案】 【分析】观察点的坐标变化规律，发现每3个点为一组，每组第一个点的横纵坐标相等且为偶数，根据2026除以3的余数确定该点所在的组数及组内位置，进而求出坐标． 【详解】解：观察图形及点的坐标序列：第1组：， 第2组：， 第3组：…… 由此发现，点的排列规律为每3个点为一组， ∴第n组的第一个点的坐标为， ∵， ∴第2026个点是第676组的第1个点， ∴该点的横坐标为，纵坐标为， ∴第2026个点的坐标为． 45．若干个“△”和“★”按照一定规律排列成如图所示的图形．设第个图中有个“△”，个“★”，则与之间的数量关系为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现“△”和“★”个数的变化规律是解题的关键． 根据所给图形，依次求出“△”和“★”的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】由所给图形可知， 图1中“△”的个数为，“★”的个数为； 图2中“△”的个数为，“★”的个数为； 图3中“△”的个数为，“★”的个数为， … 所以图中“△”的个数为个，“★”的个数为个． ， ． ． 故答案为：． 知识点十 求代数式的值 46．已知 ，那么代数式的是（　　） A． B．0 C．3 D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值．熟练掌握整体代入法求代数式的值是解决问题的关键． 根据已知条件推出式子与的值，代入计算即得． 【详解】解：∵， ∴， 即，， ∴． 故选：D． 47．已知，那么的值为（    ） A．2025 B．2021 C．2025或2021 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了整体代入法求值，解题的关键是注意不能为负数． 先求出的值，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴或， ∵，， ∴， ∴， 当时， 原式． 故选：A． 48．若，，则的值不可能为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值、代数式求值等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 由绝对值的定义可得，然后分四种情况求值验证各选项即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 当时，，即A选项不符合题意； 当时，，即B选项不符合题意； 当时，，即C选项不符合题意； 当时，，即D选项符合题意． 故选D． 49．当时，整式的值为，则当时，整式的值是__________ ． 【答案】 【分析】先根据时的整式值求出的值，再将代入整式，利用整体代入法计算即可求解． 【详解】解：当时，将其代入整式中，得 即 所以 当时，将其代入整式中，得 将代入上式，得 50．如图所示，两个正方形的泳池，面积分别是和，两个泳池的面积之和，点B是线段上一点，设，在阴影部分铺上防滑瓷砖，则所需防滑瓷砖的面积为______． 【答案】 【分析】设两个正方形边长分别为a、b，则，，进而根据割补法计算即可. 【详解】解：如图： 设两个正方形边长分别为a、b，则， ∵， ∴， 阴影面积． 知识点十一 多项式的项、次数 51．已知关于，的多项式（，为正整数且的指数不相同）是按的降幂排列的五次四项式，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式的概念，熟知多项式的项和次数是解题的关键． 多项式是五次四项式且按降幂排列，因此最高次项为第一项，其次数为，即；同时各项系数非零以保证四项存在，故；指数递减要求，结合，为正整数，解得，，代入计算即可． 【详解】解：∵ 多项式为五次四项式，且按降幂排列， ∴，，， ∵ ，为正整数， ∴，， ∴． 故选：C． 52．已知整式，其中为自然数，，其中为正整数，均为整数，若，下列说法正确的个数有（   ） ①没有满足条件的单项式；②时，有最小值为；③所有满足条件的整式有10个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】先根据条件列举所有可能的n和系数组合，再逐一验证三个说法即可． 【详解】解：∵，，为自然数，为正整数， ∴取1，2，3，6， ①若是单项式，则除最高次项外其余系数均为0，乘积， 因此没有满足条件的单项式，①正确． ②当时，， ∴， 所有满足的有：或或， 当时，，此时最小值为； 当时，，此时最小值为； 当时，，最小值为， ∴时，有最小值为，②正确； ③枚举所有满足条件的整式： 时，，满足条件的整式有，，共2个； 时，由②得：满足条件的整式有3个； 时，，即，满足条件的整式有，，，共3个； 时，，即，满足条件的整式有，，，，共4个， 总共有个，③错误． 综上，正确的说法有2个． 53．已知整式，其中n，为正整数，，，…，，每个数只能取1，0，中的一个，且． 下列说法： ①当时，满足条件的整式M有：，，； ②当时，满足条件的整式M共有8种； ③若，且当时，；则． 其中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了整式的相关知识，理解题意，并运用分类讨论的思想是解题的关键．根据每个说法所给的条件，结合题意，分类讨论整式的系数的可能取值，即可解答． 【详解】解：当时，整式， ∵， ∴，即， 又∵为正整数，每个数只能取1，0，中的一个， ∴符合题意的有：；；， ∴满足条件的整式有：，，；故①正确； 当时，整式， ∵， ∴，即， ∵为正整数，且，每个数只能取1，0，中的一个， ∴符合题意的有：；；；；；；；， ∴符合题意的整式M共有8种，故②正确； ∵，时，， ∴，即 又∵，，…，，每个数只能取1，0，中的一个， ∴，故③错误； 综上，正确的说法有2个． 故选：C． 54．已知多项式是关于的二次三项式，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的相关定义，掌握多项式的次数和项数为解答本题的关键．根据二次三项式的定义，最高次项次数为且项数为，据此求解． 【详解】解：∵多项式是关于的二次三项式， ∴，且， ∴． 故答案为：． 55．已知多项式是六次四项式，单项式的次数与该多项式的次数相同，则的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式与单项式的相关概念，求代数式的值，根据题意可得，， 即可求出，代入计算即可得解，熟练掌握多项式与单项式的相关概念是解此题的关键． 【详解】解：多项式是六次四项式，单项式的次数与该多项式的次数相同， ，， ， ， 故答案为：． 知识点十二 整式加减中的无关型问题 56．已知，有7个完全相同的边长为m、n的小长方形（如图1）和两个阴影部分的长方形拼成1个宽为10的大长方形（如图2），小明把这7个小长方形按如图所示放置在大长方形中．下列说法正确的是（） ①大长方形的长是；②阴影A的面积是； ③阴影A与阴影B的周长的和与m的取值无关；④阴影B的面积是． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据图形确定大长方形的长、宽以及阴影部分的长和宽，利用长方形周长和面积公式进行计算判断． 【详解】解：大长方形的长可表示为；故①正确； 阴影A的长为m，宽为， ∴阴影A的面积为，故②正确； 阴影长方形的长为，宽为， 阴影长方形的周长为， 阴影长方形的长为，宽为， 阴影长方形的周长为， 阴影与阴影的周长的和为 ， 阴影与阴影的周长的和与的取值无关．故③正确； 阴影B的面积为，故④错误； 综上所述，正确的说法是①②③． 57．对于多项式：，，，，用任意两个多项式求和后所得的结果，再与剩余两个多项式的和作差，并算出结果，称之为“和差操作” 例如：，，，称为一次操作．下列说法正确的个数是（   ） ①不存在任何“和差操作”，使其结果为单项式； ②只有一种“和差操作”，其结果与x的取值无关； ③所有的“和差操作”共有6种不同的结果． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的运算及对“和差操作”的理解，通过计算所有6种“和差操作”的结果，发现实际有5种不同的表达式，包括常数0，据此判断各说法的正确性． 【详解】解：设多项式，，，， 所有操作及结果： ∵ ， ， ， ， ， ∴不同结果为：，，0，，，共5种， 说法①：和结果为0（单项式），故错误； 说法②：和结果与x无关（有两种操作），故错误； 说法③：实际有5种不同结果，非6种，故错误， 综上，正确个数为0， 故选：A． 58．如果整式A与整式B的差为整数a，我们称A，B为a的“和睦整式”，例如：与为1的“和睦整式”；与为3的“和睦整式”．若关于x的整式与为n的“和睦整式”，则的值为________． 【答案】49 【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算是关键．根据“和睦整式”的定义，两个整式的差为常数n，因此合并后x的二次项和一次项系数必须为零，从而求出m和k的值，再代入求n，最后计算代数式的值． 【详解】解： ， ∵与为n的“和睦整式”， ∴，，， ∴，，， ∴ 故答案为：49． 59．已知，． （1）当时，化简：___________． （2）若的值与x的值无关，则代数式的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了整式的化简求值，牢记运算顺序“先合并同类项，再代入求值”是解题关键． 【详解】解：（1） 将代入得： ． （2） 的值与x的值无关， ， 60．下列说法正确的序号是________． ①已知，，，是有理数，且，时，则的值为或； ②四个数，，，满足，则最小的数是，最大的数是； ③适合的整数的值有个； ④若多项式与的和的值与所取的值无关，则的值是； ⑤如果定义，当，，时，的值为． 【答案】②③⑤ 【分析】本题考查绝对值的意义、等式的性质、多项式的无关项以及定义新运算等知识，正确理解题意并计算是解题的关键． 逐一分析每个说法的正确性即可． 【详解】解：①由，得，，，故原式，由，，知，，中两个正数一个负数，故，原式，不存在的情况，故①错误； ②设，则，，，，比较大小，最大，最小，故②正确； ③表示数轴上点到和的距离和，当时，距离和为，整数有共个，故③正确； ④两多项式之和为，与无关，则，；，；故，故④错误； ⑤由，知，异号；由，知负数的绝对值大；由，结合前两条，得，且，故，故⑤正确． 故答案为：②③⑤． 知识点十三 整式加减的应用 61．将图①中周长为的长方形纸片剪成号、号、号、号正方形和号长方形，并将它们按图②的方式放入周长为的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设1号正方形边长为，2号正方形边长为，根据图①的拼接关系表示出其他图形的边长，利用图①周长求出的值，再通过平移法或分段计算法表示出图②中阴影部分的周长，代入求值即可． 【详解】解：设1号正方形的边长为，2号正方形的边长为， 由图可知，3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为， 图①中长方形的周长为40， ， 即， ， 设图②中大长方形的长为，宽为，则， 阴影部分的周长由水平线段和竖直线段组成， 竖直线段之和：左侧边界长为，右侧边界长为，共， 水平线段之和：大长方形上下边未被覆盖部分长为，内部水平线段长为， 水平线段总长为， 阴影部分的周长为， 阴影部分的周长为． 62．整式：，其中，为正整数．，…，，均为整数．满足，．下列说法： ①满足条件的整式中，的最大值为6； ②当，时，满足条件的整式共有22个； ③满足条件的所有二次二项式的和为． 其中正确的个数为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据题意将所有符合条件的整式列举出来即可判断． 【详解】解：∵， ∴的最大值为5， ∵为正整数， ∴的最小值为1， ∴． ∵， ∴． ①当时，则， 要使的值最大，则，，或，， 此时． 当时， 要使的值最大，则，，，，， 此时． 当时， 要使的值最大，则，，，，，， 此时． 当时， 要使的值最大，则，，，，， 此时． 当时， 要使的值最大，则，，，， 此时． 综上所述，的最大值为6， 故①正确； ②当，时，即， 若，，则或0或，共3种情况； 若，，则或或，共3种情况； 若，，则或，共2种情况； 若，，则或或，共3种情况； 若，，则或或，共3种情况； 若，，则或，共2种情况； 若，，则或或，共3种情况； 若，，则或，共2种情况； 若，，则，共1种情况； 综上所述，满足条件的整式共有22个； 故②正确； ③∵整式是二次二项式， ∴， 当时，则，， 此时； 当时， 若，则， 若，则， 若，则， 此时或或； 当时， 若，则， 若，则， 若，则或或， 此时或或或或； 当时， 若，则， 若，则或或， 此时或或或； 当时， 若，则或或， 此时或或； 综上所述，满足条件的所有二次二项式的和为， 故③正确； ∴正确的有3个． 63．若关于的多项式，其中为正整数，，，…，为整数，为非零整数，下列说法： ①已知，当时，则； ②当时，若，则符合条件的所有整式共有个； ③当时，若，则符合条件的所有整式共有个． 其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别对三个说法用赋值法求系数和，分类计数计算符合条件的整式个数，逐一判断即可． 【详解】解：①令， ，， 偶次项系数和，故①正确； ②当时，或或或，共有个， 当时，或或或或或，共个， 当时，或或或，共个， 当时，，共个， 一共有个，故②正确； ③分类计数得： 当时，或或或，共个符合条件的整式； 当时，或或或或，共个符合条件的整式； 当时，或，共个符合条件的整式； 当时，最小系数和为，无符合条件的整式； 总个数为，故③正确； 综上，三个说法都正确，正确的个数为， 故选：A． 64．已知一个三位数，且，若能被3整除，且能被整除，则的最大值与最小值的差是__________． 【答案】 【分析】根据题意可得能被3整除，能被7整除，再验证满足条件的、的值，从而求解即可． 【详解】解：能被3整除，， 的值是整数， 能被7整除， 的值是整数， ∴能被3整除，能被7整除， ∴当，时，，此时三位数为， 当，时，，此时三位数为， 当，时，，此时三位数为， 最大值与最小值的差为． 65．如图①所示的“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图②所示的“幻方”，则的值是________． 【答案】256 【分析】设中间正方形的两个数分别为a，b，根据该“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，得出，然后代入即可求解． 【详解】解：如图，设中间正方形的两个数分别为a，b， ∵该“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $