第五单元《用字母表示数和数量关系》「从课本到奥数」导图知识卡片+基础夯实+奥数培优考点讲练 共47题-2026-2027学年人教版新教材五年级数学上册举一反三系列

2026-2027学年人教版数学五年级上册举一反三系列初等奥数「新教材」 第五单元《用字母表示数和数量关系》「从课本到奥数」 （知识梳理卡片+基础夯实+奥数培优考点讲练 共47题●原卷版） 目录 【思维导图-知识梳理 技巧点拨】 1 【追溯课本-基础夯实 能力检测】 2 【奥数思维-课本提升 知识拓展】 6 【奥数拓展一】用字母表示数量关系（1个未知数） 6 【奥数拓展二】用字母表示运算定律及计算公式 8 【奥数拓展三】含有字母式子的化简与求值 9 【奥数拓展四】用字母表示规律 10 【奥数拓展五】等式的认识及列等量关系式 12 1．（25-26五年级上·山东济南·期中）妈妈今年x岁，我今年（x－24）岁，我与妈妈的年龄差是多少（ ）。 A．X＋24 B．24－X C．X－24 D．24 2．（26-27五年级上·四川甘孜·期中）买了a千克豇豆，每千克6.4元，又买了b千克蒜苗，每千克17.6元，那么17.6b－6.4a表示（ ）。 A．买豇豆和蒜苗一共需要多少元 B．蒜苗比豇豆重多少千克 C．每千克蒜苗比每千克豇豆贵多少元 D．买豇豆比买蒜苗少付的钱 3．（25-26五年级上·全国·课后作业）1个苹果和2个橘子一样重，1个梨子和2个橘子一样重，那么1个苹果和1个梨子（ ）。 A．苹果重 B．一样重 C．梨子重 4．（26-27五年级上·广东深圳·阶段检测）笑笑比妹妹重5kg，妈妈的体重是妹妹的3倍，下面用字母表示不正确的是（    ）。 A．妹妹体重为a千克，笑笑体重为a＋5千克 B．笑笑体重为a千克，妹妹体重为a＋5千克 C．妹妹体重为a千克，妈妈体重为3a千克 D．妈妈体重为a千克，妹妹体重为a÷3千克 5．（26-27五年级上·福建福州·期中）小红把8×（A＋0.9）错算成8×A＋0.9，她计算的结果与正确答案相差（ ）。 A．8 B．7.2 C．6.3 D．8.1 6．（26-27五年级上·四川甘孜·期中）京港澳高速公路的区间测速路段长s千米，限速120千米/时，张叔叔开车通过这段路用了t小时，s÷t表示( )；如果s＝22，t＝0.2，张叔叔开车( )超速（填“有”或“没有”）。 7．（26-27五年级上·四川甘孜·期中）如果3m＝2n（m≠0，n≠0），根据等式的性质填空。 3m＋3＝2n＋( )                 3m×a＝2n×( )              3m÷( )＝2n÷6 8．（26-27五年级上·四川甘孜·期中）学校书画社团教室里共有学生x人，男生有15人，女生有( )人；刚才出去了a人，又进来了5人，现在书画社团教室里有( )人。 9．（26-27五年级上·四川甘孜·期中）用含有字母的式子填空。 10．（26-27五年级上·陕西西安·期中）如图，笑笑在纸上用正方形画图形，画第1个图时得到4个直角三角形，画第2个图时得到8个直角三角形，画第3个图时得到( )个直角三角形，……，画第n个图时得到( )个直角三角形。 11．（26-27五年级上·甘肃武威·期中）如果a÷0.1＝5，那么（a×100）÷（0.1×100）＝500。( )（判断对错） 12．（26-27五年级上·四川甘孜·期中）根据“1支圆珠笔比1支钢笔便宜4.6元”可以得到“钢笔单价一圆珠笔单价＝4.6”。( )（判断对错） 13．（26-27五年级上·四川甘孜·期中）果园里有桃树x棵，比梨树多6棵，那么两种果树一共有（2x－6）棵。( )（判断对错） 14．（26-27五年级上·四川成都·期中）口算。 0.25×8＝ 1.25×0.8＝ 0.6×0.5＝ 5x＋3x−2x＝ 0.75×4＝ 1.5×0.6＝ 0.9×0.9＝ 2.4×0.5×0＝ 15．（25-26五年级上·山东潍坊·期中）看图列式计算。 16．（26-27五年级上·四川甘孜·期中）为了能有效地使用电力资源，某地实行居民峰谷用电，居民家庭在中峰时段（8：00—21：00）用电的电价为0.55元/千瓦时，谷时段（21：00—次日8：00）用电的电价为0.35元/千瓦时。某户居民某月用电100千瓦时，其中峰时段用电x千瓦时。 (1)该户居民这个月应缴纳( )元电费。 (2)当x＝40时，应缴纳多少电费？ 17．（25-26五年级上·河南郑州·期中）“中国高铁，速度与激情”。北京到上海的高铁线路长约1320千米，“复兴号”高铁以每小时275千米的速度从北京开往上海。 (1)开出t小时后，高铁已经行驶了多少千米？如果，此时高铁离北京有多远？ (2)开出t小时后，高铁到上海还有多少千米？如果，到上海还有多远？ 18．（26-27五年级上·四川·期中）“南水北调”中线工程自丹江口水库调水，经过河南省，终点为北京和天津。这项工程不仅给郑州带来了丰富的水资源，还为城市增添了一道靓丽的风景线——郑州南水北调生态文化公园。已知碧沙岗公园的占地面积是a亩，郑州南水北调生态文化公园的占地面积比92个碧沙岗公园的面积还多200亩。（注：亩是我国传统的土地面积单位，1亩≈666.67平方米） (1)请用含有字母的式子表示郑州南水北调生态文化公园的占地面积。 (2)已知a＝400，则郑州南水北调生态文化公园的占地面积是多少亩？ 19．（26-27五年级上·四川甘孜·期中）一个大玻璃杯可盛饮料a毫升，一个小玻璃杯可盛饮料b毫升。爸爸和妈妈各倒了2个大玻璃杯饮料，梅梅倒了3个小玻璃杯饮料。 (1)如果三人一共倒了p毫升饮料，怎样表示p和a、b之间的关系？ (2)当a＝150，b＝100时，他们一共倒了多少毫升饮料？ (3)当三人共倒了1250毫升饮料，a＝200时，b等于多少？ 20．（26-27五年级上·四川甘孜·期中）如图，一张桌子能坐8人，用下面两种方法将桌子摆在一起，据此填一填。摆n张桌子时，两种摆法分别能坐多少人？ 21．（26-27五年级上·陕西西安·期中）实验室有一个弹簧测力计，原长为12.5厘米，最大称重10千克，每增加1千克，弹簧会伸长2.3厘米。 (1)用字母表示当物体质量为n千克时（n小于或等于10），弹簧测力计的长度l。 (2)当物体质量n是8千克时，弹簧测力计的长度l是多少？ 22．（26-27五年级上·陕西西安·期中）如图，笑笑和小晨同时从家出发步行去图书馆，笑笑每小时步行a千米，小晨每小时步行b千米，经过0.5小时两人正好在图书馆门口相遇。 (1)笑笑家距离小晨家有多少千米？ (2)笑笑和小晨一共步行了多少千米？ 【奥数拓展一】用字母表示数量关系（1个未知数） 【典例精讲】（25-26五年级上·甘肃白银·期末）如下图，摆1个正方形用4根火柴，摆2个正方形用7根火柴……那么摆8个正方形需( )根火柴，摆n个正方形用( )根火柴，用31根火柴可以摆( )个正方形。 【举一反三练习1】（24-25六年级下·四川乐山·期中）如图：1个正方形有4个顶点，2个正方形有7个顶点，3个正方形有10个顶点。即以n记作正方形个数，可提炼规律为( )。当画到10个正方形时，有( )个顶点。 【举一反三练习2】（23-24四年级下·北京海淀·期末）妙想用小圆片按照一定的规律摆图形，如下图所示。摆第1幅图用了5个圆片，摆第2幅图用了9个圆片，摆第3幅图用子13个圆片。    （1）按照这样的规律，请你在第4幅图的位置上画一画摆出的图形。 （2）按照这样的规律，请你想一想，填一填。 第几幅 1 2 3 4 （    ） … 需要圆片个数 5 9 13 （    ） （    ） … （3）按照这样的规律，摆第10幅图需要多少个圆片？用算式表达出你的思考过程。 （4）通过解决前面摆图形需要多少个圆片的问题，你一定发现了其中的规律，试着用简洁的方式把你发现的规律表示出来。 【举一反三练习3】（26-27五年级上·四川甘孜·期中）淘气用小棒摆三角形。 摆1个三角形需要3根小棒，摆2个三角形需要( )根小棒，摆3个三角形需要( )根小棒，摆n个三角形需要( )根小棒。 【举一反三练习4】（25-26五年级上·甘肃酒泉·期中）新素养几何直观如图，同学们按照正六边形点阵植树，一个点代表一棵树苗。点阵的中心是1棵树苗，算作第一层，第二层每条边2棵树苗，第三层每条边3棵树苗，第四层每条边4棵树苗……照这样植树，这个点阵的第8层需要( )棵树苗；第层需要( )棵树苗。 【奥数拓展二】用字母表示运算定律及计算公式 【典例精讲】如果a◆b＝4a－b，那么20◆（24◆32）＝________。 【举一反三练习1】（25-26五年级上·山东聊城·期中）在a×b＝c（a，b都不等于0）中，b不变，a扩大到原来的10倍，则c（    ）。 A．缩小到原来的 B．扩大到原来的10 C．扩大到原来的10倍 【举一反三练习2】（25-26五年级上·江苏扬州·期末）【问题提出】在学习了用字母表示数和数的平方后，乐乐想到一个问题：与相等吗？ (1)【问题探索一】举例验证。 乐乐发现两个数平方的和比这两个数和的平方要小。为什么呢？背后有什么秘密？ (2)【问题探索二】他想利用图形来试试。 ①表示的是( )的面积； ②表示的是( )的面积； ③它们相差的部分是( )的面积，用含有字母的式子表示是( )。 (3)【回顾反思】借助图形，乐乐明白了相差的是什么，并对两次探索进行了回顾整理，请填一填。 ①    ②( )×( ) ③( )    ④…… ( ) 【举一反三练习3】（24-25五年级下·江苏扬州·期中）一个长方形，长a厘米，宽b厘米。如果长不变，宽增加3厘米，则周长增加( )厘米，面积增加( )平方厘米。 【举一反三练习4】（24-25五年级上·广西防城港·期末）如图是丁丁家附近的公园示意图，如果丁丁绕公园走一圈，需要走（    ）米。 A． B． C． 【奥数拓展三】含有字母式子的化简与求值 【典例精讲】（24-25五年级上·江苏南通·期末）王大伯用36根1米长的栅栏围了一个长为a米的羊圈，这个长方形的宽是( )米。当a＝( )米时，围成的羊圈的面积最大。 【举一反三练习1】如图摆放餐桌和椅子． (1)1张餐桌可以坐6人，2张餐桌可以坐10，5张餐桌可以坐多少人？ (2)照此摆下去，x张桌子可以坐多少人？当x＝20时，可以坐多少人？ 【举一反三练习2】（25-26五年级上·福建福州·期末）若数m，n满足m＋n＝mn，则称“m，n”为“等效数对”，如“2，2”，因为2＋2＝2×2，所以“2，2”是“等效数对”。 (1)通过计算判断“3，1.5”是不是“等效数对”。 (2)若“x＋1，4”是“等效数对”，则x＝( )。 (3)已知“m，n”为“等效数对”，则2026－2025mn＋2025m＋2025n＝( )。 【举一反三练习3】（25-26五年级上·福建福州·期末）某地的出租车计价标准是：3千米及以内10元；超过3千米的部分，每千米3元（不足1千米，按1千米计算）。李叔叔乘坐出租车行驶了a千米（a为整数），他身上有3a元钱，请你判断：李叔叔付车费的情况是( )。（填“够付”“不够付”或“无法确定”） 【举一反三练习4】（25-26五年级上·湖北黄石·期末）五年级1班为“三好学生”准备了一批笔记本和钢笔作为奖品，若每位学生分5本笔记本和3支钢笔，则笔记本多8本、钢笔少2支；若每位学生分4本笔记本和2支钢笔，则笔记本多20本、钢笔多10支。请问501班共有多少位“三好学生”？准备的笔记本和钢笔各有多少？ 【奥数拓展四】用字母表示规律 【典例精讲】（26-27六年级上·辽宁·单元测试）某交响乐团要举行一场草坪音乐会，草坪观众席的桌椅摆放有规律：如下图，1张桌子坐8人，2张桌子拼起来坐14人，3张桌子拼起来坐20人……按这种摆法，n张桌子拼成一排可以坐m人，用字母表示m与n的关系正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【举一反三练习1】（25-26五年级上·福建福州·阶段检测）如图，摆5个这样的六边形需要( )根小棒；摆n个这样的六边形需要( )根小棒。 【举一反三练习2】（25-26五年级上·广东广州·阶段检测）一堵围墙贴瓷砖进行装饰，如图所示：图①是贴完第1组瓷砖后的图案，用了4小块灰色小方砖；继续往下贴第2组瓷砖图案（如图②），此时2组图案一共用了7块灰色小方砖；继续往下贴，如图③…… (1)照这样的规律贴上第4组瓷砖后，一共用多少块灰色的小方砖？请你在上面图③上接着画一画，或者写一写，表示出你的解答过程。 (2)小冬说：当按照这样的规律贴到第8组瓷砖，一共有25块灰色小方砖。这种说法对吗？请你说明理由。 (3)如果贴到第n组，那么一共需要多少块灰色的小方砖？ (4)当n＝20，请根据第（3）题的式子，计算出一共需要多少块灰色的小方砖。 【举一反三练习3】（25-26五年级上·广东广州·阶段检测）把一些相同规格的杯子叠起来（如图），4个杯子叠起来高20厘米，6个杯子叠起来高26厘米，n个杯子叠起来的高度可以用下面（    ）的式子来表示。    A．6n－10 B．3n＋11 C．3n＋8 D．3n＋10 【举一反三练习4】（24-25四年级下·宁夏银川·期末）探索与发现：奇思想研究摆图形的规律，他用小圆片按照一定的规律摆图形，如下图所示。 (1)按照这样的规律，请你在第4幅图的位置上画一画摆出的图形。    (2)按照这样的规律，摆第10幅图需要多少个圆片？用算式表达出你的思考过程。 (3)你一定发现了其中的规律，试着用简洁的方式把你发现的规律表示出来。 【奥数拓展五】等式的认识及列等量关系式 【典例精讲】（25-26五年级上·福建福州·阶段检测）下面选项中不能用方程“3x＋2＝40”来表示的是（    ）。 A．买3千克李子，每千克x元，付出40元，找回2元。 B．用一根40厘米长的细绳绕瓶子3圈，每圈x厘米，还剩下2厘米。 C．3个小球总质量比一个大球重2克，一个小球的质量为x克，一个大球的质量为40克。 D．学校举办绘画赛。二年级有40人参加，比四年级x人的3倍还多2人。 【举一反三练习1】（25-26五年级上·河南南阳·期中）根据线段图，补充题目中的信息，并写出数量关系式。 “最是书香能致远，腹有诗书气自华。”为营造书香校园，学校新购进一批图书。其中，故事类图书有2160本，( )，科普类图书有多少本？ 本题的数量关系式是( )。 【举一反三练习2】（25-26五年级上·河南新乡·阶段检测）学习方程后，同学们纷纷试着运用方程解决问题。下面选项中不能用方程“3x＋6＝30”来表示的是（    ）。 A．买3千克桃子，每千克桃子x元，付出30元，找回6元。 B．绕保温杯一圈长x厘米，用一根30厘米长的细绳绕保温杯3圈，还多出6厘米。 C． D． 【举一反三练习3】（24-25六年级下·四川成都·期末）为了引导学生广泛阅读，兰海小学购买了《时间简史》190本，购买的《时间简史》的本数比购买的《果壳中的宇宙》本数的3倍多10本。兰海小学购买了《果壳中的宇宙》多少本？三名学生表示的数量关系中，错误的是（    ）。 A．聪聪：《果壳中的宇宙》本数×3＋10＝190 B．明明：《果壳中的宇宙》本数×3＝190＋10 C．童童： 【举一反三练习4】（25-26四年级下·广东湛江·期末）下面选项中的等量关系不能用方程表示的是（    ）。 A． B． C．3个小球的总质量比1个大球重2克，1个小球的质量为克，1个大球的质量为20克 D．买3千克苹果，每千克苹果元，付了20元，找回2元 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年人教版数学五年级上册举一反三系列初等奥数「新教材」 第五单元《用字母表示数和数量关系》「从课本到奥数」 (知识梳理卡片+基础夯实+奥数培优考点讲练共47题●原卷版) 目录 【思维导图-知识梳理技巧点拨】 …1 【追溯课本一基础夯实能力检测】… 2 【奥数思维-课本提升知识拓展】 …6 【奥数拓展一】用字母表示数量关系(1个未知数) .6 【奥数拓展二】用字母表示运算定律及计算公式… 8 【奥数拓展三】含有字母式子的化简与求值 9 【奥数拓展四】用字母表示规律， .10 【奥数拓展五】等式的认识及列等量关系式 12 思维导图 知识梳理技巧点拨 一、用字母表示数 五年级上册第五单元 二、用字母表示数圆关系 1.用字母表示数 例：小虹和爸爸年龄关系 用字母表示数和数量关系 表示两个量之问的关系 河的数字母u际日 小红年粉/岁管爸年龄/岁 首爸年龄=b 1+25=26 思维导图 2.含有字母的式子 2 2+25-27 25 新风系、可 2.表示数量之间的倍数关系 4+25 00 月球质量=n 在月球上物体质量=在地球上质量×6 地球质量=m 例：在月玻上举纪物体质量关惑 用字母表示数 月■6m 3.认识字母 在地球上居壁g在月球上质留/小k 3.表示运算律 1×56 和数量关系 加法交换律 atb=bta 2 2×6=12 加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c) 4.常见含字母的式子 ( a+25、a-25,a×6、a÷6、2a。a+b.a-b、 乘法分配律：a×(b+c)=a×b+a×c a×b.a÷b(b±0)，a.s=t、C=2(a+b) =ab4 4,表示图形的周长、面职 周长：C=2(a+b) 面积：S兰ab 四、解决问题的基本思路 a 三、用字母表示远算律和性质 5,表示路程、速度、时间关系 1.运律 ①审题：找出已知量和来知量，明确数量关系 「路程一速度×时间 加法交换律： ②列式：用含字母的式子表示数量关系 五、常见的数量关系式 法交换律 a×b=b×a 解答：根据字母的取值计算结果 芭爸年龄=小红年龄+25 ■6=a+25 ④检验：检验结果是否合理 2在月球上质量一在地球上质重×6n=6m 2.蓼式的性周 3路程=速度×时涧 多=姓 4总价=单价×数量 最话运用 等式两边同时加上《或减去)同一个数，等式仍然成立 c=axn 如果a=b,那么 已知条件> 5工作总量=工作效素×工作时同 W=pt 解决问题 6 量关系 每份数=总数÷份数 atn 兴调盟一个故该陈以同一个不为0的数 7 长方形周长 C=2(a+b) 8长方形面积 S=ab a×e-b×e(c≠0) 含字用式子 a+cmb+c(cv0) 9正方形周长 C4a 井且，a=c,bmc,即么，a=b=C, 10正方形面积 S=a a=c c=b 压轴题解题技巧】 易错点拨Q 总结提升☆ ①找准等量关系 ③画图分析 几何图形 用字母表示数，可以简明地表示数量和数量关系，使于 2×a写作2a 研究和帮决间驱。熟练幸提字母式子的意义和运算律， 表示，再代入数植计 检验与讨论 0黑粟成错用运算律：如a化+c)渴染.应写成a(b+c 合理 是我们学好数学的有力工具： 注意特殊情况。 日等式性质用铺：除以字母时，要注意字母不能为0， 题意理解误：没有找准数量之间的关系。 第1页共13页 追溯课本 基础夯实能力检测 1.(25-26五年级上·山东济南·期中)妈妈今年×岁，我今年（x一24)岁，我与妈妈的年龄差是多 少()。 A.X+24 B.24-X C.X-24 D.24 2.(26-27五年级上·四川甘孜·期中)买了a千克豇豆，每千克6.4元，又买了b千克蒜苗，每千 克17.6元，那么17.66-6.4a表示（)。 A.买豇豆和蒜苗一共需要多少元 B.蒜苗比豇豆重多少千克 C.每千克蒜苗比每千克豇豆贵多少元 D.买豇豆比买蒜苗少付的钱 3.(25-26五年级上·全国·课后作业)1个苹果和2个橘子一样重，1个梨子和2个橘子一样重，那 么1个苹果和1个梨子()。 A.苹果重 B.一样重 C.梨子重 4.（26-27五年级上·广东深圳·阶段检测)笑笑比妹妹重5kg,妈妈的体重是妹妹的3倍，下面用 字母表示不正确的是（)。 A.妹妹体重为a千克，笑笑体重为a十5千克 B.笑笑体重为a千克，妹妹体重为a十5千克 C.妹妹体重为a千克，妈妈体重为3a千克 D.妈妈体重为a千克，妹妹体重为a÷3千克 5.(26-27五年级上·福建福州·期中)小红把8×(A+0.9)错算成8XA十0.9，她计算的结果与正 确答案相差()。 A.8 B.7.2 C.6.3 D.8.1 6.（26-27五年级上·四川甘孜·期中)京港澳高速公路的区间测速路段长s千米，限速120千米/ 时，张叔叔开车通过这段路用了t小时，s÷t表示( );如果s=22,t=0.2,张叔叔 开车( )超速（填“有”或“没有”）。 7.(26-27五年级上·四川甘孜·期中)如果3m=2n(m≠0，n≠0)，根据等式的性质填空。 3m+3=2n+（) 3m×a=2n×（） 3m÷（)=2n÷6 第2页共13页 8.(26-27五年级上四川甘孜期中)学校书画社团教室里共有学生×人，男生有15人，女生有( 人；刚才出去了a人，又进来了5人，现在书画社团教室里有( )人。 9.(26-27五年级上·四川甘孜·期中)用含有字母的式子填空。 限时降价 15元 原价是x元，现价是 每组a元，一共( )元。有m个苹果(m为整十数)，每 ()元。 袋装10个，可以装()袋。 10.（26-27五年级上·陕西西安·期中)如图，笑笑在纸上用正方形画图形，画第1个图时得到4 个直角三角形，画第2个图时得到8个直角三角形，画第3个图时得到()个直角三角形，…， 画第n个图时得到( )个直角三角形。 第1个 第2个 第3个 11.(26-27五年级上甘肃武威期中)如果a÷0.1=5,那么（a×100)÷(0.1×100)=500。（ (判断对错) 12.（26-27五年级上·四川甘孜·期中)根据“1支圆珠笔比1支钢笔便宜4.6元”可以得到“钢笔 单价一圆珠笔单价=4.6”。（)（判断对错) 13.(26-27五年级上·四川甘孜·期中)果园里有桃树x棵，比梨树多6棵，那么两种果树一共有(2× 一6)棵。（)（判断对错） 14.(26-27五年级上·四川成都·期中)口算。 0.25×8=1.25×0.8=0.6×0.5=5x+3x-2x= 0.75×4=1.5×0.6=0.9×0.9=2.4×0.5×0= 15.(25-26五年级上·山东潍坊·期中)看图列式计算。 x千克 柠檬：1 少2.4千克 苹果： 13.2千克 第3页共13页 16.(26-27五年级上·四川甘孜·期中)为了能有效地使用电力资源，某地实行居民峰谷用电，居民 家庭在中峰时段(8：00一21：00)用电的电价为0.55元/千瓦时，谷时段(21：00一次日8：00)用 电的电价为0.35元/千瓦时。某户居民某月用电100千瓦时，其中峰时段用电×千瓦时。 (1)该户居民这个月应缴纳( )元电费。 (2)当×=40时，应缴纳多少电费？ 17.(25-26五年级上·河南郑州·期中)“中国高铁，速度与激情”。北京到上海的高铁线路长约 1320千米，“复兴号”高铁以每小时275千米的速度从北京开往上海。 (1)开出t小时后，高铁已经行驶了多少千米？如果t=3,此时高铁离北京有多远？ (2)开出t小时后，高铁到上海还有多少千米？如果t=4.5,到上海还有多远？ 18.（26-27五年级上·四川·期中)“南水北调”中线工程自丹江口水库调水，经过河南省，终点为 北京和天津。这项工程不仅给郑州带来了丰富的水资源，还为城市增添了一道靓丽的风景线一郑州 南水北调生态文化公园。已知碧沙岗公园的占地面积是a亩，郑州南水北调生态文化公园的占地面积 比92个碧沙岗公园的面积还多200亩。（注：亩是我国传统的土地面积单位，1亩≈666.67平方米） ()请用含有字母的式子表示郑州南水北调生态文化公园的占地面积。 (2)已知a=400,则郑州南水北调生态文化公园的占地面积是多少亩？ 第4页共13页 19.（26-27五年级上·四川甘孜·期中)一个大玻璃杯可盛饮料a毫升，一个小玻璃杯可盛饮料b 毫升。爸爸和妈妈各倒了2个大玻璃杯饮料，梅梅倒了3个小玻璃杯饮料。 (1)如果三人一共倒了p毫升饮料，怎样表示p和a、b之间的关系？ (2)当a=150,b=100时，他们一共倒了多少毫升饮料？ (3)当三人共倒了1250毫升饮料，a=200时，b等于多少？ 20.(26-27五年级上·四川甘孜·期中)如图，一张桌子能坐8人，用下面两种方法将桌子摆在一起， 据此填一填。摆n张桌子时，两种摆法分别能坐多少人？ ① 0→0 OOO 000OO0 OQ。o000OO ②0 → 10→0 OOOOOO oOOOOOOOO 21.（26-27五年级上·陕西西安·期中)实验室有一个弹簧测力计，原长为12.5厘米，最大称重10 千克，每增加1千克，弹簧会伸长2.3厘米。 ()用字母表示当物体质量为n千克时(n小于或等于10)，弹簧测力计的长度/。 (2)当物体质量n是8千克时，弹簧测力计的长度/是多少？ 第5页共13页 22.（26-27五年级上·陕西西安·期中)如图，笑笑和小晨同时从家出发步行去图书馆，笑笑每小时 步行a千米，小晨每小时步行b千米，经过0.5小时两人正好在图书馆门口相遇。 a千米/时 b千米/时 笑笑家 小晨家 图书馆 (1)笑笑家距离小晨家有多少千米？ (2)笑笑和小晨一共步行了多少千米？ 奥数思维 课本提升知识拓展 【奥数拓展一】用字母表示数量关系(1个未知数) 【典例精讲】(25-26五年级上·甘肃白银·期末)如下图，摆1个正方形用4根火柴，摆2个正方 形用7根火柴…那么摆8个正方形需( )根火柴，摆n个正方形用( )根火柴， 用31根火柴可以摆( )个正方形。 【举一反三练习1】(24-25六年级下·四川乐山·期中)如图：1个正方形有4个顶点，2个正方 形有7个顶点，3个正方形有10个顶点。即以n记作正方形个数，可提炼规律为( )。当画到 10个正方形时，有( )个顶点。 第6页共13页 【举一反三练习2】（23-24四年级下·北京海淀·期末)妙想用小圆片按照一定的规律摆图形，如 下图所示。摆第1幅图用了5个圆片，摆第2幅图用了9个圆片，摆第3幅图用子13个圆片。 ● ● ●●●●●●0 ● 第1幅 第2幅 第3幅 第4幅 （1)按照这样的规律，请你在第4幅图的位置上画一画摆出的图形。 (2)按照这样的规律，请你想一想，填一填。 第几幅 1 2 3 () 需要圆片个 5 9 13 （) 数 (3) 按照这样的规律，摆第10幅图需要多少个圆片？用算式表达出你的思考过程。 (4)通过解决前面摆图形需要多少个圆片的问题，你一定发现了其中的规律，试着用简洁的方式把你 发现的规律表示出来。 【举一反三练习3】(26-27五年级上·四川甘孜·期中)淘气用小棒摆三角形。 摆1个三角形需要3根小棒，摆2个三角形需要( )根小棒，摆3个三角形需要( )根小棒， 摆n个三角形需要( )根小棒。 【举一反三练习4】（25-26五年级上·甘肃酒泉·期中)新素养几何直观如图，同学们按照正六边 形点阵植树，一个点代表一棵树苗。点阵的中心是1棵树苗，算作第一层，第二层每条边2棵树苗， 第三层每条边3棵树苗，第四层每条边4棵树苗…照这样植树，这个点阵的第8层需要( )棵 树苗；第n(n>1)层需要( ）棵树苗。 第7页共13页 【奥数拓展二】用字母表示运算定律及计算公式 【典例精讲】如果a◆b=4a-b,那么20◆（24◆32)=」 【举一反三练习1】（25-26五年级上·山东聊城·期中)在aXb=c（a,b都不等于0)中，b不 变，a扩大到原来的10倍，则c（)。 A。缩小到原来的品 B.扩大到原来的10 C.扩大到原来的10倍 【举一反三练习2】(25-26五年级上·江苏扬州·期末)【问题提出】在学习了用字母表示数和数 的平方后，乐乐想到一个问题：a2+b2与(a+b)2相等吗？ (1)【问题探索一】举例验证。 32+22=9+4=13 82+52=64+25=89 :202+102=400+100=500 (3+2)2=52=25 (8+5)2=132=169 (20+10)2=302=900 乐乐发现两个数平方的和比这两个数和的平方要小。为什么呢？背后有什么秘密？ (2)【问题探索二】他想利用图形来试试。 a b b ③ ② ① ④ a a b ①a2+b2表示的是( )的面积； ②(a+b)2表示的是( )的面积； ③它们相差的部分是( )的面积，用含有字母的式子表示是( )。 (3)【回顾反思】借助图形，乐乐明白了相差的是什么，并对两次探索进行了回顾整理，请填一填。 ①(3+2)2=32+22+2×3×2②(8+5)2=82+52+2×( )×( ③(20+10)2=202+102+( ）④… (a+b)2=a2+b2+( 第8页共13页 【举一反三练习3】（24-25五年级下·江苏扬州·期中)一个长方形，长a厘米，宽b厘米。如果 长不变，宽增加3厘米，则周长增加( )厘米，面积增加( )平方厘米。 【举一反三练习4】(24-25五年级上·广西防城港·期未)如图是丁丁家附近的公园示意图，如果 丁丁绕公园走一圈，需要走（)米。 a米 b米 ]c米 A.2a+2b+c B.2a+2b C.a+2b+2c 【奥数拓展三】含有字母式子的化简与求值 【典例精讲】(24-25五年级上·江苏南通·期末)王大伯用36根1米长的栅栏围了一个长为a米 的羊圈，这个长方形的宽是( )米。当a=( )米时，围成的羊圈的面积最大。 【举一反三练习1】如图摆放餐桌和椅子. OOOOOO 00 000O 00000O (1)1张餐桌可以坐6人，2张餐桌可以坐10,5张餐桌可以坐多少人？ (2)照此摆下去，×张桌子可以坐多少人？当x=20时，可以坐多少人？ 【举一反三练习2】(25-26五年级上·福建福州·期末)若数m,n满足m+n=mn,则称“m,n” 为“等效数对”，如“2,2”，因为2十2=2义2，所以“2,2”是“等效数对”。 (1)通过计算判断“3,1.5”是不是“等效数对”。 (2)若“x十1,4”是“等效数对”，则x=( ）。 (3)已知“m,n”为“等效数对”，则2026-2025mn+2025m+2025n=( )。 第9页共13页 【举一反三练习3】（25-26五年级上·福建福州·期末)某地的出租车计价标准是：3千米及以内 10元；超过3千米的部分，每千米3元（不足1千米，按1千米计算)。李叔叔乘坐出租车行驶了a 千米(a为整数)，他身上有3a元钱，请你判断：李叔叔付车费的情况是（( )。（填“够付”“不 够付”或“无法确定”) 【举一反三练习4】(25-26五年级上·湖北黄石·期末)五年级1班为“三好学生”准备了一批笔 记本和钢笔作为奖品，若每位学生分5本笔记本和3支钢笔，则笔记本多8本、钢笔少2支；若每位 学生分4本笔记本和2支钢笔，则笔记本多20本、钢笔多10支。请问501班共有多少位“三好学生”？ 准备的笔记本和钢笔各有多少？ 【奥数拓展四】用字母表示规律 【典例精讲】(26-27六年级上·辽宁·单元测试)某交响乐团要举行一场草坪音乐会，草坪观众席 的桌椅摆放有规律：如下图，1张桌子坐8人，2张桌子拼起来坐14人，3张桌子拼起来坐20人… 按这种摆法，n张桌子拼成一排可以坐m人，用字母表示m与n的关系正确的是（）。 O OO 00O OOO OO OO A.m=5n B.m=2+8m C.m=8n-2 D.m=6n+2 【举一反三练习1】(25-26五年级上·福建福州·阶段检测)如图，摆5个这样的六边形需要( 根小棒；摆n个这样的六边形需要( )根小棒。 【举一反三练习2】（25-26五年级上·广东广州·阶段检测)一堵围墙贴瓷砖进行装饰，如图所示： 图①是贴完第1组瓷砖后的图案，用了4小块灰色小方砖；继续往下贴第2组瓷砖图案（如图②)， 此时2组图案一共用了7块灰色小方砖；继续往下贴，如图③… 第10页共13页 ① ② ③ (1)照这样的规律贴上第4组瓷砖后，一共用多少块灰色的小方砖？请你在上面图③上接着画一画，或 者写一写，表示出你的解答过程。 (2)小冬说：当按照这样的规律贴到第8组瓷砖，一共有25块灰色小方砖。这种说法对吗？请你说明 理由。 (3)如果贴到第n组，那么一共需要多少块灰色的小方砖？ (4)当n=20,请根据第(3)题的式子，计算出一共需要多少块灰色的小方砖。 【举一反三练习3】(25-26五年级上·广东广州·阶段检测)把一些相同规格的杯子叠起来（如图)， 4个杯子叠起来高20厘米，6个杯子叠起来高26厘米，n个杯子叠起来的高度可以用下面()的式 子来表示。 A.6n-10 B.3n+11 C.3n+8 D.3n+10 【举一反三练习4】（24-25四年级下·宁夏银川·期末)探索与发现：奇思想研究摆图形的规律， 他用小圆片按照一定的规律摆图形，如下图所示。 ()按照这样的规律，请你在第4幅图的位置上画一画摆出的图形。 ● ● ●●●●●● ● ● ● ● 第1幅 第2幅 第3幅 第4幅 (2)按照这样的规律，摆第10幅图需要多少个圆片？用算式表达出你的思考过程。 (3)你一定发现了其中的规律，试着用简洁的方式把你发现的规律表示出来。 第11页共13页 【奥数拓展五】等式的认识及列等量关系式 【典例精讲】(25-26五年级上·福建福州·阶段检测)下面选项中不能用方程“3x+2=40”来表 示的是()。 A.买3千克李子，每千克x元，付出40元，找回2元。 B.用一根40厘米长的细绳绕瓶子3圈，每圈×厘米，还剩下2厘米。 C.3个小球总质量比一个大球重2克，一个小球的质量为x克，一个大球的质量为40克。 D.学校举办绘画赛。二年级有40人参加，比四年级×人的3倍还多2人。 【举一反三练习1】(25-26五年级上·河南南阳·期中)根据线段图，补充题目中的信息，并写出 数量关系式。 ?本 科普类 390本 故事类 2160本 “最是书香能致远，腹有诗书气自华。”为营造书香校园，学校新购进一批图书。其中，故事类图书 有2160本，（ ),科普类图书有多少本？ 本题的数量关系式是( )。 【举一反三练习2】（25-26五年级上·河南新乡·阶段检测)学习方程后，同学们纷纷试着运用方 程解决问题。下面选项中不能用方程“3x十6=30”来表示的是（)。 A.买3千克桃子，每千克桃子x元，付出30元，找回6元。 B.绕保温杯一圈长×厘米，用一根30厘米长的细绳绕保温杯3圈，还多出6厘米。 630 C. R 6 30 D 【举一反三练习3】(24-25六年级下·四川成都·期末)为了引导学生广泛阅读，兰海小学购买了 《时间简史》190本，购买的《时间简史》的本数比购买的《果壳中的宇宙》本数的3倍多10本。兰 海小学购买了《果壳中的宇宙》多少本？三名学生表示的数量关系中，错误的是()。 A.聪聪：《果壳中的宇宙》本数×3+10=190 B.明明：《果壳中的宇宙》本数×3=190+10 第12页共13页 ?本 《果壳中的宇宙》 《时间简史》 七 10本 C.童童： 190本 【举一反三练习4】(25-26四年级下广东湛江期末)下面选项中的等量关系不能用方程3x+2=20 表示的是()。 2 A 20 x克x克x克 20克 2克 B C.3个小球的总质量比1个大球重2克，1个小球的质量为x克，1个大球的质量为20克 D.买3千克苹果，每千克苹果x元，付了20元，找回2元 第13页共13页 2026-2027学年人教版数学五年级上册举一反三系列初等奥数「新教材」 第五单元《用字母表示数和数量关系》「从课本到奥数」 （知识梳理卡片+基础夯实+奥数培优考点讲练 共47题●解析版） 目录 【思维导图-知识梳理 技巧点拨】 1 【追溯课本-基础夯实 能力检测】 2 【奥数思维-课本提升 知识拓展】 12 【奥数拓展一】用字母表示数量关系（1个未知数） 12 【奥数拓展二】用字母表示运算定律及计算公式 17 【奥数拓展三】含有字母式子的化简与求值 22 【奥数拓展四】用字母表示规律 26 【奥数拓展五】等式的认识及列等量关系式 30 1．（25-26五年级上·山东济南·期中）妈妈今年x岁，我今年（x－24）岁，我与妈妈的年龄差是多少（ ）。 A．X＋24 B．24－X C．X－24 D．24 【答案】D 【思路引导】两个人的年龄差固定不变，用妈妈的年龄减去我的年龄就能得到年龄差。化简式子时可抵消未知量，得到固定差值。 【完整解答】 2．（26-27五年级上·四川甘孜·期中）买了a千克豇豆，每千克6.4元，又买了b千克蒜苗，每千克17.6元，那么17.6b－6.4a表示（ ）。 A．买豇豆和蒜苗一共需要多少元 B．蒜苗比豇豆重多少千克 C．每千克蒜苗比每千克豇豆贵多少元 D．买豇豆比买蒜苗少付的钱 【答案】D 【思路引导】根据“总价＝单价×数量”分别确定6.4a和17.6b的含义，再判断减法算式的实际意义。 【完整解答】买a千克豇豆的总花费：6.4×a＝6.4a（元） 买b千克蒜苗的总花费：17.6×b＝17.6b（元） 故17.6b－6.4a表示买蒜苗的总花费减去买豇豆的总花费，即买豇豆比买蒜苗少付的钱。 3．（25-26五年级上·全国·课后作业）1个苹果和2个橘子一样重，1个梨子和2个橘子一样重，那么1个苹果和1个梨子（ ）。 A．苹果重 B．一样重 C．梨子重 【答案】B 【思路引导】苹果和梨子的重量都等于2个橘子的重量，由此即可推理。 【完整解答】1个苹果的重量＝2个橘子的重量； 1个梨子的重量＝2个橘子的重量； 可得1个苹果的重量＝1个梨子的重量； 即1个苹果和1个梨子一样重。 4．（26-27五年级上·广东深圳·阶段检测）笑笑比妹妹重5kg，妈妈的体重是妹妹的3倍，下面用字母表示不正确的是（    ）。 A．妹妹体重为a千克，笑笑体重为a＋5千克 B．笑笑体重为a千克，妹妹体重为a＋5千克 C．妹妹体重为a千克，妈妈体重为3a千克 D．妈妈体重为a千克，妹妹体重为a÷3千克 【答案】B 【思路引导】根据笑笑比妹妹重5kg可得：笑笑体重＝妹妹体重＋5kg；根据妈妈的体重是妹妹的3倍可得：妈妈体重＝妹妹体重×3，据此判断各选项即可。 【完整解答】A．妹妹体重为千克，笑笑体重为千克，符合数量关系，表述正确。 B．笑笑体重为千克，妹妹体重应为千克，选项表述为千克，不符合数量关系，表述错误。 C．妹妹体重为千克，妈妈体重为千克，符合数量关系，表述正确。 D．妈妈体重为千克，妹妹体重为千克，符合数量关系，表述正确。 表示不正确的是B选项。 5．（26-27五年级上·福建福州·期中）小红把8×（A＋0.9）错算成8×A＋0.9，她计算的结果与正确答案相差（ ）。 A．8 B．7.2 C．6.3 D．8.1 【答案】C 【思路引导】乘法分配律‌是一个数乘两个数的和（或差），可以先把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加（或相减），结果保持不变。运用乘法分配律展开正确的算式，再和错误算式作差即可得到相差的数值。 【完整解答】正确结果： 错误结果： 相差值： 所以她计算的结果与正确答案相差6.3。 6．（26-27五年级上·四川甘孜·期中）京港澳高速公路的区间测速路段长s千米，限速120千米/时，张叔叔开车通过这段路用了t小时，s÷t表示( )；如果s＝22，t＝0.2，张叔叔开车( )超速（填“有”或“没有”）。 【答案】 张叔叔开车的实际速度 没有 【思路引导】（）根据行程问题基本数量关系：路程时间速度，所以首先确定表示的含义。 （）把给定的和的数值代入求出张叔叔的速度，将该结果和限速千米/时比较大小，判断是否超速。 【完整解答】①根据：行程基本数量关系：，表示路程，表示时间，表示速度。 表示张叔叔开车经过这段路程的实际速度。 ②已知：， 张叔叔开车没有超速。 7．（26-27五年级上·四川甘孜·期中）如果3m＝2n（m≠0，n≠0），根据等式的性质填空。 3m＋3＝2n＋( )                 3m×a＝2n×( )              3m÷( )＝2n÷6 【答案】 3 a 6 【思路引导】等式的性质一：等式两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然成立。 等式的性质二：等式两边同时乘或除以同一个数（0除外），左右两边仍然成立。 【完整解答】第1题，等式两边同时加上3，左右两边仍然相等，所以3m＋3＝2n＋3。 第2题，等式两边同时乘a，左右两边仍然相等，所以3m×a＝2n×a。 第3题，等式两边同时除以6，左右两边仍然相等，所以3m÷6＝2n÷6。 8．（26-27五年级上·四川甘孜·期中）学校书画社团教室里共有学生x人，男生有15人，女生有( )人；刚才出去了a人，又进来了5人，现在书画社团教室里有( )人。 【答案】 x－15 x－a＋5 【思路引导】第1空，女生人数＝一共的人数－男生人数。 第2空，用一共的人数减去出去的人数再加上进来的人数等于现在的人数。 【完整解答】第1空，女生有（x－15）人。 第2空，现在书画社团教室里有（x－a＋5）人。 9．（26-27五年级上·四川甘孜·期中）用含有字母的式子填空。 【答案】 【思路引导】图①：现价＝原价－降价的金额； 图②：总价＝每组的价格×组数； 图③：可以装的袋数＝苹果总个数÷每袋可装的个数。 【完整解答】略。 10．（26-27五年级上·陕西西安·期中）如图，笑笑在纸上用正方形画图形，画第1个图时得到4个直角三角形，画第2个图时得到8个直角三角形，画第3个图时得到( )个直角三角形，……，画第n个图时得到( )个直角三角形。 【答案】 12 4n 【思路引导】先数出第3个图形中直角三角形的个数，进而得到规律：每增加一个图形，三角形的个数就增加4个。即第几个图形，三角形的个数就是4的几倍。据此解答。 【完整解答】观察可知： 第1个图形：得到4个直角三角形，可以看作4×1。 第2个图形：得到8个直角三角形，可以看作4×2。 第3个图形：得到12个直角三角形，可以看作4×3。 …… 因此，第n个图中，直角三角形的个数为：4×n，即4n个。 11．（26-27五年级上·甘肃武威·期中）如果a÷0.1＝5，那么（a×100）÷（0.1×100）＝500。( ) 【答案】× 【思路引导】根据商不变的规律，被除数和除数同时乘相同的数（0除外），商不变，据此判断。 【完整解答】a÷0.1＝5 算式（a×100）÷（0.1×100）的被除数和除数同时乘100，商不变，所以（a×100）÷（0.1×100）＝5。 故答案为：× 12．（26-27五年级上·四川甘孜·期中）根据“1支圆珠笔比1支钢笔便宜4.6元”可以得到“钢笔单价一圆珠笔单价＝4.6”。( ) 【答案】√ 【思路引导】1支圆珠笔比1支钢笔便宜4.6元，说明钢笔单价比圆珠笔单价高4.6元，所以用钢笔单价减圆珠笔单价就是二者的差价。 【完整解答】差价计算：钢笔单价圆珠笔单价，和原题表述一致。 故答案为：√ 13．（26-27五年级上·四川甘孜·期中）果园里有桃树x棵，比梨树多6棵，那么两种果树一共有（2x－6）棵。( ) 【答案】√ 【思路引导】先根据桃树比梨树多6棵求出梨树的棵数，再将两种树的棵数相加，化简后与题干给出的式子对比判断。 【完整解答】梨树棵数：（x－6）棵，总棵数：x＋x－6＝（2x－6）棵，原题说法正确。 故答案为：√ 14．（26-27五年级上·四川成都·期中）口算。 0.25×8＝ 1.25×0.8＝ 0.6×0.5＝ 5x＋3x−2x＝ 0.75×4＝ 1.5×0.6＝ 0.9×0.9＝ 2.4×0.5×0＝ 【答案】2；1；0.3；6x； 3；0.9；0.81；0 【解析】略 15．（25-26五年级上·山东潍坊·期中）看图列式计算。 【答案】5.2千克 【思路引导】图里的数量关系：柠檬的重量是x千克，苹果的重量比柠檬的3倍还少2.4千克，苹果实际重13.2千克。根据数量关系：柠檬的质量×3－少的千克数＝苹果的质量，代入数值解答。 【完整解答】3x－2.4＝13.2 解：3x－2.4＋2.4＝13.2＋2.4 3x＝15.6 3x÷3＝15.6÷3 x＝5.2 16．（26-27五年级上·四川甘孜·期中）为了能有效地使用电力资源，某地实行居民峰谷用电，居民家庭在中峰时段（8：00—21：00）用电的电价为0.55元/千瓦时，谷时段（21：00—次日8：00）用电的电价为0.35元/千瓦时。某户居民某月用电100千瓦时，其中峰时段用电x千瓦时。 (1)该户居民这个月应缴纳( )元电费。 (2)当x＝40时，应缴纳多少电费？ 【答案】(1)0.2x＋35 (2)43元 【思路引导】利用单价×数量＝总价的关系，先分别表示出中峰时段和谷时段的电费，相加得到总电费的含字母表达式；再将代入表达式，计算出具体电费。 【完整解答】（1）谷时段用电量为千瓦时，总电费为： 该户居民这个月应缴纳（）电费。 （2）当时： 答：应缴纳43元电费。 17．（25-26五年级上·河南郑州·期中）“中国高铁，速度与激情”。北京到上海的高铁线路长约1320千米，“复兴号”高铁以每小时275千米的速度从北京开往上海。 (1)开出t小时后，高铁已经行驶了多少千米？如果，此时高铁离北京有多远？ (2)开出t小时后，高铁到上海还有多少千米？如果，到上海还有多远？ 【答案】(1) ；千米 (2) 千米；千米 【思路引导】根据行程问题“路程速度时间”的基本关系，第一问中已行驶路程就是离北京的距离，用速度乘行驶时间得到含字母的式子，再代入计算具体数值；第二问中到上海的剩余路程等于总路程减去已行驶路程，先写出含字母的式子，再代入计算结果。 【完整解答】（1）已行驶路程：（千米） 当时： （千米） 答：如果时，此时高铁离北京有千米。 （2）到上海的剩余路程：千米 当时： （千米） （千米） 答：如果时，到上海还有千米。 18．（26-27五年级上·四川·期中）“南水北调”中线工程自丹江口水库调水，经过河南省，终点为北京和天津。这项工程不仅给郑州带来了丰富的水资源，还为城市增添了一道靓丽的风景线——郑州南水北调生态文化公园。已知碧沙岗公园的占地面积是a亩，郑州南水北调生态文化公园的占地面积比92个碧沙岗公园的面积还多200亩。（注：亩是我国传统的土地面积单位，1亩≈666.67平方米） (1)请用含有字母的式子表示郑州南水北调生态文化公园的占地面积。 (2)已知a＝400，则郑州南水北调生态文化公园的占地面积是多少亩？ 【答案】(1)（92a＋200）亩 (2)37000亩 【思路引导】（1）求一个数的几倍是多少用乘法计算，郑州南水北调生态文化公园的占地面积＝碧沙岗公园的面积×92＋200； （2）把a的值代入（1）中列出的式子进行计算即可，求出郑州南水北调生态文化公园的占地面积。 【完整解答】（1）a×92＋200＝（92a＋200）亩 答：郑州南水北调生态文化公园的占地面积是（92a＋200）亩。 （2）当a＝400时， 92a＋200 ＝92×400＋200 ＝36800＋200 ＝37000（亩） 答：郑州南水北调生态文化公园的占地面积是37000亩。 19．（26-27五年级上·四川甘孜·期中）一个大玻璃杯可盛饮料a毫升，一个小玻璃杯可盛饮料b毫升。爸爸和妈妈各倒了2个大玻璃杯饮料，梅梅倒了3个小玻璃杯饮料。 (1)如果三人一共倒了p毫升饮料，怎样表示p和a、b之间的关系？ (2)当a＝150，b＝100时，他们一共倒了多少毫升饮料？ (3)当三人共倒了1250毫升饮料，a＝200时，b等于多少？ 【答案】(1)p＝4a＋3b (2)900毫升 (3)b＝150 【思路引导】（1）爸爸和妈妈各倒了2个大玻璃杯饮料，梅梅倒了3个小玻璃杯饮料，先算出大玻璃杯的总个数，根据“每杯容量×杯数＝总容量”分别求出大杯、小杯的饮料总量，相加得到总容量p； （2）将已知数值a＝150，b＝100代入（1）中所得到的对应关系，计算出所求的量。 （3）先计算出4个大玻璃杯盛放的饮料总量，再用三人共倒的1250毫升减去4个大玻璃杯盛放的饮料总量，最后再用所得的差除以3，即可求出b等于多少。 【完整解答】（1）（个） p＝4a＋3b 答：三人一共倒了p毫升饮料，p＝4a＋3b。 （2）当，时 （毫升） 答：他们一共倒了900毫升饮料。 （3）（毫升） （毫升） （毫升） 即 答：b等于150。 20．（26-27五年级上·四川甘孜·期中）如图，一张桌子能坐8人，用下面两种方法将桌子摆在一起，据此填一填。摆n张桌子时，两种摆法分别能坐多少人？ 【答案】①人；②人 【思路引导】摆法①：可以先将每组桌子左右两侧的6个人固定，则每增加一张桌子就会增加2人，即第一组1张桌子的人数为人，第二组2张桌子的人数为人，第三组3张桌子的人数为人，则第组张桌子的人数为人。摆法②：可以先将每组桌子左右两侧的2个人固定，则每增加一张桌子就会增加6人，即第一组1张桌子的人数为人，第二组2张桌子的人数为人，第三组3张桌子的人数为人，则第组张桌子的人数为人。 【完整解答】摆法①摆张桌子的人数： 人 摆法②摆张桌子的人数： 人 答：摆张桌子时，第①种摆法能坐人，第②种摆法能坐人。 21．（26-27五年级上·陕西西安·期中）实验室有一个弹簧测力计，原长为12.5厘米，最大称重10千克，每增加1千克，弹簧会伸长2.3厘米。 (1)用字母表示当物体质量为n千克时（n小于或等于10），弹簧测力计的长度l。 (2)当物体质量n是8千克时，弹簧测力计的长度l是多少？ 【答案】(1) 厘米（） (2) 30.9厘米 【思路引导】（1）弹簧总长度＝原长＋伸长的长度，伸长的长度＝每千克伸长长度×物体质量。 （2）将代入（1）计算。 【完整解答】（1）弹簧伸长的长度： 弹簧测力计的长度：（）厘米 （2）当时， （厘米） 答：弹簧测力计的长度l是30.9厘米。 22．（26-27五年级上·陕西西安·期中）如图，笑笑和小晨同时从家出发步行去图书馆，笑笑每小时步行a千米，小晨每小时步行b千米，经过0.5小时两人正好在图书馆门口相遇。 (1)笑笑家距离小晨家有多少千米？ (2)笑笑和小晨一共步行了多少千米？ 【答案】(1)（0.5a－0.5b）千米 (2)（0.5a＋0.5b）千米 【思路引导】（1）根据路程＝速度×时间，先分别算出笑笑、小晨走到图书馆的路程。笑笑家到小晨家的距离，就是笑笑走的路程减去小晨走的路程。 （2）求出两人各自走到图书馆的路程，两人一共步行的路程，就是把两人的路程相加。 【完整解答】（1）0.5×a－0.5×b＝（0.5a－0.5b）千米 答：笑笑家距离小晨家有（0.5a－0.5b）千米。 （2）0.5×a＋0.5×b＝（0.5a＋0.5b）千米 答：笑笑和小晨一共步行了（0.5a＋0.5b）千米。 【奥数拓展一】用字母表示数量关系（1个未知数） 【典例精讲】（25-26五年级上·甘肃白银·期末）如下图，摆1个正方形用4根火柴，摆2个正方形用7根火柴……那么摆8个正方形需( )根火柴，摆n个正方形用( )根火柴，用31根火柴可以摆( )个正方形。 【答案】 25 1＋3n/3n＋1 10 【思路引导】由图观察可知，摆1个正方形用4根火柴，摆2个正方形用7根火柴，对比发现：每多摆一个正方形，增加3根火柴。摆1个正方形需（1＋3×1）根火柴，摆2个正方形需（1＋3×2）根火柴……摆8个正方形需（1＋3×8）根火柴，摆n个正方形需（1＋3n）根火柴，根据加法交换律，1＋3n也可以写成3n＋1。 【完整解答】（1）1＋3×8 ＝1＋24 ＝25（根） 摆8个正方形需25根火柴。 （2）摆n个正方形用（1＋3n）根火柴或（3n＋1）根火柴。 （3）1＋3n＝31 解：1＋3n－1＝31－1 3n＝30 3n÷3＝30÷3 n＝10 用31根火柴可以摆10个正方形。 【考点剖析】找图形摆放规律，先对比相邻的两个图形，找出固定不变的基础部分和每次增加的部分；用字母就能把找到的规律，变成适合所有情况的式子；如果知道总数想求个数，就根据规律列出方程。 【举一反三练习1】（24-25六年级下·四川乐山·期中）如图：1个正方形有4个顶点，2个正方形有7个顶点，3个正方形有10个顶点。即以n记作正方形个数，可提炼规律为( )。当画到10个正方形时，有( )个顶点。 【答案】 3n＋1 31 【思路引导】如图所示，每增加一个正方形，就增加了3个顶点。 1 个正方形时，顶点数是3×1＋1＝4 2 个正方形时，顶点数是3×2＋1＝7 3 个正方形时，顶点数是3×3＋1＝10 可以发现，10个正方形可以看成是10个3加上1，依此类推，n个正方形里有（3n＋1）个顶点。 【完整解答】3n＋1 3×10＋1＝31 【考点剖析】这是一道找规律的题目，关键在于观察正方形个数与顶点数量的变化关系，推导通用公式并应用。 【举一反三练习2】（23-24四年级下·北京海淀·期末）妙想用小圆片按照一定的规律摆图形，如下图所示。摆第1幅图用了5个圆片，摆第2幅图用了9个圆片，摆第3幅图用子13个圆片。    （1）按照这样的规律，请你在第4幅图的位置上画一画摆出的图形。 （2）按照这样的规律，请你想一想，填一填。 第几幅 1 2 3 4 （    ） … 需要圆片个数 5 9 13 （    ） （    ） … （3）按照这样的规律，摆第10幅图需要多少个圆片？用算式表达出你的思考过程。 （4）通过解决前面摆图形需要多少个圆片的问题，你一定发现了其中的规律，试着用简洁的方式把你发现的规律表示出来。 【答案】（1） （2）5； 17；21 （3）41个；5＋4＋4＋4＋4＋4＋4＋4＋4＋4＝41 （4）第n幅用了小圆片的个数为（1＋4n）个（答案不唯一） 【思路引导】（1）观察发现摆第1幅图用了5个圆片；摆第2幅图在第1幅图的基础上在上、下、左、右各加了1个小圆片，共加了4个小圆片，也就是5＋4＝9（个）小圆片；摆第3幅图在第2幅图的基础上在上、下、左、右各加了1个小圆片，共加了4个小圆片，也就是9＋4＝13（个）小圆片；那么摆第4幅图在第3幅图的基础上在上、下、左、右各加了1个小圆片，共加了4个小圆片，也就是13＋4＝17（个）小圆片； （2）摆第5幅图在第4幅图的基础上在上、下、左、右各加了1个小圆片，共加了4个小圆片，也就是17＋4＝21（个）小圆片，根据第几幅对应的小圆片的数量填空即可； （3）第一幅小圆片为5个，第二幅小圆片为（5＋4）个，第3幅小圆片为（5＋4＋4）个，第4幅小圆片为（5＋4＋4＋4）个，第5幅小圆片为（5＋4＋4＋4＋4）个，…，以此类推，第10幅小圆片为（5＋4＋4＋4＋4＋4＋4＋4＋4＋4）个； （4）观察发现每一幅都是在前一幅图小圆片的基础上，加4个小圆片；那么以1个小圆片为基础，第1幅在1个小圆片的基础上加了1个4，第2幅在1个小圆片的基础上加了2个4，第3幅在1个小圆片的基础上加了3个4，…，以此类推，第n幅就是在1个小圆片的基础上加了n个4；据此解答。 【完整解答】（1）图略。 （2）如表： 第几幅 1 2 3 4 5 … 需要圆片个数 5 9 13 17 21 … （3）5＋4＋4＋4＋4＋4＋4＋4＋4＋4＝41（个） 答：摆第10幅图需要41个圆片。 （4）第1幅： 1＋4×1 ＝1＋4 ＝5（个） 第2幅： 1＋4×2 ＝1＋8 ＝9（个） 第3幅： 1＋4×3 ＝1＋12 ＝13（个） 第n幅： 1＋4×n＝（1＋4n）个 答：我发现的规律是第n幅用了小圆片的个数为（1＋4n）个。（答案不唯一） 【考点剖析】本题主要考查了图形的变化规律，发现每一幅图都是在上一幅的基础上加了4个小圆片，是解答本题的关键。 【举一反三练习3】（26-27五年级上·四川甘孜·期中）淘气用小棒摆三角形。 摆1个三角形需要3根小棒，摆2个三角形需要( )根小棒，摆3个三角形需要( )根小棒，摆n个三角形需要( )根小棒。 【答案】 5 7 2n＋1/1＋2n 【思路引导】据题意，摆1个三角形时，用了（2×1＋1）根，摆2个三角形时，用了（2×2＋1）根，摆3个三角形时，用了（2×3＋1）根，……摆n个三角形时，用了（2×n＋1）根。 【完整解答】2×2＋1 ＝4＋1 ＝5（根） 2×3＋1 ＝6＋1 ＝7（根） 2×n＋1＝2n＋1 所以，摆1个三角形需要3根小棒，摆2个三角形需要5根小棒，摆3个三角形需要7根小棒，摆n个三角形需要（2n＋1）根小棒。 【举一反三练习4】（25-26五年级上·甘肃酒泉·期中）新素养几何直观如图，同学们按照正六边形点阵植树，一个点代表一棵树苗。点阵的中心是1棵树苗，算作第一层，第二层每条边2棵树苗，第三层每条边3棵树苗，第四层每条边4棵树苗……照这样植树，这个点阵的第8层需要( )棵树苗；第层需要( )棵树苗。 【答案】 42 6（n－1） 【思路引导】第一层有1棵树苗，从第二层开始，每增加一层，每条边就增加1棵树苗，一共有6条边，会增加1×6棵树苗；求第几层需要的树苗数量，用层数减1再乘每层的棵数即可，据此总结规律。 【完整解答】第一层：1棵； 第二层：（2－1）×6＝1×6＝6（棵） 第三层：（3－1）×6＝2×6＝12（棵） 第四层：（4－1）×6＝3×6＝18（棵） …… 第八层：（8－1）×6＝7×6＝42（棵） 第n（n＞1）层需要：（n－1）×6＝6（n－1）＝（6n－6）棵 【奥数拓展二】用字母表示运算定律及计算公式 【典例精讲】如果a◆b＝4a－b，那么20◆（24◆32）＝________。 【答案】16 【思路引导】根据新运算方法“a◆b＝4a－b”，先使a◆b＝24◆32，求出得数，然后再使a◆b＝20◆（24◆32），代入（24◆32）所得数据解答即可。 【完整解答】24◆32 ＝24×4－32 ＝96－32 ＝64 20◆（24◆32） ＝20◆64 ＝20×4－64 ＝16 所以，如果a◆b＝4a－b，那么20◆（24◆32）＝16。 【考点剖析】定义新运算：这种新运算其实只是变了形的求式子值的问题，只要弄清新的运算法则，然后再分步求值就可得出答案。 【举一反三练习1】（25-26五年级上·山东聊城·期中）在a×b＝c（a，b都不等于0）中，b不变，a扩大到原来的10倍，则c（    ）。 A．缩小到原来的 B．扩大到原来的10 C．扩大到原来的10倍 【答案】C 【思路引导】两个数相乘，一个因数不变，另一个因数扩大到原来的或缩小为原来的若干倍（0除外），积也随之扩大到原来的或缩小为原来的相同倍数的规律，所以可直接对照该规律分析本题条件。 【完整解答】b保持不变，a扩大到原来的10倍，所以c也就是它们的乘积，也会跟着扩大到原来的10倍。 【举一反三练习2】（25-26五年级上·江苏扬州·期末）【问题提出】在学习了用字母表示数和数的平方后，乐乐想到一个问题：与相等吗？ (1)【问题探索一】举例验证。 乐乐发现两个数平方的和比这两个数和的平方要小。为什么呢？背后有什么秘密？ (2)【问题探索二】他想利用图形来试试。 ①表示的是( )的面积； ②表示的是( )的面积； ③它们相差的部分是( )的面积，用含有字母的式子表示是( )。 (3)【回顾反思】借助图形，乐乐明白了相差的是什么，并对两次探索进行了回顾整理，请填一填。 ①    ②( )×( ) ③( )    ④…… ( ) 【答案】(1)通过举例计算发现，a2＋b2小于（a＋b）2。背后的秘密是：两个数先平方再相加，比两个数先相加再平方，少了2乘这两个数相乘的部分。 (2) ①＋② ①＋②＋③＋④ ③＋④ 2ab (3) 8 5 2×20×10 2ab 【思路引导】（1）要判断a2＋b2与（a＋b）2是否相等，可以代入具体的数分别计算两个算式的结果，再进行比较。通过计算发现两个算式的结果不相等，从而得出结论。 （2）观察图形可知，①部分是一个边长为a的正方形，根据正方形面积公式：正方形面积＝边长×边长，其面积为a2；②部分是一个边长为b的正方形，其面积为b2，所以a2＋b2表示的是①＋②的面积。 整个大图形是一个边长为（a＋b）的正方形，根据正方形面积公式，其面积为（a＋b）2。而整个大图形是由①＋②＋③＋④这四部分组成的，所以（a＋b）2表示的是①＋②＋③＋④的面积。 由前面的分析可知，（a＋b）2表示①＋②＋③＋④的面积，a2＋b2表示①＋②的面积，那么它们相差的部分就是③＋④的面积。 ③和④都是长为a，宽为b的长方形，根据长方形面积公式：长方形面积＝长×宽，一个长方形面积为ab，所以③＋④的面积用含有字母的式子表示是2ab。 （3）先看第一个式子（3＋2）2＝32＋22＋2×3×2，能发现两个数相加后再平方，等于这两个数各自平方的和，再加上“2乘第一个数乘第二个数”的规律。把这个规律用到第②题（8＋5）2中，就应该写成82＋52＋2×8×5；第③题（20＋10）2按照规律就是202＋102＋2×20×10；最后第④题用字母a和b代表任意两个数，把规律写成通用式子就是（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab。 【完整解答】（1）32＋22 ＝3×3＋2×2 ＝9＋4 ＝13 （3＋2）2 ＝5×5 ＝25 它们相差：25－13＝12 2×3×2 ＝6×2 ＝12 所以：少掉的12，正好就是2×3×2。 82＋52 ＝8×8＋5×5 ＝64＋25 ＝89 （8＋5）2 ＝13×13 ＝169 它们相差：169－89＝80 2×8×5 ＝16×5 ＝80 所以：少掉的80，正好就是2×8×5。 202＋102 ＝20×20＋10×10 ＝400＋100 ＝500 （20＋10）2 ＝30×30 ＝900 它们相差：900－500＝400 2×20×10 ＝40×10 ＝400 所以：少掉的400，正好就是2×20×10。 答：通过举例计算发现，a2＋b2小于（a＋b）2。背后的秘密是：两个数先平方再相加，比两个数先相加再平方，少了2乘这两个数相乘的部分。 （2）①表示的是①＋②的面积； ②表示的是①＋②＋③＋④的面积； ③它们相差的部分是③＋④的面积，用含有字母的式子表示是2ab。 （3）①     ②8×5 ③2×20×10 ④…… 2ab 【举一反三练习3】（24-25五年级下·江苏扬州·期中）一个长方形，长a厘米，宽b厘米。如果长不变，宽增加3厘米，则周长增加( )厘米，面积增加( )平方厘米。 【答案】 6 3a 【思路引导】根据题意，原来长方形的长为a厘米，宽为b厘米；长不变，宽增加3厘米后，新长方形的长为a厘米，宽为（b＋3）厘米； 根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，用含字母的式子表示原来和新长方形的周长；再用新长方形的周长减去原来长方形的周长，求出增加周长； 根据长方形的面积＝长×宽，用含字母的式子表示原来和新长方形的面积，再用新长方形的面积减去原来长方形的面积，求出增加面积。 【完整解答】如图： 原来长方形的周长：2（a＋b）＝（2a＋2b）（厘米） 原来长方形的面积：ab（平方厘米） 新长方形的周长：2（a＋b＋3）＝（2a＋2b＋6）（厘米） 新长方形的面积：a×（b＋3）＝（ab＋3a）（平方厘米） 增加的周长： （2a＋2b＋6）－（2a＋2b） ＝2a＋2b＋6－2a－2b ＝6（厘米） 增加的面积： （ab＋3a）－ab ＝ab＋3a－ab ＝3a（平方厘米） 则周长增加（6）厘米，面积增加（3a）平方厘米。 【举一反三练习4】（24-25五年级上·广西防城港·期末）如图是丁丁家附近的公园示意图，如果丁丁绕公园走一圈，需要走（    ）米。 A． B． C． 【答案】B 【思路引导】 ，按照如图所示的形状，把左侧凹进去的两条边分别移动至虚线部分，即公园的一圈相当于长是a米，宽是b米的长方形，根据长方形的周长公式：（长＋宽）×2，代入公式即可求解。 【完整解答】由分析可知： （a＋b）×2＝（2a＋2b）米。 如果丁丁绕公园走一圈，需要走（2a＋2b）米。 故答案为：B 【奥数拓展三】含有字母式子的化简与求值 【典例精讲】（24-25五年级上·江苏南通·期末）王大伯用36根1米长的栅栏围了一个长为a米的羊圈，这个长方形的宽是( )米。当a＝( )米时，围成的羊圈的面积最大。 【答案】 18－a 9 【思路引导】长方形的周长＝（长＋宽）×2，则长方形的宽＝长方形的周长÷2－长； 根据长方形的面积=长×宽，长方形的周长一定时，也就是长与宽的和是一定的，长方形的长等于宽的时候，也就是围成一个正方形时面积最大，正方形的边长＝周长÷4，据此分析。 【完整解答】36÷2－a＝（18－a）米 36÷4＝9（米） 王大伯用36根1米长的栅栏围了一个长为a米的羊圈，这个长方形的宽是（18－a）米。当a＝9米时，围成的羊圈的面积最大。 【考点剖析】两个数的和是定值时，这两个数越接近，乘积越大。 【举一反三练习1】如图摆放餐桌和椅子． (1)1张餐桌可以坐6人，2张餐桌可以坐10，5张餐桌可以坐多少人？ (2)照此摆下去，x张桌子可以坐多少人？当x＝20时，可以坐多少人？ 【答案】(1)22人 (2)（4x＋2）人       82人 【完整解答】(1)5×4+2=22（人）答：5张餐桌可以坐22人． (2)当x＝20时，4x＋2＝4×20+2=82（人） 答：可以坐82人． 【举一反三练习2】（25-26五年级上·福建福州·期末）若数m，n满足m＋n＝mn，则称“m，n”为“等效数对”，如“2，2”，因为2＋2＝2×2，所以“2，2”是“等效数对”。 (1)通过计算判断“3，1.5”是不是“等效数对”。 (2)若“x＋1，4”是“等效数对”，则x＝( )。 (3)已知“m，n”为“等效数对”，则2026－2025mn＋2025m＋2025n＝( )。 【答案】(1)是 (2) (3)2026 【思路引导】（1）分别计算3与1.5的和与积，比较结果是否相等即可判断。 （2）根据“等效数对”定义，若“x＋1，4”是“等效数对”，那么x＋1与4的和与积相等，据此列出方程，并求解。 （3）把2026－2025mn＋2025m＋2025n改写成2026＋2025m＋2025n－2025mn，然后根据乘法分配律将式子变为含有（m＋n－mn）的形式，因为“m，n”为“等效数对”，则m＋n－mn＝0，代入式子中计算出结果。 【完整解答】（1）3＋1.5＝4.5 3×1.5＝4.5 3＋1.5＝3×1.5 答：“3，1.5”是“等效数对”。 （2）（2）（x＋1）＋4＝（ x＋1）×4 解：x＋5＝4x＋4 x＋5－x＝4x＋4－x 3x＋4＝5 3x＋4－4＝5－4 3x＝1 3x÷3＝1÷3 x＝ （3）因为“m，n”为“等效数对”，则m＋n－mn＝0； 2026－2025mn＋2025m＋2025n ＝2026＋2025m＋2025n－2025mn ＝2026＋2025×（m＋n－mn） ＝2026＋2025×0 ＝2026＋0 ＝2026 【举一反三练习3】（25-26五年级上·福建福州·期末）某地的出租车计价标准是：3千米及以内10元；超过3千米的部分，每千米3元（不足1千米，按1千米计算）。李叔叔乘坐出租车行驶了a千米（a为整数），他身上有3a元钱，请你判断：李叔叔付车费的情况是( )。（填“够付”“不够付”或“无法确定”） 【答案】不够付 【思路引导】分两种情况讨论：当a≤3时，3千米及以内车费固定为10元，李叔叔身上最多有3×3＝9元，9＜10，钱不够；当a＞3时，总车费＝超出部分费用＋3千米内费用，即3（a－3）＋10＝（3a＋1）元，总车费（3a＋1）元＞李叔叔带的3a元，钱还是不够。因此无论a是多少，李叔叔的钱都不够付车费。 【完整解答】情况一：a≤3，固定费用10元，3a≤9＜10，不够付； 情况二：a＞3，超出部分的路程为（a－3）千米，超出部分的费用为3（a－3）元，再加上3千米及以内的固定费用10元，为3（a－3）＋10。 3（a－3）＋10 ＝3a－3×3＋10 ＝3a－9＋10 ＝（3a＋1）元 3a＋1＞3a，不够付。 综上，无论a是多少，李叔叔的钱都不够付车费。 【举一反三练习4】（25-26五年级上·湖北黄石·期末）五年级1班为“三好学生”准备了一批笔记本和钢笔作为奖品，若每位学生分5本笔记本和3支钢笔，则笔记本多8本、钢笔少2支；若每位学生分4本笔记本和2支钢笔，则笔记本多20本、钢笔多10支。请问501班共有多少位“三好学生”？准备的笔记本和钢笔各有多少？ 【答案】“三好学生”有12人；笔记本有68本；钢笔有34支 【思路引导】设501班共有x位“三好学生”，根据第一种分配方案：笔记本总数＝5x＋8，钢笔总数＝3x−2，根据第二种分配方案：笔记本总数＝4x＋20，钢笔总数＝2x＋10，根据两种分配方案的笔记本的本数不变列方程为5x＋8＝4x＋20，解方程求出x的值，就是501班“三好学生”的总数，再把x的值分别代入5x＋8和2x＋10即可分别求出准备的笔记本和钢笔各有多少。 【完整解答】解：设501班共有x位“三好学生”。 5x＋8＝4x＋20 5x＋8－4x＝4x＋20－4x x＋8＝20 x＋8－8＝20－8 x＝12 把x＝12代入5x＋8，得： 5×12＋8 ＝60＋8 ＝68（本） 把x＝12代入2x＋10，得： 2×12＋10 ＝24＋10 ＝34（支） 答：501班共有12位“三好学生”， 准备的笔记本有68本，钢笔有34支。 【考点剖析】设501班共有x位“三好学生”，找出两种分配方案笔记本的数量，明确两种分配方案的笔记本的本数不变是解题的关键。 【奥数拓展四】用字母表示规律 【典例精讲】（26-27六年级上·辽宁·单元测试）某交响乐团要举行一场草坪音乐会，草坪观众席的桌椅摆放有规律：如下图，1张桌子坐8人，2张桌子拼起来坐14人，3张桌子拼起来坐20人……按这种摆法，n张桌子拼成一排可以坐m人，用字母表示m与n的关系正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】观察可知，1张桌子可以坐8人，2张桌子可以坐（8＋6）人，3张桌子可以坐（8＋6×2）人；每增加1张桌子就能增加6人，n张桌子可以坐8＋6×（n－1）人，据此解答即可。 【完整解答】据分析可得，n张桌子可坐人数：8＋6×（n－1）＝8＋6n－6＝6n＋2（人）；因此m＝6n＋2。 【举一反三练习1】（25-26五年级上·福建福州·阶段检测）如图，摆5个这样的六边形需要( )根小棒；摆n个这样的六边形需要( )根小棒。 【答案】 26 5n＋1 【思路引导】第一个六边形需要6根小棒，每增加一个六边形需要增加5根小棒，以此规律进行计算即可。 【完整解答】5个六边形： 6＋5＋5＋5＋5＝26（根） n个六边形：第一个六边形需要6根小棒，后面的（n－1）个六边形都是5根小棒 6＋5（n－1） ＝6＋5n－5 ＝（5n＋1）根 【举一反三练习2】（25-26五年级上·广东广州·阶段检测）一堵围墙贴瓷砖进行装饰，如图所示：图①是贴完第1组瓷砖后的图案，用了4小块灰色小方砖；继续往下贴第2组瓷砖图案（如图②），此时2组图案一共用了7块灰色小方砖；继续往下贴，如图③…… (1)照这样的规律贴上第4组瓷砖后，一共用多少块灰色的小方砖？请你在上面图③上接着画一画，或者写一写，表示出你的解答过程。 (2)小冬说：当按照这样的规律贴到第8组瓷砖，一共有25块灰色小方砖。这种说法对吗？请你说明理由。 (3)如果贴到第n组，那么一共需要多少块灰色的小方砖？ (4)当n＝20，请根据第（3）题的式子，计算出一共需要多少块灰色的小方砖。 【答案】(1) 13块； (2)对；理由：一共需要的小方砖块数组数；当贴到第组时，总块数是：（块），计算结果为25块，与小冬的说法一致，所以说法正确。 (3)块； (4)61块； 【思路引导】（1）先对比第1组、第2组和第3组的灰色砖数量，得出“每增加1组，灰色小方砖增加3块”的规律，再根据这个规律画出第4组； （2）观察可知，一共需要的小方砖块数＝3×组数＋1；当贴到第8组时，把组数代入即可确认小冬的说法是否正确； （3）一共需要的小方砖块数＝3×组数＋1，如果贴到第n组，把n代入就可以计算出一共需要多少块灰色的小方砖； （4）将代入（3）中的式子，计算出结果即可。 【完整解答】（1）画图略； 第1组用了4块，第2组用了7块，第3组用了10块， （块），（块），每增加1组，灰色小方砖增加3块， 所以第4组的块数是：（块） 答：一共用13块灰色的小方砖。 （2）一共需要的小方砖块数＝3×组数＋1，当贴到第8组时，需要的块数是： （块） 答：小冬的说法正确。理由：一共需要的小方砖块数＝3×组数＋1，当贴到第8组时，需要的块数是块。 （3）一共需要的小方砖块数＝3×组数＋1，当组数为n时，需要的块数是： （块） 答：一共需要块灰色的小方砖。 （4） （块） 答：一共需要块灰色的小方砖。 【举一反三练习3】（25-26五年级上·广东广州·阶段检测）把一些相同规格的杯子叠起来（如图），4个杯子叠起来高20厘米，6个杯子叠起来高26厘米，n个杯子叠起来的高度可以用下面（    ）的式子来表示。    A．6n－10 B．3n＋11 C．3n＋8 D．3n＋10 【答案】C 【思路引导】由题可知，第一个杯子是完整高度，后面每增加一个杯子，只增加杯沿的高度，不是增加一整个杯子的高度。由题先求出每多1个杯子增加的高度，再求1个杯子自身的基础高度，最后由1个杯子自身的基础高度加（n－1）个高度，写出n个杯子的高度即可。 【完整解答】杯子增加数量：6－4＝2（个） 增加高度：26－20＝6（厘米） 每多1个杯子增加的高度：6÷2＝3（厘米） 1个杯子自身的基础高度：20－（4－1）×3 ＝20－3×3 ＝20－9 ＝11（厘米） n个杯子的高度：11＋（n－1）×3 ＝11＋3n－3 ＝3n＋8 【举一反三练习4】（24-25四年级下·宁夏银川·期末）探索与发现：奇思想研究摆图形的规律，他用小圆片按照一定的规律摆图形，如下图所示。 (1)按照这样的规律，请你在第4幅图的位置上画一画摆出的图形。    (2)按照这样的规律，摆第10幅图需要多少个圆片？用算式表达出你的思考过程。 (3)你一定发现了其中的规律，试着用简洁的方式把你发现的规律表示出来。 【答案】(1) (2)摆第10幅图需要41个圆片，4×10＋1＝41（个） (3)第幅图需要小圆片的个数为4n＋1个。 【思路引导】探索图形规律，先数出每一幅图小圆片的数量，观察前后图形数量的变化，找出数量关系，再利用规律画图、计算。 第1幅：5个圆片；第2幅：9个圆片；第3幅：13个圆片。每往后一幅图，增加4个小圆片。 【完整解答】（1）略 （2）第1幅：4×1＋1＝5（个） 第2幅：4×2＋1＝9（个） 第3幅：4×3＋1＝13（个） 摆第10幅： 4×10＋1＝41（个） 答：摆第10幅图需要41个圆片。 （3）每一幅图圆片的数量等于图的序号乘4再加1；每增加一幅图，就增加4个小圆片；规律：摆第n幅图，需要4n＋1个小圆片。 【奥数拓展五】等式的认识及列等量关系式 【典例精讲】（25-26五年级上·福建福州·阶段检测）下面选项中不能用方程“3x＋2＝40”来表示的是（    ）。 A．买3千克李子，每千克x元，付出40元，找回2元。 B．用一根40厘米长的细绳绕瓶子3圈，每圈x厘米，还剩下2厘米。 C．3个小球总质量比一个大球重2克，一个小球的质量为x克，一个大球的质量为40克。 D．学校举办绘画赛。二年级有40人参加，比四年级x人的3倍还多2人。 【答案】C 【思路引导】明确方程表示的等量关系是x的3倍加2等于40，逐一判断各选项的等量关系是否匹配即可。 【完整解答】A．李子总价加找回的钱等于付出的总钱数，列方程得，符合； B．绕瓶子3圈的长度加剩余长度等于细绳总长度，列方程得，符合； C．3个小球的总质量减大球质量等于多出的质量，列方程得，不符合； D．四年级参赛人数的3倍加多的2人等于二年级参赛人数，列方程得，符合。 【举一反三练习1】（25-26五年级上·河南南阳·期中）根据线段图，补充题目中的信息，并写出数量关系式。 “最是书香能致远，腹有诗书气自华。”为营造书香校园，学校新购进一批图书。其中，故事类图书有2160本，( )，科普类图书有多少本？ 本题的数量关系式是( )。 【答案】 故事类图书本数比科普类图书本数的3倍多390本 科普类图书本数×3＋390＝故事类图书本数 【思路引导】观察线段图，已知故事书的数量，故事书的数量去掉多出来的390本之后，剩下的部分正好是科普书数量的3倍。根据这个线段图的数量关系，补充题目条件，再写出对应的数量关系式。 【完整解答】①已知故事书的数量，求科普类图书的数量，补充条件：故事类图书比科普类图书的3倍多390本。 ②数量关系式：科普类图书本数×3＋390＝故事类图书本数 【举一反三练习2】（25-26五年级上·河南新乡·阶段检测）学习方程后，同学们纷纷试着运用方程解决问题。下面选项中不能用方程“3x＋6＝30”来表示的是（    ）。 A．买3千克桃子，每千克桃子x元，付出30元，找回6元。 B．绕保温杯一圈长x厘米，用一根30厘米长的细绳绕保温杯3圈，还多出6厘米。 C． D． 【答案】C 【思路引导】A．每千克桃子的价格×数量＝桃子总价钱，桃子总价钱＋找回的钱＝付的钱，据此列出方程。 B．绕保温杯一圈的长度×圈数＋多出的长度＝总绳长，据此列出方程。 C．上面的总数×3＋多出去的部分＝下面的总数，上面的总数＋下面的总数＝两段的总数，据此列出方程。 D．天平左边的总重量＝天平右边的重量，据此列出方程。 【完整解答】A．根据等式列方程：； B．根据等式列方程：； C．根据等式列方程：，化简为：； D．根据等式列方程：。 【举一反三练习3】（24-25六年级下·四川成都·期末）为了引导学生广泛阅读，兰海小学购买了《时间简史》190本，购买的《时间简史》的本数比购买的《果壳中的宇宙》本数的3倍多10本。兰海小学购买了《果壳中的宇宙》多少本？三名学生表示的数量关系中，错误的是（    ）。 A．聪聪：《果壳中的宇宙》本数×3＋10＝190 B．明明：《果壳中的宇宙》本数×3＝190＋10 C．童童： 【答案】B 【思路引导】根据题意可得：《果壳中的宇宙》本数×3＋10本＝《时间简史》的本数，《果壳中的宇宙》本数×3＝《时间简史》的本数－10本，据此逐项分析。 【完整解答】A．聪聪：《果壳中的宇宙》本数×3＋10＝190正确。 B．《果壳中的宇宙》本数×3＝《时间简史》的本数－10本，所以明明错误。 C．由童童的线段图可得《时间简史》的本数比购买的《果壳中的宇宙》本数的3倍多10本，正确。 【举一反三练习4】（25-26四年级下·广东湛江·期末）下面选项中的等量关系不能用方程表示的是（    ）。 A． B． C．3个小球的总质量比1个大球重2克，1个小球的质量为克，1个大球的质量为20克 D．买3千克苹果，每千克苹果元，付了20元，找回2元 【答案】C 【思路引导】A．总长度是x的3倍多2； B．天平左边是3个x克的物体加一个2克的物体，右边是20克的物体，天平平衡； C．用3个小球的总质量减去2克，得到的就是1个大球的质量； D．用3千克苹果的价钱加上找回的钱，就是总钱数。 【完整解答】A．等量关系式为：，可以表示； B．等量关系式为：，可以表示； C．等量关系式为：，不能表示； D．等量关系式为：，可以表示。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull