第五单元 用字母表示数和数量关系-思维拓展【导图知识卡片+知识梳理+5个考点讲练+5个奥数拓展+真题难度分层演练 共50题】2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三单元复习培优讲义

该小学数学讲义通过思维导图系统构建“用字母表示数和数量关系”知识体系，知识梳理部分用表格归纳数量关系模型、运算定律及公式，结合实例解析书写规范、化简求值等重难点，清晰呈现知识内在逻辑与层次。 讲义亮点在于分层练习设计，高频考点讲练精选名校易错题如“三角形边长表示”，奥数拓展通过“摆正方形小棒规律”培养推理意识，真题演练分能力提升与思维创新层，助力不同学生发展符号意识与模型意识，配套方法技巧指导支持学生自主复习，为教师精准教学提供系统资源。

null2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 第五单元用字母表示数和数量关系『举一反三知识讲练」 (思维拓展版) 【原卷版】 (思维导图+知识梳理+5个考点讲练+4个奥数拓展+真题难度分层演练共47题) 讲义简介内容梳理 同学你好，该份讲义用于人教版新教材五年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套 内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1.导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标： 2.知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3.优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压 轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4.奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩 中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5.优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学 生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合人 教版五上新教材内容制作，与课本内容配套)，学习效率更高哦！ 目录指引内容知晓 导图指引梳理脉络.. 2 知识梳理温故知新 3 知识点一用字母表示数.… 知识点二用字母表示数量关系..... 知识点三用字母表示运算定律及计算公式， 知识，点四用字母表示稍复杂的数量关系 知识点五利用等式的性质求未知数.· ……5 知识点六含有字母式子的化简与求值.… 知识点七数与形（归纳递推） 6 考点讲练真题汇总. 第1页共15页 2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 高频考点一用字母表示数量关系(1个未知数) 6 高频考点二用字母表示运算定律及计算公式.·· 高频考点三含有字母式子的化简与求值. 高频考点四用字母表示规律… .8 高频考点五等式的认识及列等量关系式.… P 难点突破奥数拓展.· 9 奥数拓展一用字母表示数量关系(1个未知数) 奥数拓展二用字母表示运算定律及计算公式.·· 10 奥数拓展三含有字母式子的化简与求值.·. 10 奥数拓展四用字母表示规律...··. 11 优选真题实战演练.·…· 12 【能力提升练】 12 【思维创新练】 13 导图指引梳理脉络 ①用字母表示数 Q用字母表示物体个数的关系 ①表示具体的数 0排列规律 字母可以表示任意一个数。 a表示任意一个数。 0 a可以是11,57,2240… g m张桌子拼在一起 ②表示运算定律和性质 1个 2个 3个 切个 可以坐(2+2m)人 可坐2人 可坐4人 可坐6人 可坐(2+2m)人 ·加法交换律： a+b=bta 字排和字提 即m=2+2m 2+2×1 2+2×2 2+2×3 2+2×m ·加法结合律」 a+b+c=a+(b+c) 相乘时，乘号 ,乘法交换律 a×b=bxa 可以记作 也可以省略不写 ·乘法结合律： axbxc=ax(b×c) 日探索数表规律 axbxc=abe ·乘法分配律： ax(b+c)=a×b+axd 1234910 观察发现： a3读作a的平方 ab读作a与b 49999 111213141920 ·向右相邻两个数相差1 ③表示常见的数量关系 ·向下相邻两个数相差10 的积 爸爸的年龄■小红的年龄+25 五 9192939499100 对角相邻两个数相差11 小红的年龄用a表示，爸爸的年龄用b表示 b=0 用字母表示数 ⑤用字母表示数量关系的应用 2用字母表示数量关系 和数量关系 ①表示倍数关 ①温度与摄氏温度的关系 2溶汁问题 在地球上能举起的物体质量=在地球上能举起的物体质量×6 单元复习思维导图 华氏温度=摄氏温度×1.8+32 如果每小杯果汁ag,3小杯可以 n×6=6n F=1.8C+32 装1200g ,在月球上能举起的物体质量。在地球上能带起的物体质量×司 c=F-32 用含字母的式子表示： (1与字母相乘时，1通常省略不写 1.8 a×3=1200 ②表示相遇问题 甲，a千米时一上.b千米时一之 ③实际应用 。速度、时间、路程间题 ,工作效率网题（工作总量=效率×时间 相遇时间=总路程+（甲、乙速度和） t=s÷(a+b) ,年验问题（益签的年龄一小红的年龄+25）·锦数问题（一个数的厅倍一这个数×和） :购物问题（总价=单价×数量】 日表示相同加数的和 ,相语问题（任=s+(a+b)) 个数+一个数+ …+一个数(n个)=这个数×n a+a+…+a(n个)=a×n成n×a ⑥解决问题的策略 目用字母表示路程、速度、时间之间的关系 P找规律 列式表达 高整体思想 ○转化思想 路程=速度×时同 小明一家自驾旅游，平均每小时 以形数表生 用含有字母的式子 现象中找出变化规 表示数量关系 从整体出发， 将实际问题转化为 行驶vkm,行被了t小时，共行驶skm = 砂= = 宇母表示 解决实际问腿 分析部分与整体 数学横型，利用 v=三(t≠0) 的关系，简化问题 字母表示数量关系 时同=路程+速度 如年龄，路程 cam 图形排列规律 倍数等问题。 如拼桌子间题 解决问题。 t=(p≠0) 总结：用字母可以简明地表示数、数量关系、运算定律和性质，解决实际问题，让数学更简洁、更有规律！ 第2页共15页 2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 知识梳理温故知新 知识点一用字母表示数 1.基本概念 在数学中，我们可以用字母（如a,b,c,x,y等）来表示数。字母可以表示任意数，也可以表示特定的 数。 (1)作用：使表达更简洁，具有普遍性。 (2)取值范围：字母表示的数通常有一定的取值范围，需符合实际意义。例如，人的年龄不能是负 数，也不能超过合理寿命（如a<150)。 2.书写规范（重点） (1)数字与字母相乘时，乘号可以记作“.”或省略不写。 (2）数字必须写在字母前面。 例：a×4写作4a(不可写作a4)。 例：b×1写作b（1通常省略)。 (3)字母与字母相乘，乘号可省略或记作“”。 例：a×b写作ab或ab。 (4)注意：加号、减号、除号以及数字与数字之间的乘号不能省略。 3.相同字母相乘 (1)a×a写作a,读作“a的平方”，表示2个a相乘。 (2)易错区分： ①a2=a×a ②2a=a+a=a×2 ③当a=2时，a2=4,2a=4(相等)；当a=3时，a2=9,2a=6(不相等)。 知识点二用字母表示数量关系 1.常见数量关系模型 利用字母表示常见的加减关系，关键在于找准“标准量”和“比较量” 关系类型 文字描述 字母表达式示例 加法关系 比x多a的数 x+a 减法关系 比x少a的数 x-a 第3页共15页 2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 倍数关系 x的a倍 ax 逆倍数 x是某数的a倍，求某数 x÷a 2.实际应用示例 (1)年龄问题：小明今年x岁，爸爸比小明大28岁，爸爸今年(x+28)岁。 (2)购物问题：苹果每千克a元，买5千克应付5a元。 (3)剩余问题：一本故事书共m页，看了n天，每天看k页，还剩(m-nk)页。 知识点三用字母表示运算定律及计算公式 1,运算定律 使用字母表示运算定律，体现数学的通用性。 (1)加法交换律：a+b=b+a (2)加法结合律：(a+b)+c=a+b+c) (3)乘法交换律：ab=ba (4)乘法结合律：(ab)c=abc) (5)乘法分配律：(a+b)c=ac+bc 2.平面图形计算公式 设正方形的边长为a,长方形的长为a、宽为b。 图形 周长公式（C) 面积公式（S) 正方形 C=4a S=a2 长方形 C=2(a+b) S=ab 知识点四用字母表示稍复杂的数量关系 1.两步及以上运算的关系 涉及混合运算时，需注意运算顺序，必要时使用括号。 (1)示例1：学校买来×个足球，篮球的个数比足球的3倍少5个。 篮球个数：3x-5 (2)示例2：甲数是a,乙数比甲数的2倍多b。 乙数：2a+b (3)示例3：修路队第一天修了a米，第二天修的是第一天的2倍，两天共修多少米？ 总长度：a+2a=3a 2.含有两个未知量的简单关联 第4页共15页 2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 虽然本阶段主要侧重一个主变量，但需理解总量与分量的关系。 (1)总路程=速度×时间：若速度为V,时间为t,则路程s=t。 (2)工作总量三工作效率×工作时间：若效率为a,时间为t,则总量W=at。 知识点五利用等式的性质求未知数 1.等式的性质 (1)性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 若a=b,则a+c=b+c,a-c=b-co (2)性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 若a=b,则ac=bc;若c≠0，则a÷c=b÷co 2.简易求解思路（算术法过渡到代数法） (1)对于x+a=b,利用减法关系：x=b-a。 (2)对于ax=b,利用除法关系：x=b÷a。 (3)对于x-a=b,利用加法关系：x=b+a。 (4)对于x÷a=b,利用乘法关系：x=ab。 知识点六含有字母式子的化简与求值 1.式子的化简 利用乘法分配律合并同类项。 (1)ax+bx=(a+b)x (2)ax-bx=(a-b)x (3)示例： ①3a+5a=(3+5)a=8a ②7x-2x=5x ③4y+y=5y(注意：y等同于1y) 2.式子求值步骤 (1)写出原式：抄写含有字母的式子。 (2)代入数值：将字母替换为具体的数字（注意添加乘号或括号)。 (3)计算结果：按照运算顺序计算出最终数值，并带上单位（如果有)。 (4)示例：当a=5,b=3时，求2a+3b的值。 解：当a=5,b=3时， 第5页共15页 2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 2a+3b=2×5+3×3 =10+9 =19 知识点七数与形（归纳递推） 1.找规律方法 通过观察图形数量或数字序列的变化，找出第n个图形/数字与序号之间的关系。 2.常见模型 (1)线性增长模型： ①摆三角形：1个三角形用3根小棒，2个连摆用5根，3个连摆用7根… ②规律：每增加1个三角形，增加2根小棒。 ③第n个图形所需小棒数：3+2(n-1)=2n+1。 (2)正方形点阵： ①第1个图1个点，第2个图4个点，第3个图9个点… ②规律：点数是序号的平方。 ③第n个图的点数：n。 3.解题策略 (1)列表整理前几个数据。 (2)观察相邻两项的差或倍数关系。 (3)尝试用含n的式子表示，并验证前几项是否成立。 考点讲练真题汇总 高频考点一用字母表示数量关系(1个未知数) 【典例精讲】(25-26五年级上·福建莆田·阶段检测)一个三角形，最长边与最短边相差2Cm,如果这个 三角形最长边是xcm,且周长是19cm,那么第二长的边是( ）cm。 【变式训练1】(25-26五年级上江苏常州阶段检测)一本书有a页，小梁每天看8页，6天后还剩( 页；当a是()时，照这样的速度再看2天，就能全部看完。 【变式训练2】(26-27五年级上·辽宁·单元测试)如图所示，丽丽在月历上框出了三组数，下面四个选 项分别是用不同的方式表示的每组4个数之间的关系，其中最合理的是( )。 第6页共15页 2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 日 三 四 五六 2 % 5 7 8 9 10 111213 14 15 16 17 189 20 21 22:23 2425 26 27 282930 1 +1=2,8+1=9 8-1=7.9-2=7 A A+1 a a+1 B B+1 a+7 a+8 高频考点二用字母表示运算定律及计算公式 【典例精讲】用α表示工作效率，t表示工作时间，c表示工作总量，分别写出它们之间的数量关系。 a= t= C= 先从下面选出合适的信息，再用上面的一个式子解决问题。 ①小锦每天要练150个字。 ②小锦每分钟练5个字。 ③小锦每天要练半小时的字。 我选的信息是 0 (填序号) 我要解决的问题是 【变式训练1】(26-27五年级上·辽宁·单元测试)23可以表示为10×2+3，如果一个三位数百位、十 位和个位上的数字分别是a、b、c,那么这个三位数可以表示为( )。 【变式训练2】(26-27五年级上·辽宁·单元测试)一个长方形的长是a米，宽是b米(a>b),它的周 长是( )米，面积是( )平方米。从这个长方形上剪下一个最大的正方形，正方形的面积是 )平方米。 高频考点三含有字母式子的化简与求值 【典例精讲】(25-26五年级上河南许昌阶段检测)当a=2时，a2=2a:当a≠2时，a2≠2a。( (判断对错) 第7页共15页 2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 【变式训练1】(25-26五年级上·湖南衡阳·阶段检测)甲缸有金鱼条，若乙缸比甲缸的2倍少3条， 则乙缸有( )条金鱼；若甲缸比乙缸的2倍少3条，则乙缸有( )条金鱼。 【变式训练2】(26-27五年级上·辽宁·单元测试)合唱小组女生有30人，比男生少x人，合唱小组一 共有( )人。 A.30-x B.30+x C.60+x D.60-x 高频考点四用字母表示规律 【典例精讲】(26-27五年级上·全国·课后作业)如图①是三角形，分别连接这个三角形的三边的中点 得到图形②，再分别连接图②中间小三角形的三边的中点，得到图形③，S表示三角形的个数。 (1)当n=4时，S= 0 (2)请按此规律写出用n表示S的公式 n=1s=1 n=2s=5 n=3s=9 【变式训练1】（26-27五年级上·全国·课后作业)某电影院的第一排有m个座位，后面每排比前一排多 2个座位，则第k排的座位数是 个。 【变式训练2】(26-27五年级上·辽宁·单元测试)用小棒按如下规律摆三角形。 △ (1)摆n个三角形需要( )根小棒。 (2)用301根小棒可以摆( )个三角形。 高频考点五等式的认识及列等量关系式 【典例精讲】(25-26五年级上·河北邢台·阶段检测)每千克草鱼的价钱是元，每千克鳙鱼比每千克 草鱼便宜7.5元，那么(a-7.5)表示的是 一，如果2千克草鱼和3千克鳙鱼的价格相等，将这 一关系用含有字母的等式表示出来是 0 【变式训练1】(25-26五年级上·贵州黔南·阶段检测)用中国传统绘画颜料绘制一幅画卷，其中“朱砂” 颜料的用量是“石青”颜料用量的1.5倍，两者相差20克。下面选项中，能够反映题中数量关系的是 ①“朱砂”颜料用量×1.5=“石青”颜料用量 ②“朱砂”颜料用量一“石青”颜料用量=20克 第8页共15页 2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 ③“石青”颜料用量×1.5=“朱砂”颜料用量 A.②③ B.①② C.①②③ 【变式训练2】看图列关系式。 x克x克x克 30克 30克 难点突破奥数拓展 奥数拓展一用字母表示数量关系(1个未知数) 【典例精讲】(25-26五年级上·甘肃白银·期末)如下图，摆1个正方形用4根火柴，摆2个正方形用7 根火柴…那么摆8个正方形需( )根火柴，摆n个正方形用( )根火柴，用31根火柴 可以摆( )个正方形。 【变式训练1】(23-24四年级下·北京海淀·期末)妙想用小圆片按照一定的规律摆图形，如下图所示。 摆第1幅图用了5个圆片，摆第2幅图用了9个圆片，摆第3幅图用子13个圆片。 ● ●●●●● ●●●●●●● ● ● ● 第1幅 第2幅 第3幅 第4幅 (1)按照这样的规律，请你在第4幅图的位置上画一画摆出的图形。 (2)按照这样的规律，请你想一想，填一填。 第几幅 2 3 4 需要圆片个 5 9 13 数 (3)按照这样的规律，摆第10幅图需要多少个圆片？用算式表达出你的思考过程。 (4)通过解决前面摆图形需要多少个圆片的问题，你一定发现了其中的规律，试着用简洁的方式把你发现 第9页共15页 2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 的规律表示出来。 【变式训练2】(23-24五年级下·江苏南京·期中)如图，在长方形中有一个等腰直角三角形，长方形的 长比等腰直角三角形的腰多厘米，空白部分甲的周长比涂色部分乙的周长多( )厘米。 A知 B.m C.2m D.3m 奥数拓展二用字母表示运算定律及计算公式 【典例精讲】(26-27五年级上·全国·课后作业)根据运算定律在横线上填适当的数或字母。 a十b= +a a+(7+b)=(+ )十7 x°y…4=4·( 10-2m-3n=10-( 5x+6x=( )·X (n+b)×c= 十 十 【变式训练1】(25-26五年级上山东济宁·阶段检测)一个长方形长a米，宽b米，它的周长是( 米，面积是( )平方米；如果a=8,b=5,那么它的周长是( )米，面积是( )平方米。 【变式训练2】(24-25五年级上·辽宁鞍山·期中)用v表示速度，t表示时间，s表示路程，分别写出 它们之间的数量关系。 (1)S=-,=-t= (2)从上面选一个公式解决问题。 如果每分钟骑行260米，30分钟骑行的路程是多少米？ 奥数拓展三含有字母式子的化简与求值 【典例精讲】(25-26五年级上·江苏常州·阶段检测)在一场篮球比赛中，姚叔叔共投进个2分球和b 个3分球。 (1)用式子表示姚叔叔一共得到的分数。 第10页共15页 2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 (2)当a=11,b=6时，姚叔叔一共得了多少分？ 【变式训练1】(25-26五年级上·广东东莞·阶段检测)小马虎在计算4(+5)时漏写了括号，这样所 得的结果比正确结果小( )。 【变式训练2】(25-26五年级上·江苏常州·阶段检测)小马虎在计算4×(a十2.5)时，错算成了4a 十2.5，这样算得的结果比正确结果小( )。 奥数拓展四用字母表示规律 【典例精讲】(26-27五年级上·辽宁·单元测试)如图所示，一张桌子可以坐6人，2张桌子并起来可以 坐10人，3张桌子并起来可以坐14人，照这样摆，26人需要( )张桌子，n张桌子并起来可以坐 )人 9 【变式训练1】观察如图中的规律，画出图④中的图形。如果继续画下去，那么图( )中有15个 □， 图⑩中有( )个△。 □△△△ △△ △△△ △ ① ② ③ ④ 【变式训练2】(26-27五年级上·辽宁·课后作业)“时代列车”是一种集体单脚跳行进游戏，是趣味运 动项目之一。 如图所示，每队成员需排成纵队，第一位队员双脚站立并用单手揽住第二位队员前伸的腿，第二位队员用 单手揽住第三位队员前伸的腿，另一只手搭在前面队员的肩上，此后队员以此类推。 6个人参加游戏，有( )只脚着地；n个人参加游戏，有( ）只脚着地。 第11页共15页 2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 优选真题实战演练 【能力提升练】 1.(25-26五年级上·江苏常州·阶段检测)一个两位数，它的个位数字是a,十位数字是b,这个两位数 可以写成( )。 A.ab B.a+b C.10a+b D.10b+a 2.(25-26五年级上·山东德州·阶段检测)下列可以用6x+5表示的是( )。 ①有一袋大米，每天吃x千克，吃了6天后，还剩5千克，原来这袋大米有多少千克？ ②小芳x岁，爸爸的年龄正好是她的7倍，小芳5岁时，爸爸多少岁？ ③桶里有x千克的水，又加入6杯，每杯5千克，现在桶里的水有多少千克？ ④小明今年6岁，妈妈的年龄比他的x倍还大5岁。妈妈今年多少岁？ A.①② B.①③ C.①④ D.①②④ 3.(24-25五年级上·贵州铜仁·期末)在推导三角形面积如何计算时，小芳将一个直角三角形折成了一 个小长方形（如图）。原来三角形的面积是( )。 a A.ab B.4ab C.2ab D.ab÷2 4.(25-26五年级上·河北衡水·阶段检测)磁悬浮列车的速度可达430千米/时，进站前，平均每分钟减 速m千米/时。10分钟后速度为( )千米/时。 5.(25-26五年级上·江苏常州·阶段检测)如下图，摆一个正方形用4根小棒，增加一个正方形多用3 根小棒…填写下表。 ●●●●●● 增加正方形的个数 2 共要用的小棒根数 第12页共15页 2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 如果用a表示增加正方形的个数，那么一共要用的小棒根数是( ）。 6.(25-26五年级上·广东江门·阶段检测)一个鼠标的价格是x元，一个键盘的价格是鼠标的3.5倍， 一个键盘是( )元，一个鼠标比一个键盘便宜( )元。 7.(25-26五年级上·河南许昌·阶段检测)仓库有货物84吨，运了12车，每车运b吨，这里的b可以 等于8。（)（判断对错） 8.(25-26五年级上·江苏常州·阶段检测)某市电费缴费标准：每月用电不超过100千瓦时，按每千瓦 时0.52元收费：超过100千瓦时，超过部分按每千瓦时0.6元收费。 (1)小红家11月份用电a千瓦时，a不大于100，小红家需缴纳的电费用字母表示是( )元：小丽家 11月份用电b千瓦时，b大于100，小丽家需缴纳的电费用字母表示是( )元。 (2)当a=95,b=136时，小丽家十一月份需缴纳的电费比小红家多多少元？ 9.(25-26五年级上·贵州黔西南·阶段检测)妈妈想给小红的书桌配一把学生座椅，她查阅了相关资料。 学生座椅的高度至关重要：它要与学生 某品牌学生座椅专卖店建议最适宜的学生座椅 的身高相匹配。高度不合适的座椅可能 高度：学生身高的厘米数乘0.25，再加2厘米。 导致学生坐姿不正确，甚至引发驼背。 (1)某学生的身高是a厘米，最适宜这个学生的座椅高度是( )厘米。（用含有字母的式子表示） (2)小红的身高是145厘米，最适宜她的座椅高度是多少厘米？ 10.（25-26五年级上·山东济宁·阶段检测)甲、乙两辆汽车分别从相距270千米的两地同时相对开出， 经过1.5小时相遇。甲车每小时行85千米，乙车每小时行多少千米？（列方程解答） 第13页共15页 2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 【思维创新练】 1.(25-26五年级上·江苏扬州·阶段检测)根据算式的规律：0.9+0.99=1.89； 0.9+0.99+0.999=2.889: 0.9+0.99+0.999+0.9999=3.8889: 0.9+0.99+0.999+…+0.99…9=( o 10个9 A.9.88…89 B.9.88…89 C.10.88…89 D.10.88…89 9个8 10个8 9个8 10个8 2.(25-26五年级上·福建莆田·阶段检测)当x>0时，下列两个式子相等的是( )。 A.x+x和x2 B.x×2和x2 C.x2和x·x D.x·x和x十2 3.(25-26五年级上·贵州遵义·阶段检测)一瓶果汁连瓶重a千克，倒出一半后连瓶重3.14千克，瓶里 原来有多少千克果汁，下面列式正确的是( )。 A.a÷2-3.14 B.3.14×2-a C.(a-3.14)×2 D.a-3.14 4.(25-26五年级上·江苏常州·阶段检测)在括号里填上“>”“<”或“=”。 5×5( )5 6( )12 3b×3b( )9b 5x-4x( )x 8n÷m( )1 a×4( )a+a+a+a 5.(25-26五年级上·新疆喀什·阶段检测)李老师拿100元人民币去买钢笔，一支钢笔的单价是8.5元， 老师买了a支钢笔应付( )元，应找回( )元，若a=10时，应找回( )元。 6.(26-27五年级上·辽宁·单元测试)学校有x个排球，篮球的个数是排球的3倍，排球的个数比足球 多10个。x一10表示( ),3x表示( ),篮球和排球一共有( )个， 排球和足球一共有( )个。 7.（26-27五年级上·全国·课后作业)甲数是a,比乙数的6倍少b,求乙数的式子是4a一b。( (判断对错) 8.(26-27五年级上·全国·课后作业)某市出租车的起步价为8元(3千米及以内)，超过3千米的部 分，每千米2.5元计费（不足1千米按1千米计算）小明乘出租车行了m(m>3)千米。 (1)用式子表示小明乘出租车应付的钱。 (2)当m=12时，小明应付多少元？ 第14页共15页 2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 9.(26-27五年级上·辽宁·单元测试)如下图所示，淘气和笑笑在玩拼图形游戏，他们是这样玩的：（1) 选出能拼成长方形的两个图形；(2)画出拼成的图形：(3)用字母表示出拼成图形的长、宽和面积。 ② ③ a⑤ ① m b 6 m m 0 n ① 用①②拼成长方形，长 它的面积是 e ② 笑笑 是m,宽是（n+a）。 (mn+ma)o m 淘气 除了淘气和笑笑的拼法，你还有其他拼法吗？ (1)我用( )拼成长方形。（填序号） (2)在如图的框中画出拼成的长方形。 (3)长方形的长是( ),宽是( ),面积是( )。 10.（26-27五年级上·辽宁·课后作业)小区花坛外围的墙面要贴上瓷片，贴瓷片的师傅将瓷片按如图所 示的方式拼成一组图案，图案由宽为的4个完全一样的小长方形瓷片拼成，用式子表示整个图形的周长 和面积。 2 第15页共15页2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 第五单元 用字母表示数和数量关系『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【原卷版】 （思维导图+知识梳理+5个考点讲练+4个奥数拓展+真题难度分层演练 共47题） 同学你好，该份讲义用于人教版新教材五年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合人教版五上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 导图指引 梳理脉络 2 知识梳理 温故知新 3 知识点一 用字母表示数 3 知识点二 用字母表示数量关系 3 知识点三 用字母表示运算定律及计算公式 4 知识点四 用字母表示稍复杂的数量关系 4 知识点五 利用等式的性质求未知数 5 知识点六 含有字母式子的化简与求值 5 知识点七 数与形（归纳递推） 6 考点讲练 真题汇总 6 高频考点一 用字母表示数量关系（1个未知数） 6 高频考点二 用字母表示运算定律及计算公式 7 高频考点三 含有字母式子的化简与求值 7 高频考点四 用字母表示规律 8 高频考点五 等式的认识及列等量关系式 8 难点突破 奥数拓展 9 奥数拓展一 用字母表示数量关系（1个未知数） 9 奥数拓展二 用字母表示运算定律及计算公式 10 奥数拓展三 含有字母式子的化简与求值 10 奥数拓展四 用字母表示规律 11 优选真题 实战演练 12 【能力提升练】 12 【思维创新练】 13 知识点一 用字母表示数 1. 基本概念 在数学中，我们可以用字母（如 等）来表示数。字母可以表示任意数，也可以表示特定的数。 (1) 作用：使表达更简洁，具有普遍性。 (2) 取值范围：字母表示的数通常有一定的取值范围，需符合实际意义。例如，人的年龄 不能是负数，也不能超过合理寿命（如 ）。 2. 书写规范（重点） (1) 数字与字母相乘时，乘号可以记作“ ”或省略不写。 (2) 数字必须写在字母前面。 例： 写作 （不可写作 ）。 例： 写作 （1通常省略）。 (3) 字母与字母相乘，乘号可省略或记作“ ”。 例： 写作 或 。 (4) 注意：加号、减号、除号以及数字与数字之间的乘号不能省略。 3. 相同字母相乘 (1) 写作 ，读作“ 的平方”，表示2个 相乘。 (2) 易错区分： 1　 2　 3　 当 时， （相等）；当 时， （不相等）。 知识点二 用字母表示数量关系 1. 常见数量关系模型 利用字母表示常见的加减关系，关键在于找准“标准量”和“比较量”。 关系类型 文字描述 字母表达式示例 加法关系 比 多 的数 减法关系 比 少 的数 倍数关系 的 倍 逆倍数 是某数的 倍，求某数 2. 实际应用示例 (1) 年龄问题：小明今年 岁，爸爸比小明大28岁，爸爸今年 岁。 (2) 购物问题：苹果每千克 元，买5千克应付 元。 (3) 剩余问题：一本故事书共 页，看了 天，每天看 页，还剩 页。 知识点三 用字母表示运算定律及计算公式 1. 运算定律 使用字母表示运算定律，体现数学的通用性。 (1) 加法交换律： (2) 加法结合律： (3) 乘法交换律： (4) 乘法结合律： (5) 乘法分配律： 2. 平面图形计算公式 设正方形的边长为 ，长方形的长为 、宽为 。 图形 周长公式 ( ) 面积公式 ( ) 正方形 长方形 知识点四 用字母表示稍复杂的数量关系 1. 两步及以上运算的关系 涉及混合运算时，需注意运算顺序，必要时使用括号。 (1) 示例1：学校买来 个足球，篮球的个数比足球的3倍少5个。 篮球个数： (2) 示例2：甲数是 ，乙数比甲数的2倍多 。 乙数： (3) 示例3：修路队第一天修了 米，第二天修的是第一天的2倍，两天共修多少米？ 总长度： 2. 含有两个未知量的简单关联 虽然本阶段主要侧重一个主变量，但需理解总量与分量的关系。 (1) 总路程 = 速度 时间：若速度为 ，时间为 ，则路程 。 (2) 工作总量 = 工作效率 工作时间：若效率为 ，时间为 ，则总量 。 知识点五 利用等式的性质求未知数 1. 等式的性质 (1) 性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 若 ，则 ， 。 (2) 性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 若 ，则 ；若 ，则 。 2. 简易求解思路（算术法过渡到代数法） (1) 对于 ，利用减法关系： 。 (2) 对于 ，利用除法关系： 。 (3) 对于 ，利用加法关系： 。 (4) 对于 ，利用乘法关系： 。 知识点六 含有字母式子的化简与求值 1. 式子的化简 利用乘法分配律合并同类项。 (1) (2) (3) 示例： 1　 2　 3　 （注意： 等同于 ） 2. 式子求值步骤 (1) 写出原式：抄写含有字母的式子。 (2) 代入数值：将字母替换为具体的数字（注意添加乘号或括号）。 (3) 计算结果：按照运算顺序计算出最终数值，并带上单位（如果有）。 (4) 示例：当 时，求 的值。 解：当 时， 知识点七 数与形（归纳递推） 1. 找规律方法 通过观察图形数量或数字序列的变化，找出第 个图形/数字与序号 之间的关系。 2. 常见模型 (1) 线性增长模型： 1　 摆三角形：1个三角形用3根小棒，2个连摆用5根，3个连摆用7根…… 2　 规律：每增加1个三角形，增加2根小棒。 3　 第 个图形所需小棒数： 。 (2) 正方形点阵： 1　 第1个图1个点，第2个图4个点，第3个图9个点…… 2　 规律：点数是序号的平方。 3　 第 个图的点数： 。 3. 解题策略 (1) 列表整理前几个数据。 (2) 观察相邻两项的差或倍数关系。 (3) 尝试用含 的式子表示，并验证前几项是否成立。 高频考点一 用字母表示数量关系（1个未知数） 【典例精讲】（25-26五年级上·福建莆田·阶段检测）一个三角形，最长边与最短边相差2cm，如果这个三角形最长边是xcm，且周长是19cm，那么第二长的边是( )cm。 【变式训练1】（25-26五年级上·江苏常州·阶段检测）一本书有a页，小梁每天看8页，6天后还剩( )页；当a是( )时，照这样的速度再看2天，就能全部看完。 【变式训练2】（26-27五年级上·辽宁·单元测试）如图所示，丽丽在月历上框出了三组数，下面四个选项分别是用不同的方式表示的每组4个数之间的关系，其中最合理的是（    ）。 A． B． C． D． 高频考点二 用字母表示运算定律及计算公式 【典例精讲】用表示工作效率，表示工作时间，表示工作总量，分别写出它们之间的数量关系。 _______________    _______________    _______________ 先从下面选出合适的信息，再用上面的一个式子解决问题。 ①小锦每天要练150个字。 ②小锦每分钟练5个字。 ③小锦每天要练半小时的字。 我选的信息是_______________。（填序号） 我要解决的问题是_____________________________________________ 【变式训练1】（26-27五年级上·辽宁·单元测试）23可以表示为10×2＋3，如果一个三位数百位、十位和个位上的数字分别是a、b、c，那么这个三位数可以表示为( )。 【变式训练2】（26-27五年级上·辽宁·单元测试）一个长方形的长是a米，宽是b米（a＞b），它的周长是( )米，面积是( )平方米。从这个长方形上剪下一个最大的正方形，正方形的面积是( )平方米。 高频考点三 含有字母式子的化简与求值 【典例精讲】（25-26五年级上·河南许昌·阶段检测）当时，；当时，。( )（判断对错） 【变式训练1】（25-26五年级上·湖南衡阳·阶段检测）甲缸有金鱼a条，若乙缸比甲缸的2倍少3条，则乙缸有( )条金鱼；若甲缸比乙缸的2倍少3条，则乙缸有( )条金鱼。 【变式训练2】（26-27五年级上·辽宁·单元测试）合唱小组女生有30人，比男生少x人，合唱小组一共有（    ）人。 A．30－x B．30＋x C．60＋x D．60－x 高频考点四 用字母表示规律 【典例精讲】（26-27五年级上·全国·课后作业）如图①是三角形，分别连接这个三角形的三边的中点得到图形②，再分别连接图②中间小三角形的三边的中点，得到图形③，S表示三角形的个数。 (1)当n＝4时，S＝________。 (2)请按此规律写出用n表示S的公式________。 【变式训练1】（26-27五年级上·全国·课后作业）某电影院的第一排有m个座位，后面每排比前一排多2个座位，则第k排的座位数是________________个。 【变式训练2】（26-27五年级上·辽宁·单元测试）用小棒按如下规律摆三角形。 (1)摆n个三角形需要( )根小棒。 (2)用301根小棒可以摆( )个三角形。 高频考点五 等式的认识及列等量关系式 【典例精讲】（25-26五年级上·河北邢台·阶段检测）每千克草鱼的价钱是a元，每千克鳙鱼比每千克草鱼便宜7.5元，那么（a－7.5）表示的是___________，如果2千克草鱼和3千克鳙鱼的价格相等，将这一关系用含有字母的等式表示出来是____________。 【变式训练1】（25-26五年级上·贵州黔南·阶段检测）用中国传统绘画颜料绘制一幅画卷，其中“朱砂”颜料的用量是“石青”颜料用量的1.5倍，两者相差20克。下面选项中，能够反映题中数量关系的是（    ）。 ①“朱砂”颜料用量×1.5＝“石青”颜料用量 ②“朱砂”颜料用量－“石青”颜料用量＝20克 ③“石青”颜料用量×1.5＝“朱砂”颜料用量 A．②③ B．①② C．①②③ 【变式训练2】看图列关系式。 _______＝_______ 奥数拓展一 用字母表示数量关系（1个未知数） 【典例精讲】（25-26五年级上·甘肃白银·期末）如下图，摆1个正方形用4根火柴，摆2个正方形用7根火柴……那么摆8个正方形需( )根火柴，摆n个正方形用( )根火柴，用31根火柴可以摆( )个正方形。 【变式训练1】（23-24四年级下·北京海淀·期末）妙想用小圆片按照一定的规律摆图形，如下图所示。摆第1幅图用了5个圆片，摆第2幅图用了9个圆片，摆第3幅图用子13个圆片。    （1）按照这样的规律，请你在第4幅图的位置上画一画摆出的图形。 （2）按照这样的规律，请你想一想，填一填。 第几幅 1 2 3 4 （    ） … 需要圆片个数 5 9 13 （    ） （    ） … （3）按照这样的规律，摆第10幅图需要多少个圆片？用算式表达出你的思考过程。 （4）通过解决前面摆图形需要多少个圆片的问题，你一定发现了其中的规律，试着用简洁的方式把你发现的规律表示出来。 【变式训练2】（23-24五年级下·江苏南京·期中）如图，在长方形中有一个等腰直角三角形，长方形的长比等腰直角三角形的腰多m厘米，空白部分甲的周长比涂色部分乙的周长多（    ）厘米。 A． B．m C．2m D．3m 奥数拓展二 用字母表示运算定律及计算公式 【典例精讲】（26-27五年级上·全国·课后作业）根据运算定律在横线上填适当的数或字母。 a＋b＝________＋a                a＋（7＋b）＝（________＋________）＋7 x•y•4＝4•（________•________）       10－2m－3n＝10－（________＋________） 5x＋6x＝（________＋________）•x     （n＋b）×c＝________×________＋________×________ 【变式训练1】（25-26五年级上·山东济宁·阶段检测）一个长方形长a米，宽b米，它的周长是( )米，面积是( )平方米；如果a＝8，b＝5，那么它的周长是( )米，面积是( )平方米。 【变式训练2】（24-25五年级上·辽宁鞍山·期中）用v表示速度，t表示时间，s表示路程，分别写出它们之间的数量关系。 （1）s＝______，v＝______，t＝______。 （2）从上面选一个公式解决问题。 如果每分钟骑行260米，30分钟骑行的路程是多少米？ 奥数拓展三 含有字母式子的化简与求值 【典例精讲】（25-26五年级上·江苏常州·阶段检测）在一场篮球比赛中，姚叔叔共投进a个2分球和b个3分球。 (1)用式子表示姚叔叔一共得到的分数。 (2)当a＝11，b＝6时，姚叔叔一共得了多少分？ 【变式训练1】（25-26五年级上·广东东莞·阶段检测）小马虎在计算4（a＋5）时漏写了括号，这样所得的结果比正确结果小( )。 【变式训练2】（25-26五年级上·江苏常州·阶段检测）小马虎在计算4×（a＋2.5）时，错算成了4a＋2.5，这样算得的结果比正确结果小( )。 奥数拓展四 用字母表示规律 【典例精讲】（26-27五年级上·辽宁·单元测试）如图所示，一张桌子可以坐6人，2张桌子并起来可以坐10人，3张桌子并起来可以坐14人，照这样摆，26人需要( )张桌子，n张桌子并起来可以坐( )人。 【变式训练1】观察如图中的规律，画出图④中的图形。如果继续画下去，那么图（    ）中有15个，图⑩中有（    ）个△。 【变式训练2】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）“时代列车”是一种集体单脚跳行进游戏，是趣味运动项目之一。 如图所示，每队成员需排成纵队，第一位队员双脚站立并用单手揽住第二位队员前伸的腿，第二位队员用单手揽住第三位队员前伸的腿，另一只手搭在前面队员的肩上，此后队员以此类推。 6个人参加游戏，有( )只脚着地；n个人参加游戏，有( )只脚着地。 【能力提升练】 1．（25-26五年级上·江苏常州·阶段检测）一个两位数，它的个位数字是a，十位数字是b，这个两位数可以写成（    ）。 A．ab B．a＋b C．10a＋b D．10b＋a 2．（25-26五年级上·山东德州·阶段检测）下列可以用6x＋5表示的是（    ）。 ①有一袋大米，每天吃x千克，吃了6天后，还剩5千克，原来这袋大米有多少千克？ ②小芳x岁，爸爸的年龄正好是她的7倍，小芳5岁时，爸爸多少岁？ ③桶里有x千克的水，又加入6杯，每杯5千克，现在桶里的水有多少千克？ ④小明今年6岁，妈妈的年龄比他的x倍还大5岁。妈妈今年多少岁？ A．①② B．①③ C．①④ D．①②④ 3．（24-25五年级上·贵州铜仁·期末）在推导三角形面积如何计算时，小芳将一个直角三角形折成了一个小长方形（如图）。原来三角形的面积是（    ）。 A． B．4 C．2 D．÷2 4．（25-26五年级上·河北衡水·阶段检测）磁悬浮列车的速度可达430千米/时，进站前，平均每分钟减速千米/时。10分钟后速度为( )千米/时。 5．（25-26五年级上·江苏常州·阶段检测）如下图，摆一个正方形用4根小棒，增加一个正方形多用3根小棒……填写下表。 增加正方形的个数 1 2 3 一共要用的小棒根数 7 （    ） （    ） 如果用a表示增加正方形的个数，那么一共要用的小棒根数是（    ）。 6．（25-26五年级上·广东江门·阶段检测）一个鼠标的价格是x元，一个键盘的价格是鼠标的3.5倍，一个键盘是( )元，一个鼠标比一个键盘便宜( )元。 7．（25-26五年级上·河南许昌·阶段检测）仓库有货物84吨，运了12车，每车运b吨，这里的b可以等于8。( )（判断对错） 8．（25-26五年级上·江苏常州·阶段检测）某市电费缴费标准：每月用电不超过100千瓦时，按每千瓦时0.52元收费；超过100千瓦时，超过部分按每千瓦时0.6元收费。 (1)小红家11月份用电a千瓦时，a不大于100，小红家需缴纳的电费用字母表示是( )元；小丽家11月份用电b千瓦时，b大于100，小丽家需缴纳的电费用字母表示是( )元。 (2)当a＝95，b＝136时，小丽家十一月份需缴纳的电费比小红家多多少元？ 9．（25-26五年级上·贵州黔西南·阶段检测）妈妈想给小红的书桌配一把学生座椅，她查阅了相关资料。 学生座椅的高度至关重要：它要与学生的身高相匹配。高度不合适的座椅可能导致学生坐姿不正确，甚至引发驼背。 某品牌学生座椅专卖店建议最适宜的学生座椅高度：学生身高的厘米数乘0.25，再加2厘米。 (1)某学生的身高是a厘米，最适宜这个学生的座椅高度是( )厘米。（用含有字母的式子表示） (2)小红的身高是145厘米，最适宜她的座椅高度是多少厘米？ 10．（25-26五年级上·山东济宁·阶段检测）甲、乙两辆汽车分别从相距270千米的两地同时相对开出，经过1.5小时相遇。甲车每小时行85千米，乙车每小时行多少千米？（列方程解答） 【思维创新练】 1．（25-26五年级上·江苏扬州·阶段检测）根据算式的规律：； ； ； （    ）。 A． B． C． D． 2．（25-26五年级上·福建莆田·阶段检测）当时，下列两个式子相等的是（    ）。 A．和 B．和 C．和 D．和x＋2 3．（25-26五年级上·贵州遵义·阶段检测）一瓶果汁连瓶重a千克，倒出一半后连瓶重3.14千克，瓶里原来有多少千克果汁，下面列式正确的是（    ）。 A．a÷2－3.14 B．3.14×2－a C．（a－3.14）×2 D．a－3.14 4．（25-26五年级上·江苏常州·阶段检测）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 5×5( )52        62( )12            3b×3b( )9b2 5x－4x( )x        8m÷m( )1        a×4( )a＋a＋a＋a 5．（25-26五年级上·新疆喀什·阶段检测）李老师拿100元人民币去买钢笔，一支钢笔的单价是8.5元，老师买了a支钢笔应付( )元，应找回( )元，若时，应找回( )元。 6．（26-27五年级上·辽宁·单元测试）学校有x个排球，篮球的个数是排球的3倍，排球的个数比足球多10个。x－10表示( )，3x表示( )，篮球和排球一共有( )个，排球和足球一共有( )个。 7．（26-27五年级上·全国·课后作业）甲数是，比乙数的6倍少，求乙数的式子是。( )（判断对错） 8．（26-27五年级上·全国·课后作业）某市出租车的起步价为8元（3千米及以内），超过3千米的部分，每千米2.5元计费（不足1千米按1千米计算）小明乘出租车行了m（m＞3）千米。 (1)用式子表示小明乘出租车应付的钱。 (2)当m＝12时，小明应付多少元？ 9．（26-27五年级上·辽宁·单元测试）如下图所示，淘气和笑笑在玩拼图形游戏，他们是这样玩的：（1）选出能拼成长方形的两个图形；（2）画出拼成的图形；（3）用字母表示出拼成图形的长、宽和面积。 除了淘气和笑笑的拼法，你还有其他拼法吗？ (1)我用( )拼成长方形。（填序号） (2)在如图的框中画出拼成的长方形。 (3)长方形的长是( )，宽是( )，面积是( )。 10．（26-27五年级上·辽宁·课后作业）小区花坛外围的墙面要贴上瓷片，贴瓷片的师傅将瓷片按如图所示的方式拼成一组图案，图案由宽为a的4个完全一样的小长方形瓷片拼成，用式子表示整个图形的周长和面积。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年人教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 第五单元 用字母表示数和数量关系『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【解析版】 （思维导图+知识梳理+5个考点讲练+4个奥数拓展+真题难度分层演练 共47题） 同学你好，该份讲义用于人教版新教材五年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合人教版五上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 导图指引 梳理脉络 2 知识梳理 温故知新 3 知识点一 用字母表示数 3 知识点二 用字母表示数量关系 3 知识点三 用字母表示运算定律及计算公式 4 知识点四 用字母表示稍复杂的数量关系 4 知识点五 利用等式的性质求未知数 5 知识点六 含有字母式子的化简与求值 5 知识点七 数与形（归纳递推） 6 考点讲练 真题汇总 6 高频考点一 用字母表示数量关系（1个未知数） 6 高频考点二 用字母表示运算定律及计算公式 8 高频考点三 含有字母式子的化简与求值 9 高频考点四 用字母表示规律 11 高频考点五 等式的认识及列等量关系式 12 难点突破 奥数拓展 14 奥数拓展一 用字母表示数量关系（1个未知数） 14 奥数拓展二 用字母表示运算定律及计算公式 17 奥数拓展三 含有字母式子的化简与求值 19 奥数拓展四 用字母表示规律 20 优选真题 实战演练 22 【能力提升练】 22 【思维创新练】 27 知识点一 用字母表示数 1. 基本概念 在数学中，我们可以用字母（如 等）来表示数。字母可以表示任意数，也可以表示特定的数。 (1) 作用：使表达更简洁，具有普遍性。 (2) 取值范围：字母表示的数通常有一定的取值范围，需符合实际意义。例如，人的年龄 不能是负数，也不能超过合理寿命（如 ）。 2. 书写规范（重点） (1) 数字与字母相乘时，乘号可以记作“ ”或省略不写。 (2) 数字必须写在字母前面。 例： 写作 （不可写作 ）。 例： 写作 （1通常省略）。 (3) 字母与字母相乘，乘号可省略或记作“ ”。 例： 写作 或 。 (4) 注意：加号、减号、除号以及数字与数字之间的乘号不能省略。 3. 相同字母相乘 (1) 写作 ，读作“ 的平方”，表示2个 相乘。 (2) 易错区分： 1　 2　 3　 当 时， （相等）；当 时， （不相等）。 知识点二 用字母表示数量关系 1. 常见数量关系模型 利用字母表示常见的加减关系，关键在于找准“标准量”和“比较量”。 关系类型 文字描述 字母表达式示例 加法关系 比 多 的数 减法关系 比 少 的数 倍数关系 的 倍 逆倍数 是某数的 倍，求某数 2. 实际应用示例 (1) 年龄问题：小明今年 岁，爸爸比小明大28岁，爸爸今年 岁。 (2) 购物问题：苹果每千克 元，买5千克应付 元。 (3) 剩余问题：一本故事书共 页，看了 天，每天看 页，还剩 页。 知识点三 用字母表示运算定律及计算公式 1. 运算定律 使用字母表示运算定律，体现数学的通用性。 (1) 加法交换律： (2) 加法结合律： (3) 乘法交换律： (4) 乘法结合律： (5) 乘法分配律： 2. 平面图形计算公式 设正方形的边长为 ，长方形的长为 、宽为 。 图形 周长公式 ( ) 面积公式 ( ) 正方形 长方形 知识点四 用字母表示稍复杂的数量关系 1. 两步及以上运算的关系 涉及混合运算时，需注意运算顺序，必要时使用括号。 (1) 示例1：学校买来 个足球，篮球的个数比足球的3倍少5个。 篮球个数： (2) 示例2：甲数是 ，乙数比甲数的2倍多 。 乙数： (3) 示例3：修路队第一天修了 米，第二天修的是第一天的2倍，两天共修多少米？ 总长度： 2. 含有两个未知量的简单关联 虽然本阶段主要侧重一个主变量，但需理解总量与分量的关系。 (1) 总路程 = 速度 时间：若速度为 ，时间为 ，则路程 。 (2) 工作总量 = 工作效率 工作时间：若效率为 ，时间为 ，则总量 。 知识点五 利用等式的性质求未知数 1. 等式的性质 (1) 性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 若 ，则 ， 。 (2) 性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 若 ，则 ；若 ，则 。 2. 简易求解思路（算术法过渡到代数法） (1) 对于 ，利用减法关系： 。 (2) 对于 ，利用除法关系： 。 (3) 对于 ，利用加法关系： 。 (4) 对于 ，利用乘法关系： 。 知识点六 含有字母式子的化简与求值 1. 式子的化简 利用乘法分配律合并同类项。 (1) (2) (3) 示例： 1　 2　 3　 （注意： 等同于 ） 2. 式子求值步骤 (1) 写出原式：抄写含有字母的式子。 (2) 代入数值：将字母替换为具体的数字（注意添加乘号或括号）。 (3) 计算结果：按照运算顺序计算出最终数值，并带上单位（如果有）。 (4) 示例：当 时，求 的值。 解：当 时， 知识点七 数与形（归纳递推） 1. 找规律方法 通过观察图形数量或数字序列的变化，找出第 个图形/数字与序号 之间的关系。 2. 常见模型 (1) 线性增长模型： 1　 摆三角形：1个三角形用3根小棒，2个连摆用5根，3个连摆用7根…… 2　 规律：每增加1个三角形，增加2根小棒。 3　 第 个图形所需小棒数： 。 (2) 正方形点阵： 1　 第1个图1个点，第2个图4个点，第3个图9个点…… 2　 规律：点数是序号的平方。 3　 第 个图的点数： 。 3. 解题策略 (1) 列表整理前几个数据。 (2) 观察相邻两项的差或倍数关系。 (3) 尝试用含 的式子表示，并验证前几项是否成立。 高频考点一 用字母表示数量关系（1个未知数） 【典例精讲】（25-26五年级上·福建莆田·阶段检测）一个三角形，最长边与最短边相差2cm，如果这个三角形最长边是xcm，且周长是19cm，那么第二长的边是( )cm。 【答案】21－2x 【思路引导】已知最长边是xcm，最长边比最短边长2cm，所以最短边是（x－2）cm，三角形周长是三条边长度之和，用周长依次减去最长边和最短边，即可求出第二长的边。 【规范解答】19－x－（x－2） ＝19－x－x＋2 ＝（21－2x）cm 【变式训练1】（25-26五年级上·江苏常州·阶段检测）一本书有a页，小梁每天看8页，6天后还剩( )页；当a是( )时，照这样的速度再看2天，就能全部看完。 【答案】 【思路引导】首先明确总页数、已看页数和剩余页数的数量关系，因为剩余页数等于总页数减去已看页数，所以先计算6天一共看的页数，再用总页数a减去该数值得到剩余页数的表达式。 第二空的突破口是“再看2天能全部看完”，因为剩下的页数等于2天能看的页数，所以先算出2天可看的页数，结合第一空得到的剩余页数表达式列等式，即可求解a的值。 【规范解答】还剩的页数：a－8×6＝（a－48）页 8×2＝a－48 16＝a－48 解：16＋48＝a－48＋48 a＝64 当a是64时，照这样的速度再看2天，就能全部看完。 【变式训练2】（26-27五年级上·辽宁·单元测试）如图所示，丽丽在月历上框出了三组数，下面四个选项分别是用不同的方式表示的每组4个数之间的关系，其中最合理的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】同一行里，右边的数比相邻左边的数大1；同一列里，下面的数比正上方的数大7；据此逐一分析。 【规范解答】A．只举了第一组数字的特例，没法代表所有框出的4个数的普遍规律，不合理； B．用4个不同字母表示数，完全没体现出月历里四个数的大小关系，没有总结规律； C．字母B和字母A没有体现出“下一行的数比上一行同列数大7”的特点，关系不明确； D．用a代表左上角的数，那么右上角相邻的数就是a＋1；左下角是a正下方的数，比a大7也就是a＋7；右下角的数比左下角大1，也就是a＋8，这个规律对图里所有三组框出的4个数都成立，是最合理的关系。 高频考点二 用字母表示运算定律及计算公式 【典例精讲】用表示工作效率，表示工作时间，表示工作总量，分别写出它们之间的数量关系。 _______________    _______________    _______________ 先从下面选出合适的信息，再用上面的一个式子解决问题。 ①小锦每天要练150个字。 ②小锦每分钟练5个字。 ③小锦每天要练半小时的字。 我选的信息是_______________。（填序号） 我要解决的问题是_____________________________________________ 【答案】；； ①③；小锦每分钟练多少个字？；5个字 【思路引导】工作总量＝工作效率×工作时长，再根据乘、除法的意义和各部分之间的关系，用表示工作效率，表示工作时间，表示工作总量，分别写出它们之间的数量关系即可。 可以根据a＝（工作总量÷工作时间＝工作效率），选择信息①②，计算出小锦每天练这些字需要多少分钟。 可以根据c＝（工作总量＝工作效率×工作时间），选择信息②③，计算出小锦每天练多少字。 可以根据t＝（工作总量÷单工作效率＝工作时间），选择信息②③，计算出小锦每分钟练多少字。 【规范解答】a＝；t＝；c＝ 我选择信息为：①②；我要解决的问题是：小锦练 150 个字，每分钟练 5 个字，小锦需要练多长时间？ 150÷5＝30（分钟） 答：需要练30分钟。 我选择信息为：②③；我要解决的问题是：小锦每分钟练 5 个字，练半小时，小锦一共可以练多少个字？ 半个小时就是30分钟。 5×30＝150（个） 答：一共可以练150个字。 我选择信息为：①③；我要解决的问题是：小锦每天练 150 个字，练半小时，小锦每分钟练多少个字？ 半个小时就是30分钟。 150÷30＝5（个） 答：每分钟练5个字。 【变式训练1】（26-27五年级上·辽宁·单元测试）23可以表示为10×2＋3，如果一个三位数百位、十位和个位上的数字分别是a、b、c，那么这个三位数可以表示为( )。 【答案】100a＋10b＋c 【思路引导】23中，2在十位，代表2个10，也就是10×2；3在个位，代表3个1，直接写3。以此类推即可。 【规范解答】三位数的百位上的数字a，代表a个100，也就是100×a；十位上的数字b代表b个10，也就是10×b；个位上的数字c代表c个1，把三部分加起来，这个三位数就可以表示成100a＋10b＋c。 【变式训练2】（26-27五年级上·辽宁·单元测试）一个长方形的长是a米，宽是b米（a＞b），它的周长是( )米，面积是( )平方米。从这个长方形上剪下一个最大的正方形，正方形的面积是( )平方米。 【答案】 2a＋2b ab b 【思路引导】根据长方形周长计算公式：2×（长＋宽），面积计算公式：长×宽，将长是a米、宽是b米分别代入公式列出式子即可； 从这个长方形上剪下最大的正方形，正方形的边长等于长方形的宽，也就是b米；再根据正方形的面积计算公式：边长乘边长列出式子即可。 【规范解答】长方形的周长：2×（长＋宽）＝2×（a＋b）＝2a＋2b（米） 长方形的面积：长×宽＝ab（平方米） 正方形的面积：边长×边长＝b×b＝b2（平方米） 高频考点三 含有字母式子的化简与求值 【典例精讲】（25-26五年级上·河南许昌·阶段检测）当时，；当时，。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】除了，时也等于，原题说法不成立。 【规范解答】当时： 所以 原题说法错误。 故答案为：× 【变式训练1】（25-26五年级上·湖南衡阳·阶段检测）甲缸有金鱼a条，若乙缸比甲缸的2倍少3条，则乙缸有( )条金鱼；若甲缸比乙缸的2倍少3条，则乙缸有( )条金鱼。 【答案】 2a－3 （a＋3）÷2 【思路引导】（1）已知甲缸金鱼数量为a条，乙缸比甲缸的2倍少3条，先根据求一个数的几倍是多少用乘法，计算甲缸数量的2倍，再减去少的3条，即可得到乙缸的数量。 （2）已知甲缸比乙缸的2倍少3条，说明甲缸的数量加上3条等于乙缸数量的2倍，先计算乙缸数量的2倍，再除以2即可得到乙缸的数量。 【规范解答】（1）甲缸金鱼数×2－3条＝乙缸金鱼数，由此表示乙缸金鱼的条数为：（2a－3）条。 （2）用甲缸金鱼数加上3条，然后除以2表示出乙缸金鱼条数，为：（a＋3）÷2条。 【变式训练2】（26-27五年级上·辽宁·单元测试）合唱小组女生有30人，比男生少x人，合唱小组一共有（    ）人。 A．30－x B．30＋x C．60＋x D．60－x 【答案】C 【思路引导】女生有30人，女生比男生少x人，先求出男生人数是30＋x，再把男、女生人数相加求出合唱小组的总人数：30＋（30＋x）＝60＋x，逐个分析每个选项的含义。 【规范解答】A．30－x：这个式子表示比女生人数少x，和题中“女生比男生少x人”的数量关系完全相反，既不是男生人数，也不是总人数，错误。 B．30＋x：该算式仅仅计算出男生的人数，没有加上女生的人数，不能代表小组的总人数，错误。 C．60＋x：由女生30人加上男生（30＋x）人，计算得到的就是合唱小组全部的人数，正确。 D．60－x：这个式子不符合本题的数量推导，没有对应的实际意义，错误。 高频考点四 用字母表示规律 【典例精讲】（26-27五年级上·全国·课后作业）如图①是三角形，分别连接这个三角形的三边的中点得到图形②，再分别连接图②中间小三角形的三边的中点，得到图形③，S表示三角形的个数。 (1)当n＝4时，S＝________。 (2)请按此规律写出用n表示S的公式________。 【答案】(1)13 (2)4n－3 【思路引导】（1）当n＝1时，三角形的个数S＝1。 当n＝2时，三角形的个数S＝5。与n＝1相比，增加了5－1＝4个。 当n＝3时，三角形的个数S＝9。与n＝2相比，增加了9－5＝4个。 由此可以发现，每增加一次操作（即n增加1），三角形的个数S就增加4个。 （2）基础数量是第1个图形的1个三角形。增加数量是每次操作增加的4个三角形。 当n＝1时，增加了0次，即S＝1＋4×0＝1＋0＝1； 当n＝2时，增加了1次，即S＝1＋4×1＝1＋4＝5. 当n＝3时，增加了2次，即S＝1＋4×2＝1＋8＝9； 以此类推，当为第n个图形时，是在第1个图形的基础上增加了（n－1）次。 【规范解答】（1）当n＝4时，三角形的个数应在n＝3的基础上再增加4个。 9＋4＝13（个） （2）S＝1＋4×（n－1）＝1＋4n－4＝4n－3 【变式训练1】（26-27五年级上·全国·课后作业）某电影院的第一排有m个座位，后面每排比前一排多2个座位，则第k排的座位数是________________个。 【答案】m＋2k－2 【思路引导】第一排座位的个数：m个； 第二排座位的个数：m＋2＝m＋2×（2－1）个； 第三排座位的个数：m＋4＝m＋2×（3－1）个； … 【规范解答】第k排座位的个数：m＋2（k－1）＝m＋2k－2。 所以，第k排的座位数是（m＋2k－2）个。 【变式训练2】（26-27五年级上·辽宁·单元测试）用小棒按如下规律摆三角形。 (1)摆n个三角形需要( )根小棒。 (2)用301根小棒可以摆( )个三角形。 【答案】(1)2n＋1 (2)150 【思路引导】（1）摆第一个三角形需要3根小棒，之后每摆一个三角形，增加两根小棒；摆2个三角形需要3＋2×1根小棒，摆3个三角形需要3＋2×2根小棒，摆4个三角形需要3＋2×3根小棒，那么摆n个三角形需要3＋2×（n－1）根小棒，据此解答即可； （2）已知小棒总数为301根，根据我们找到的规律，总数是若干个2相加之后再加1得到的；那么我们可以先用总数也就是301减去1再除以2即可求出三角形的总个数。 【规范解答】（1）摆n个三角形需要的小棒数量为：3＋2×（n－1） ＝3＋2n－2×1 ＝3＋2n－2 ＝2n＋3－2 ＝（2n＋1）根 （2）（301－1）÷2 ＝300÷2 ＝150（个） 高频考点五 等式的认识及列等量关系式 【典例精讲】（25-26五年级上·河北邢台·阶段检测）每千克草鱼的价钱是a元，每千克鳙鱼比每千克草鱼便宜7.5元，那么（a－7.5）表示的是___________，如果2千克草鱼和3千克鳙鱼的价格相等，将这一关系用含有字母的等式表示出来是____________。 【答案】 每千克鳙鱼的价钱 2a＝3（a－7.5） 【思路引导】较大数－差＝较小数；根据2千克草鱼和3千克鳙鱼的价格相等，可得草鱼单价×质量＝鳙鱼单价×质量。 【规范解答】已知每千克草鱼的价钱是a元，每千克鳙鱼比每千克草鱼便宜7.5元，每千克鳙鱼的价钱是（a－7.5）元，因此（a－7.5）表示的是每千克鳙鱼的价钱；单价×数量＝总价，2千克草鱼的价格是2a，3千克鳙鱼的价格是3（a－7.5），如果2千克草鱼和3千克鳙鱼的价格相等，将这一关系用含有字母的等式表示出来是2a＝3（a－7.5）。 【变式训练1】（25-26五年级上·贵州黔南·阶段检测）用中国传统绘画颜料绘制一幅画卷，其中“朱砂”颜料的用量是“石青”颜料用量的1.5倍，两者相差20克。下面选项中，能够反映题中数量关系的是（    ）。 ①“朱砂”颜料用量×1.5＝“石青”颜料用量 ②“朱砂”颜料用量－“石青”颜料用量＝20克 ③“石青”颜料用量×1.5＝“朱砂”颜料用量 A．②③ B．①② C．①②③ 【答案】A 【思路引导】由分析可知，“石青”颜料用量的1.5倍等于“朱砂”颜料的用量，求一个数的几倍是多少，用乘法计算；“朱砂”颜料的用量减去，“石青”颜料用量等于20克。 【规范解答】根据“朱砂颜料的用量是石青颜料用量的倍”，可得：“石青”颜料用量×1.5＝“朱砂”颜料用量，因此③正确，①错误。 根据“两者相差克”，可得：“朱砂”颜料用量－“石青”颜料用量＝20克，因此②正确。综上，②③正确。 【变式训练2】看图列关系式。 _______＝_______ 【答案】 3x 60 【思路引导】先统计左侧托盘的总质量：左侧摆放了3份重量均为克的物品，总质量就是3个相加，也就是克。再统计右侧托盘的总质量：右侧摆放了2个标注为30克的砝码，总质量就是2个30克相加，计算可得总质量为（克）。结合天平平衡的等量关系，把左右两侧的总质量用等号连接，就能得到对应的关系式。 【规范解答】观察图中的平衡天平： 左侧托盘总质量：3个克的物品相加，即（克） 右侧托盘总质量：2个30克的砝码相加，即（克） 根据天平平衡时左右质量相等的规律，最终列出的关系式为：。 奥数拓展一 用字母表示数量关系（1个未知数） 【典例精讲】（25-26五年级上·甘肃白银·期末）如下图，摆1个正方形用4根火柴，摆2个正方形用7根火柴……那么摆8个正方形需( )根火柴，摆n个正方形用( )根火柴，用31根火柴可以摆( )个正方形。 【答案】 25 1＋3n/3n＋1 10 【思路引导】由图观察可知，摆1个正方形用4根火柴，摆2个正方形用7根火柴，对比发现：每多摆一个正方形，增加3根火柴。摆1个正方形需（1＋3×1）根火柴，摆2个正方形需（1＋3×2）根火柴……摆8个正方形需（1＋3×8）根火柴，摆n个正方形需（1＋3n）根火柴，根据加法交换律，1＋3n也可以写成3n＋1。 【规范解答】（1）1＋3×8 ＝1＋24 ＝25（根） 摆8个正方形需25根火柴。 （2）摆n个正方形用（1＋3n）根火柴或（3n＋1）根火柴。 （3）1＋3n＝31 解：1＋3n－1＝31－1 3n＝30 3n÷3＝30÷3 n＝10 用31根火柴可以摆10个正方形。 【考点剖析】找图形摆放规律，先对比相邻的两个图形，找出固定不变的基础部分和每次增加的部分；用字母就能把找到的规律，变成适合所有情况的式子；如果知道总数想求个数，就根据规律列出方程。 【变式训练1】（23-24四年级下·北京海淀·期末）妙想用小圆片按照一定的规律摆图形，如下图所示。摆第1幅图用了5个圆片，摆第2幅图用了9个圆片，摆第3幅图用子13个圆片。    （1）按照这样的规律，请你在第4幅图的位置上画一画摆出的图形。 （2）按照这样的规律，请你想一想，填一填。 第几幅 1 2 3 4 （    ） … 需要圆片个数 5 9 13 （    ） （    ） … （3）按照这样的规律，摆第10幅图需要多少个圆片？用算式表达出你的思考过程。 （4）通过解决前面摆图形需要多少个圆片的问题，你一定发现了其中的规律，试着用简洁的方式把你发现的规律表示出来。 【答案】（1） （2）5； 17；21 （3）41个；5＋4＋4＋4＋4＋4＋4＋4＋4＋4＝41 （4）第n幅用了小圆片的个数为（1＋4n）个（答案不唯一） 【思路引导】（1）观察发现摆第1幅图用了5个圆片；摆第2幅图在第1幅图的基础上在上、下、左、右各加了1个小圆片，共加了4个小圆片，也就是5＋4＝9（个）小圆片；摆第3幅图在第2幅图的基础上在上、下、左、右各加了1个小圆片，共加了4个小圆片，也就是9＋4＝13（个）小圆片；那么摆第4幅图在第3幅图的基础上在上、下、左、右各加了1个小圆片，共加了4个小圆片，也就是13＋4＝17（个）小圆片； （2）摆第5幅图在第4幅图的基础上在上、下、左、右各加了1个小圆片，共加了4个小圆片，也就是17＋4＝21（个）小圆片，根据第几幅对应的小圆片的数量填空即可； （3）第一幅小圆片为5个，第二幅小圆片为（5＋4）个，第3幅小圆片为（5＋4＋4）个，第4幅小圆片为（5＋4＋4＋4）个，第5幅小圆片为（5＋4＋4＋4＋4）个，…，以此类推，第10幅小圆片为（5＋4＋4＋4＋4＋4＋4＋4＋4＋4）个； （4）观察发现每一幅都是在前一幅图小圆片的基础上，加4个小圆片；那么以1个小圆片为基础，第1幅在1个小圆片的基础上加了1个4，第2幅在1个小圆片的基础上加了2个4，第3幅在1个小圆片的基础上加了3个4，…，以此类推，第n幅就是在1个小圆片的基础上加了n个4；据此解答。 【规范解答】（1）图略。 （2）如表： 第几幅 1 2 3 4 5 … 需要圆片个数 5 9 13 17 21 … （3）5＋4＋4＋4＋4＋4＋4＋4＋4＋4＝41（个） 答：摆第10幅图需要41个圆片。 （4）第1幅： 1＋4×1 ＝1＋4 ＝5（个） 第2幅： 1＋4×2 ＝1＋8 ＝9（个） 第3幅： 1＋4×3 ＝1＋12 ＝13（个） 第n幅： 1＋4×n＝（1＋4n）个 答：我发现的规律是第n幅用了小圆片的个数为（1＋4n）个。（答案不唯一） 【考点剖析】本题主要考查了图形的变化规律，发现每一幅图都是在上一幅的基础上加了4个小圆片，是解答本题的关键。 【变式训练2】（23-24五年级下·江苏南京·期中）如图，在长方形中有一个等腰直角三角形，长方形的长比等腰直角三角形的腰多m厘米，空白部分甲的周长比涂色部分乙的周长多（    ）厘米。 A． B．m C．2m D．3m 【答案】C 【思路引导】长方形的长比等腰直角三角形的腰多m厘米，梯形的周长＝长＋宽＋m＋等腰直角三角形的斜边，等腰直角三角形的周长＝宽＋宽＋等腰直角三角形的斜边，据此求出梯形的周长－等腰直角三角形的周长来进行解答即可。 【规范解答】甲周长－乙周长 ＝梯形的周长－等腰直角三角形的周长 ＝（长＋宽＋m＋等腰直角三角形的斜边）－（宽＋宽＋等腰直角三角形的斜边） ＝长＋宽＋m＋等腰直角三角形的斜边－宽－宽－等腰直角三角形的斜边 ＝长－宽＋m ＝m＋m ＝2m 故答案为：C 【考点剖析】本题考查用字母表示数、梯形和等腰直角三角形周长，解答本题的关键是找到甲乙周长的计算方法。 奥数拓展二 用字母表示运算定律及计算公式 【典例精讲】（26-27五年级上·全国·课后作业）根据运算定律在横线上填适当的数或字母。 a＋b＝________＋a                a＋（7＋b）＝（________＋________）＋7 x•y•4＝4•（________•________）       10－2m－3n＝10－（________＋________） 5x＋6x＝（________＋________）•x     （n＋b）×c＝________×________＋________×________ 【答案】 b a b x y 2m 3n 5 6 n c b c 【思路引导】根据加法交换律：两个数相加，交换加数位置，和不变。加法结合律：三个数相加，可以先把前两个相加，也可以先把后两个相加，和不变。乘法交换律：两个数相乘，交换因数位置，积不变。乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个相乘，也可以先把后两个相乘，积不变。乘法分配律：两个数的和乘一个数，可以分别相乘，再相加。减法性质：连续减去两个数，等于减去这两个数的和。进行填空。 【规范解答】（1）加法交换律：两个数相加，交换加数位置，和不变。 所以； （2）加法结合律：三个数相加，可以先把前两个相加，也可以先把后两个相加，和不变。 所以； （3）乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个相乘，也可以先把后两个相乘，积不变。 所以； （4）减法性质：连续减去两个数，等于减去这两个数的和 所以； （5）乘法分配律的逆运用。 所以； （6）乘法分配律：两个数的和乘一个数，可以分别相乘，再相加。 所以。 【变式训练1】（25-26五年级上·山东济宁·阶段检测）一个长方形长a米，宽b米，它的周长是( )米，面积是( )平方米；如果a＝8，b＝5，那么它的周长是( )米，面积是( )平方米。 【答案】 2（a＋b） ab 26 40 【思路引导】长方形周长是长与宽和的2倍，先写出用字母a、b表示的周长表达式； 长方形面积是长乘宽，写出用字母a、b表示的面积表达式。 当给出a和b的具体数值时，将数值分别代入周长和面积的字母表达式，按照四则运算规则计算即可得到对应结果。 【规范解答】一个长方形长a米，宽b米，它的周长是：（a＋b）×2＝2（a＋b）（米），面积是：a×b＝ab（平方米）。 如果a＝8，b＝5，那么它的周长是：2×（8＋5）＝2×13＝26（米），面积是：8×5＝40（平方米）。 【变式训练2】（24-25五年级上·辽宁鞍山·期中）用v表示速度，t表示时间，s表示路程，分别写出它们之间的数量关系。 （1）s＝______，v＝______，t＝______。 （2）从上面选一个公式解决问题。 如果每分钟骑行260米，30分钟骑行的路程是多少米？ 【答案】（1）vt；s÷t；s÷v （2）7800米 【思路引导】（1）根据路程＝速度×时间，速度＝路程÷时间，时间＝路程÷速度，代入字母即可。 （2）将速度和时间代入公式，计算即可求得结果。 【规范解答】（1）因为路程＝速度×时间，速度＝路程÷时间，时间＝路程÷速度，所以s＝vt，v＝s÷t，t＝s÷v。 （2）260×30＝7800（米） 答：30分钟骑行的路程是7800米。 奥数拓展三 含有字母式子的化简与求值 【典例精讲】（25-26五年级上·江苏常州·阶段检测）在一场篮球比赛中，姚叔叔共投进a个2分球和b个3分球。 (1)用式子表示姚叔叔一共得到的分数。 (2)当a＝11，b＝6时，姚叔叔一共得了多少分？ 【答案】(1) (2)40分 【思路引导】（1）2分球每个得2分，投中a个得2a分；3分球每个得3分，投中b个得3b分，把两部分得分相加。 （2）把a＝11、b＝6代入2a＋3b，按先乘后加的顺序计算。 【规范解答】（1）2a＋3b （2）2a＋3b ＝2×11＋3×6 ＝22＋18 ＝40（分） 【变式训练1】（25-26五年级上·广东东莞·阶段检测）小马虎在计算4（a＋5）时漏写了括号，这样所得的结果比正确结果小( )。 【答案】15 【思路引导】正确算式是4（a＋5），应用乘法分配律得4a＋20。漏写括号变成4a＋5。比较两个结果，正确结果比漏写括号后的结果大，差是20减5。 【规范解答】正确：4（a＋5）＝4a＋20 漏写：4a＋5 漏写括号后结果比正确结果小15。 【变式训练2】（25-26五年级上·江苏常州·阶段检测）小马虎在计算4×（a＋2.5）时，错算成了4a＋2.5，这样算得的结果比正确结果小( )。 【答案】 7.5 【思路引导】先明确正确算式的展开规则，根据乘法分配律对对4×（a＋2.5）进行展开得到正确结果的表达式。 因为要求错误结果比正确结果小多少，所以用正确结果的表达式减去错误结果4a＋2.5，即可得到二者的差值。 【规范解答】4×（a＋2.5）－（4a＋2.5） ＝4a＋4×2.5－4a－2.5 ＝10－2.5 ＝7.5 奥数拓展四 用字母表示规律 【典例精讲】（26-27五年级上·辽宁·单元测试）如图所示，一张桌子可以坐6人，2张桌子并起来可以坐10人，3张桌子并起来可以坐14人，照这样摆，26人需要( )张桌子，n张桌子并起来可以坐( )人。 【答案】 6 4n＋2 【思路引导】我们还能把人数拆分来看：不管多少张桌子并起来，左右两端总共固定坐2人，剩下的人是每张桌子对应坐4人。 【规范解答】现在算26人需要的桌子数：先把两端固定的2人去掉，剩下26−2＝24（人）， 每张桌子对应安排4人，需要的桌子数就是24÷4＝6（张）。 每多并1张桌子，就多坐4个人。所以n张桌子能坐的人数就是4×n＋2＝（4n＋2）人。 【变式训练1】观察如图中的规律，画出图④中的图形。如果继续画下去，那么图（    ）中有15个，图⑩中有（    ）个△。 【答案】； ⑦；100 【思路引导】先找前三个图的规律： 图①：共2＋1＝3个，△共1×1＝1个； 图②：共2×2＋1＝4＋1＝5个，△共2×2＝4个； 图③：共2×3＋1＝6＋1＝7个，△共3×3＝9个； 则，图④：共2×4＋1＝8＋1＝9个，△共4×4＝16个； 据此总结出通用规律：第n个图里，的总数量是（2n＋1）个，△的总数是（n×n）个。据此解决。 【规范解答】图略 解：设图n中有15个。 2n＋1＝15 2n＝15－1 2n＝14 n＝14÷2 n＝7，即，图⑦中有15个； 图⑩中△的个数有：10×10＝100（个）。 【变式训练2】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）“时代列车”是一种集体单脚跳行进游戏，是趣味运动项目之一。 如图所示，每队成员需排成纵队，第一位队员双脚站立并用单手揽住第二位队员前伸的腿，第二位队员用单手揽住第三位队员前伸的腿，另一只手搭在前面队员的肩上，此后队员以此类推。 6个人参加游戏，有( )只脚着地；n个人参加游戏，有( )只脚着地。 【答案】 7 （1＋n）/（n＋1） 【思路引导】观察可知，1个人参加游戏，有2只脚着地，2＝2＋（1－1）×1；2个人参加游戏，有3只脚着地，3＝2＋（2－1）×1；3个人参加游戏，有4只脚着地，4＝2＋（3－1）×1……由此可知，着地的脚数＝2＋（几个人参加游戏就用几－1）×1。 【规范解答】2＋（6－1）×1 ＝2＋5×1 ＝2＋5 ＝7（只） 2＋（n－1）×1 ＝2＋n－1 ＝（1＋n）只 【能力提升练】 1．（25-26五年级上·江苏常州·阶段检测）一个两位数，它的个位数字是a，十位数字是b，这个两位数可以写成（    ）。 A．ab B．a＋b C．10a＋b D．10b＋a 【答案】D 【思路引导】两位数的十位上的数字表示几个十，个位上的数字表示几个一，十位数字是几就对应几十，个位数字是几就对应几。 【规范解答】十位数字是b，代表的数值是10×b＝10b，个位数字是a，代表的数值是a。 所以这个两位数可以写成10b＋a。 2．（25-26五年级上·山东德州·阶段检测）下列可以用6x＋5表示的是（    ）。 ①有一袋大米，每天吃x千克，吃了6天后，还剩5千克，原来这袋大米有多少千克？ ②小芳x岁，爸爸的年龄正好是她的7倍，小芳5岁时，爸爸多少岁？ ③桶里有x千克的水，又加入6杯，每杯5千克，现在桶里的水有多少千克？ ④小明今年6岁，妈妈的年龄比他的x倍还大5岁。妈妈今年多少岁？ A．①② B．①③ C．①④ D．①②④ 【答案】C 【思路引导】分别列出每个描述对应的表达式，判断是否与一致即可。 【规范解答】① 6天吃的重量为千克，原来大米重量：，符合要求。 ② 小芳5岁时，爸爸年龄为，无法用表示，不符合要求。 ③ 加入的水重千克，现在桶里水重：，不符合要求。 ④ 妈妈年龄：，符合要求。 综上，①④符合。 3．（24-25五年级上·贵州铜仁·期末）在推导三角形面积如何计算时，小芳将一个直角三角形折成了一个小长方形（如图）。原来三角形的面积是（    ）。 A． B．4 C．2 D．÷2 【答案】C 【思路引导】从折叠的图中能看到，长方形的宽是厘米，原三角形的底刚好是2个长方形的宽拼起来的，所以原三角形的底是（）厘米。长方形的长是厘米，原三角形的高刚好是2个长方形的长拼起来的，所以原三角形的高是（）厘米。根据三角形的面积公式：底×高÷2，计算出原三角形的面积。 【规范解答】三角形面积为： （）×（）÷2＝ 故答案为：C 【考点剖析】解题的关键是通过观察折叠的过程，找出原三角形的底、高和长方形的宽（）、长（）之间的关系，再代入面积公式计算。 4．（25-26五年级上·河北衡水·阶段检测）磁悬浮列车的速度可达430千米/时，进站前，平均每分钟减速千米/时。10分钟后速度为( )千米/时。 【答案】 【思路引导】列车进站前的速度是初始速度，进站过程中速度在减少。数量关系为：10分钟后的速度＝初始速度总共减速的速度，总共减速的速度＝每分钟减速的速度×时间。 【规范解答】 千米/时 5．（25-26五年级上·江苏常州·阶段检测）如下图，摆一个正方形用4根小棒，增加一个正方形多用3根小棒……填写下表。 增加正方形的个数 1 2 3 一共要用的小棒根数 7 （    ） （    ） 如果用a表示增加正方形的个数，那么一共要用的小棒根数是（    ）。 【答案】10；13；（4＋3a） 【思路引导】根据题意，摆一个正方形用4根小棒；增加1个正方形，用7根小棒，即（4＋3）根；增加2个正方形，用10根小棒，即（4＋3×2）根……，由此可知，增加a个正方形，用（4＋3×a）根小棒，据此解答。 【规范解答】由分析可知，增加2个正方形，用10根小棒，即（4＋3×2）根， 增加a个正方形：4＋3×a＝（4＋3a）根 增加3个正方形时，代入数值为（4＋3×3）根。 4＋3×3 ＝4＋9 ＝13（根） 因此填表如下： 增加正方形的个数 1 2 3 一共要用的小棒根数 7 10 13 如果用a表示增加正方形的个数，那么一共要用的小棒根数是（4＋3a）。 6．（25-26五年级上·广东江门·阶段检测）一个鼠标的价格是x元，一个键盘的价格是鼠标的3.5倍，一个键盘是( )元，一个鼠标比一个键盘便宜( )元。 【答案】 3.5x 2.5x 【思路引导】根据求一个数的几倍是多少用乘法计算，用一个鼠标的价格乘3.5，即可表示出一个键盘的价格，省略乘号时，通常把数字写在字母前面；再把一个键盘和一个鼠标的价格相减，再化简，即可解答。 【规范解答】x×3.5＝3.5x（元） 3.5x－x＝（3.5－1）x＝2.5x（元） 7．（25-26五年级上·河南许昌·阶段检测）仓库有货物84吨，运了12车，每车运b吨，这里的b可以等于8。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】先计算12车每车运8吨的总运量，再和仓库现有货物总量比较，运货总重量不能超过仓库原有货物重量。 【规范解答】若，12车运货总重量为：（吨） ，运货总重量超过仓库原有货物重量，不符合实际，因此b不能等于8。 故答案为：× 8．（25-26五年级上·江苏常州·阶段检测）某市电费缴费标准：每月用电不超过100千瓦时，按每千瓦时0.52元收费；超过100千瓦时，超过部分按每千瓦时0.6元收费。 (1)小红家11月份用电a千瓦时，a不大于100，小红家需缴纳的电费用字母表示是( )元；小丽家11月份用电b千瓦时，b大于100，小丽家需缴纳的电费用字母表示是( )元。 (2)当a＝95，b＝136时，小丽家十一月份需缴纳的电费比小红家多多少元？ 【答案】(1) 0.52a 0.6b－8 (2)24.2元 【思路引导】（1）小红家：电费＝单价×用电量，a不大于100千瓦时，全部按每千瓦时0.52元收费，直接用0.52乘用电量a。 电费分两段，先根据电费＝单价×电量算出100千瓦时的费用，再算出超出部分（b－100）千瓦时的费用，两部分相加后化简。 （2）把a＝95、b＝136分别代入对应的字母式，求出两家的电费，再相减求相差的钱数。 【规范解答】（1）小红家：0.52×a＝0.52a（元） 小丽家：0.52×100＋0.6×（b－100） ＝52＋0.6b－60 ＝（0.6b－8）元 （2）当a＝95，b＝136时 小红：0.52×95＝49.4（元） 小丽：0.6×136－8 ＝81.6－8 ＝73.6（元） 73.6－49.4＝24.2（元） 答：小丽家缴纳的电费比小红家多24.2元。 9．（25-26五年级上·贵州黔西南·阶段检测）妈妈想给小红的书桌配一把学生座椅，她查阅了相关资料。 学生座椅的高度至关重要：它要与学生的身高相匹配。高度不合适的座椅可能导致学生坐姿不正确，甚至引发驼背。 某品牌学生座椅专卖店建议最适宜的学生座椅高度：学生身高的厘米数乘0.25，再加2厘米。 (1)某学生的身高是a厘米，最适宜这个学生的座椅高度是( )厘米。（用含有字母的式子表示） (2)小红的身高是145厘米，最适宜她的座椅高度是多少厘米？ 【答案】(1)0.25a＋2 (2)38.25厘米 【思路引导】（1）根据题意，最适宜的学生座椅高度＝学生的身高×0.25＋2，据此解答即可； （2）最适宜的学生座椅高度＝学生的身高×0.25＋2，据此关系式代入小红的身高即可解答。 【规范解答】（1）a×0.25＋2＝（0.25a＋2）厘米 （2）当a＝145时 a×0.25＋2 ＝145×0.25＋2 ＝36.25＋2 ＝38.25 答：最适宜她的座椅高度是38.25厘米。 10．（25-26五年级上·山东济宁·阶段检测）甲、乙两辆汽车分别从相距270千米的两地同时相对开出，经过1.5小时相遇。甲车每小时行85千米，乙车每小时行多少千米？（列方程解答） 【答案】95千米 【思路引导】设乙车每小时行千米，根据甲乙的速度和×相遇时间＝总路程的数量关系，列出方程求解。 【规范解答】解：设乙车每小时行千米，根据甲乙的速度和×相遇时间＝总路程，列方程： 答：乙车每小时行95千米。 【思维创新练】 1．（25-26五年级上·江苏扬州·阶段检测）根据算式的规律：； ； ； （    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】算式左边：加数的整数部分都是0，加数的小数位数从一位小数起依次增加，且小数部分都由数字9组成，最后一个加数中9的个数和加数的个数相同； 算式右边：当2个数相加，和的整数部分是1，小数部分有1个8、末尾是9； 3个数相加，和的整数部分是2，小数部分有2个8、末尾是9； 4个数相加，和的整数部分是3，小数部分有3个8、末尾是9； 即n个这样的数相加，和的整数部分是（n－1），小数部分有（n－1）个连续的数字8，小数末尾是9； 根据题中最后一个加数的小数部分有10个9，可知有10个这样的数相加，根据规律，即可解答。 【规范解答】n－1＝10－1＝9 所以“（）”的结果的整数部分是9，小数部分有连续9个8，最后一位小数是9，即结果为。 2．（25-26五年级上·福建莆田·阶段检测）当时，下列两个式子相等的是（    ）。 A．和 B．和 C．和 D．和x＋2 【答案】C 【思路引导】分别计算、、、式子的结果，再比较是否相等即可解答。 【规范解答】A．，，不符合题意； B．，，不符合题意； C．根据乘方的意义，，两个式子相等，符合题意； D．，，不符合题意。 3．（25-26五年级上·贵州遵义·阶段检测）一瓶果汁连瓶重a千克，倒出一半后连瓶重3.14千克，瓶里原来有多少千克果汁，下面列式正确的是（    ）。 A．a÷2－3.14 B．3.14×2－a C．（a－3.14）×2 D．a－3.14 【答案】C 【思路引导】果汁连瓶一共重a千克，倒出一半果汁后连瓶重3.14千克，瓶子重量始终不变。用总重量a减去3.14，得到的就是倒出去的一半果汁的质量，再乘2，即可求出原来果汁的总质量。 【规范解答】一半果汁质量：a－3.14 原来果汁总质量：（a－3.14）×2 4．（25-26五年级上·江苏常州·阶段检测）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 5×5( )52        62( )12            3b×3b( )9b2 5x－4x( )x        8m÷m( )1        a×4( )a＋a＋a＋a 【答案】 ＝ ＞ ＝ ＝ ＞ ＝ 【思路引导】两个相同数字相乘可以写成这个数的平方；乘法分配律；被除数与除数同时除以一个相同的非零数，商不变；几个相同加数的和用乘法表示。 【规范解答】5×5＝25，52＝5×5＝25，则5×5＝52； 62＝6×6＝36，36＞12，则62＞12； 3b×3b＝9； ，则； ，不为0，被除数与除数同时除以，，8＞1，则＞1； 表示4个相加的和，则。 5．（25-26五年级上·新疆喀什·阶段检测）李老师拿100元人民币去买钢笔，一支钢笔的单价是8.5元，老师买了a支钢笔应付( )元，应找回( )元，若时，应找回( )元。 【答案】 8.5a 100－8.5a 15 【思路引导】总价＝单价×数量，用钢笔的单价乘数量即可表示出应付钱数；用总钱数减去应付钱数即可表示出应找回的钱数；把a＝10代入应找回钱数的表达式中，算出结果即可。 【规范解答】应付钱数：8.5×a＝8.5a（元） 应找回钱数：（100－8.5a）元 当a＝10时， 100－8.5a ＝100－8.5×10 ＝100－85 ＝15（元） 所以，当a＝10时，应找回15元。 6．（26-27五年级上·辽宁·单元测试）学校有x个排球，篮球的个数是排球的3倍，排球的个数比足球多10个。x－10表示( )，3x表示( )，篮球和排球一共有( )个，排球和足球一共有( )个。 【答案】 足球的个数 篮球的个数 4x 2x－10 【思路引导】已知排球有x个，篮球的个数是排球的3倍，排球的个数比足球多10个。根据已知信息逐项分析。 【规范解答】排球的个数比足球多10个，也就是足球比排球少10个，所以x－10就代表足球的数量。 篮球的个数是排球的3倍，排球总数是x，那么3乘x也就是3x，代表的就是篮球的数量。 排球是x个，篮球是3x个，两者相加x＋3x＝4x，就是篮球和排球的总个数。 排球是x个，足球是x－10个，两者相加x＋（x－10）＝x＋x－10＝2x－10，就是排球和足球的总个数。 7．（26-27五年级上·全国·课后作业）甲数是，比乙数的6倍少，求乙数的式子是。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】甲数比乙数的6倍少，说明乙数的6倍等于甲数加，用甲数加的和除以6才能得到乙数。 【规范解答】由题意可得：乙数×6＝ 因此乙数为：，和题干给出的不一致。 故答案为：×。 8．（26-27五年级上·全国·课后作业）某市出租车的起步价为8元（3千米及以内），超过3千米的部分，每千米2.5元计费（不足1千米按1千米计算）小明乘出租车行了m（m＞3）千米。 (1)用式子表示小明乘出租车应付的钱。 (2)当m＝12时，小明应付多少元？ 【答案】(1)（m－3）×2.5＋8 (2)30.5元 【思路引导】（1）先求超出3千米的路程，用总路程m减去3千米得到超出部分路程，再用超出路程乘2.5元求出超出部分需要的钱数，最后加上起步价8元，求出一共应付的钱数。 （2）把m＝12代入第（1）问得到的式子里面，即可求出应付的钱数。 【规范解答】（1）超过3千米的路程为（m－3）千米，超过部分费用为2.5（m－3）元，加上起步价8元，总应付费用为[2.5（m－3）＋8]元。 （2）当m＝12时 （12－3）×2.5＋8 ＝9×2.5＋8 ＝22.5＋8 ＝30.5（元） 答：小明应付30.5元。 9．（26-27五年级上·辽宁·单元测试）如下图所示，淘气和笑笑在玩拼图形游戏，他们是这样玩的：（1）选出能拼成长方形的两个图形；（2）画出拼成的图形；（3）用字母表示出拼成图形的长、宽和面积。 除了淘气和笑笑的拼法，你还有其他拼法吗？ (1)我用( )拼成长方形。（填序号） (2)在如图的框中画出拼成的长方形。 (3)长方形的长是( )，宽是( )，面积是( )。 【答案】(1)①③ (2) (3) m n＋b mn＋mb 【思路引导】选出的两个长方形中的长相等或者宽相等，即可拼成一个新的长方形；长方形的面积等于长乘宽，据此解答即可。 【规范解答】（1）我用①③拼成长方形；（答案不唯一） （2）将相等的边拼起来即可，图略； （3）长方形的长为m，宽为n＋b； 面积：m×（n＋b）＝mn＋mb 10．（26-27五年级上·辽宁·课后作业）小区花坛外围的墙面要贴上瓷片，贴瓷片的师傅将瓷片按如图所示的方式拼成一组图案，图案由宽为a的4个完全一样的小长方形瓷片拼成，用式子表示整个图形的周长和面积。 【答案】周长是14a，面积是12a2 【思路引导】先根据图形关系，求出小长方形的长与宽，再得到组合图形的总长、总宽，利用长方形周长公式、面积公式，用含字母的式子计算周长和面积。 【规范解答】由图可得小长方形宽为a，长等于3个宽，即长是3a。 组合图形的长：3a，组合图形的高：。 周长：   面积： 答：周长是，面积是。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $null