16.1-16.2 整式的乘法重难点专题精讲讲义（幂运算、整式乘除）2026-2027学年人教版数学八年级上册

人教版八年级上册《整式的乘法重难点专题精讲（幂运算、整式乘除）》 适用章节：第十六章 整式的乘法 —— 16.1 幂的运算、16.2 整式的乘法 —————————————————————————————————— 第一部分　课前导读 1.1　幂的运算与整式乘除核心方法梳理 明法则：幂的运算有四条法则——同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除．判断一个算式对错，先看“运算类型”，再定“指数是加还是乘”，最后看“系数有没有一起乘方”． 辨区别：am·an=am+n 与 (am)n=amn 最容易混．口诀——“相乘指数加，乘方指数乘”；而 am+an 只能合并同类项，m≠n 时根本不能合并． 积的乘方：(ab)n=anbn，括号里每一个因式都要乘方，系数是“数的乘方”，如 (2a)3=8a3、(−2x2)3=−8x6． 逆用：由 am+n=am·an 可以把一个幂拆成两个幂的积，把“指数相加”变成“幂相乘”，这是求值题的主线；化同底（4=22、8=23、9=32、27=33）是逆用的前提． 单项式乘单项式：系数相乘作系数，同底数幂相乘，只在一个单项式里出现的字母连同指数照抄． 单项式乘多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加；结果的项数与原多项式的项数相同，可用来检查漏项． 多项式乘多项式：每一项乘每一项，合并同类项；展开前先估计项数（m 项 × n 项 = mn 项），再按同一字母降幂排列读系数． 整式除法：单项式除以单项式，系数、同底数幂分别相除；多项式除以单项式，逐项相除再相加．混合运算按“乘方 → 乘除 → 加减”的顺序，有括号先算括号． 1.2　高频易错清单（考前必看） ① 把 a2·a3 算成 a6：同底数幂相乘应“指数相加”，正确答案是 a5． ② 把 (a2)3 算成 a5：幂的乘方应“指数相乘”，正确答案是 a6． ③ 积的乘方漏乘系数：(2a)3=8a3 而不是 6a3；(3x2)2=9x4 而不是 3x4． ④ 负号丢失：(−2a2)2=4a4（偶次幂为正），(−2a2)3=−8a6（奇次幂为负）． ⑤ 单项式乘多项式漏乘“1”项或漏变号：−2a(a−1)=−2a2+2a，不要写成 −2a2−2a． ⑥ 零指数、负整数指数忽略“底数不为 0”：a0=1 的前提是 a≠0，遇到 (x−3)0 必须写 x≠3． ⑦ 多项式相乘漏项：(a+b)(c+d) 展开后应有 4 项，合并前不要提前省略． ⑧ “不含某项”读错：不含 x2 项 ⟺ x2 的系数等于 0，而不是“x2 项的系数不存在”就跳过不算． 1.3　本讲题型总目录 题型1：幂的四则运算法则辨析 题型2：幂的运算法则的逆用与指数求值 题型3：零指数幂与负整数指数幂 题型4：幂的运算与整体代入 题型5：单项式乘单项式、单项式乘多项式 题型6：多项式乘多项式与“不含某项”求参数 题型7：整式除法与乘除混合运算 题型8：整式乘除的实际应用、新定义与规律探究 说明：题型 1～4 对应 16.1“幂的运算”，重在法则的辨析、逆用与整体代入；题型 5～8 对应 16.2“整式的乘法”，重在算理、参数与建模应用． 第二部分　分题型精讲 【题型1：幂的四则运算法则辨析】 ✅ 模型解读：题目给出四个算式（或①②③④若干说法），要求挑出计算正确的一项或统计正确的个数．解题主线是“逐条对照法则”：先看运算类型（乘、除、乘方、加），再看底数是否相同，最后看指数该加还是该乘、系数有没有一起乘方． ✅ 核心公式/运算规则 同底数幂相乘：am·an=am+n（底数不变，指数相加）； 幂的乘方：(am)n=amn（底数不变，指数相乘）； 积的乘方：(ab)n=anbn（每个因式都要乘方，系数别漏）； 同底数幂相除：am÷an=am−n（a≠0，m>n）； 两条“不能”：am+an 在 m≠n 时不能合并；am·an≠amn． ✅ 经典例题：下列计算正确的是（　　） A．a2·a3=a6　　B．(a2)3=a5　　C．(2a)3=6a3　　D．a6÷a2=a4 ✅ 变式训练 1．下列各式计算正确的是（　　） A．x3·x4=x12　　B．(x3)4=x7　　C．(−2x2)3=−8x6　　D．x8÷x4=x2 2．下列四个算式中，计算正确的有（　　） ①a5·a5=2a5　②m4+m4=2m4　③x3·x·x6=x9　④(−y)2·(−y)3=y5 A．0 个　　B．1 个　　C．2 个　　D．3 个 3．下列计算错误的是（　　） A．(3xy)2=9x2y2　　B．(−a2)3=−a6　　C．(a3)2·a=a7　　D．(−2a2)2=−4a4 【题型2：幂的运算法则的逆用与指数求值】 ✅ 模型解读：已知几个幂的值，求由这些幂“相乘、相除、乘方”组成的式子的值；或已知指数之间的关系求字母的值．主线是“化同底 + 拆指数”：把所求式子的指数拆成已知指数的和（用 am+n=am·an）或差（用 am−n=am÷an），再把已知幂的值整体代入． ✅ 核心公式/运算规则 拆和：am+n=am·an；拆差：am−n=am÷an； 拆倍数：amn=(am)n=(an)m，如 32m=(3m)2； 常用化同底：4=22，8=23，16=24，32=25，9=32，27=33，25=52，100=102； 同底数幂相等则指数相等：若 aM=aN（a>0 且 a≠1），则 M=N． ✅ 经典例题：已知 2x=3，4y=5，求 2x+2y 的值． ✅ 变式训练 1．已知 3m=4，3n=5，求 32m+n 的值． 2．已知 10a=4，100b=25，求 a+2b 的值． 3．若 3a=2，9b=5，求 3a−2b 的值． 【题型3：零指数幂与负整数指数幂】 ✅ 模型解读：考查 a0=1、a−n=1/an 的适用条件（底数不为 0），常与“式子有意义”结合，也常混在选择题的正误辨析中．记住一条：只要出现 0 次幂或负整数指数幂，先写“底数 ≠0”． ✅ 核心公式/运算规则 a0=1（a≠0）；00 没有意义； a−n=1/an（a≠0，n 为正整数），如 2−3=1/8，(1/2)−2=4，(2/3)−1=3/2； “有意义”即底数不为 0：若 (A)0 或 (A)−n 有意义，则 A≠0； 判断 (π−3.14)0：因为 π≈3.1416≠3.14，底数不为 0，所以它等于 1． ✅ 经典例题：若 (x−3)0=1 成立，则 x 应满足的条件是＿＿＿＿＿＿． ✅ 变式训练 1．计算 (−1/2)−2+(π−3.14)0． 2．若 (2x−4)0+(x−3)−1 有意义，求 x 的取值范围． 3．下列说法正确的是（　　） A．(2−π)0 没有意义　　B．任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1 C．a3·(2a)2=4a6　　D．若 (x−5)0=1，则 x=5 【题型4：幂的运算与整体代入】 ✅ 模型解读：题目给出一个关于指数的等式（如 a+3b−2=0），要求含幂的式子的值．做法固定为“三步”：化同底 → 合并成一个幂 → 把已知等式整体代入．反过来，也可以把 22x+5y 拆成 4x·32y． ✅ 核心公式/运算规则 化同底后合并：3a×27b=3a·33b=3a+3b； 由 a+3b−2=0 得 a+3b=2，整体代入得 32=9； 逆用：22x+5y=22x·25y=4x·32y； 若指数式相等（同底），则指数相等，可列方程求字母的值． ✅ 经典例题：若 2a+3b−4=0，求 4a×8b 的值． ✅ 变式训练 1．若 2x−y−3=0，求 4x÷2y 的值． 2．若 3m=5，9n=4，求 32m−2n 的值． 3．若 52x+1·25x=513，求 x 的值． 【题型5：单项式乘单项式、单项式乘多项式】 ✅ 模型解读：①单项式乘单项式：系数相乘作系数，同底数幂相乘，只在一个单项式里出现的字母连同指数照抄；②单项式乘多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把积相加，注意符号与“1”项；③“墨迹污染”型：已知积与其中一个因式，用整式除法求另一个因式． ✅ 核心公式/运算规则 单项式乘单项式：(mapbq)(narbs)=(mn)ap+rbq+s； 单项式乘多项式：m(a+b+c)=ma+mb+mc； 结果的项数 = 原多项式的项数（可用来查漏项）； 系数带负号时先定符号再算绝对值，如 (−2ab2)(3a2b)=−6a3b3． ✅ 经典例题：若 ■×2ab=6a2b3−4a3b2，求“■”所表示的多项式． ✅ 变式训练 1．计算 (−2ab2)(3a2b−1/2ab+1)． 2．计算 3x(2x2−x+1)−2x2(3x−2)． 3．已知 ab2=−2，求 −ab(a2b5−ab3−b) 的值． 【题型6：多项式乘多项式与“不含某项”求参数】 ✅ 模型解读：①展开：每一项乘每一项，再合并同类项；②“不含 xk 项”“xk 项系数为 m”这类条件，本质是“该项系数 = 0”或“该项系数 = m”，据此列方程求参数；③读系数前一定先按同一字母降幂排列，避免看错项． ✅ 核心公式/运算规则 (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd（合并前共 4 项，不重不漏）； 积的次数 = 两个多项式次数之和，可用来确定最高次项； “不含 xk 项” ⟺ xk 的系数为 0； “常数项”就是不含字母的那一项，令 x=0 也可快速得到． ✅ 经典例题：若 (2x2+ax−3)(x+1) 的展开式中 x2 项的系数为 −3，求 a 的值． ✅ 变式训练 1．若 (x−4)(3x+2)=3x2+mx−8，求 m 的值． 2．若 (x2+mx−2)(x−3) 的展开式中不含 x2 项，求 m 的值，并求此时一次项的系数． 3．已知多项式 ax+b 与 3x2−2x+1 的乘积展开式中不含 x 的一次项，且常数项为 −2，求 a、b 的值． 【题型7：整式除法与乘除混合运算】 ✅ 模型解读：①单项式除以单项式：系数、同底数幂分别相除；②多项式除以单项式：逐项相除再相加，项数不变；③混合运算按“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序，去括号时注意符号；④“先化简，再求值”必须化到最简再代入，否则计算量会成倍增加． ✅ 核心公式/运算规则 单项式相除：am3÷bm=(a/b)m2； 多项式除以单项式：(ma+mb+mc)÷m=a+b+c； 运算顺序：乘方 → 乘除 → 加减，有括号先算括号内的； 化简结果要合并到“最简”：没有同类项、没有可约的因式． ✅ 经典例题：计算 (3a3)2÷a2−2a2·a2． ✅ 变式训练 1．计算 (x+2y)(x−3y)−(4x3−8x2y)÷2x． 2．计算 (12a3b−8a2b2)÷4ab． 3．先化简，再求值：(x2+2)(x−1)−x(x2−x+1)，其中 x=−2． 【题型8：整式乘除的实际应用、新定义与规律探究】 ✅ 模型解读：①新定义运算：把定义式抄成普通算式，被定义的字母要“整体加括号”；②实际应用：先用含字母的式子表示长、宽、排数、个数等，再相乘或相除；③规律探究：写出前几个特例 → 归纳一般式 → 用多项式乘法验证，三步缺一不可． ✅ 核心公式/运算规则 新定义：a☆b 中 a、b 各自整体代入，如 (x+y)☆y 中 a=x+y，b=y； 面积模型：长方形面积 = 长 × 宽，剩余面积 = 大面积 − 小面积； 数量模型：总数 = 每排数量 × 排数； 规律题：观察 → 猜想 → 用整式乘法证明（结论必须给出理由）． ✅ 经典例题：定义 a※b=2a2−b，化简 (x+y)※y． ✅ 变式训练 1．定义 a◎b=2ab−b2，求 (x2−2)◎(x+1)． 2．某小区有一块长为 2a+3b、宽为 a+2b 的长方形地块，中间修建一个边长为 a+b 的正方形凉亭，其余部分全部绿化． (1) 用含 a、b 的式子表示绿化面积； (2) 当 a=3，b=2 时，求绿化面积． 3．某种细菌每经过 30 min 便由 1 个分裂成 2 个，开始时有 1 个细菌． (1) 经过 3 h 后共有多少个细菌？ (2) 经过 t h 后共有多少个细菌（结果用幂表示）？ 第三部分　分层训练 一、基础巩固（第 1～10 题） 1．计算 a2·a3 的结果是（　　） A．a5　　B．a6　　C．2a5　　D．a9 2．计算 (2x3)2 的结果是（　　） A．2x5　　B．4x5　　C．4x6　　D．2x6 3．计算 x6÷x2 的结果是（　　） A．x3　　B．x4　　C．x8　　D．x12 4．计算 2a(3a−1)=＿＿＿＿＿＿． 5．计算 (x+3)(x−2)=＿＿＿＿＿＿． 6．若 3m=2，3n=5，则 3m+n=＿＿＿＿＿＿． 7．计算 (−2xy2)·3x2y=＿＿＿＿＿＿． 8．计算 (12a3b−8a2b2)÷4ab=＿＿＿＿＿＿． 9．计算 (2x−1)(x+3)−2x(x+1)． 10．计算 (−3a2b)2÷(9a3b)． 二、能力提升（第 11～20 题） 11．若 (a3b2)n=a9bm，则 m、n 的值分别是（　　） A．m=6，n=3　　B．m=9，n=3　　C．m=6，n=2　　D．m=3，n=2 12．若 3m=2，27n=5，则 3m−3n 的值为（　　） A．2/5　　B．5/2　　C．10　　D．−3 13．若 x2+x−n=(x+n)(x−1)，且 x≠0，则 n 的值为（　　） A．−2　　B．−1　　C．1　　D．2 14．如果计算 (3−nx+2x2+kx3)(−2x2) 的结果中 x5 项的系数为 6，那么 k 的值为（　　） A．−3　　B．3　　C．−2　　D．2 15．若 (x2+ax+3)(x2−3x+b) 的展开式中不含 x3 项和 x2 项，则 ab=＿＿＿＿＿＿． 16．计算 (2/3a2b)2·(−3/2ab2)3． 17．已知 (x2+mx+1)(x−n) 的展开式中不含 x 项，且 x2 项的系数为 0，求 m、n 的值． 18．先化简，再求值：2x(x2−x+1)−x2(2x−1)，其中 x=−3． 19．已知 32x+1·9x=39，求 x 的值． 20．用一块长 3a、宽 2b 的长方形纸板，在四个角各剪去一个边长为 a−b（a>b）的小正方形． (1) 用含 a、b 的式子表示剩余部分的面积； (2) 当 a=5，b=3 时，求剩余部分的面积． 三、拓展探究（第 21～30 题） 21．比较 344 与 433 的大小． 22．已知 2a=3，4b=5，8c=7，求 2a+2b+3c 的值． 23．观察下列等式：13+23=9=32，13+23+33=36=62，13+23+33+43=100=102…… (1) 猜想 13+23+33+…+n3 的结果（用含 n 的式子表示）； (2) 利用你的猜想求 13+23+33+…+103 的值． 24．求 22026 的个位数字． 25．若 (x−2)x−4=1，求 x 的所有可能值． 26．已知 a2+a−1=0，求 a3+2a2+3 的值． 27．计算 (1/2)2025×22026． 28．已知 x=2m+1，y=3+4m，用含 x 的式子表示 y． 29．已知 am=2，an=3，求 a3m−2n 的值． 30．已知 10m=20，10n=1/5，求 9m÷32n 的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版八年级上册《整式的乘法重难点专题精讲（幂运算、整式乘除）》 适用章节：第十六章 整式的乘法 —— 16.1 幂的运算、16.2 整式的乘法 —————————————————————————————————— 第一部分　课前导读 1.1　幂的运算与整式乘除核心方法梳理 明法则：幂的运算有四条法则——同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除．判断一个算式对错，先看“运算类型”，再定“指数是加还是乘”，最后看“系数有没有一起乘方”． 辨区别：am·an=am+n 与 (am)n=amn 最容易混．口诀——“相乘指数加，乘方指数乘”；而 am+an 只能合并同类项，m≠n 时根本不能合并． 积的乘方：(ab)n=anbn，括号里每一个因式都要乘方，系数是“数的乘方”，如 (2a)3=8a3、(−2x2)3=−8x6． 逆用：由 am+n=am·an 可以把一个幂拆成两个幂的积，把“指数相加”变成“幂相乘”，这是求值题的主线；化同底（4=22、8=23、9=32、27=33）是逆用的前提． 单项式乘单项式：系数相乘作系数，同底数幂相乘，只在一个单项式里出现的字母连同指数照抄． 单项式乘多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加；结果的项数与原多项式的项数相同，可用来检查漏项． 多项式乘多项式：每一项乘每一项，合并同类项；展开前先估计项数（m 项 × n 项 = mn 项），再按同一字母降幂排列读系数． 整式除法：单项式除以单项式，系数、同底数幂分别相除；多项式除以单项式，逐项相除再相加．混合运算按“乘方 → 乘除 → 加减”的顺序，有括号先算括号． 1.2　高频易错清单（考前必看） ① 把 a2·a3 算成 a6：同底数幂相乘应“指数相加”，正确答案是 a5． ② 把 (a2)3 算成 a5：幂的乘方应“指数相乘”，正确答案是 a6． ③ 积的乘方漏乘系数：(2a)3=8a3 而不是 6a3；(3x2)2=9x4 而不是 3x4． ④ 负号丢失：(−2a2)2=4a4（偶次幂为正），(−2a2)3=−8a6（奇次幂为负）． ⑤ 单项式乘多项式漏乘“1”项或漏变号：−2a(a−1)=−2a2+2a，不要写成 −2a2−2a． ⑥ 零指数、负整数指数忽略“底数不为 0”：a0=1 的前提是 a≠0，遇到 (x−3)0 必须写 x≠3． ⑦ 多项式相乘漏项：(a+b)(c+d) 展开后应有 4 项，合并前不要提前省略． ⑧ “不含某项”读错：不含 x2 项 ⟺ x2 的系数等于 0，而不是“x2 项的系数不存在”就跳过不算． 1.3　本讲题型总目录 题型1：幂的四则运算法则辨析 题型2：幂的运算法则的逆用与指数求值 题型3：零指数幂与负整数指数幂 题型4：幂的运算与整体代入 题型5：单项式乘单项式、单项式乘多项式 题型6：多项式乘多项式与“不含某项”求参数 题型7：整式除法与乘除混合运算 题型8：整式乘除的实际应用、新定义与规律探究 说明：题型 1～4 对应 16.1“幂的运算”，重在法则的辨析、逆用与整体代入；题型 5～8 对应 16.2“整式的乘法”，重在算理、参数与建模应用． 第二部分　分题型精讲 【题型1：幂的四则运算法则辨析】 ✅ 模型解读：题目给出四个算式（或①②③④若干说法），要求挑出计算正确的一项或统计正确的个数．解题主线是“逐条对照法则”：先看运算类型（乘、除、乘方、加），再看底数是否相同，最后看指数该加还是该乘、系数有没有一起乘方． ✅ 核心公式/运算规则 同底数幂相乘：am·an=am+n（底数不变，指数相加）； 幂的乘方：(am)n=amn（底数不变，指数相乘）； 积的乘方：(ab)n=anbn（每个因式都要乘方，系数别漏）； 同底数幂相除：am÷an=am−n（a≠0，m>n）； 两条“不能”：am+an 在 m≠n 时不能合并；am·an≠amn． ✅ 经典例题：下列计算正确的是（　　） A．a2·a3=a6　　B．(a2)3=a5　　C．(2a)3=6a3　　D．a6÷a2=a4 【例题解析】 A 项是同底数幂相乘，指数应相加：a2·a3=a5，故 A 错误； B 项是幂的乘方，指数应相乘：(a2)3=a6，故 B 错误； C 项是积的乘方，系数也要乘方：(2a)3=23a3=8a3，故 C 错误； D 项是同底数幂相除，指数相减：a6÷a2=a4，故 D 正确． 所以选 D． ✅ 变式训练 1．下列各式计算正确的是（　　） A．x3·x4=x12　　B．(x3)4=x7　　C．(−2x2)3=−8x6　　D．x8÷x4=x2 2．下列四个算式中，计算正确的有（　　） ①a5·a5=2a5　②m4+m4=2m4　③x3·x·x6=x9　④(−y)2·(−y)3=y5 A．0 个　　B．1 个　　C．2 个　　D．3 个 3．下列计算错误的是（　　） A．(3xy)2=9x2y2　　B．(−a2)3=−a6　　C．(a3)2·a=a7　　D．(−2a2)2=−4a4 【变式答案】 1．A 应为 x3+4=x7；B 应为 x3×4=x12；D 应为 x8−4=x4；C 中 (−2)3=−8，(x2)3=x6，正确．选 C． 2．①同底数幂相乘，指数应相加，应为 a10，错误；②合并同类项，正确；③指数应相加，x3·x·x6=x3+1+6=x10，错误；④(−y)2·(−y)3=(−y)5=−y5，错误．只有 1 个正确，选 B． 3．A 由积的乘方得 9x2y2，正确；B 负数的奇次幂为负，正确；C 先算乘方 a6·a=a7，正确；D 中 (−2)2=4，偶次幂应得正，(−2a2)2=4a4，错误．选 D． 【题型2：幂的运算法则的逆用与指数求值】 ✅ 模型解读：已知几个幂的值，求由这些幂“相乘、相除、乘方”组成的式子的值；或已知指数之间的关系求字母的值．主线是“化同底 + 拆指数”：把所求式子的指数拆成已知指数的和（用 am+n=am·an）或差（用 am−n=am÷an），再把已知幂的值整体代入． ✅ 核心公式/运算规则 拆和：am+n=am·an；拆差：am−n=am÷an； 拆倍数：amn=(am)n=(an)m，如 32m=(3m)2； 常用化同底：4=22，8=23，16=24，32=25，9=32，27=33，25=52，100=102； 同底数幂相等则指数相等：若 aM=aN（a>0 且 a≠1），则 M=N． ✅ 经典例题：已知 2x=3，4y=5，求 2x+2y 的值． 【例题解析】 先化同底：4y=(22)y=22y，所以 22y=5； 再拆指数：2x+2y=2x·22y； 整体代入：原式 =3×5=15． ✅ 变式训练 1．已知 3m=4，3n=5，求 32m+n 的值． 2．已知 10a=4，100b=25，求 a+2b 的值． 3．若 3a=2，9b=5，求 3a−2b 的值． 【变式答案】 1．32m+n=(3m)2·3n=42×5=16×5=80． 2．化同底：100b=(102)b=102b=25． 拆指数后相乘：10a+2b=10a·102b=4×25=100=102． 由同底数幂相等得 a+2b=2． 3．化同底：9b=(32)b=32b=5． 拆指数后相除：3a−2b=3a÷32b=2÷5=2/5． 【题型3：零指数幂与负整数指数幂】 ✅ 模型解读：考查 a0=1、a−n=1/an 的适用条件（底数不为 0），常与“式子有意义”结合，也常混在选择题的正误辨析中．记住一条：只要出现 0 次幂或负整数指数幂，先写“底数 ≠0”． ✅ 核心公式/运算规则 a0=1（a≠0）；00 没有意义； a−n=1/an（a≠0，n 为正整数），如 2−3=1/8，(1/2)−2=4，(2/3)−1=3/2； “有意义”即底数不为 0：若 (A)0 或 (A)−n 有意义，则 A≠0； 判断 (π−3.14)0：因为 π≈3.1416≠3.14，底数不为 0，所以它等于 1． ✅ 经典例题：若 (x−3)0=1 成立，则 x 应满足的条件是＿＿＿＿＿＿． 【例题解析】 零指数幂等于 1 的前提是底数不等于 0； 所以 x−3≠0，即 x≠3． ✅ 变式训练 1．计算 (−1/2)−2+(π−3.14)0． 2．若 (2x−4)0+(x−3)−1 有意义，求 x 的取值范围． 3．下列说法正确的是（　　） A．(2−π)0 没有意义　　B．任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1 C．a3·(2a)2=4a6　　D．若 (x−5)0=1，则 x=5 【变式答案】 1．(−1/2)−2=1/[(−1/2)2]=1/(1/4)=4； 因为 π≠3.14，所以 (π−3.14)0=1； 原式 =4+1=5． 2．两个式子都有意义，需底数都不为 0：2x−4≠0 且 x−3≠0； 解得 x≠2 且 x≠3． 3．A 中 2−π≠0，底数不为 0，式子有意义，错误； B 正确，这是零指数幂的前提条件； C 中 (2a)2=4a2，a3·4a2=4a5≠4a6，错误； D 中由底数不为 0 得 x−5≠0，即 x≠5，错误．选 B． 【题型4：幂的运算与整体代入】 ✅ 模型解读：题目给出一个关于指数的等式（如 a+3b−2=0），要求含幂的式子的值．做法固定为“三步”：化同底 → 合并成一个幂 → 把已知等式整体代入．反过来，也可以把 22x+5y 拆成 4x·32y． ✅ 核心公式/运算规则 化同底后合并：3a×27b=3a·33b=3a+3b； 由 a+3b−2=0 得 a+3b=2，整体代入得 32=9； 逆用：22x+5y=22x·25y=4x·32y； 若指数式相等（同底），则指数相等，可列方程求字母的值． ✅ 经典例题：若 2a+3b−4=0，求 4a×8b 的值． 【例题解析】 化同底：4a=(22)a=22a，8b=(23)b=23b； 合并：4a×8b=22a·23b=22a+3b； 整体代入：由 2a+3b−4=0 得 2a+3b=4，所以原式 =24=16． ✅ 变式训练 1．若 2x−y−3=0，求 4x÷2y 的值． 2．若 3m=5，9n=4，求 32m−2n 的值． 3．若 52x+1·25x=513，求 x 的值． 【变式答案】 1．化同底：4x=22x； 合并：4x÷2y=22x÷2y=22x−y； 由 2x−y=3 得原式 =23=8． 2．32m=(3m)2=52=25； 由 9n=4 得 32n=4； 32m−2n=32m÷32n=25÷4=25/4． 3．化同底：25x=(52)x=52x； 左边 =52x+1·52x=54x+1； 由 54x+1=513 得 4x+1=13，所以 x=3． 【题型5：单项式乘单项式、单项式乘多项式】 ✅ 模型解读：①单项式乘单项式：系数相乘作系数，同底数幂相乘，只在一个单项式里出现的字母连同指数照抄；②单项式乘多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把积相加，注意符号与“1”项；③“墨迹污染”型：已知积与其中一个因式，用整式除法求另一个因式． ✅ 核心公式/运算规则 单项式乘单项式：(mapbq)(narbs)=(mn)ap+rbq+s； 单项式乘多项式：m(a+b+c)=ma+mb+mc； 结果的项数 = 原多项式的项数（可用来查漏项）； 系数带负号时先定符号再算绝对值，如 (−2ab2)(3a2b)=−6a3b3． ✅ 经典例题：若 ■×2ab=6a2b3−4a3b2，求“■”所表示的多项式． 【例题解析】 设“■”为 M，则 M·2ab=6a2b3−4a3b2； 两边同除以 2ab：M=(6a2b3−4a3b2)÷(2ab)=3ab2−2a2b； 检验：2ab(3ab2−2a2b)=6a2b3−4a3b2，与已知一致． ✅ 变式训练 1．计算 (−2ab2)(3a2b−1/2ab+1)． 2．计算 3x(2x2−x+1)−2x2(3x−2)． 3．已知 ab2=−2，求 −ab(a2b5−ab3−b) 的值． 【变式答案】 1．用 −2ab2 去乘括号内的每一项： (−2ab2)·3a2b=−6a3b3； (−2ab2)·(−1/2ab)=a2b3； (−2ab2)·1=−2ab2； 所以原式 =−6a3b3+a2b3−2ab2． 2．3x(2x2−x+1)=6x3−3x2+3x； 2x2(3x−2)=6x3−4x2，前面有负号，去括号得 −6x3+4x2； 原式 =6x3−3x2+3x−6x3+4x2=x2+3x． 3．先化简：−ab·a2b5=−a3b6，−ab·(−ab3)=a2b4，−ab·(−b)=ab2， 所以原式 =−a3b6+a2b4+ab2=−(ab2)3+(ab2)2+ab2； 把 ab2=−2 整体代入：−(−8)+4+(−2)=10． 【题型6：多项式乘多项式与“不含某项”求参数】 ✅ 模型解读：①展开：每一项乘每一项，再合并同类项；②“不含 xk 项”“xk 项系数为 m”这类条件，本质是“该项系数 = 0”或“该项系数 = m”，据此列方程求参数；③读系数前一定先按同一字母降幂排列，避免看错项． ✅ 核心公式/运算规则 (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd（合并前共 4 项，不重不漏）； 积的次数 = 两个多项式次数之和，可用来确定最高次项； “不含 xk 项” ⟺ xk 的系数为 0； “常数项”就是不含字母的那一项，令 x=0 也可快速得到． ✅ 经典例题：若 (2x2+ax−3)(x+1) 的展开式中 x2 项的系数为 −3，求 a 的值． 【例题解析】 展开：(2x2+ax−3)(x+1)=2x3+2x2+ax2+ax−3x−3； 合并同类项：=2x3+(2+a)x2+(a−3)x−3； 由 x2 项系数为 −3，得 2+a=−3，所以 a=−5． ✅ 变式训练 1．若 (x−4)(3x+2)=3x2+mx−8，求 m 的值． 2．若 (x2+mx−2)(x−3) 的展开式中不含 x2 项，求 m 的值，并求此时一次项的系数． 3．已知多项式 ax+b 与 3x2−2x+1 的乘积展开式中不含 x 的一次项，且常数项为 −2，求 a、b 的值． 【变式答案】 1．展开左边：(x−4)(3x+2)=3x2+2x−12x−8=3x2−10x−8； 与右边比较一次项系数，得 m=−10． 2．展开：(x2+mx−2)(x−3)=x3−3x2+mx2−3mx−2x+6； 合并：=x3+(m−3)x2+(−3m−2)x+6； 不含 x2 项，则 m−3=0，所以 m=3； 此时一次项系数为 −3×3−2=−11． 3．展开：(ax+b)(3x2−2x+1)=3ax3−2ax2+ax+3bx2−2bx+b； 合并：=3ax3+(3b−2a)x2+(a−2b)x+b； 不含一次项，则 a−2b=0；常数项为 −2，则 b=−2； 代入 a−2b=0 得 a=−4．所以 a=−4，b=−2． 【题型7：整式除法与乘除混合运算】 ✅ 模型解读：①单项式除以单项式：系数、同底数幂分别相除；②多项式除以单项式：逐项相除再相加，项数不变；③混合运算按“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序，去括号时注意符号；④“先化简，再求值”必须化到最简再代入，否则计算量会成倍增加． ✅ 核心公式/运算规则 单项式相除：am3÷bm=(a/b)m2； 多项式除以单项式：(ma+mb+mc)÷m=a+b+c； 运算顺序：乘方 → 乘除 → 加减，有括号先算括号内的； 化简结果要合并到“最简”：没有同类项、没有可约的因式． ✅ 经典例题：计算 (3a3)2÷a2−2a2·a2． 【例题解析】 先算乘方：(3a3)2=9a6； 再算乘除：9a6÷a2=9a4，2a2·a2=2a4； 最后相减：原式 =9a4−2a4=7a4． ✅ 变式训练 1．计算 (x+2y)(x−3y)−(4x3−8x2y)÷2x． 2．计算 (12a3b−8a2b2)÷4ab． 3．先化简，再求值：(x2+2)(x−1)−x(x2−x+1)，其中 x=−2． 【变式答案】 1．(x+2y)(x−3y)=x2−3xy+2xy−6y2=x2−xy−6y2； (4x3−8x2y)÷2x=2x2−4xy； 原式 =x2−xy−6y2−(2x2−4xy) =−x2+3xy−6y2． 2．逐项相除：12a3b÷4ab=3a2，8a2b2÷4ab=2ab； 所以原式 =3a2−2ab． 3．(x2+2)(x−1)=x3−x2+2x−2； x(x2−x+1)=x3−x2+x，去括号得 −x3+x2−x； 原式 =x3−x2+2x−2−x3+x2−x=x−2； 当 x=−2 时，原式 =−2−2=−4． 【题型8：整式乘除的实际应用、新定义与规律探究】 ✅ 模型解读：①新定义运算：把定义式抄成普通算式，被定义的字母要“整体加括号”；②实际应用：先用含字母的式子表示长、宽、排数、个数等，再相乘或相除；③规律探究：写出前几个特例 → 归纳一般式 → 用多项式乘法验证，三步缺一不可． ✅ 核心公式/运算规则 新定义：a☆b 中 a、b 各自整体代入，如 (x+y)☆y 中 a=x+y，b=y； 面积模型：长方形面积 = 长 × 宽，剩余面积 = 大面积 − 小面积； 数量模型：总数 = 每排数量 × 排数； 规律题：观察 → 猜想 → 用整式乘法证明（结论必须给出理由）． ✅ 经典例题：定义 a※b=2a2−b，化简 (x+y)※y． 【例题解析】 按定义把 a=x+y，b=y 整体代入：(x+y)※y=2(x+y)2−y； 展开并化简：=2(x2+2xy+y2)−y=2x2+4xy+2y2−y． ✅ 变式训练 1．定义 a◎b=2ab−b2，求 (x2−2)◎(x+1)． 2．某小区有一块长为 2a+3b、宽为 a+2b 的长方形地块，中间修建一个边长为 a+b 的正方形凉亭，其余部分全部绿化． (1) 用含 a、b 的式子表示绿化面积； (2) 当 a=3，b=2 时，求绿化面积． 3．某种细菌每经过 30 min 便由 1 个分裂成 2 个，开始时有 1 个细菌． (1) 经过 3 h 后共有多少个细菌？ (2) 经过 t h 后共有多少个细菌（结果用幂表示）？ 【变式答案】 1．按定义代入：(x2−2)◎(x+1)=2(x2−2)(x+1)−(x+1)2； 2(x2−2)(x+1)=2(x3+x2−2x−2)=2x3+2x2−4x−4， (x+1)2=x2+2x+1，去括号得 −x2−2x−1； 原式 =2x3+2x2−4x−4−x2−2x−1=2x3+x2−6x−5． 2．(1) 绿化面积 = 长方形面积 − 正方形面积 =(2a+3b)(a+2b)−(a+b)2 =2a2+4ab+3ab+6b2−(a2+2ab+b2) =a2+5ab+5b2； (2) 当 a=3，b=2 时，原式 =9+5×3×2+5×4=9+30+20=59． 答：绿化面积为 (a2+5ab+5b2)，当 a=3，b=2 时为 59． 3．(1) 3 h 含 3÷0.5=6 个 30 min，即分裂 6 次，共有 26=64（个）； (2) t h 含 2t 个 30 min，即分裂 2t 次，共有 22t 个． 答：经过 3 h 后有 64 个，经过 t h 后有 22t 个． 第三部分　分层训练 一、基础巩固（第 1～10 题） 1．计算 a2·a3 的结果是（　　） A．a5　　B．a6　　C．2a5　　D．a9 2．计算 (2x3)2 的结果是（　　） A．2x5　　B．4x5　　C．4x6　　D．2x6 3．计算 x6÷x2 的结果是（　　） A．x3　　B．x4　　C．x8　　D．x12 4．计算 2a(3a−1)=＿＿＿＿＿＿． 5．计算 (x+3)(x−2)=＿＿＿＿＿＿． 6．若 3m=2，3n=5，则 3m+n=＿＿＿＿＿＿． 7．计算 (−2xy2)·3x2y=＿＿＿＿＿＿． 8．计算 (12a3b−8a2b2)÷4ab=＿＿＿＿＿＿． 9．计算 (2x−1)(x+3)−2x(x+1)． 10．计算 (−3a2b)2÷(9a3b)． 【参考答案与解析】 1．同底数幂相乘，底数不变、指数相加：a2·a3=a2+3=a5．选 A． 2．积的乘方，系数与字母都要乘方：(2x3)2=22·(x3)2=4x6．选 C． 3．同底数幂相除，指数相减：x6÷x2=x6−2=x4．选 B． 4．用 2a 去乘括号内每一项：2a·3a=6a2，2a·(−1)=−2a， 所以 2a(3a−1)=6a2−2a． 5．(x+3)(x−2)=x2−2x+3x−6=x2+x−6． 6．逆用同底数幂的乘法：3m+n=3m·3n=2×5=10． 7．系数相乘：−2×3=−6；同底数幂相乘：x·x2=x3，y2·y=y3； 所以结果为 −6x3y3． 8．逐项相除：12a3b÷4ab=3a2，8a2b2÷4ab=2ab， 所以结果为 3a2−2ab． 9．(2x−1)(x+3)=2x2+6x−x−3=2x2+5x−3； 2x(x+1)=2x2+2x，去括号得 −2x2−2x； 原式 =2x2+5x−3−2x2−2x=3x−3． 10．先算乘方：(−3a2b)2=9a4b2； 再算除法：9a4b2÷9a3b=a4−3b2−1=ab． 二、能力提升（第 11～20 题） 11．若 (a3b2)n=a9bm，则 m、n 的值分别是（　　） A．m=6，n=3　　B．m=9，n=3　　C．m=6，n=2　　D．m=3，n=2 12．若 3m=2，27n=5，则 3m−3n 的值为（　　） A．2/5　　B．5/2　　C．10　　D．−3 13．若 x2+x−n=(x+n)(x−1)，且 x≠0，则 n 的值为（　　） A．−2　　B．−1　　C．1　　D．2 14．如果计算 (3−nx+2x2+kx3)(−2x2) 的结果中 x5 项的系数为 6，那么 k 的值为（　　） A．−3　　B．3　　C．−2　　D．2 15．若 (x2+ax+3)(x2−3x+b) 的展开式中不含 x3 项和 x2 项，则 ab=＿＿＿＿＿＿． 16．计算 (2/3a2b)2·(−3/2ab2)3． 17．已知 (x2+mx+1)(x−n) 的展开式中不含 x 项，且 x2 项的系数为 0，求 m、n 的值． 18．先化简，再求值：2x(x2−x+1)−x2(2x−1)，其中 x=−3． 19．已知 32x+1·9x=39，求 x 的值． 20．用一块长 3a、宽 2b 的长方形纸板，在四个角各剪去一个边长为 a−b（a>b）的小正方形． (1) 用含 a、b 的式子表示剩余部分的面积； (2) 当 a=5，b=3 时，求剩余部分的面积． 【参考答案与解析】 11．左边 =a3nb2n，与 a9bm 比较，得 3n=9，2n=m， 所以 n=3，m=6．选 A． 12．27n=(33)n=33n=5， 所以 3m−3n=3m÷33n=2÷5=2/5．选 A． 13．右边展开：(x+n)(x−1)=x2−x+nx−n=x2+(n−1)x−n； 与左边 x2+x−n 比较，得 n−1=1，所以 n=2．选 D． 14．展开后 x5 项只可能由 kx3·(−2x2)=−2kx5 产生； 由 −2k=6 得 k=−3．选 A． 15．展开：x4−3x3+bx2+ax3−3ax2+abx+3x2−9x+3b， 合并得 x4+(a−3)x3+(b−3a+3)x2+(ab−9)x+3b； 不含 x3 项：a−3=0，得 a=3；不含 x2 项：b−3a+3=0，得 b=6； 所以 ab=36=729． 16．(2/3a2b)2=4/9a4b2，(−3/2ab2)3=−27/8a3b6； 相乘：4/9×(−27/8)=−3/2，a4·a3=a7，b2·b6=b8； 原式 =−3/2a7b8． 17．展开：(x2+mx+1)(x−n)=x3−nx2+mx2−mnx+x−n =x3+(m−n)x2+(1−mn)x−n； 不含 x 项：1−mn=0，即 mn=1；x2 项系数为 0：m−n=0，即 m=n； 所以 m2=1，得 m=n=1 或 m=n=−1． 18．2x(x2−x+1)=2x3−2x2+2x； x2(2x−1)=2x3−x2，去括号得 −2x3+x2； 原式 =2x3−2x2+2x−2x3+x2=−x2+2x； 当 x=−3 时，原式 =−9−6=−15． 19．9x=(32)x=32x，左边 =32x+1·32x=34x+1； 由 34x+1=39 得 4x+1=9，所以 x=2． 20．(1) 长方形面积为 3a·2b=6ab，四个小正方形面积和为 4(a−b)2， 所以剩余面积 =6ab−4(a−b)2=6ab−4(a2−2ab+b2)=−4a2+14ab−4b2； (2) 当 a=5，b=3 时，原式 =−4×25+14×5×3−4×9=−100+210−36=74． 三、拓展探究（第 21～30 题） 21．比较 344 与 433 的大小． 22．已知 2a=3，4b=5，8c=7，求 2a+2b+3c 的值． 23．观察下列等式：13+23=9=32，13+23+33=36=62，13+23+33+43=100=102…… (1) 猜想 13+23+33+…+n3 的结果（用含 n 的式子表示）； (2) 利用你的猜想求 13+23+33+…+103 的值． 24．求 22026 的个位数字． 25．若 (x−2)x−4=1，求 x 的所有可能值． 26．已知 a2+a−1=0，求 a3+2a2+3 的值． 27．计算 (1/2)2025×22026． 28．已知 x=2m+1，y=3+4m，用含 x 的式子表示 y． 29．已知 am=2，an=3，求 a3m−2n 的值． 30．已知 10m=20，10n=1/5，求 9m÷32n 的值． 【参考答案与解析】 21．把指数化成相同：344=(34)11=8111，433=(43)11=6411； 因为 81>64，所以 8111>6411，即 344>433． 22．化同底：4b=22b=5，8c=23c=7； 拆指数：2a+2b+3c=2a·22b·23c=3×5×7=105． 23．(1) 观察底数：3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4， 所以 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2=[n(n+1)/2]2； (2) 当 n=10 时，1+2+…+10=55，所以原式 =552=3025． 24．依次算个位：21=2，22=4，23=8，24=16（个位 6），25=32（个位 2）， 个位数字按 2、4、8、6 每 4 个一循环； 因为 2026=4×506+2，余数为 2，所以个位数字与 22 的个位相同，即 4． 25．分三种情况讨论： ①指数为 0 且底数不为 0：x−4=0 且 x−2≠0，得 x=4，此时 20=1，成立； ②底数为 1：x−2=1，得 x=3，此时 1−1=1，成立； ③底数为 −1 且指数为偶数：x−2=−1 得 x=1，此时指数 1−4=−3 为奇数，(−1)−3=−1≠1，不成立； 所以 x=3 或 x=4． 26．由 a2+a−1=0 得 a2=1−a； 降次：a3=a·a2=a(1−a)=a−a2=a−(1−a)=2a−1； 代入：a3+2a2+3=(2a−1)+2(1−a)+3 =2a−1+2−2a+3=4． 27．22026=22025×2， 原式 =(1/2)2025×22025×2=(1/2×2)2025×2=1×2=2． 28．由 x=2m+1 得 2m=x−1； 4m=(22)m=22m=(2m)2=(x−1)2； 所以 y=3+(x−1)2=x2−2x+4． 29．拆指数：a3m−2n=a3m÷a2n=(am)3÷(an)2； 代入得 23÷32=8÷9=8/9． 30．先化同底：9m÷32n=32m÷32n=32(m−n)； 再由已知求 m−n：10m−n=10m÷10n=20÷1/5=100=102，所以 m−n=2； 原式 =32×2=34=81． 学科网（北京）股份有限公司 $