天津市南开区2027届高三上学期期中考试数学试题

高三年级 数学学科 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号； 2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式： ·球的体积公式，其中表示球的半径． ·锥体的体积公式，其中表示锥体的底面积，表示锥体的高． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，，则（ ）． A． B． C． D． 2．“对，关于的不等式有解”等价于（ ）． A．，使得成立 B．，使得成立 C．，成立 D．，成立 3．已知函数的部分图象如图，则函数的解析式可能为（ ）． A． B． C． D． 4．设，且，则“函数在上是减函数”是“函数在上是增函数”的（ ）． A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知，则正数，，的大小关系为（ ）． A． B． C． D． 6．先将函数的图象向右平移个最小正周期，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ）． A． B． C． D． 7．已知函数在闭区间上有最大值，最小值，则的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 8．在四面体中，，分别为，的中点，且，，，，则该四面体的外接球体积与该四面体的体积比为（ ）． A． B． C． D． 9．已知函数是定义在上的减函数，且为奇函数，对任意的实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对一个给3分，全部答对的给5分． 10．已知为虚数单位，若，则实数________． 11．若命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是________． 12．若指数函数的图象过点，则________；不等式的解集为________． 13．在中，为边上一点，且，，，的面积为，则________． 14．已知平面向量，，，满足，，．①若，，则用，表示________；②若，则的取值范围为________． 15．若函数恰有四个零点，则的取值范围是________． 三、解答题：本大题共5题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分14分） 已知函数的最小正周期为． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的单调递减区间； （Ⅲ）求使成立的的取值范围． 17．（本小题满分15分） 如图所示，在体积为的直三棱柱中，，且，，分别是，的中点． （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值； （Ⅲ）求平面与平面夹角的余弦值． 18．（本小题满分15分） 在中，角，，所对的边为，，．已知，且． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值； （Ⅲ）求的值． 19．（本小题满分15分） 已知函数，，为自然对数的底数． （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）当时，函数在上是否存在极值？若存在，请求出这个极值；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）若存在，使得成立，求的取值范围． 20．（本小题满分16分） 已知函数． （Ⅰ）当时，求的单调递增区间； （Ⅱ）若在区间上有零点，求实数的取值范围； （Ⅲ）当时，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级 数学学科参考答案 一、选择题：（本题共9小题，每题5分，共45分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B A D A D A C B C 二、填空题：（本题共6小题，每题5分，共30分） 10．4； 11．； 12．，； 13．； 14．；； 15．． 三、解答题：（其他正确解法请比照给分） 16．解：（Ⅰ）因为， 2分 所以的最小正周期， 3分 解得． 4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得， 由， 7分 解得， 所以的单调递减区间为． 9分 （Ⅲ）由，得， 即， 10分 解得， 12分 所以． 所以的取值范围是． 14分 17．解：因为体积为的直三棱柱中，，， 所以，解得． 1分 如图，以点为原点，，，分别为轴、轴、轴正方向， 建立空间直角坐标系，则，，，，，． 3分 （Ⅰ）因为，分别是，的中点， 所以，， 所以． 易知平面的法向量为， 因为，所以． 又因为平面，所以平面． 6分 （Ⅱ），，． 设为面的法向量，则， 即取，则，，从而， 8分 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 11分 （Ⅲ），． 设为面的法向量，则， 即取，则，，从而， 12分 设平面与平面的夹角为， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 15分 18．解：（Ⅰ）因为，由余弦定理可得， 1分 所以由正弦定理得， 2分 又因为，所以， 3分 所以，又因为， 解得． 5分 （Ⅱ）由得， 6分 原式 ． 10分 （Ⅲ）由（Ⅱ）得， ， 12分 所以 ． 15分 19．解：（Ⅰ）， 1分 可得，又， 所以曲线在点处的切线方程为， 即． 3分 （Ⅱ）， 所以， 4分 设，则， 5分 当，，故在上单调递增， 当，，故在上单调递减， 因此在上的最小值为， 即， 7分 又，所以在上，， 所以在上是增函数， 即在上不存在极值． 9分 （Ⅲ）由得， 10分 设， 则， 设，则， 当，，故在上单调递增， 当，，故在上单调递减， 所以． 当，，故在上单调递增， 当，，故在上单调递减， 所以． 所以． 15分 20．解：（Ⅰ）当时，， 所以， 1分 当时，， 所以在区间，单调递增； 3分 （Ⅱ）问题等价转化为在区间上有解， 4分 令，，则， 令，，所以单调递减， 则，即， 6分 故单调递减，此时， 所以． 8分 （Ⅲ）当时， ． 9分 令，则， 所以在上单调递增，故， 所以当时，． 令，则， 当，，故在上单调递减， 当，，故在上单调递增， 故，所以． 所以 ． 令， 则， 当，，故在上单调递减， 当，，故在上单调递增， 故． 所以． 16分 学科网（北京）股份有限公司 $