2026-2027学年人教版八年级数学上册期中模拟卷

2026-2027学年人教版八年级数学上册期中模拟卷 测试范围:第13章三角形轴对称 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．下列关于三角形按边分类的集合中，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，已知，点，，在同一直线上，点和点，点和点是对应点，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C．D． 4．如图，，点B，C是射线，上的点，的平分线和的平分线相交于点D，则的度数是（     ） A． B． C． D． 5．如图，将一块质地均匀的三角形木板放置在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，均在格点上．若要使该三角形木板保持平衡，则可以用一根细针顶住的点为（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 6．如图，某地要在笔直道路l上修建一处灌溉站，向路l同侧的两个樱桃种植园区P，Q铺设输水管道，P，Q间有一处生态保护区（长方形），输水管道不能穿过该区域（可沿边界或经过顶点），以下四种方案中，可使铺设管道路线最短的是（    ） 方案1：如图1，过点P作于点E，连接，，管道路线是； 方案2：如图2，连接并延长交l于点F，连接，管道路线是； 方案3：如图3，作点P关于l的对称点，连接交l于点G，连接，，管道路线是； 方案4：如图4，作点Q关于l的对称点，连接交l于点H，连接，，管道路线是． A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案4 7．如图，，分别平分和，过点E，且，点P为线段上的动点，连接．若，则的最小值为（     ） A． B．1 C． D．2 8．如图，在中，平分，是的垂直平分线，于点，，交的延长线于点，连接．若，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．如图，在等腰中，，的平分线与的垂直平分线交于点，、分别在、边上，点和点关于直线对称，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 10．如图锐角中，，点是边上一动点，在边上存在点，边上存在点，给出下列结论：①存在唯一一个使其周长最小；②当且仅当为中点时，存在唯一确定的点，使得的周长为最小；③在边上任意位置都存在点和，使得的周长恰与长度相等；其中包含所有正确结论的选项是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题（本大题共计6题，每小题3分，共计18分） 11．昆明西南联大研究院附属学校在“毅行”徒步活动中设置了一个三角形打卡点．已知三角形两边的长分别为和，若第三边的长为奇数，则第三边的长所有可能值的和为_________． 12．如图所示，，为平分线上一点，交于点，于点，若，则的长为__________． 13．如图，，分别是的外角平分线． （1）若，，则________． （2）试探索与之间的数量关系________． 14．如图，在中，，点在边上，点在线段上，若，，，则______． 15．如图，已知，，点是射线上一动点（P与不重合），当以、、三点中某两点与点构成的三角形是等腰三角形时，的度数为______． 16．如图，中，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点于点，设运动时间为秒，则当为___________秒时，与全等 三、解答题（本大题共计8题.共计72分） 17．（8分）已知：的三边长分别为，，． (1)化简：； (2)已知等腰的两边长分别为2和7，求周长． 18．（8分）如图，点P在内部，于点M，于点N，点B在线段上，点C在的延长线上，连接，，若，． (1)求证：平分． (2)已知，，求的长． 19．（8分）如图，为等腰三角形，，，于点D，E是延长线上一点，F是线段上一点，且，连接，． (1)求的度数； (2)请说明是等边三角形． 20．（8分）如图，在中，，，分别为边上的高和中线，且． (1)求的长； (2)求和的周长之差； (3)若E为边的三等分点，连接，与交于F点，记的面积为，的面积为，求的值． 21．（10分）根据题意解答下列问题 (1)【探究发现】如图，图，在中，，，直线经过点，，，、为垂足，则有结论．请就图给予证明． (2)【知识迁移】如图，已知：，，，，，连接、、，则点的坐标为____________，点的坐标为____________． (3)【拓展应用】如图，已知：点的坐标为，分别以、为直角边在第一、第二象限作等腰与等腰，且，连接交轴于点，求的长． 22．（10分）将两副三角形尺（含、、角）和（含、、角）如图放置（顶点重合）． (1)如图1，若点与点重合，与的平分线交于点，则 ； (2)如图2，三角尺不动，将三角尺转动至如图所示位置，直线分别交、、、于点、、、，的平分线与的平分线交于点，试探究与的数量关系，并证明； (3)如图3，在（2）的条件下，的平分线与的平分线交于点，请直接写出与的数量关系 ． 23．（10分）如图，在凸五边形中，，，，为的中点．证明． 24．（10分）在中，，，E是线段的中点． (1)如图1，连接，求证：是等边三角形； (2)若是的角平分线，点是线段上的一点，以为一边，在的下方作，交延长线于点．试探究，与数量之间的关系，并说明理由； (3)如图3，，点为直线上的一动点，连接，在下方作等边，则的最小值为__________． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年人教版八年级数学上册期中模拟卷 测试范围:第13章三角形轴对称 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．下列关于三角形按边分类的集合中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据三角形按边分类情况：等边三角形应该分在等腰三角形里，故选项A错误，不符合题意； 等腰三角形包含等边三角形，故选项B错误，不符合题意； 等腰三角形包含等边三角形，故选项C错误，不符合题意； 分类正确，故选项D正确，符合题意． 2．如图，已知，点，，在同一直线上，点和点，点和点是对应点，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形对应边相等得出，，结合线段和差关系计算即可． 【详解】解：， ，． 点在同一直线上，， ， ． 3．如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定求解即可． 【详解】解：A、由，，，根据证明，说法正确，故不符合题意； B、由，，，根据证明，说法正确，故不符合题意； C、由，，，根据证明，说法正确，故不符合题意； D、，，，不能判定，故选项D符合题意． 4．如图，，点B，C是射线，上的点，的平分线和的平分线相交于点D，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义、三角形的外角性质和内角和定理解答即可． 【详解】解：∵的平分线和的平分线相交于点D， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 5．如图，将一块质地均匀的三角形木板放置在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，均在格点上．若要使该三角形木板保持平衡，则可以用一根细针顶住的点为（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】根据三角形重心的概念，即为三角形三边中线的交点，由此求解即可 【详解】解：根据网格，画出三角形木板的边和上的中线，中线的交点即为点E， 即若要使该三角形木板保持平衡，则可以用一根细针顶住的点为E． 6．如图，某地要在笔直道路l上修建一处灌溉站，向路l同侧的两个樱桃种植园区P，Q铺设输水管道，P，Q间有一处生态保护区（长方形），输水管道不能穿过该区域（可沿边界或经过顶点），以下四种方案中，可使铺设管道路线最短的是（    ） 方案1：如图1，过点P作于点E，连接，，管道路线是； 方案2：如图2，连接并延长交l于点F，连接，管道路线是； 方案3：如图3，作点P关于l的对称点，连接交l于点G，连接，，管道路线是； 方案4：如图4，作点Q关于l的对称点，连接交l于点H，连接，，管道路线是． A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案4 【答案】C 【分析】用轴对称，将分散的线段集中到两点之间，从而运用两点之间线段最短，来实现最短路线的求解． 【详解】解：作点P关于的对称点，连接交于点G，连接，， ∴， ∴， ∵长度不变， ∴此时管道路径最短， ∴最短路径为：． 即四种方案中，可使铺设管道路线最短的是方案3． 7．如图，，分别平分和，过点E，且，点P为线段上的动点，连接．若，则的最小值为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】过点E作于点H，证明，由角平分线的性质得到，再根据垂线段最短可得答案． 【详解】解：如图所示，过点E作于点H， ∵，， ∴， ∵分别平分和，，，， ∴， ∴， ∵垂线段最短， ∴， ∴的最小值为1． 8．如图，在中，平分，是的垂直平分线，于点，，交的延长线于点，连接．若，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由角平分线的性质得，由判定，结合全等三角形的性质得，线段垂直平分线的性质得，再结合即可求解． 【详解】解：，， ， 平分，，， ，， ， （）， ， 是的垂直平分线， ， （）， ， ． 9．如图，在等腰中，，的平分线与的垂直平分线交于点，、分别在、边上，点和点关于直线对称，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用线段垂直平分线性质和轴对称性质证明及，从而建立角度关系. 【详解】解：，平分， 垂直平分，； 在的垂直平分线上， ； 垂直平分， ， ， ； 点和点关于直线对称， ； ， ， 点在上， . 10．如图锐角中，，点是边上一动点，在边上存在点，边上存在点，给出下列结论：①存在唯一一个使其周长最小；②当且仅当为中点时，存在唯一确定的点，使得的周长为最小；③在边上任意位置都存在点和，使得的周长恰与长度相等；其中包含所有正确结论的选项是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】利用轴对称性质将的周长转化为线段的长，确定、的位置；结合证明为等边三角形，从而得出周长与的关系． 【详解】解：作点关于的对称点，关于的对称点，连接，，分别交、于点、，如图， 则， 此时的周长为最小值； 对于上任意确定的点，点、唯一确定，线段唯一确定， 点、唯一确定，故①正确，②错误； 连接、、，由轴对称性质可知，，， ， ， ， 是等边三角形， ， 即的最小周长等于的长， 在边上任意位置都存在点和（即周长最小时的点），使得的周长恰与长度相等，故③正确， 综上所述，正确的结论是①③． 二、填空题（本大题共计6题，每小题3分，共计18分） 11．昆明西南联大研究院附属学校在“毅行”徒步活动中设置了一个三角形打卡点．已知三角形两边的长分别为和，若第三边的长为奇数，则第三边的长所有可能值的和为_________． 【答案】 21 【分析】先根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，再结合第三边为奇数的条件筛选出所有符合要求的长度，最后计算这些长度的总和． 【详解】解：设第三边的长为， ，即， 第三边的长为奇数， 满足的奇数取值为，，， 所有可能值的和为． 12．如图所示，，为平分线上一点，交于点，于点，若，则的长为__________． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点， 平分，， ， 交于点，， ， ． 13．如图，，分别是的外角平分线． （1）若，，则________． （2）试探索与之间的数量关系________． 【答案】 【详解】解：①，， ，， ，分别是的外角平分线， ，， ； ②，分别是的外角平分线， ，， ， 则． 14．如图，在中，，点在边上，点在线段上，若，，，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，如图所示，延长到M，使得，连接，过点D作交于N，易证明得到，则由平行线的性质得到，据此可证明是等腰三角形，，再证明，则． 【详解】解：延长到M，使得，连接，过点D作交于N， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图，已知，，点是射线上一动点（P与不重合），当以、、三点中某两点与点构成的三角形是等腰三角形时，的度数为______． 【答案】或或 【分析】分三种情况讨论（1）是等腰三角形（2）是等腰三角形（3）是等腰三角形，在此基础上再分别讨论三角形三条边中哪两条边相等，留下符合题意的情况． 【详解】解：（1）是等腰三角形： （i）， 由外角性质可求得， ， 又点在射线上， 点与点重合，与题意不符故舍去； （ii），如图所示， ∴， 则； （iii），如图所示， ∴， 则； （2）是等腰三角形： 三点共线， 不可能构成三角形，故舍去； （3）是等腰三角形： ， 有角的等腰是等边三角形， ， ， 示意图如下： 综上所述，或或． 16．如图，中，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点于点，设运动时间为秒，则当为___________秒时，与全等 【答案】或或 【分析】根据题意，与均为直角三角形，若要全等，斜边必须相等，即．根据点、的运动路径和速度，分三种情况讨论：点在上且点在上；点、都在上；点在上且点在上或到达终点．分别列出关于的方程求解即可． 【详解】由题意可知，点的速度为，点的速度为． ，． 点到达点需，到达点需． 点到达点需，到达点需． ，， ． 要使， 需满足． 分三种情况讨论： ①当时，点在上，点在上． ，． 令， 解得． ②当时，点在上，点在上． ，． 令， 解得． ③当时，点在上． 若，点在上， ，． 令， 解得，不合题意，舍去． 若，点到达点并停止， ． ． 令， 解得． 综上所述，当或或时，与全等． 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共计8题.共计72分） 17．（8分）已知：的三边长分别为，，． (1)化简：； (2)已知等腰的两边长分别为2和7，求周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，再结合绝对值的性质化简. （2）分腰长为2和7两种情况讨论，结合三角形三边关系筛选有效情况，再计算周长. 【详解】（1）解：∵，，是的三边长. ∴，. ∴，. ∴ （2）解：分两种情况讨论： ①当腰长为，底边长为时，三边长为，，. ∵. ∴不能构成三角形，舍去. ②当腰长为，底边长为时，三边长为，，. ∵，满足三角形三边关系. ∴周长为. 综上所述，的周长为. 18．（8分）如图，点P在内部，于点M，于点N，点B在线段上，点C在的延长线上，连接，，若，． (1)求证：平分． (2)已知，，求的长． 【答案】(1)证明：∵于点M，于点N， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在的平分线上， ∴平分； (2) 【分析】（1）证明得出，再结合角平分线的判定定理即可得证； （2）先证明得出，再结合全等三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．（8分）如图，为等腰三角形，，，于点D，E是延长线上一点，F是线段上一点，且，连接，． (1)求的度数； (2)请说明是等边三角形． 【答案】(1) (2)在中，， 在中，， ， 又∵， ∴是等边三角形． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，，根据线段垂直平分线的性质得出，根据等边对等角得出，，最后求出结果即可； （2）先求出，再根据，即可证明是等边三角形． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）略 20．（8分）如图，在中，，，分别为边上的高和中线，且． (1)求的长； (2)求和的周长之差； (3)若E为边的三等分点，连接，与交于F点，记的面积为，的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）的面积可表示为，也可表示为，由面积相等列等式，进行求解即可； （2）是边上的中线，故．的周长为，的周长为，进行相减计算即可； （3）分两种三等分情况．利用同加公共部分差不变的原理可得，，进而可得．分和两种情况，进行计算即可． 【详解】（1）解：在中，，，，，为边上的高， ， ； （2）解：为边上的中线， ， 的周长为：，的周长为：， 的周长的周长， ∴和的周长之差为； （3）解：①当时，如图1所示： 在中，，，， ， 为边上的中线， ， ， ∴， ， ， ， ∴， ； ②当时，如图2所示： 同理得：， ， ， ， ∴， ． 综上所述：的值为． 21．（10分）根据题意解答下列问题 (1)【探究发现】如图，图，在中，，，直线经过点，，，、为垂足，则有结论．请就图给予证明． (2)【知识迁移】如图，已知：，，，，，连接、、，则点的坐标为____________，点的坐标为____________． (3)【拓展应用】如图，已知：点的坐标为，分别以、为直角边在第一、第二象限作等腰与等腰，且，连接交轴于点，求的长． 【答案】(1)证明：∵，， ， ． ∵， ， ． 在和中， ， ． (2)， (3)2 【分析】（1）首先根据垂直得到两个直角相等，然后根据角度关系等量代换得到，结合已知条件，即可运用“角角边”定理（）证明三角形全等． （2）首先作辅助线，过点作轴于点，过点作轴于点，根据已知点坐标和垂直关系得到一组直角和，结合已知条件证明，根据全等三角形对应边相等得到、的长，进而求得，得到点C坐标；同理证明，得到、的长，进而求得，得到点E坐标． （3）首先过点作轴于，构造全等三角形和，结合小题（1）的，得到以及的长；然后运用“角角边”定理（）证明，进而得到，可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，延长交轴于点， ∵，， ，． ∵，轴轴， ． ∵轴， ． ∵， ． ∵， ． 在和中， ， ， ，， ， ． 同理可证， ，， ， ． （3）如图，过点作轴于， 由（1）知， ，． ∵，轴， ． 在和中，， ， ． 22．（10分）将两副三角形尺（含、、角）和（含、、角）如图放置（顶点重合）． (1)如图1，若点与点重合，与的平分线交于点，则 ； (2)如图2，三角尺不动，将三角尺转动至如图所示位置，直线分别交、、、于点、、、，的平分线与的平分线交于点，试探究与的数量关系，并证明； (3)如图3，在（2）的条件下，的平分线与的平分线交于点，请直接写出与的数量关系 ． 【答案】(1) (2) 证明： 设， 平分， ， 是的外角， ， 由三角板得， ， 平分， ， 是的外角， ， ， ， ， ． (3) 【分析】（1）先根据三角板的固定角度，得到，；再由角平分线分出两个小角，最后在中，用三角形内角和直接算出； （2）设，先用角平分线表示出；再利用三角形外角性质，表示，结合是角平分线得到，最后借助外角关系消去参数，得到和的关系式； （3）先利用对顶角相等、角平分线写出；再把看作外角，表示出，由角平分线得到，在中用内角和求出的表达式；最后将与两个式子相加，消去，得到与固定的数量关系． 【详解】（1）由题意得：， 平分，平分 ， 在中， （2）略 （3）解： 平分，（对顶角相等）， ， 在中，， ， ， ， 是的外角， ， ， ， 平分， ， ∴， ∴ ， 结合（2）结论， ． 23．（10分）如图，在凸五边形中，，，，为的中点．证明． 【答案】证明：如图，延长到点，使得，连接， ∵为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【分析】延长到点，使得，连接，易证，然后根据全等三角形的性质，结合已知条件和角度的和差得到，从而证得，进而即可得到结论． 【详解】略 24．（10分）在中，，，E是线段的中点． (1)如图1，连接，求证：是等边三角形； (2)若是的角平分线，点是线段上的一点，以为一边，在的下方作，交延长线于点．试探究，与数量之间的关系，并说明理由； (3)如图3，，点为直线上的一动点，连接，在下方作等边，则的最小值为__________． 【答案】(1) 证明：在中，，， ∴，， ∵E是线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． (2)或； ①当点N在线段上，结论：，理由如下： 如图2所示：延长至点H，使得，连接， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵于点E， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ②当点N在边上时，如图3，结论：，理由如下： 如图3，延长至H，使得， 由①得：， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，与数量之间的关系为：或； (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含度角的直角三角形的性质． （1）先证，再证，然后由等边三角形的判定即可得出结论； （2）分两种情况讨论，当点N在线段上时，延长至点H，使得，连接，根据角平分线的概念和等边三角形的判定，证出是等边三角形，再得出，由此得出，当点N在边上时，同理得出即可； （3）过点G作于P，与交于点D，连接，过点C作于F，于M，根据等边三角形的性质得出，再由全等三角形的判定得出，得出是的垂直平分线，的最小值就是的长，再由含度角的直角三角形的性质得出，即可求出的值． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵， ∴， 如图4，过点G作于P，与交于点D，连接，过点C作于F，于M， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴P是的中点， ∵， ∴是的垂直平分线，即点G在直线上，的最小值就是的长， ∴， ∴， ∴， 中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $